DE-Abitur · PhysikT·055 / 10

Elektrische und magnetische Felder

Modelle elektrischer und magnetischer Felder, Kräfte, Potentialvorstellung, Plattenkondensator, Bewegung geladener Teilchen in Feldern. KMK-Inhaltsbereich Felder (2.6.1).

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3Kompetenzen

S-5 · Feldmodelle als zentrale Strukturen elektromagnetischer Phänomene anwendenE-6 · Bewegung geladener Teilchen experimentell verfolgen und quantitativ auswertenB-2 · Technische Anwendungen elektrischer und magnetischer Felder bewerten

Operatoren:analysieren · berechnen · erläutern · begründen · beurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Elektrostatik, Plattenkondensator, magnetische Wirkung und Lorentzkraft auf Standardbahnen anwenden.

erhöhtes Niveau

eA: Potentialfunktion, Energieumsatz im Kondensator, Zyklotronfrequenz und gekoppelte E-/B-Felder (Geschwindigkeitsfilter).

Inhalt · 6 Abschnitte

Elektrische und magnetische Felder

Elektrostatik — Coulomb-Gesetz und Feldstärke#

Basisfelder

Kernpunkte

Coulomb-Gesetz: $F_C = q_1 q_2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ — formal analog zur Gravitation, aber Ladungen sind vorzeichenbehaftet.
Elektrische Feldstärke $\vec E = \vec F/q$ — Kraft pro Probeladung.
Feldlinien laufen von $+$ nach $-$ ; im Plattenkondensator nahezu homogen.
Im homogenen Feld: $U = E\,d$ ; $E = U/d$ daher gut messbar.
Elementarladung $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ; Ladung ist quantisiert.
Superpositionsprinzip: Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

COULOMB-GESETZ

F_C = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ .

ELEKTRISCHE FELDSTÄRKE

\vec E = \dfrac{\vec F}{q},\quad U = E\,d\;\text{(homogen)}

PLATTENKONDENSATOR — HOMOGENES E-FELD

Welche drei Beschriftungen in "Plattenkondensator — homogenes E-Feld" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Typische Fehler

$1/r$ statt $1/r^2$ in Coulomb verwendet.
Vorzeichen der Ladungen nicht berücksichtigt — abstossend/anziehend verwechselt.
$E$ und $U$ verwechselt; $U = E\,d$ nur im homogenen Feld.
Skalare statt vektorielle Addition mehrerer Felder.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Feld einer punktsymmetrischen Ladungsverteilung — wann gilt das Coulomb-Feld auch ausserhalb einer leitenden Kugel?

Potential, Spannung und Energie im E-Feld#

Standardfelder

Kernpunkte

Elektrisches Potential $\varphi(r)$ als Bezugsgröße — Spannung $U = \varphi_1 - \varphi_2$ .
Punktladung erzeugt Potential $\varphi(r) = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ .
Energie einer Probeladung: $W = q\,U$ .
Im homogenen Feld: kinetische Energie eines beschleunigten Elektrons $E_{\text{kin}} = e U$ — Beschleunigungsspannung.
Elektronenvolt: $1\,\text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J}$ .
Äquipotentialflächen stehen senkrecht zu den Feldlinien.

COULOMB-POTENTIAL EINER PUNKTLADUNG

\varphi(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}

ELEKTRON IM BESCHLEUNIGUNGSFELD

E_{\text{kin}} = e\,U

Musterlösung

Beschleunigungsspannung im Elektronenstrahl

$U = 400\,\text{V}$ , Elektronenmasse $m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ .

Energieansatz
$e U = \tfrac{1}{2} m_e v^2$ .
Geschwindigkeit
$v = \sqrt{2 e U/m_e} = \sqrt{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 400/9{,}11\cdot 10^{-31}} \approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ .
Relativistisch?
$v/c \approx 0{,}040$ — klassische Näherung ist mit Fehler $< 0{,}1\%$ ausreichend.

