Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Geometría en el espacio

Apunte de repaso de Matemáticas II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre la geometría analítica del espacio tridimensional: las ecuaciones de la recta y del plano, sus posiciones relativas y las cuestiones métricas de distancias, ángulos, ortogonalidad y simetrías. Este bloque traduce los problemas geométricos del espacio al lenguaje del álgebra vectorial y de los sistemas de ecuaciones lineales, cerrando el «Sentido espacial» del currículo. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU): casi todas las pruebas incluyen un problema de geometría del espacio en el que se pide hallar ecuaciones, discutir posiciones relativas o calcular una distancia, un ángulo o un elemento simétrico.

5 secciones~34 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 07/2026

T·0888 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas geométricos del espacio aplicando estrategias diversas: traducir incidencia, paralelismo, distancias y ángulos a ecuaciones de rectas y planos y a operaciones vectoriales.CE2 · Verificar la validez de las soluciones mediante el razonamiento y la argumentación: justificar una posición relativa con el estudio de rangos o de vectores y comprobar la coherencia geométrica del resultado.CE5 · Establecer conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, integrando vectores (escalar, vectorial y mixto), sistemas de ecuaciones lineales y geometría afín y métrica del espacio.

Operadores:calculahalladeterminaestudiaclasificajustificademuestrainterpretarazonarelacionalocalizaconstruye

nivel básico

Como contenido del bloque de Geometría de Matemáticas II, se exige escribir las ecuaciones de rectas y planos en sus distintas formas, estudiar posiciones relativas de puntos, rectas y planos, y resolver problemas métricos básicos de distancias y ángulos con vectores director y normal.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en encadenar estas destrezas en problemas completos: construir el plano o la recta que cumple varias condiciones, hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, determinar proyecciones ortogonales y elementos simétricos, y justificar cada posición relativa relacionando el estudio de rangos con la interpretación geométrica.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Geometría en el espacio

Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio#

BásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (ecuaciones de una recta y de un plano en el espacio tridimensional; expresiones algebraicas de los objetos geométricos y selección de la más adecuada)

La geometría analítica del espacio, fundada por René Descartes, consiste en describir los objetos geométricos —puntos, rectas y planos— mediante coordenadas y ecuaciones, de modo que un problema geométrico se convierta en uno algebraico. En el espacio tridimensional fijamos un sistema de referencia con origen O y tres ejes perpendiculares, y todo punto queda identificado por una terna de coordenadas P(x, y, z). La idea clave es que una recta queda determinada por un punto y un vector que indica su dirección (su «vector director»), y un plano queda determinado por un punto y, o bien dos direcciones contenidas en él, o bien una dirección perpendicular a él (su «vector normal»). Elegir la expresión algebraica más adecuada según el contexto es una destreza explícita del currículo (Fig. 1).

Las cuatro formas de la ecuación de la recta

Una RECTA admite varias formas equivalentes. Conocidos un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director v = (v₁, v₂, v₃), la «ecuación vectorial» es (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t·(v₁, v₂, v₃), donde el parámetro t recorre todos los reales y va generando los puntos de la recta. Separando coordenadas se obtienen las «ecuaciones paramétricas» x = a₁ + t·v₁, y = a₂ + t·v₂, z = a₃ + t·v₃. Si ninguna componente del director es nula, despejando t e igualando se llega a la «ecuación continua» (x − a₁)/v₁ = (y − a₂)/v₂ = (z − a₃)/v₃. Por último, la recta puede verse como intersección de dos planos, lo que da sus «ecuaciones implícitas» (un sistema de dos ecuaciones lineales).

Un PLANO se describe con un punto y dos vectores directores no paralelos contenidos en él, o con un punto y su vector normal. Con un punto A y dos directores u y v, la «ecuación vectorial» es (x, y, z) = A + s·u + t·v (dos parámetros, porque el plano es una superficie). Desarrollando, las «ecuaciones paramétricas» del plano usan los parámetros s y t. La forma más útil para los cálculos es la «ecuación general o implícita» Ax + By + Cz + D = 0, una única ecuación lineal en la que el vector de coeficientes n = (A, B, C) es justamente un vector NORMAL al plano: perpendicular a todas las direcciones contenidas en él. Esta propiedad —leer la normal directamente de los coeficientes— es el motor de casi todos los problemas métricos.

