AG 1 - Zahlen, Terme, Potenzen und Logarithmen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Zahlenmengen N, Z, Q, R und C#

BasisAG-1.1

Zahlenmengen-Hierarchie

Abb. 1N als Kern, schalenartig erweitert um Z, Q, R und C.

Die natürlichen Zahlen

\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\dots\}

bilden die Basis zum Zählen; in Österreich gehört die Null per Konvention zu

\mathbb{N}

.

Die ganzen Zahlen

\mathbb{Z}

entstehen durch Hinzunehmen der negativen Zahlen, die rationalen Zahlen

\mathbb{Q}

durch alle Brüche

\tfrac{p}{q}

mit

q\neq 0

.

Reelle Zahlen

\mathbb{R}

füllen die Zahlengerade lückenlos; irrationale Zahlen wie

\sqrt{2}

,

\pi

oder

\mathrm{e}

besitzen keine periodische Dezimaldarstellung.

Komplexe Zahlen

\mathbb{C}

erweitern

\mathbb{R}

um die imaginäre Einheit

\mathrm{i}=\sqrt{-1}

; sie liegen in der AHS-Matura ausserhalb des Grundkompetenzkatalogs, treten aber in Erweiterungsaufgaben auf.

Es gilt die strikte Inklusionskette

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

; jede Erweiterung löst eine Gleichungsklasse, die in der vorigen Menge nicht lösbar war.

Bei Modellierungen muss der Zahlenbereich zum Kontext passen: Personenanzahl in

\mathbb{N}

, Kontostand in

\mathbb{Q}

, Streckenlängen in

\mathbb{R}^{+}

.

Musterbeispiel

Zahlentyp bestimmen

Ordne $-\tfrac{7}{3}$ , $\sqrt{2}$ , $0{,}\overline{27}$ und $\pi$ den Zahlenmengen $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ zu.

Bruch
$-\tfrac{7}{3}\in\mathbb{Q}$ , da Bruch ganzer Zahlen; nicht in $\mathbb{Z}$ .
Wurzel aus 2
Beweis über Widerspruch zeigt, dass $\sqrt{2}$ nicht als Bruch darstellbar ist; $\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .
Periodische Dezimalzahl
$0{,}\overline{27}=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}\in\mathbb{Q}$ .
Kreiszahl
$\pi$ ist transzendent, also $\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Ergebnis: Periodische und endliche Dezimalzahlen sind rational; Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sowie $\pi$ und $\mathrm{e}$ sind irrational.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stell dir die Zahlenmengen als ineinander verschachtelte Schalen vor: ganz innen die natürlichen Zahlen.
Zahlenmengen-Hierarchie
Abb.N als Kern, schalenartig erweitert um Z, Q, R und C.
2
Jede Erweiterung löst ein Problem: negative Zahlen, Brüche, irrationale Wurzeln und schliesslich Wurzeln aus negativen Zahlen.
3
In Maturaaufgaben wird oft die kleinste Menge gefragt, in der eine Zahl enthalten ist - schreite immer von innen nach aussen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben sind vier Zahlen:

a=-3

,

b=\tfrac{5}{8}

,

c=\sqrt{16}

,

d=\sqrt{7}

. Kreuze die jeweils kleinste Zahlenmenge an, in der die Zahl liegt:

\mathbb{N}

,

\mathbb{Z}

,

\mathbb{Q}

,

\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Null wird fälschlich aus $\mathbb{N}$ ausgeschlossen, obwohl der österreichische Lehrplan sie einschliesst.
Periodische Dezimalzahlen wie $0{,}\overline{3}$ werden als irrational behauptet.
$\sqrt{4}=2$ wird als irrational eingestuft, weil die Wurzel auftaucht; entscheidend ist aber das Ergebnis.

