DE-Abitur · MathematikT·088 / 10

Stochastik — Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Laplace-Experimente, Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes), diskrete Zufallsgrößen mit Erwartungswert und Varianz sowie die Binomial- und Normalverteilung als zentrale Modelle für Bernoulli-Ketten und stetig verteilte Merkmale.

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3Kompetenzen

L5 · Leitidee Daten und ZufallK3 · Mathematisch modellierenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen

Operatoren:berechnen · modellieren · interpretieren · beurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung mit GTR/CAS, einfache Aufgaben zur Normalverteilung.

erhöhtes Niveau

eA: Satz von Bayes, Sigma-Regeln der Normalverteilung, Standardisierung, Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung, Erwartungswert und Varianz aus Definition.

Inhalt · 6 Abschnitte

Stochastik — Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

Laplace-Experimente und Baumdiagramme#

BasisL5

Kernpunkte

Laplace-Experiment: alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich; $P(A) = |A|/|\Omega|$ .
Baumdiagramm visualisiert mehrstufige Zufallsexperimente; Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang eines Pfades.
Summenregel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade.
Unabhängige Ereignisse: $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ ; Test durch Vergleich.
Vereinigung: $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ (Additionssatz).
Komplementär: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — oft Schlüssel zu „mindestens"-Aufgaben.

LAPLACE-WAHRSCHEINLICHKEIT

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}\quad \text{(Laplace-Experiment)}

BAUMDIAGRAMM — ZWEISTUFIGES ZUFALLSEXPERIMENT

Welche drei Beschriftungen in "Baumdiagramm — Zweistufiges Zufallsexperiment" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang eines Pfades.

Typische Fehler

Pfadwahrscheinlichkeiten werden addiert statt multipliziert.
Komplementärregel bei „genau k" angewendet statt nur bei „mindestens/höchstens".
Additionssatz ohne Schnittabzug — Doppelzählung.
Unabhängigkeit angenommen, obwohl Bedingungen ändern (Ziehen ohne Zurücklegen).

LK-Vertiefung

eA: Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten bei Ziehen mit und ohne Zurücklegen für $n = 3$ Ziehungen aus obiger Urne und interpretieren Sie den Unterschied.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes#

StandardL5

Kernpunkte

Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A\mid B) = \tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ — „Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung B".
Satz von Bayes: $P(A\mid B) = \tfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$ — Umkehrung der Bedingung.
Totale Wahrscheinlichkeit: $P(B) = \sum_{i} P(B\mid A_{i})\cdot P(A_{i})$ über vollständige Zerlegung von $\Omega$ .
Bayes ist Standardwerkzeug bei medizinischen Tests, Spam-Filtern, Qualitätskontrolle.
Vierfeldertafel als alternative Visualisierung — oft schneller als Baumdiagramm.
Unabhängigkeit als Spezialfall: $P(A\mid B) = P(A)$ .

BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND SATZ VON BAYES

P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}

Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm

Eine Krankheit tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 % auf. Der Test ist zu 95 % positiv bei Erkrankten und zu 4 % positiv bei Gesunden. Berechnen Sie $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ .

Schritt 1 — Pfadwahrscheinlichkeiten
$P(K\cap +) = 0{,}01\cdot 0{,}95 = 0{,}0095$ ; $P(\bar{K}\cap +) = 0{,}99\cdot 0{,}04 = 0{,}0396$ .
Schritt 2 — Gesamte positive Wahrscheinlichkeit
$P(+) = 0{,}0095 + 0{,}0396 = 0{,}0491$ .
Schritt 3 — Bayes-Formel
$P(K\mid +) = \tfrac{0{,}0095}{0{,}0491} \approx 0{,}193$ .
$P(K\mid +) \approx 19{,}3\,\%$
Schritt 4 — Interpretieren
Trotz positiver Diagnose ist die Person nur mit knapp 20 % wahrscheinlich tatsächlich krank — Folge der niedrigen Prävalenz.

Ergebnis: $P(\text{krank}\mid \text{positiv}) \approx 19{,}3\,\%$ — klassisches Beispiel der „Basisraten-Vernachlässigung".