Saber pasar de una forma a otra es esencial. Para hallar la general de un plano a partir de un punto y dos directores u y v, se calcula la normal como producto vectorial n = u × v (perpendicular a ambos) y se impone que pase por el punto para fijar D. Para obtener el vector director de una recta dada por dos planos, se hace el producto vectorial de las dos normales, porque la recta intersección es perpendicular a ambas. Y para escribir un plano del que solo conocemos un punto y la normal n = (A, B, C), basta usar la fórmula punto-normal A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, que se reordena en la general. Cada problema sugiere la forma de partida más cómoda: paramétrica cuando damos direcciones, general cuando medimos distancias o ángulos.

Conviene tener presentes algunos casos particulares y comprobaciones. Un punto pertenece a una recta o a un plano si sus coordenadas verifican sus ecuaciones (en la recta, además, deben dar el MISMO valor del parámetro en las tres componentes). El vector director de una recta no es único: cualquier múltiplo no nulo sirve, igual que el vector normal de un plano. Si en la ecuación general falta una variable (por ejemplo, D = 0 hace que el plano pase por el origen, o C = 0 hace que el plano sea paralelo al eje Z), eso aporta información geométrica inmediata. Y los tres planos coordenados tienen ecuaciones especialmente simples: z = 0 es el plano XY, y = 0 el plano XZ y x = 0 el plano YZ.

r:\;(x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + t\,(v_1,v_2,v_3),\quad t\in\mathbb{R}

Ecuación vectorial de la recta

La recta que pasa por A(a₁,a₂,a₃) con vector director v se genera al recorrer el parámetro t todos los números reales.

r:\;\dfrac{x-a_1}{v_1} = \dfrac{y-a_2}{v_2} = \dfrac{z-a_3}{v_3}

Ecuación continua de la recta

Válida solo si todas las componentes del director son no nulas; se obtiene despejando e igualando el parámetro t en las tres ecuaciones paramétricas.

\pi:\;Ax + By + Cz + D = 0,\qquad \vec{n} = (A,B,C)\;\perp\;\pi

Ecuación general del plano y su vector normal

Los coeficientes de x, y, z forman un vector normal al plano. El término D se fija imponiendo que el plano pase por un punto conocido.

Ejemplo resuelto

Plano por punto y dos directores; recta por punto y normal

Halla la ecuación general del plano π que contiene al punto A(1, 0, 2) y a los vectores u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1). Después escribe las ecuaciones paramétrica y continua de la recta que pasa por A con vector director igual a la normal de π.

1. Normal del plano por producto vectorial
La normal n es perpendicular a u y a v, así que n = u × v. Calculando el determinante simbólico: n = (1·1 − 0·1, 0·0 − 1·1, 1·1 − 1·0) = (1, −1, 1).
2. Ecuación general imponiendo el punto
Con n = (1, −1, 1) la ecuación es x − y + z + D = 0. Imponemos A(1, 0, 2): 1 − 0 + 2 + D = 0, luego D = −3.
3. Recta con director = normal
La recta pasa por A(1, 0, 2) con director n = (1, −1, 1). Sus ecuaciones paramétricas son x = 1 + t, y = −t, z = 2 + t.
4. Ecuación continua
Como todas las componentes del director son no nulas, igualamos el parámetro t en las tres componentes.

Resultado: El plano es π: x − y + z − 3 = 0 (normal n = (1, −1, 1)). La recta pedida tiene paramétricas x = 1 + t, y = −t, z = 2 + t, y ecuación continua (x − 1)/1 = y/(−1) = (z − 2)/1. Esta recta es perpendicular al plano π.

Errores frecuentes

Escribir la «ecuación continua» de una recta cuando alguna componente del vector director es 0: en ese caso esa coordenada es constante y no puede ir en un denominador; hay que dejarla aparte (por ejemplo, como una ecuación independiente).
Confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano, o tomar los coeficientes (A, B, C) de un plano como su dirección en lugar de como su normal.
Al pasar un plano dado por punto y dos directores a la forma general, olvidar imponer que el plano pase por el punto para determinar el término independiente D.