Aktive Wiederholung

Ordne $\tfrac{22}{7}$ , $\sqrt{9}$ , $1{,}010010001\dots$ (nicht periodisch) und $-5$ den Mengen $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ zu und begründe jede Zuordnung mit einem Satz.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik (Oberstufe), Kompetenzbereich Algebra und Geometrie (BMBWF / RIS) · Grundkompetenzen Mathematik AHS (IQS)

Terme, Variablen und Äquivalenzumformungen#

BasisAG-1.2AG-2.1

Faktorisierung und Nullstellen von f(x)=x²-9

Abb. 2Die faktorisierte Form

x^{2}-9=(x-3)(x+3)

macht die Nullstellen

x=\pm 3

unmittelbar sichtbar - sie sind die Schnittpunkte der Parabel mit der

x

-Achse.

Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Operationszeichen - etwa

3x^{2}-2x+1

oder der Bruchterm

\tfrac{2a+1}{a-3}

. Variablen sind dabei reine Platzhalter: Erst durch Einsetzen konkreter Zahlen erhält ein Term einen Wert, und genau diese Werte will man durch geschicktes Umformen erhalten.

Eine Äquivalenzumformung - Ausmultiplizieren, Herausheben, Kürzen oder Erweitern - ändert nur die Schreibweise eines Terms, nicht seinen Wert. Erlaubt ist sie genau dann, wenn der Definitionsbereich unverändert bleibt; deshalb gehört zu jeder Bruchumformung die Angabe, welche

x

-Werte ausgeschlossen sind.

Beim Kürzen darf nie durch Null dividiert werden:

\tfrac{x^{2}-9}{x-3}

vereinfacht sich für

x\neq 3

zu

x+3

, doch an der Stelle

x=3

war der ursprüngliche Term gar nicht definiert. Diese Definitionslücke muss man mit anschreiben, sonst gilt die Umformung als unvollständig.

Die binomischen Formeln

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}

und

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

sind das schärfste Umformwerkzeug. Rückwärts gelesen liefern sie die Faktorisierung - aus

x^{2}-9

wird

(x-3)(x+3)

-, mit der sich Brüche kürzen und Nullstellen direkt ablesen lassen.

Polynome höheren Grades zerlegt man mit Polynomdivision oder dem Hornerschema in

P(x)=(x-x_{0})\cdot Q(x)+r

. Ist

x_{0}

eine Nullstelle, so ist der Rest

r=0

; der abgespaltene Linearfaktor senkt den Grad - die Standardtechnik der späteren Kurvendiskussion (Thema AN).

Anschaulich ist jede Umformung ein Brillenwechsel auf denselben Ausdruck: Die ausmultiplizierte Form eignet sich zum Ableiten, die faktorisierte zum Ablesen der Nullstellen. Die Matura belohnt, wer bewusst die passende Form wählt, statt mechanisch immer dieselbe zu erzwingen.

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\quad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\quad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Binomische Formeln

Musterbeispiel

Term mit Potenzen und Wurzel vereinfachen

Vereinfache $\dfrac{\sqrt{a^{3}}\cdot a^{-1/2}}{a^{2}}$ für $a>0$ und gib das Ergebnis als Potenz von $a$ an.

Wurzel als Potenz schreiben
$\sqrt{a^{3}}=a^{3/2}$ .
Zähler zusammenfassen
$a^{3/2}\cdot a^{-1/2}=a^{3/2-1/2}=a^{1}=a$ .
Nenner kürzen
$\dfrac{a}{a^{2}}=a^{1-2}=a^{-1}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $a^{-1}=\tfrac{1}{a}$ für $a>0$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Äquivalenzumformung ändert die Schreibweise eines Terms, nicht seinen Wert.
2
Beim Bruch faktorisierst du Zähler und Nenner und kürzt nur gemeinsame Faktoren.
3
Schreib am Ende den Definitionsbereich auf - das schützt dich vor Punktabzug.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Vereinfache den Term

\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}

so weit wie möglich und gib den Definitionsbereich in

\mathbb{R}

an.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Ausdrücke wie $\tfrac{a+b}{a}$ zu $b$ kürzen.
Vorzeichenfehler bei $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (mittlerer Term wird positiv geschrieben).
Definitionsbereich von Brüchen wird vergessen.