Ergebnis: Endgeschwindigkeit $\approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ — klassische Behandlung in Ordnung.

Typische Fehler

Potential und Spannung gleichgesetzt.
Elektron mit $-e$ statt $|e|$ in $E_{\text{kin}} = e U$ berücksichtigt — Vorzeichen-Fehler.
Im freien Raum Bezugsniveau im Endlichen statt im Unendlichen gewählt.
Energieeinheit eV mit J vermischt ohne Umrechnung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Potential einer Hohlkugel mit Oberflächenladung — innen konstantes Potential, aussen Coulomb-Form.

Kondensator und Energiespeicher#

Standardfelder

Kernpunkte

Kapazität $C = Q/U$ ; SI-Einheit Farad: $1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}$ .
Plattenkondensator: $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ ; Dielektrikum erhöht $C$ um Faktor $\varepsilon_r$ .
Energie: $E_C = \tfrac{1}{2} C U^2 = \tfrac{1}{2} Q U = \tfrac{Q^2}{2 C}$ .
Energiedichte im Feld: $w = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$ .
Reihenschaltung: $1/C_{\text{ges}} = \sum 1/C_i$ ; Parallel: $C_{\text{ges}} = \sum C_i$ .
Aufladung an RC: $U_C(t) = U_0(1 - e^{-t/(RC)})$ , Entladung: $U_C(t) = U_0 e^{-t/(RC)}$ .

KAPAZITÄT EINES KONDENSATORS

C = \dfrac{Q}{U},\quad C_{\text{Platte}} = \varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}

ENTLADUNG AM RC-GLIED

U_C(t) = U_0\,e^{-t/(RC)}

RC-ENTLADUNG — EXPONENTIELLER VERLAUF

Welche drei Beschriftungen in "RC-Entladung — exponentieller Verlauf" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Spannung am Kondensator fällt nach

U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}

; nach

\tau = RC

ist

U

auf

36{,}8\%

abgefallen.

SPANNUNGSVERLAUF U(T) = U₀ E⁻T/(RC) AM KONDENSATOR

Nach einer Zeitkonstanten \tau = RC ist U(t) auf 1/e ≈36,8\% gefallen.

Typische Fehler

$E_C = \tfrac{1}{2} Q U$ und $E_C = Q U$ vermischt.
Reihen- und Parallelschaltungsformeln vertauscht.
Dielektrikum vergessen, obwohl gegeben.
Zeitkonstante $\tau$ als „Aufladezeit" $T$ interpretiert — nach $\tau$ ist erst $63\%$ erreicht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ und quantitativ den Energieumsatz beim Einschieben eines Dielektrikums bei (a) konstanter Spannung und (b) konstanter Ladung.

Magnetfelder und Lorentz-Kraft#

Standardfelder

Kernpunkte

Magnetfeld $\vec B$ — Einheit Tesla ( $1\,\text{T} = 1\,\text{V}\,\text{s}/\text{m}^2$ ).
Felder erzeugt durch bewegte Ladungen / Ströme; um geraden Leiter: $B = \mu_0 I/(2\pi r)$ .
Lange Spule: $B = \mu_0\,N\,I/L$ — homogen im Inneren.
Lorentz-Kraft auf geladenes Teilchen: $\vec F_L = q\vec v\times\vec B$ ; senkrecht zu $\vec v$ und $\vec B$ .
Kreisbahn im B-Feld: $r = m v/(q B)$ , Zyklotronfrequenz $f_c = q B/(2\pi m)$ .
Anwendungen: Massenspektrometer, Zyklotron, Hall-Effekt, Lautsprecher.

LORENTZ-KRAFT

\vec F_L = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)

BAHNRADIUS IM MAGNETFELD

r = \dfrac{m\,v}{q\,B}

MAGNETFELD EINER STROMDURCHFLOSSENEN SPULE

Welche drei Beschriftungen in "Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Im Inneren homogen, außen wie ein Stabmagnet; Rechte-Faust-Regel zur Orientierung.