Repaso activo

Halla la ecuación general del plano que contiene al punto A(1, 0, 2) y a los vectores directores u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1). Después, escribe las ecuaciones paramétrica y continua de la recta que pasa por A con vector director igual a la normal del plano hallado.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Posiciones relativas de puntos, rectas y planos#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (estudio de la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio; geometría afín: incidencia y paralelismo; conexión con el análisis de soluciones de un sistema lineal)

Estudiar la «posición relativa» de dos objetos geométricos consiste en decidir cómo se sitúan uno respecto del otro: si se cortan, son paralelos, coinciden o se cruzan. En el espacio hay dos caminos complementarios para resolverlo, y conviene dominar ambos. El primero, ALGEBRAICO, interpreta la posición relativa como el estudio de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: cada plano o recta aporta ecuaciones, y el teorema de Rouché-Frobenius (comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas) dice si hay solución única, infinitas o ninguna. El segundo, VECTORIAL, compara los vectores directores y normales y emplea un punto de cada objeto. Ambos métodos deben dar el mismo resultado, y usar el uno para confirmar el otro es una buena práctica (Fig. 2).

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

DOS PLANOS en el espacio pueden ser secantes (se cortan en una recta), paralelos (no se cortan) o coincidentes (son el mismo plano). El criterio vectorial es directo: si las normales n₁ y n₂ NO son proporcionales, los planos son secantes y su intersección es una recta cuyo director es n₁ × n₂. Si las normales SÍ son proporcionales, los planos son paralelos o coincidentes; para distinguirlos se mira si también los términos independientes guardan la misma proporción (coincidentes) o no (paralelos estrictos). En términos de sistemas, dos ecuaciones con tres incógnitas: rango 2 = secantes, rango 1 con sistema compatible = coincidentes, rango 1 incompatible = paralelos.

Una RECTA Y UN PLANO pueden cortarse en un punto, ser paralelos (la recta no toca el plano) o estar la recta contenida en el plano. La herramienta clave es el producto escalar del vector director v de la recta por la normal n del plano. Si v·n ≠ 0, la recta «atraviesa» el plano y lo corta en un punto (se halla sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano y despejando t). Si v·n = 0, la dirección de la recta es paralela al plano; entonces se comprueba si un punto de la recta pertenece al plano: si pertenece, la recta está contenida; si no, son paralelos estrictos.

DOS RECTAS en el espacio presentan una casuística más rica, porque pueden además «cruzarse» (algo imposible en el plano). Las posibilidades son: coincidentes, paralelas (mismos directores y no se cortan), secantes (se cortan en un punto, son coplanarias) o que se CRUCEN (no son paralelas ni se cortan, no están en un mismo plano). El método sistemático compara primero los vectores directores v₁ y v₂ y el vector AB que une un punto de cada recta. Si v₁ y v₂ son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (se distingue viendo si AB es también proporcional a ellos). Si NO son proporcionales, las rectas son secantes o se cruzan, y se decide con el producto mixto [v₁, v₂, AB]: si es 0 son coplanarias y secantes; si es distinto de 0, las rectas SE CRUZAN.

El producto mixto [v₁, v₂, AB] = det(v₁, v₂, AB) es el detector definitivo del cruce: geométricamente representa (salvo signo) el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores, y solo es cero cuando los tres son coplanarios. Por eso un mixto no nulo certifica que las dos rectas no caben en ningún plano común, esto es, que se cruzan. Este resultado conecta de manera directa este tema con el de vectores (producto mixto) y con el de sistemas de ecuaciones lineales (rangos), siendo un ejemplo perfecto de cómo la geometría del espacio integra los demás bloques del álgebra.

[\vec{v_1},\vec{v_2},\overrightarrow{AB}] = \det\begin{pmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \overrightarrow{AB} \end{pmatrix} \;\begin{cases} =0 & \text{coplanarias (paralelas o secantes)} \\ \neq 0 & \text{se cruzan} \end{cases}

Criterio del producto mixto para dos rectas

El producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada recta es cero si y solo si las rectas son coplanarias; si es distinto de cero, las rectas se cruzan.

\vec{v}\cdot\vec{n} = 0 \;\Rightarrow\; r \parallel \pi \text{ o } r\subset\pi; \qquad \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0 \;\Rightarrow\; r \text{ corta a } \pi

Recta y plano: criterio del producto escalar

Si el director de la recta es perpendicular a la normal del plano (producto escalar nulo), la recta es paralela al plano o está contenida; si no, lo corta en un punto.