Aktive Wiederholung

Vereinfache $\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}$ und gib den Definitionsbereich an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Maturaaufgaben - Algebra (Mathago)

Potenzen, Wurzeln und rationale Exponenten#

StandardAG-2.1

Potenzfunktionen mit ganzem und rationalem Exponenten

Abb. 3Je größer der Exponent, desto steiler der Anstieg; der Bruchexponent

\tfrac{1}{2}

liefert die Wurzelfunktion

\sqrt{x}=x^{1/2}

(für

x\ge 0

).

Eine Potenz

a^{n}

mit

n\in\mathbb{N}

bedeutet die

n

-fache Multiplikation der Basis

a

mit sich selbst. Die scheinbar willkürlichen Konventionen

a^{0}=1

(für

a\neq 0

) und

a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}

sind kein Zufall - sie sind genau so gewählt, dass das Gesetz

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

lückenlos weitergilt.

Damit lässt sich auch das Wurzelziehen als Potenzieren schreiben:

\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}

für

a>0

. Ein rationaler Exponent ist also nur eine kompakte Wurzelschreibweise -

a^{1/2}=\sqrt{a}

,

a^{2/3}=\sqrt[3]{a^{2}}

-, wodurch jede Wurzelrechnung auf die drei Potenzgesetze zurückfällt.

Die Potenzgesetze

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

,

\tfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

und

(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

gelten nur bei gleicher Basis; bei gleichem Exponenten kommt

a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}

hinzu. Für Summen gibt es keine solche Regel:

a^{m}+a^{n}

lässt sich nicht zu

a^{m+n}

zusammenfassen.

Die Voraussetzung

a>0

ist beim rationalen Exponenten zentral:

(-8)^{1/2}

ist in

\mathbb{R}

nicht definiert, weil keine reelle Zahl quadriert

-8

ergibt. Und bei geraden Wurzeln gilt

\sqrt{a^{2}}=|a|

, nicht

a

- der Betrag erzwingt das nichtnegative Ergebnis.

In Anwendungen sind Potenzen die Sprache des prozentuellen Wachstums:

5\,\%

Zinsen pro Jahr entsprechen dem Wachstumsfaktor

1{,}05

, über

8

Jahre also

1{,}05^{8}

. Dieselbe Struktur kehrt bei den Exponentialfunktionen (Thema FA) und beim Zinseszins in WS wieder.

Anschaulich verschiebt jeder Schritt auf der Exponentenleiter den Wert um denselben Faktor - aus dem Multiplizieren von Werten wird das Addieren von Exponenten. Genau diese Übersetzung „mal wird plus" nutzt später der Logarithmus, der die Umkehrung liefert.

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\quad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

Potenzgesetze (gleiche Basis)

a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}},\quad a>0,\; n\in\mathbb{N}^{*}

Wurzel als rationaler Exponent

Musterbeispiel

Potenzen mit rationalem Exponenten zusammenfassen

Schreibe $\dfrac{\sqrt[3]{x^{4}}\cdot x^{2/3}}{\sqrt{x}}$ für $x>0$ als einzelne Potenz von $x$ .

Wurzeln als Potenzen
$\sqrt[3]{x^{4}}=x^{4/3}$ und $\sqrt{x}=x^{1/2}$ .
Zähler zusammenfassen
$x^{4/3}\cdot x^{2/3}=x^{4/3+2/3}=x^{2}$ .
Durch Nenner dividieren
$\dfrac{x^{2}}{x^{1/2}}=x^{2-1/2}=x^{3/2}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $x^{3/2}=\sqrt{x^{3}}$ für $x>0$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Wurzel ist nur eine andere Schreibweise für eine Potenz mit Bruchexponent.
2
Achte streng auf die Voraussetzung Basis größer Null, sonst gelten die Regeln nicht.
3
Vereinfache zuerst innerhalb, dann über die Potenzgesetze - so vermeidest du Vorzeichenfehler.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Welche der folgenden Schreibweisen sind äquivalent zu

a^{2/3}

für

a>0

? Kreuze alle zutreffenden Ausdrücke an.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$a^{m}\cdot b^{n}\neq (ab)^{m+n}$ - Gesetze nur bei gleicher Basis.
$\sqrt{a^{2}}=a$ für alle $a$ - korrekt ist $|a|$ .
Negative Basis mit rationalem Exponent: $(-2)^{1/2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht definiert.