Typische Fehler

$P(A\mid B)$ wird mit $P(B\mid A)$ verwechselt (umgekehrte Bedingung).
$P(A\cap B)$ wird als Produkt $P(A)\cdot P(B)$ behandelt, obwohl Ereignisse abhängig sind.
Totale Wahrscheinlichkeit ohne Berücksichtigung aller Zerlegungsfälle.
Vierfeldertafel ohne Spaltenrandwahrscheinlichkeiten.

LK-Vertiefung

eA: Wenden Sie den Satz von Bayes auf ein Spam-Filter-Beispiel an: 80 % aller Spam-Mails enthalten „Gratis", aber nur 5 % aller Mails sind Spam. Berechnen Sie $P(\text{Spam}\mid \text{Gratis})$ bei $P(\text{Gratis}\mid \text{kein Spam}) = 0{,}02$ .

Binomialverteilung#

StandardL5

Kernpunkte

Bernoulli-Experiment: zwei mögliche Ausgänge (Treffer/Niete) mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Binomialverteilung $B(n, p)$ beschreibt Anzahl Treffer bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ .
Erwartungswert $E(X) = np$ ; Varianz $V(X) = np(1-p)$ ; Standardabweichung $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ .
Kumulative Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ über Tabellen oder GTR.
Erwartungswert als „mittlerer Erfolg" zu interpretieren — keine Garantie, sondern Durchschnitt vieler Wiederholungen.
Voraussetzung der Binomialverteilung: konstante $p$ und Unabhängigkeit — bei Ziehen ohne Zurücklegen verletzt (dann Hypergeometrisch).

BINOMIALVERTEILUNG B(N, P)

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},\quad E(X) = n p,\quad V(X) = n p (1-p)

BINOMIALVERTEILUNG — STABDIAGRAMM B(N=10; P=0,3)

Welche drei Beschriftungen in "Binomialverteilung — Stabdiagramm B(n=10; p=0,3)" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k = 0 bis 10; Maximum nahe E(X) = np = 3.

Musterlösung

Binomialverteilung — Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Eine Klausuraufgabe hat 10 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Alternativen. Bei rein zufälligem Ankreuzen: Wie hoch ist $P(X \geq 5)$ und $E(X)$ ?

Schritt 1 — Parameter
Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}25$ , Wiederholungen $n = 10$ . $X \sim B(10; 0{,}25)$ .
Schritt 2 — Erwartungswert
$E(X) = np = 10\cdot 0{,}25 = 2{,}5$ .
Schritt 3 — Wahrscheinlichkeit
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)$ ; per Tabelle oder GTR: $P(X \leq 4) \approx 0{,}9219$ , also $P(X \geq 5) \approx 0{,}0781$ .
$P(X \geq 5) \approx 7{,}81\,\%$

Ergebnis: $E(X) = 2{,}5$ richtige Antworten; $P(X \geq 5) \approx 7{,}8\,\%$ .

Typische Fehler

Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ falsch berechnet — Symmetrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ vergessen.
Erwartungswert mit Varianz verwechselt.
Bei abhängigen Versuchen wird trotzdem Binomial-Modell verwendet.
Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ mit $P(X \leq k)$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie $E(X) = np$ für $X \sim B(n, p)$ aus der Definition $E(X) = \sum_{k} k\cdot P(X = k)$ über das Binomialtheorem her.

Normalverteilung und Sigma-Regeln#

StandardL5

Kernpunkte

Normalverteilung $N(\mu, \sigma^{2})$ ist stetig mit Dichtefunktion $\varphi(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$ .
Standardisierung: $Z = \tfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$ ; Tabellenwerte $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ .
Sigma-Regeln: $P(|X - \mu| \leq \sigma) \approx 68{,}3\,\%$ , $\leq 2\sigma \approx 95{,}4\,\%$ , $\leq 3\sigma \approx 99{,}7\,\%$ .
Approximation: Für große $n$ und $np(1-p) > 9$ gilt $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$ .
Modellierung: Körpergröße, Messfehler, Notenverteilung — Phänomene mit additiver Überlagerung kleiner Effekte.
Stetigkeitskorrektur bei Approximation: $P(X = k) \approx \Phi\!\left(\tfrac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\tfrac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$ .