Ejemplo resuelto

Clasificación de dos rectas mediante el producto mixto

Estudia la posición relativa de r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t·(1, 1, 0) y s: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ·(0, 1, 1).

1. Comparar los directores
v₁ = (1, 1, 0) y v₂ = (0, 1, 1). No son proporcionales (no existe k con (1,1,0) = k(0,1,1)), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: serán secantes o se cruzarán.
2. Vector que une un punto de cada recta
Tomamos A(1, 0, 0) en r y B(0, 1, 1) en s. El vector AB = B − A = (−1, 1, 1).
3. Producto mixto [v₁, v₂, AB]
Calculamos el determinante de la matriz cuyas filas son v₁, v₂ y AB. Desarrollando por la primera fila: 1·(1·1 − 1·1) − 1·(0·1 − 1·(−1)) + 0 = 1·0 − 1·1 + 0 = −1.
4. Interpretar
Como el producto mixto es distinto de cero, los tres vectores no son coplanarios; por tanto, las rectas no están en un mismo plano y no pueden cortarse.

Resultado: Las rectas r y s SE CRUZAN: sus directores no son proporcionales (no son paralelas) y el producto mixto [v₁, v₂, AB] = −1 ≠ 0 (no son coplanarias, luego no son secantes).

Errores frecuentes

Confundir rectas paralelas con rectas que se cruzan: las paralelas tienen directores proporcionales; las que se cruzan NO los tienen y, además, tienen producto mixto distinto de cero.
Concluir que dos rectas con directores no proporcionales se cortan, sin comprobar antes con el producto mixto que son coplanarias (podrían cruzarse).
Al estudiar recta y plano, olvidar que v·n = 0 deja dos posibilidades (contenida o paralela) y no comprobar si un punto de la recta está en el plano.

Repaso activo

Dadas las rectas r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t·(1, 1, 0) y s: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ·(0, 1, 1), estudia su posición relativa. Calcula el producto mixto de sus directores y del vector que une un punto de cada una, y concluye razonadamente si son paralelas, secantes o se cruzan.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Geometría métrica: distancias y ángulos#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (geometría métrica: medida de ángulos entre rectas y planos, distancias entre puntos, rectas y planos, y ortogonalidad)

La geometría métrica del espacio mide longitudes y ángulos entre los objetos geométricos, y se apoya por completo en el producto escalar y en el producto vectorial de vectores. La distancia más sencilla es la que hay entre DOS PUNTOS A y B: es el módulo del vector AB, es decir, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de coordenadas. A partir de esta distancia básica y de unas pocas fórmulas con productos vectoriales y escalares se obtienen todas las demás distancias del temario (Fig. 3).

Coseno o seno: qué fórmula usar en cada ángulo

La fórmula estrella es la DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. Si el plano es π: Ax + By + Cz + D = 0 y el punto es P(x₀, y₀, z₀), la distancia es el valor absoluto de Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D dividido entre el módulo del vector normal (A, B, C). El numerador mide «cuánto se desvía» el punto de cumplir la ecuación del plano, y dividir entre el módulo de la normal lo convierte en una longitud real. De esta fórmula se deriva casi todo lo demás: la distancia entre dos planos paralelos se calcula tomando un punto de uno y midiendo su distancia al otro, y la distancia de un punto a una recta se puede abordar también por proyección.

La DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA r (que pasa por un punto A con director v) se obtiene con el producto vectorial: es el módulo de AP × v dividido entre el módulo de v, donde P es el punto exterior. La interpretación geométrica es elegante: |AP × v| es el área del paralelogramo de lados AP y v, y al dividirla entre la base |v| se obtiene la altura, que es precisamente la distancia buscada. Por su parte, la DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN combina los dos productos: es el valor absoluto del producto mixto [v₁, v₂, AB] dividido entre el módulo de v₁ × v₂; el mixto da el volumen del paralelepípedo y v₁ × v₂ da el área de su base, de modo que el cociente es la altura, esto es, la separación entre las dos rectas.