Aktive Wiederholung

Schreibe $\sqrt[4]{a^{6}}\cdot \dfrac{1}{a^{1/2}}$ als einzelne Potenz von $a$ (mit $a>0$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)

Logarithmen als Umkehrung der Exponentialfunktion#

StandardAG-2.1FA-5.6

Exponential- und Logarithmusfunktion als Spiegelung an y=x

Abb. 4Die Graphen von

\mathrm{e}^{x}

und

\ln x

liegen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden

y=x

- das ist die geometrische Bedeutung der Umkehrfunktion.

Der Logarithmus beantwortet die Umkehrfrage zur Potenz:

\log_{a}(x)

ist genau der Exponent, mit dem man die Basis

a

potenzieren muss, um

x

zu erhalten - kurz

a^{\log_{a}(x)}=x

. Logarithmieren und Potenzieren heben einander auf; deshalb ist der Graph von

\ln x

die an der Winkelhalbierenden

y=x

gespiegelte

\mathrm{e}

-Funktion.

Der natürliche Logarithmus

\ln x=\log_{\mathrm{e}}x

zur Basis

\mathrm{e}\approx 2{,}718

ist der Standard in Differentialrechnung und Wachstumsmodellen, weil seine Ableitung

\tfrac{1}{x}

und die von

\mathrm{e}^{x}

wieder

\mathrm{e}^{x}

besonders einfach sind.

Die Logarithmusgesetze sind die Potenzgesetze in Spiegelung: Ein Produkt wird zur Summe (

\log(xy)=\log x+\log y

), ein Quotient zur Differenz, eine Potenz zum Faktor (

\log(x^{r})=r\log x

). Diese Verwandlung „mal wird plus" ist der Grund, warum man eine Unbekannte aus dem Exponenten überhaupt herausholen kann.

Über den Basiswechsel

\log_{a}(x)=\tfrac{\ln x}{\ln a}

lässt sich jede Basis auf

\ln

(oder

\log_{10}

) zurückführen - praktisch, weil der Taschenrechner nur diese beiden Tasten besitzt.

Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert;

\ln(x-3)

verlangt also

x>3

. Diese Bedingung schränkt den Definitions- und Lösungsbereich vieler Aufgaben ein und ist häufig die eigentliche Hürde.

Die Standardanwendung ist das Lösen von Exponentialgleichungen: Aus

a\cdot\mathrm{e}^{kx}=b

wird durch Dividieren und Logarithmieren

x=\tfrac{1}{k}\ln\tfrac{b}{a}

. So ergeben sich Verdopplungszeit

t=\tfrac{\ln 2}{k}

und Halbwertszeit - die Brücke zu den Wachstumsmodellen (Thema FA).

\log(xy)=\log x+\log y,\quad \log\!\frac{x}{y}=\log x-\log y,\quad \log(x^{r})=r\log x

Logarithmusgesetze (x, y > 0)

\log_{a}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}

Basiswechselformel

t_{2}=\dfrac{\ln 2}{k}

Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum mit Rate k

Musterbeispiel

Halbwertszeit aus Zerfallsgleichung

Eine Substanz zerfällt gemäß $N(t)=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{-0{,}05\,t}$ (Zeit in Jahren). Bestimme die Halbwertszeit.

Halbwertsgleichung
$\tfrac{N_{0}}{2}=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{-0{,}05\,t}$ - durch $N_{0}$ teilen.
Logarithmieren
$\ln(\tfrac{1}{2})=-0{,}05\,t$ , also $t=-\dfrac{\ln(1/2)}{0{,}05}=\dfrac{\ln 2}{0{,}05}$ .
Numerisch
$t\approx 13{,}86$ Jahre.
$t=\dfrac{\ln 2}{0{,}05}\approx 13{,}86$