Musterlösung

Millikan-Versuch — Ladung eines Öltröpfchens

Ein geladenes Öltröpfchen schwebt im Plattenkondensator zwischen Platten im Abstand $d = 6{,}0\,\text{mm}$ bei einer Spannung $U = 250\,\text{V}$ . Bestimmen Sie die Ladung des Tröpfchens, wenn dessen Masse $m = 2{,}4\cdot 10^{-15}\,\text{kg}$ beträgt.

Schritt 1 — Gleichgewichtsbedingung
Im Schwebezustand kompensieren sich Gewichtskraft und elektrische Kraft: $q E = m g$ .
Schritt 2 — Feldstärke
$E = U/d = 250/0{,}006 \approx 4{,}17\cdot 10^4\,\text{V/m}$ .
Schritt 3 — Ladung berechnen
$q = m g/E = 2{,}4\cdot 10^{-15}\cdot 9{,}81/(4{,}17\cdot 10^4) \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ .
$q = \dfrac{m\,g}{E}$
Schritt 4 — Interpretieren
$q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ entspricht etwa $3{,}5\,e$ (mit $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ) und liegt damit zwischen $3\,e$ und $4\,e$ . Reale Millikan-Datensätze ergeben stets ganzzahlige Vielfache der Elementarladung — Indiz für Ladungsquantisierung; ein einzelner Zwischenwert spiegelt nur die Messunsicherheit wider.

Ergebnis: Ladung $q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C} \approx 3{,}5\,e$ — im Idealfall ergäbe sich ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung.

Musterlösung

Kreisbahn eines Elektrons im Magnetfeld

Ein Elektron tritt mit $v = 2{,}0\cdot 10^7\,\text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 5{,}0\,\text{mT}$ ein. Berechnen Sie Bahnradius und Umlauffrequenz.

Schritt 1 — Kraftansatz
Lorentz-Kraft = Zentripetalkraft: $e v B = m_e v^2/r$ .
$r = \dfrac{m_e\,v}{e\,B}$
Schritt 2 — Zahlenwerte
$r = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}0\cdot 10^7/(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}28\cdot 10^{-2}\,\text{m}$ .
Schritt 3 — Zyklotronfrequenz
$f_c = e B/(2\pi m_e) = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}/(2\pi\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}) \approx 1{,}40\cdot 10^8\,\text{Hz}$ .
$f_c = \dfrac{e\,B}{2\pi\,m_e}$
Schritt 4 — Interpretieren
Bahnradius $\approx 2{,}3\,\text{cm}$ ist typisch für Massenspektrometer; Zyklotronfrequenz $\sim 140\,\text{MHz}$ liegt im UKW-Bereich.

Ergebnis: Bahnradius $r \approx 2{,}3\,\text{cm}$ , Zyklotronfrequenz $f_c \approx 140\,\text{MHz}$ .

Typische Fehler

Lorentz-Kraft parallel zu $\vec v$ angesetzt — die Kraft steht senkrecht.
Rechte-Hand-Regel für negative Ladungen falsch herum.
Magnetische Feldstärke $H$ mit Flussdichte $B$ vermischt.
In der Zyklotronfrequenz $\omega = qB/m$ statt $f = qB/(2\pi m)$ falsch zugeordnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus der Lorentz-Kraft die Funktionsweise des Geschwindigkeitsfilters her und zeigen Sie, dass nur Teilchen der Geschwindigkeit $v = E/B$ geradlinig durchfliegen.

Geladene Teilchen in gekreuzten Feldern#

Vertiefungfelder

Kernpunkte

Wien-Filter: gekreuzte $\vec E$ - und $\vec B$ -Felder; nur Teilchen mit $v = E/B$ passieren geradlinig.
Massenspektrometer: nach Wien-Filter folgt ein homogenes B-Feld zur Massentrennung.
Hall-Effekt: in stromdurchflossenem Leiter im Magnetfeld baut sich Querspannung $U_H = I B/(n q d)$ auf.
Quantenmechanischer Hall-Effekt liefert universelles Widerstandsnormal.
Anwendungen: Hall-Sensoren in Smartphones, magnetische Strommessung.