Los ÁNGULOS se miden siempre con el producto escalar, tomando los ángulos AGUDOS (de ahí el valor absoluto en las fórmulas). El ángulo entre DOS RECTAS es el ángulo agudo entre sus vectores directores: su coseno es el valor absoluto del producto escalar de los directores entre el producto de sus módulos. El ángulo entre DOS PLANOS es el ángulo agudo entre sus normales, con la misma fórmula aplicada a los vectores normales. En particular, dos rectas son perpendiculares cuando sus directores tienen producto escalar nulo, y dos planos son perpendiculares cuando lo son sus normales.

El ángulo entre RECTA Y PLANO requiere un matiz importante: NO se mide entre el director de la recta y la normal del plano directamente, sino que se define como el ángulo entre la recta y su proyección sobre el plano. Por eso, mientras que con los demás pares se usa el coseno, aquí se usa el SENO: el seno del ángulo entre la recta y el plano es el valor absoluto del producto escalar del director v y la normal n entre el producto de sus módulos. La razón es geométrica: el ángulo entre recta y plano es el complementario del ángulo entre el director y la normal, y el coseno de uno es el seno del otro. Confundir seno y coseno aquí es uno de los errores más penalizados de la PAU.

d(P,\pi) = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Distancia de un punto a un plano

Se sustituye el punto en la ecuación general del plano y se divide el valor absoluto resultante entre el módulo del vector normal (A, B, C).

d(r,s) = \dfrac{\bigl|\,[\vec{v_1},\vec{v_2},\overrightarrow{AB}]\,\bigr|}{\,|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|\,}

Distancia entre dos rectas que se cruzan

El producto mixto da el volumen del paralelepípedo formado por los directores y el segmento AB, y |v₁×v₂| es el área de la base; el cociente es la altura, es decir, la distancia entre las rectas.

\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}\;\;(\text{recta-plano}); \qquad \cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{w}|}{|\vec{u}|\,|\vec{w}|}\;\;(\text{recta-recta o plano-plano})

Ángulos entre objetos del espacio

Entre recta y plano se usa el seno (interviene la normal); entre dos rectas o dos planos se usa el coseno de sus directores o de sus normales. El valor absoluto asegura el ángulo agudo.

Ejemplo resuelto

Distancia punto-plano y ángulo recta-plano

Dado el plano π: 2x − y + 2z − 6 = 0 y el punto P(3, 1, 4), calcula la distancia de P a π y el ángulo que forma con π la recta r de director v = (1, 2, 2).

1. Distancia punto-plano
Sustituimos P(3, 1, 4) en el numerador: 2·3 − 1 + 2·4 − 6 = 6 − 1 + 8 − 6 = 7. El módulo de la normal n = (2, −1, 2) es √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
2. Ángulo recta-plano: elegir seno
Entre recta y plano se usa el SENO del ángulo, con el director v = (1, 2, 2) y la normal n = (2, −1, 2), porque el ángulo es el complementario del que forman v y n.
3. Producto escalar y módulos
v·n = 1·2 + 2·(−1) + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4. Los módulos son |v| = √(1+4+4) = 3 y |n| = 3.
4. Calcular el ángulo
El seno del ángulo es |4|/(3·3) = 4/9. Por tanto, α = arcsen(4/9) ≈ 26,39°.

Resultado: La distancia de P al plano es d(P, π) = 7/3 unidades. El ángulo entre la recta y el plano es α = arcsen(4/9) ≈ 26,39° (se usa el seno porque interviene la normal del plano).

Errores frecuentes

Usar el coseno para el ángulo entre recta y plano: en ese caso se usa el SENO (porque interviene la normal, complementaria de la proyección), mientras que entre dos rectas o dos planos se usa el coseno.
Olvidar el valor absoluto en el numerador de la distancia punto-plano o en las fórmulas de ángulos, obteniendo distancias negativas o ángulos obtusos sin sentido geométrico.
Dividir entre el módulo equivocado: en la distancia punto-recta hay que dividir entre |v| (el director), y en la distancia entre rectas que se cruzan entre |v₁ × v₂|, no entre |AB|.