Ergebnis: Die Halbwertszeit beträgt rund $13{,}9$ Jahre.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Logarithmus beantwortet die Frage: mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, um diesen Wert zu erhalten?
2
Setze beim Lösen $\ln$ auf beiden Seiten an und nutze $\ln(\mathrm{e}^{x})=x$ .
3
Prüfe immer den Definitionsbereich: das Argument im Logarithmus muss positiv sein.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Gleichung

3\cdot a^{x}=12

mit

a>0

,

a\neq 1

. Drücke

x

als Funktion von

a

aus.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\ln(a+b)$ wird zu $\ln a+\ln b$ verfälscht.
Lösung negativer Argumente wird nicht ausgeschlossen.
Basiswechsel wird mit dem falschen Bruch ausgeführt: $\tfrac{\ln a}{\ln x}$ .

Aktive Wiederholung

Löse $5\cdot \mathrm{e}^{0{,}12\,t}=200$ nach $t$ auf und gib den Wert auf zwei Nachkommastellen an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzkatalog AG 2.1 (IQS)

Intervalle, Mengen und Schreibweisen#

BasisAG-1.1

Intervall [-2, 5) auf der Zahlengeraden

Abb. 5Voller Punkt = Rand eingeschlossen (eckige Klammer), offener Ring = Rand ausgeschlossen (runde Klammer).

Intervalle bündeln alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Ein abgeschlossenes Intervall

[a,b]

enthält seine Randpunkte (eckige Klammer, voller Punkt auf der Zahlengeraden), ein offenes

(a,b)

schließt sie aus (runde Klammer, offener Ring); die halboffene Mischform

[a,b)

tritt in Lösungsmengen besonders häufig auf.

Jedes Intervall lässt sich gleichwertig als Menge schreiben:

[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x<b\}

. Die Wahl der Klammer entscheidet also unmittelbar über

\le

oder

<

in der Bedingung - ein häufiger Stolperstein bei der Punktevergabe.

Mengen verknüpft man mit Vereinigung

A\cup B

(mindestens eine Bedingung erfüllt), Durchschnitt

A\cap B

(beide zugleich) und Differenz

A\setminus B

(in

A

, aber nicht in

B

). Genau diese Operationen liefern die Lösungsmengen zusammengesetzter Ungleichungen.

Unbeschränkte Intervalle schreibt man mit

\infty

immer mit runder Klammer:

[3,\infty)

, niemals

[3,\infty]

- denn

\infty

ist keine erreichbare Zahl und kann nie selbst Randpunkt sein.

Definitionsbereiche erscheinen oft als Vereinigung mehrerer Intervalle:

\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)

ist der Definitionsbereich von

\tfrac{1}{x}

. Eine herausgenommene Stelle wird also zu zwei offenen Rändern.

Die leere Menge

\emptyset

ist schließlich die Lösungsmenge einer unerfüllbaren Bedingung; sie ist streng von

\{0\}

zu unterscheiden, das die eine Zahl

0

enthält.

[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\},\quad (a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}

Intervall- und Mengenschreibweise

Musterbeispiel

Definitionsbereich als Intervallvereinigung

Bestimme den Definitionsbereich von $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ und schreibe ihn als Intervall.

Wurzelbedingung
Der Radikand muss nichtnegativ sein: $x-2\ge 0$ .
Nennerbedingung
Der Nenner darf nicht Null sein, also $\sqrt{x-2}\neq 0$ , somit $x-2>0$ .
Zusammenführen
Beide Bedingungen verlangen $x>2$ .

Ergebnis: Definitionsbereich: $D=(2,\infty)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eckige Klammern schliessen den Rand ein, runde Klammern schliessen ihn aus.
2
Lösungsmengen von Ungleichungen lassen sich als Intervall oder als Menge gleichwertig schreiben.
3
Bei Unendlich steht immer eine runde Klammer, da Unendlich kein erreichbarer Wert ist.

Typische Fehler

Eckige Klammer bei $\infty$ verwendet.
Offenes und abgeschlossenes Intervall verwechselt, dadurch Randpunkt fälschlich ein- oder ausgeschlossen.
$A\setminus B$ als $B\setminus A$ berechnet (Reihenfolge der Differenz).