WIEN-FILTER GESCHWINDIGKEIT

v_{\text{Wien}} = \dfrac{E}{B}

HALL-SPANNUNG

U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}

Typische Fehler

Wien-Filter-Geschwindigkeit als $v = B/E$ statt $E/B$ .
Hall-Spannung mit Strom- und Magnetfeldrichtung vertauscht.
Massenspektrometer ohne Geschwindigkeitsfilter angewendet — uneindeutiger Bahnradius.
Quantenmechanischen Hall-Effekt mit klassischem verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ den ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt und seine Bedeutung als Widerstandsnormal $R_K = h/e^2$ .

Geladene Teilchen im transversalen E-Feld — Ablenkröhre#

Vertiefungfelder

Kernpunkte

Tritt ein Elektron mit $v_x$ quer in ein homogenes Feld $E$ zwischen Ablenkplatten der Länge $\ell$ , wirkt nur eine konstante Querkraft $F = eE$ — Analogon zum waagerechten Wurf.
Längs der Platten: gleichförmige Bewegung $x = v_x t$ ; quer dazu: gleichmäßig beschleunigt $y = \tfrac{1}{2}(eE/m_e)\,t^2$ — die Bahn ist eine Parabel.
Querablenkung am Plattenende: $y = \dfrac{e E \ell^2}{2 m_e v_x^2}$ ; danach fliegt das Elektron geradlinig zum Schirm weiter.
Die Eintrittsgeschwindigkeit $v_x$ stammt aus einer Beschleunigungsspannung $U_B$ via $\tfrac{1}{2} m_e v_x^2 = e U_B$ .
Auf dem Schirm im Abstand $L$ ergibt sich die Gesamtauslenkung näherungsweise proportional zur Ablenkspannung $U_y$ — Grundlage des Oszilloskops.
Im kombinierten Längs- und Querfeld lässt sich die spezifische Ladung $e/m_e$ aus den Geometrie- und Spannungswerten bestimmen.

QUERABLENKUNG AM PLATTENENDE

y = \dfrac{e\,E\,\ell^2}{2\,m_e\,v_x^2} = \dfrac{U_y\,\ell^2}{4\,d\,U_B}

PLATTENKONDENSATOR — HOMOGENES E-FELD

Welche drei Beschriftungen in "Plattenkondensator — homogenes E-Feld" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Musterlösung

Ablenkung im Plattenkondensator

$U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ , $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ , $d = 2{,}0\,\text{cm}$ , $U_y = 300\,\text{V}$ .

Ansatz
Mit $\tfrac{1}{2}m_e v_x^2 = e U_B$ und $E = U_y/d$ folgt die kompakte Form $y = U_y\ell^2/(4 d U_B)$ .
Zahlenwerte einsetzen
$y = 300 \cdot (0{,}06)^2 / (4 \cdot 0{,}02 \cdot 2000) = 300 \cdot 3{,}6\cdot 10^{-3} / 160$ .
Ergebnis
$y = 1{,}08 / 160 \approx 6{,}75\cdot 10^{-3}\,\text{m} \approx 6{,}8\,\text{mm}$ .
Interpretieren
Die Auslenkung $6{,}8\,\text{mm}$ bleibt unter dem halben Plattenabstand ( $10\,\text{mm}$ ) — das Elektron verlässt die Platten gerade nicht und trifft den Schirm.

Ergebnis: Querablenkung am Plattenende $y \approx 6{,}8\,\text{mm}$ ; das Elektron passiert die Platten.