Repaso activo

Dado el plano π: 2x − y + 2z − 6 = 0 y el punto P(3, 1, 4), calcula la distancia de P a π. Después, halla el ángulo que forma con π la recta r de vector director v = (1, 2, 2) que pasa por P, indicando si usas seno o coseno y por qué.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Perpendicular común, proyecciones ortogonales y simetrías#

ProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan; vectores normales; estudio de la simetría: punto simétrico respecto de punto, plano y recta; recta simétrica respecto de un plano; recta proyección ortogonal sobre un plano)

Este apartado reúne las construcciones geométricas más completas del tema, en las que se combinan ecuaciones, posiciones relativas y productos vectoriales. La «perpendicular común» a dos rectas que se cruzan es la única recta que corta a ambas formando ángulo recto con cada una; su dirección es necesariamente perpendicular a los dos directores, de modo que su vector director es w = v₁ × v₂ (el producto vectorial de los directores). Hallarla por completo es un problema clásico de la PAU que pone a prueba el dominio de todo el tema (Fig. 4).

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Para construir la perpendicular común de las rectas r y s que se cruzan, una estrategia eficaz es la de los DOS PLANOS. La perpendicular común está contenida en el plano que pasa por r y tiene como direcciones v₁ y w = v₁ × v₂; y también en el plano que pasa por s con direcciones v₂ y w. La intersección de esos dos planos es justamente la perpendicular común. Alternativamente, se puede parametrizar un punto genérico de cada recta, imponer que el vector que los une sea proporcional a w (o, equivalentemente, perpendicular a v₁ y a v₂), y resolver el sistema para encontrar los pies de la perpendicular en cada recta.

La «proyección ortogonal» de un punto P sobre un plano π es el pie H de la perpendicular trazada desde P al plano: el punto del plano más cercano a P. Se halla escribiendo la recta que pasa por P con dirección la normal n del plano, y cortándola con π. La proyección ortogonal de una RECTA sobre un plano es la recta formada por las proyecciones de todos sus puntos; en la práctica se obtiene como intersección del plano π con el plano que contiene a la recta y es perpendicular a π (un plano «proyectante»). Estas proyecciones son la base para definir el ángulo recta-plano y para muchos problemas de simetría.

Las SIMETRÍAS son transformaciones que invierten la posición de un objeto respecto de un elemento de referencia. El «simétrico de un punto P respecto de otro punto M» es el punto P' tal que M es el punto medio del segmento PP'; se calcula con P' = 2M − P. El «simétrico de un punto P respecto de un plano π» es el punto P' alineado con P perpendicularmente al plano y a la misma distancia al otro lado: se halla la proyección H de P sobre π y entonces P' = 2H − P (H es el punto medio de PP'). El «simétrico de un punto P respecto de una recta r» se obtiene igual, proyectando P ortogonalmente sobre r para hallar el pie M y aplicando P' = 2M − P.

A partir del punto simétrico se construyen los demás objetos simétricos. La «recta simétrica de r respecto de un plano π» se obtiene hallando los simétricos de dos puntos de r respecto de π y uniéndolos (o, si r corta a π, tomando el punto de corte —que es su propio simétrico— y el simétrico de otro punto de r). La «recta proyección ortogonal de r sobre π» se halla proyectando dos puntos de r sobre π. El hilo conductor de todas estas construcciones es el mismo: proyectar ortogonalmente usando la normal del plano (o la perpendicular a la recta) y aplicar la fórmula del punto medio. Por eso conviene tener absolutamente automatizadas la proyección de un punto y la fórmula P' = 2M − P.

\vec{w} = \vec{v_1}\times\vec{v_2}

Dirección de la perpendicular común a dos rectas

La perpendicular común a dos rectas que se cruzan tiene como vector director el producto vectorial de los directores, pues debe ser perpendicular a ambos.

P' = 2M - P

Simétrico de P respecto de M (punto medio)

Si M es el punto medio del segmento PP', el simétrico se obtiene como 2M − P. Sirve para la simetría respecto de un punto, y respecto de un plano o recta tomando M como el pie de la perpendicular.

P \xrightarrow{\ \vec{n}\ } H = r_{P,\vec{n}} \cap \pi \;\Rightarrow\; P' = 2H - P

Simétrico de un punto respecto de un plano

Se traza la recta por P en la dirección de la normal n, se corta con el plano para hallar el pie H (proyección ortogonal) y se aplica la fórmula del punto medio.