STANDARDISIERUNG DER NORMALVERTEILUNG UND 1Σ-REGEL

P(X \leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right),\quad P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683

NORMALVERTEILUNG — SIGMA-REGELN

Welche drei Beschriftungen in "Normalverteilung — Sigma-Regeln" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Anteil der Werte innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Erwartungswert.

Interaktive Grafik lädt…

Typische Fehler

Standardisierung mit falschem Vorzeichen ( $\tfrac{\mu - X}{\sigma}$ statt $\tfrac{X-\mu}{\sigma}$ ).
Symmetrie $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ nicht genutzt.
Approximation auf zu kleine $n$ angewendet.
Verteilungsfunktion $\Phi$ mit Dichtefunktion $\varphi$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 60)$ für $X \sim B(100; 0{,}5)$ durch die Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Binomialwert.

Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz#

StandardL5

Kernpunkte

Eine (diskrete) Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu; die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet alle Werte $x_{i}$ mit $P(X=x_{i})$ auf.
Der Erwartungswert $E(X)=\sum_{i} x_{i}\,P(X=x_{i})$ ist der auf lange Sicht zu erwartende Mittelwert, nicht ein konkret eintretender Wert.
Die Varianz $V(X)=\sum_{i}(x_{i}-\mu)^{2}P(X=x_{i})$ misst die Streuung; die Standardabweichung ist $\sigma=\sqrt{V(X)}$ .
Verschiebungssatz $V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$ vereinfacht die Rechnung erheblich.
Linearität: $E(aX+b)=a\,E(X)+b$ und $V(aX+b)=a^{2}\,V(X)$ — der additive Term $b$ verändert die Streuung nicht.
Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Reingewinn null ist: $E(X)=\text{Einsatz}$ .

ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ EINER DISKRETEN ZUFALLSGRÖSSE

E(X) = \sum_{i} x_{i}\,P(X=x_{i}),\qquad V(X) = \sum_{i} (x_{i}-\mu)^{2}\,P(X=x_{i}) = E(X^{2}) - \mu^{2}

Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Werte; die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung, die Verschiebungsformel $E(X^{2})-\mu^{2}$ erleichtert die Rechnung.

Musterlösung

Erwartungswert und faires Spiel beurteilen

Bei einem Glücksrad gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ einen Betrag von $5$ €, mit $0{,}3$ einen Betrag von $2$ €, sonst nichts. Der Einsatz beträgt $2$ €. Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn und beurteilen Sie die Fairness.

Schritt 1 — Zufallsgröße festlegen
Sei $X$ die Auszahlung (vor Abzug des Einsatzes): $X\in\{5;\,2;\,0\}$ mit $P=0{,}2;\,0{,}3;\,0{,}5$ .
Schritt 2 — Erwartungswert der Auszahlung
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 + 0\cdot 0{,}5 = 1{,}0 + 0{,}6 = 1{,}6$ (in €).
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 = 1{,}6\;\text{EUR}$
Schritt 3 — Erwarteter Reingewinn
Reingewinn $G=X-2$ ; $E(G)=E(X)-2 = 1{,}6 - 2 = -0{,}4$ .
Schritt 4 — Beurteilen
Da $E(G)=-0{,}40$ € $< 0$ , ist das Spiel unfair zuungunsten des Spielers; auf lange Sicht verliert man im Mittel $0{,}40$ € pro Spiel.

Ergebnis: Erwartete Auszahlung $1{,}60$ €, erwarteter Reingewinn $-0{,}40$ € — das Spiel ist nicht fair, da $E(G)<0$ .

Typische Fehler

Erwartungswert als „wahrscheinlichster Wert“ statt als gewichtetes Mittel gedeutet.
Varianz ohne Quadrieren der Abweichungen berechnet.
Bei $V(aX+b)$ wird der Faktor $a$ nicht quadriert oder $b$ fälschlich berücksichtigt.
Summe der Wahrscheinlichkeiten in der Verteilung ergibt nicht 1 (Verteilung unvollständig).