Aktive Wiederholung

Gib die Lösungsmenge von $-2\le x<5$ sowohl in Intervall- als auch in Mengenschreibweise an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik, Kompetenzbereich Algebra und Geometrie (BMBWF / RIS)

Betrag, Runden und Näherungswerte#

BasisAG-1.2

Betragsfunktion f(x)=|x|

Abb. 6V-förmiger Graph: für

x\ge 0

ist

f(x)=x

, für

x<0

ist

f(x)=-x

; im Knick bei

0

ist

f

stetig, aber nicht differenzierbar.

Der Betrag

|a|

misst den Abstand einer Zahl von Null auf der Zahlengeraden und ist deshalb nie negativ - so ist

|{-7}|=7

ebenso wie

|7|=7

. Als Funktion betrachtet liefert

f(x)=|x|

den charakteristischen V-Graphen mit Knick im Ursprung.

Rechnerisch ist der Betrag eine Fallunterscheidung:

|a|=a

für

a\ge 0

und

|a|=-a

für

a<0

. Betragsgleichungen wie

|x-2|=5

löst man daher in zwei Fällen (

x-2=5

und

x-2=-5

) und prüft jede Lösung mit einer Probe.

Beim Runden auf

n

Nachkommastellen entscheidet die erste wegfallende Ziffer: Ist sie

\ge 5

, wird aufgerundet, sonst ab. Entscheidend ist, erst das Endergebnis zu runden - frühes Runden von Zwischenwerten pflanzt sich als Rundungsfehler fort.

Signifikante Stellen zählen ab der ersten von Null verschiedenen Ziffer; die Messgenauigkeit begrenzt, wie viele davon überhaupt sinnvoll sind. Ein Ergebnis darf nie genauer wirken als die ungenaueste Eingangsgröße.

Der absolute Fehler

|x_{\text{exakt}}-x_{\text{näherung}}|

gibt die Abweichung in der Originaleinheit an; der relative Fehler setzt ihn ins Verhältnis zum exakten Wert und macht so verschieden große Werte vergleichbar (meist als Prozentwert).

Anschaulich beantwortet der absolute Fehler „um wie viel?", der relative „um wie viel im Verhältnis zur Größe?". Eine Abweichung von

3

ist bei einem Wert von

200

klein (

1{,}5\,\%

), bei einem Wert von

5

jedoch gewaltig (

60\,\%

).

|a|=\begin{cases} a & a\ge 0 \\ -a & a<0 \end{cases}

Betrag als Fallunterscheidung

\text{relativer Fehler}=\dfrac{|x_{\text{exakt}}-x_{\text{näherung}}|}{|x_{\text{exakt}}|}

Relativer Fehler

Musterbeispiel

Absoluter und relativer Fehler

Der exakte Wert ist $200$ , gemessen wurden $197$ . Bestimme absoluten und relativen Fehler.

Absoluter Fehler
$|200-197|=3$ .
Relativer Fehler
$\dfrac{3}{200}=0{,}015$ .
In Prozent
$0{,}015=1{,}5\,\%$ .

Ergebnis: Absoluter Fehler $3$ , relativer Fehler $1{,}5\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Betrag misst den Abstand zur Null und ist daher nie negativ.
2
Beim Runden rundet eine erste wegfallende Ziffer ab fünf aufwärts auf.
3
Der relative Fehler setzt den absoluten Fehler ins Verhältnis zum exakten Wert und macht Genauigkeiten vergleichbar.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Längenmessung wird

\ell_{\text{mess}}=49{,}2\ \text{cm}

abgelesen; der exakte Wert beträgt

\ell=50\ \text{cm}

. Berechne den absoluten und den relativen Fehler (in Prozent).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$|a|=a$ auch für negative $a$ angenommen.
Zwischenergebnisse zu früh gerundet, dadurch Rundungsfehler verstärkt.
Relativen Fehler mit dem absoluten Fehler verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Messung ergibt $\ell=12{,}47$ m, der exakte Wert ist $12{,}5$ m. Berechne absoluten und relativen Fehler und runde sinnvoll.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzen Mathematik AHS (IQS)