Typische Fehler

Querbewegung als gleichförmig statt gleichmäßig beschleunigt behandelt.
Beschleunigungs- und Ablenkspannung verwechselt.
Bahn nach dem Plattenende noch als Parabel statt als Gerade fortgesetzt.
Plattenlänge $\ell$ und Schirmabstand $L$ in der Auslenkungsformel vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie eine Bestimmungsgleichung für die spezifische Ladung $e/m_e$ aus den messbaren Größen $U_B$ , $U_y$ , $\ell$ , $d$ und der Schirmauslenkung her.

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Elektrische und magnetische Felder

Modelle elektrischer und magnetischer Felder, Kräfte, Potentialvorstellung, Plattenkondensator, Bewegung geladener Teilchen in Feldern. KMK-Inhaltsbereich Felder (2.6.1).

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3Kompetenzen

Operatoren:analysieren · berechnen · erläutern · begründen · beurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Elektrostatik, Plattenkondensator, magnetische Wirkung und Lorentzkraft auf Standardbahnen anwenden.

erhöhtes Niveau

eA: Potentialfunktion, Energieumsatz im Kondensator, Zyklotronfrequenz und gekoppelte E-/B-Felder (Geschwindigkeitsfilter).

Elektrostatik — Coulomb-Gesetz und Feldstärke#

Basisfelder

Kernpunkte

Coulomb-Gesetz: $F_C = q_1 q_2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ — formal analog zur Gravitation, aber Ladungen sind vorzeichenbehaftet.
Elektrische Feldstärke $\vec E = \vec F/q$ — Kraft pro Probeladung.
Feldlinien laufen von $+$ nach $-$ ; im Plattenkondensator nahezu homogen.
Im homogenen Feld: $U = E\,d$ ; $E = U/d$ daher gut messbar.
Elementarladung $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ; Ladung ist quantisiert.
Superpositionsprinzip: Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

COULOMB-GESETZ

F_C = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ .

ELEKTRISCHE FELDSTÄRKE

\vec E = \dfrac{\vec F}{q},\quad U = E\,d\;\text{(homogen)}

PLATTENKONDENSATOR — HOMOGENES E-FELD

Welche drei Beschriftungen in "Plattenkondensator — homogenes E-Feld" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Typische Fehler

$1/r$ statt $1/r^2$ in Coulomb verwendet.
Vorzeichen der Ladungen nicht berücksichtigt — abstossend/anziehend verwechselt.
$E$ und $U$ verwechselt; $U = E\,d$ nur im homogenen Feld.
Skalare statt vektorielle Addition mehrerer Felder.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Feld einer punktsymmetrischen Ladungsverteilung — wann gilt das Coulomb-Feld auch ausserhalb einer leitenden Kugel?

Potential, Spannung und Energie im E-Feld#

Standardfelder

Kernpunkte

Elektrisches Potential $\varphi(r)$ als Bezugsgröße — Spannung $U = \varphi_1 - \varphi_2$ .
Punktladung erzeugt Potential $\varphi(r) = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ .
Energie einer Probeladung: $W = q\,U$ .
Im homogenen Feld: kinetische Energie eines beschleunigten Elektrons $E_{\text{kin}} = e U$ — Beschleunigungsspannung.
Elektronenvolt: $1\,\text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J}$ .
Äquipotentialflächen stehen senkrecht zu den Feldlinien.

COULOMB-POTENTIAL EINER PUNKTLADUNG

\varphi(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}

ELEKTRON IM BESCHLEUNIGUNGSFELD

E_{\text{kin}} = e\,U

Musterlösung

Beschleunigungsspannung im Elektronenstrahl

$U = 400\,\text{V}$ , Elektronenmasse $m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ .

Energieansatz
$e U = \tfrac{1}{2} m_e v^2$ .
Geschwindigkeit
$v = \sqrt{2 e U/m_e} = \sqrt{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 400/9{,}11\cdot 10^{-31}} \approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ .
Relativistisch?
$v/c \approx 0{,}040$ — klassische Näherung ist mit Fehler $< 0{,}1\%$ ausreichend.

Ergebnis: Endgeschwindigkeit $\approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ — klassische Behandlung in Ordnung.