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie über den Verschiebungssatz, dass für $X\sim B(n;p)$ die Varianz $V(X)=np(1-p)$ gilt, ausgehend von $E(X)=np$ und $E(X^{2})$ .

Kombinatorik — Abzählen von Möglichkeiten#

StandardL5L1

Kernpunkte

Zählprinzip (Produktregel): Bei $k$ unabhängigen Stufen mit $n_{1},\dots,n_{k}$ Möglichkeiten gibt es $n_{1}\cdot \dots\cdot n_{k}$ Gesamtmöglichkeiten.
Geordnet mit Wiederholung (Variation mit Zurücklegen): $n^{k}$ Möglichkeiten.
Geordnet ohne Wiederholung (Variation): $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ ; Spezialfall $k=n$ ergibt $n!$ Permutationen.
Ungeordnet ohne Wiederholung (Kombination): $\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt die $k$ -elementigen Teilmengen und tritt in der Binomialverteilung auf.
Entscheidungsfrage zur Formelwahl: Zählt die Reihenfolge? Dürfen Elemente mehrfach vorkommen?

GRUNDFORMELN DER KOMBINATORIK (VARIATION UND KOMBINATION)

\text{geordnet, ohne Zurücklegen: } \frac{n!}{(n-k)!},\qquad \text{ungeordnet: } \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Die Wahl der Formel hängt davon ab, ob Reihenfolge zählt (geordnet) und ob Elemente mehrfach vorkommen dürfen (mit/ohne Zurücklegen).

Musterlösung

Kombinatorik — Anzahl günstiger Anordnungen

Aus 10 Teilnehmern werden ein erster, zweiter und dritter Platz vergeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wie viele, wenn nur eine dreiköpfige Jury (ohne Rangfolge) gewählt wird?

Schritt 1 — Geordnete Auswahl (Plätze)
Rangfolge zählt, keine Wiederholung: Variation $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ mit $n=10$ , $k=3$ .
$\frac{10!}{7!} = 10\cdot 9\cdot 8 = 720$
Schritt 2 — Ungeordnete Auswahl (Jury)
Reihenfolge egal: Kombination $\binom{10}{3}$ .
$\binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = 120$
Schritt 3 — Vergleich
Die geordnete Anzahl ist um den Faktor $3! = 6$ größer, da jede Jury-Auswahl auf $3!$ verschiedene Rangfolgen verteilt werden kann.

Ergebnis: Platzvergabe: $720$ Möglichkeiten; Jurywahl ohne Rangfolge: $120$ Möglichkeiten ( $720/3! = 120$ ).

Typische Fehler

Variation und Kombination verwechselt — Reihenfolge wird falsch berücksichtigt.
Mit/ohne Zurücklegen nicht unterschieden ( $n^{k}$ statt $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ ).
Beim Binomialkoeffizienten Fakultäten falsch gekürzt.
Doppelzählung gleicher Auswahlen bei ungeordneten Problemen.

LK-Vertiefung

eA: Begründen Sie die Formel $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (Pascalsches Dreieck) kombinatorisch über die Fallunterscheidung „ein festes Element ist enthalten oder nicht“.

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Stochastik — Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3Kompetenzen

L5 · Leitidee Daten und ZufallK3 · Mathematisch modellierenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen

Operatoren:berechnen · modellieren · interpretieren · beurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung mit GTR/CAS, einfache Aufgaben zur Normalverteilung.

erhöhtes Niveau

eA: Satz von Bayes, Sigma-Regeln der Normalverteilung, Standardisierung, Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung, Erwartungswert und Varianz aus Definition.

Laplace-Experimente und Baumdiagramme#

BasisL5

Kernpunkte

Laplace-Experiment: alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich; $P(A) = |A|/|\Omega|$ .
Baumdiagramm visualisiert mehrstufige Zufallsexperimente; Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang eines Pfades.
Summenregel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade.
Unabhängige Ereignisse: $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ ; Test durch Vergleich.
Vereinigung: $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ (Additionssatz).
Komplementär: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — oft Schlüssel zu „mindestens"-Aufgaben.