Ejemplo resuelto

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Dado P(2, 3, 1) y el plano π: x + 2y − 2z − 3 = 0, halla la proyección ortogonal H de P sobre π y el simétrico P' de P respecto de π.

1. Recta perpendicular por P
La normal del plano es n = (1, 2, −2). La recta que pasa por P en la dirección de n tiene paramétricas x = 2 + t, y = 3 + 2t, z = 1 − 2t.
2. Corte con el plano
Sustituimos en π: (2 + t) + 2(3 + 2t) − 2(1 − 2t) − 3 = 0, es decir 2 + t + 6 + 4t − 2 + 4t − 3 = 0, que da 9t + 3 = 0, luego t = −1/3.
3. Pie de la perpendicular H
Sustituyendo t = −1/3: x = 2 − 1/3 = 5/3, y = 3 − 2/3 = 7/3, z = 1 + 2/3 = 5/3. Esa es la proyección ortogonal.
4. Simétrico con el punto medio
Como H es el punto medio de PP', aplicamos P' = 2H − P: P' = (10/3 − 2, 14/3 − 3, 10/3 − 1) = (4/3, 5/3, 7/3).

Resultado: La proyección ortogonal de P sobre π es H = (5/3, 7/3, 5/3) y el simétrico es P' = (4/3, 5/3, 7/3). Se comprueba que H = (P + P')/2 es el punto medio del segmento PP'.

Errores frecuentes

Calcular el simétrico de un punto respecto de un plano olvidando que el pie de la perpendicular H es el PUNTO MEDIO, y escribir P' = H en vez de P' = 2H − P.
Tomar como dirección de la perpendicular común un vector que no es perpendicular a ambos directores; debe ser w = v₁ × v₂.
Para proyectar un punto sobre un plano, usar una dirección cualquiera en lugar de la normal n del plano, con lo que el pie obtenido no es el más cercano (no es la proyección ortogonal).

Repaso activo

Dado el punto P(2, 3, 1) y el plano π: x + 2y − 2z − 3 = 0, halla la proyección ortogonal H de P sobre π y el punto P' simétrico de P respecto del plano π. Comprueba que H es el punto medio del segmento PP'.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Áreas, volúmenes y problemas de incidencia y paralelismo#

ProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (construcción del plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior, o a dos rectas paralelas o secantes; geometría afín de incidencia y paralelismo; áreas y volúmenes)

El último apartado integra los anteriores en dos frentes: la geometría AFÍN, que trata la incidencia (qué objetos pasan por dónde) y el paralelismo sin medir, y el cálculo de ÁREAS y VOLÚMENES de figuras del espacio mediante productos vectoriales y mixtos. Una destreza explícita del currículo es CONSTRUIR planos y rectas que cumplen condiciones de incidencia: el plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior, el plano que contiene a dos rectas paralelas o a dos rectas secantes, o la recta que pasa por un punto y corta a otras dos. La idea común es reunir un punto y dos direcciones independientes para fijar el plano (Fig. 5).

Construcción de planos por condiciones de incidencia

Para hallar el PLANO que contiene a una recta r (punto A, director v) y pasa por un punto exterior P, se toma A como punto del plano y como direcciones v y AP (el vector de A a P). La normal es entonces n = v × AP, y se impone que pase por A. Para el plano que contiene a DOS RECTAS PARALELAS r y s, se usa un punto de cada una y la dirección común v; las dos direcciones del plano son v y el vector que une un punto de r con uno de s. Y para el plano que contiene a DOS RECTAS SECANTES, basta tomar el punto de corte (o un punto de cualquiera de ellas) y los dos directores v₁ y v₂ como direcciones del plano, con normal v₁ × v₂.

El cálculo de áreas se apoya en el producto vectorial. El ÁREA DE UN PARALELOGRAMO de lados los vectores u y v es el módulo de su producto vectorial, |u × v|; y el ÁREA DE UN TRIÁNGULO de vértices A, B y C es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, es decir, ½·|AB × AC|. La razón geométrica es que el módulo del producto vectorial mide el área del paralelogramo definido por los dos vectores, del que el triángulo es exactamente la mitad. Estas fórmulas permiten medir superficies en el espacio sin recurrir a la trigonometría.