Typische Fehler

Potential und Spannung gleichgesetzt.
Elektron mit $-e$ statt $|e|$ in $E_{\text{kin}} = e U$ berücksichtigt — Vorzeichen-Fehler.
Im freien Raum Bezugsniveau im Endlichen statt im Unendlichen gewählt.
Energieeinheit eV mit J vermischt ohne Umrechnung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Potential einer Hohlkugel mit Oberflächenladung — innen konstantes Potential, aussen Coulomb-Form.

Kondensator und Energiespeicher#

Standardfelder

Kernpunkte

Kapazität $C = Q/U$ ; SI-Einheit Farad: $1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}$ .
Plattenkondensator: $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ ; Dielektrikum erhöht $C$ um Faktor $\varepsilon_r$ .
Energie: $E_C = \tfrac{1}{2} C U^2 = \tfrac{1}{2} Q U = \tfrac{Q^2}{2 C}$ .
Energiedichte im Feld: $w = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$ .
Reihenschaltung: $1/C_{\text{ges}} = \sum 1/C_i$ ; Parallel: $C_{\text{ges}} = \sum C_i$ .
Aufladung an RC: $U_C(t) = U_0(1 - e^{-t/(RC)})$ , Entladung: $U_C(t) = U_0 e^{-t/(RC)}$ .

KAPAZITÄT EINES KONDENSATORS

C = \dfrac{Q}{U},\quad C_{\text{Platte}} = \varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}

ENTLADUNG AM RC-GLIED

U_C(t) = U_0\,e^{-t/(RC)}

RC-ENTLADUNG — EXPONENTIELLER VERLAUF

Welche drei Beschriftungen in "RC-Entladung — exponentieller Verlauf" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Spannung am Kondensator fällt nach

U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}

; nach

\tau = RC

ist

U

auf

36{,}8\%

abgefallen.

SPANNUNGSVERLAUF U(T) = U₀ E⁻T/(RC) AM KONDENSATOR

Nach einer Zeitkonstanten \tau = RC ist U(t) auf 1/e ≈36,8\% gefallen.

Typische Fehler

$E_C = \tfrac{1}{2} Q U$ und $E_C = Q U$ vermischt.
Reihen- und Parallelschaltungsformeln vertauscht.
Dielektrikum vergessen, obwohl gegeben.
Zeitkonstante $\tau$ als „Aufladezeit" $T$ interpretiert — nach $\tau$ ist erst $63\%$ erreicht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ und quantitativ den Energieumsatz beim Einschieben eines Dielektrikums bei (a) konstanter Spannung und (b) konstanter Ladung.

Magnetfelder und Lorentz-Kraft#

Standardfelder

Kernpunkte

Magnetfeld $\vec B$ — Einheit Tesla ( $1\,\text{T} = 1\,\text{V}\,\text{s}/\text{m}^2$ ).
Felder erzeugt durch bewegte Ladungen / Ströme; um geraden Leiter: $B = \mu_0 I/(2\pi r)$ .
Lange Spule: $B = \mu_0\,N\,I/L$ — homogen im Inneren.
Lorentz-Kraft auf geladenes Teilchen: $\vec F_L = q\vec v\times\vec B$ ; senkrecht zu $\vec v$ und $\vec B$ .
Kreisbahn im B-Feld: $r = m v/(q B)$ , Zyklotronfrequenz $f_c = q B/(2\pi m)$ .
Anwendungen: Massenspektrometer, Zyklotron, Hall-Effekt, Lautsprecher.

LORENTZ-KRAFT

\vec F_L = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)

BAHNRADIUS IM MAGNETFELD

r = \dfrac{m\,v}{q\,B}

MAGNETFELD EINER STROMDURCHFLOSSENEN SPULE

Welche drei Beschriftungen in "Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Im Inneren homogen, außen wie ein Stabmagnet; Rechte-Faust-Regel zur Orientierung.

Musterlösung

Millikan-Versuch — Ladung eines Öltröpfchens

Schritt 1 — Gleichgewichtsbedingung
Im Schwebezustand kompensieren sich Gewichtskraft und elektrische Kraft: $q E = m g$ .
Schritt 2 — Feldstärke
$E = U/d = 250/0{,}006 \approx 4{,}17\cdot 10^4\,\text{V/m}$ .
Schritt 3 — Ladung berechnen
$q = m g/E = 2{,}4\cdot 10^{-15}\cdot 9{,}81/(4{,}17\cdot 10^4) \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ .
$q = \dfrac{m\,g}{E}$
Schritt 4 — Interpretieren
$q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ entspricht etwa $3{,}5\,e$ (mit $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ) und liegt damit zwischen $3\,e$ und $4\,e$ . Reale Millikan-Datensätze ergeben stets ganzzahlige Vielfache der Elementarladung — Indiz für Ladungsquantisierung; ein einzelner Zwischenwert spiegelt nur die Messunsicherheit wider.

Ergebnis: Ladung $q \approx 5{,}65\cdot 10^{-19}\,\text{C} \approx 3{,}5\,e$ — im Idealfall ergäbe sich ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung.

Musterlösung

Kreisbahn eines Elektrons im Magnetfeld

Ein Elektron tritt mit $v = 2{,}0\cdot 10^7\,\text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 5{,}0\,\text{mT}$ ein. Berechnen Sie Bahnradius und Umlauffrequenz.

Schritt 1 — Kraftansatz
Lorentz-Kraft = Zentripetalkraft: $e v B = m_e v^2/r$ .
$r = \dfrac{m_e\,v}{e\,B}$
Schritt 2 — Zahlenwerte
$r = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}0\cdot 10^7/(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}28\cdot 10^{-2}\,\text{m}$ .
Schritt 3 — Zyklotronfrequenz
$f_c = e B/(2\pi m_e) = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}/(2\pi\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}) \approx 1{,}40\cdot 10^8\,\text{Hz}$ .
$f_c = \dfrac{e\,B}{2\pi\,m_e}$
Schritt 4 — Interpretieren
Bahnradius $\approx 2{,}3\,\text{cm}$ ist typisch für Massenspektrometer; Zyklotronfrequenz $\sim 140\,\text{MHz}$ liegt im UKW-Bereich.

Ergebnis: Bahnradius $r \approx 2{,}3\,\text{cm}$ , Zyklotronfrequenz $f_c \approx 140\,\text{MHz}$ .

Typische Fehler

Lorentz-Kraft parallel zu $\vec v$ angesetzt — die Kraft steht senkrecht.
Rechte-Hand-Regel für negative Ladungen falsch herum.
Magnetische Feldstärke $H$ mit Flussdichte $B$ vermischt.
In der Zyklotronfrequenz $\omega = qB/m$ statt $f = qB/(2\pi m)$ falsch zugeordnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus der Lorentz-Kraft die Funktionsweise des Geschwindigkeitsfilters her und zeigen Sie, dass nur Teilchen der Geschwindigkeit $v = E/B$ geradlinig durchfliegen.

Geladene Teilchen in gekreuzten Feldern#

Vertiefungfelder

Kernpunkte

Wien-Filter: gekreuzte $\vec E$ - und $\vec B$ -Felder; nur Teilchen mit $v = E/B$ passieren geradlinig.
Massenspektrometer: nach Wien-Filter folgt ein homogenes B-Feld zur Massentrennung.
Hall-Effekt: in stromdurchflossenem Leiter im Magnetfeld baut sich Querspannung $U_H = I B/(n q d)$ auf.
Quantenmechanischer Hall-Effekt liefert universelles Widerstandsnormal.
Anwendungen: Hall-Sensoren in Smartphones, magnetische Strommessung.