El cálculo de volúmenes se apoya en el producto mixto. El VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO de aristas los vectores u, v y w es el valor absoluto de su producto mixto, |[u, v, w]| = |det(u, v, w)|; y el VOLUMEN DE UN TETRAEDRO de vértices A, B, C y D es la sexta parte de ese valor, (1/6)·|[AB, AC, AD]|. El producto mixto da el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores, y el tetraedro ocupa exactamente un sexto de ese paralelepípedo. Por eso el producto mixto es, a la vez, el detector de coplanariedad (volumen cero) y la herramienta de cálculo de volúmenes (Fig. 6).

Tetraedro ABCD: área de una cara y volumen

Estas herramientas se combinan en problemas completos. Por ejemplo, para comprobar que cuatro puntos son COPLANARIOS basta verificar que el producto mixto de los tres vectores que parten de uno de ellos es cero (volumen nulo del tetraedro). Para hallar la distancia de un punto a un plano definido por tres puntos, se puede combinar el volumen del tetraedro con el área de la base triangular: la altura (que es la distancia) es 3·V/Área de la base. Así, áreas y volúmenes no son solo fórmulas finales, sino piezas que se ensamblan con las posiciones relativas y las distancias para resolver los problemas de geometría del espacio más exigentes de la PAU.

\text{Área}_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2}\,\bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr|

Área de un triángulo

Es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados, porque |AB×AC| es el área del paralelogramo del que el triángulo es la mitad.

V_{\text{paralelep.}} = \bigl|\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\,\bigr|, \qquad V_{\text{tetraedro}} = \tfrac{1}{6}\,\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\,\bigr|

Volúmenes con el producto mixto

El producto mixto da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores; el tetraedro ocupa un sexto de ese paralelepípedo.

Ejemplo resuelto

Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Dados A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) y D(1, 1, 1), calcula el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD.

1. Vectores desde A
AB = B − A = (−1, 2, 0), AC = C − A = (−1, 0, 3) y AD = D − A = (0, 1, 1).
2. Producto vectorial AB × AC
AB × AC = (2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)) = (6, 3, 2). Su módulo es √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
3. Área del triángulo
El área es la mitad del módulo del producto vectorial.
4. Volumen del tetraedro con el producto mixto
El producto mixto es AD·(AB × AC) = (0, 1, 1)·(6, 3, 2) = 0 + 3 + 2 = 5. El volumen es un sexto de su valor absoluto.

Resultado: El área del triángulo ABC es 7/2 = 3,5 unidades cuadradas (con el producto vectorial) y el volumen del tetraedro ABCD es 5/6 unidades cúbicas (con el producto mixto). Como el volumen no es cero, los cuatro puntos no son coplanarios.

Errores frecuentes

Olvidar el factor 1/2 en el área del triángulo o el factor 1/6 en el volumen del tetraedro, dando el área del paralelogramo o el volumen del paralelepípedo en su lugar.
Para construir un plano por una recta y un punto exterior, tomar como segunda dirección un vector que no es independiente del director (por ejemplo, otro punto de la misma recta), con lo que el producto vectorial sale nulo.
Confundir coplanariedad con paralelismo: cuatro puntos son coplanarios si el producto mixto es cero, no por que algún par de vectores sea proporcional.

Repaso activo

Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) y D(1, 1, 1), calcula el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD. Indica qué producto (vectorial o mixto) usas en cada caso.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Geometría en el espacio

5 secciones~34 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 07/2026

Perpendicular común, proyecciones ortogonales y simetrías#

Profundización

BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan; vectores normales; estudio de la simetría: punto simétrico respecto de punto, plano y recta; recta simétrica respecto de un plano; recta proyección ortogonal sobre un plano)

Geometría en el espacio

Puntos clave

Plano por punto y dos directores; recta por punto y normal

Puntos clave

Clasificación de dos rectas mediante el producto mixto

Puntos clave

Distancia punto-plano y ángulo recta-plano

Puntos clave

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Puntos clave

Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Fuentes

Geometría en el espacio

Puntos clave

Plano por punto y dos directores; recta por punto y normal

Puntos clave

Clasificación de dos rectas mediante el producto mixto

Puntos clave

Distancia punto-plano y ángulo recta-plano

Puntos clave

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Puntos clave

Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Fuentes