WIEN-FILTER GESCHWINDIGKEIT

v_{\text{Wien}} = \dfrac{E}{B}

HALL-SPANNUNG

U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}

Typische Fehler

Wien-Filter-Geschwindigkeit als $v = B/E$ statt $E/B$ .
Hall-Spannung mit Strom- und Magnetfeldrichtung vertauscht.
Massenspektrometer ohne Geschwindigkeitsfilter angewendet — uneindeutiger Bahnradius.
Quantenmechanischen Hall-Effekt mit klassischem verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ den ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt und seine Bedeutung als Widerstandsnormal $R_K = h/e^2$ .

Geladene Teilchen im transversalen E-Feld — Ablenkröhre#

Vertiefungfelder

Kernpunkte

Tritt ein Elektron mit $v_x$ quer in ein homogenes Feld $E$ zwischen Ablenkplatten der Länge $\ell$ , wirkt nur eine konstante Querkraft $F = eE$ — Analogon zum waagerechten Wurf.
Längs der Platten: gleichförmige Bewegung $x = v_x t$ ; quer dazu: gleichmäßig beschleunigt $y = \tfrac{1}{2}(eE/m_e)\,t^2$ — die Bahn ist eine Parabel.
Querablenkung am Plattenende: $y = \dfrac{e E \ell^2}{2 m_e v_x^2}$ ; danach fliegt das Elektron geradlinig zum Schirm weiter.
Die Eintrittsgeschwindigkeit $v_x$ stammt aus einer Beschleunigungsspannung $U_B$ via $\tfrac{1}{2} m_e v_x^2 = e U_B$ .
Auf dem Schirm im Abstand $L$ ergibt sich die Gesamtauslenkung näherungsweise proportional zur Ablenkspannung $U_y$ — Grundlage des Oszilloskops.
Im kombinierten Längs- und Querfeld lässt sich die spezifische Ladung $e/m_e$ aus den Geometrie- und Spannungswerten bestimmen.

QUERABLENKUNG AM PLATTENENDE

y = \dfrac{e\,E\,\ell^2}{2\,m_e\,v_x^2} = \dfrac{U_y\,\ell^2}{4\,d\,U_B}

PLATTENKONDENSATOR — HOMOGENES E-FELD

Welche drei Beschriftungen in "Plattenkondensator — homogenes E-Feld" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Musterlösung

Ablenkung im Plattenkondensator

$U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ , $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ , $d = 2{,}0\,\text{cm}$ , $U_y = 300\,\text{V}$ .

Ansatz
Mit $\tfrac{1}{2}m_e v_x^2 = e U_B$ und $E = U_y/d$ folgt die kompakte Form $y = U_y\ell^2/(4 d U_B)$ .
Zahlenwerte einsetzen
$y = 300 \cdot (0{,}06)^2 / (4 \cdot 0{,}02 \cdot 2000) = 300 \cdot 3{,}6\cdot 10^{-3} / 160$ .
Ergebnis
$y = 1{,}08 / 160 \approx 6{,}75\cdot 10^{-3}\,\text{m} \approx 6{,}8\,\text{mm}$ .
Interpretieren
Die Auslenkung $6{,}8\,\text{mm}$ bleibt unter dem halben Plattenabstand ( $10\,\text{mm}$ ) — das Elektron verlässt die Platten gerade nicht und trifft den Schirm.

Ergebnis: Querablenkung am Plattenende $y \approx 6{,}8\,\text{mm}$ ; das Elektron passiert die Platten.

Typische Fehler

Querbewegung als gleichförmig statt gleichmäßig beschleunigt behandelt.
Beschleunigungs- und Ablenkspannung verwechselt.
Bahn nach dem Plattenende noch als Parabel statt als Gerade fortgesetzt.
Plattenlänge $\ell$ und Schirmabstand $L$ in der Auslenkungsformel vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie eine Bestimmungsgleichung für die spezifische Ladung $e/m_e$ aus den messbaren Größen $U_B$ , $U_y$ , $\ell$ , $d$ und der Schirmauslenkung her.