LAPLACE-WAHRSCHEINLICHKEIT

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}\quad \text{(Laplace-Experiment)}

BAUMDIAGRAMM — ZWEISTUFIGES ZUFALLSEXPERIMENT

Welche drei Beschriftungen in "Baumdiagramm — Zweistufiges Zufallsexperiment" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang eines Pfades.

Typische Fehler

Pfadwahrscheinlichkeiten werden addiert statt multipliziert.
Komplementärregel bei „genau k" angewendet statt nur bei „mindestens/höchstens".
Additionssatz ohne Schnittabzug — Doppelzählung.
Unabhängigkeit angenommen, obwohl Bedingungen ändern (Ziehen ohne Zurücklegen).

LK-Vertiefung

eA: Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten bei Ziehen mit und ohne Zurücklegen für $n = 3$ Ziehungen aus obiger Urne und interpretieren Sie den Unterschied.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes#

StandardL5

Kernpunkte

Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A\mid B) = \tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ — „Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung B".
Satz von Bayes: $P(A\mid B) = \tfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$ — Umkehrung der Bedingung.
Totale Wahrscheinlichkeit: $P(B) = \sum_{i} P(B\mid A_{i})\cdot P(A_{i})$ über vollständige Zerlegung von $\Omega$ .
Bayes ist Standardwerkzeug bei medizinischen Tests, Spam-Filtern, Qualitätskontrolle.
Vierfeldertafel als alternative Visualisierung — oft schneller als Baumdiagramm.
Unabhängigkeit als Spezialfall: $P(A\mid B) = P(A)$ .

BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND SATZ VON BAYES

P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}

Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm

Eine Krankheit tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 % auf. Der Test ist zu 95 % positiv bei Erkrankten und zu 4 % positiv bei Gesunden. Berechnen Sie $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ .

Schritt 1 — Pfadwahrscheinlichkeiten
$P(K\cap +) = 0{,}01\cdot 0{,}95 = 0{,}0095$ ; $P(\bar{K}\cap +) = 0{,}99\cdot 0{,}04 = 0{,}0396$ .
Schritt 2 — Gesamte positive Wahrscheinlichkeit
$P(+) = 0{,}0095 + 0{,}0396 = 0{,}0491$ .
Schritt 3 — Bayes-Formel
$P(K\mid +) = \tfrac{0{,}0095}{0{,}0491} \approx 0{,}193$ .
$P(K\mid +) \approx 19{,}3\,\%$
Schritt 4 — Interpretieren
Trotz positiver Diagnose ist die Person nur mit knapp 20 % wahrscheinlich tatsächlich krank — Folge der niedrigen Prävalenz.

Ergebnis: $P(\text{krank}\mid \text{positiv}) \approx 19{,}3\,\%$ — klassisches Beispiel der „Basisraten-Vernachlässigung".

Typische Fehler

$P(A\mid B)$ wird mit $P(B\mid A)$ verwechselt (umgekehrte Bedingung).
$P(A\cap B)$ wird als Produkt $P(A)\cdot P(B)$ behandelt, obwohl Ereignisse abhängig sind.
Totale Wahrscheinlichkeit ohne Berücksichtigung aller Zerlegungsfälle.
Vierfeldertafel ohne Spaltenrandwahrscheinlichkeiten.

LK-Vertiefung

Binomialverteilung#

StandardL5

Kernpunkte

Bernoulli-Experiment: zwei mögliche Ausgänge (Treffer/Niete) mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Binomialverteilung $B(n, p)$ beschreibt Anzahl Treffer bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ .
Erwartungswert $E(X) = np$ ; Varianz $V(X) = np(1-p)$ ; Standardabweichung $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ .
Kumulative Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ über Tabellen oder GTR.
Erwartungswert als „mittlerer Erfolg" zu interpretieren — keine Garantie, sondern Durchschnitt vieler Wiederholungen.
Voraussetzung der Binomialverteilung: konstante $p$ und Unabhängigkeit — bei Ziehen ohne Zurücklegen verletzt (dann Hypergeometrisch).

BINOMIALVERTEILUNG B(N, P)

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},\quad E(X) = n p,\quad V(X) = n p (1-p)

BINOMIALVERTEILUNG — STABDIAGRAMM B(N=10; P=0,3)

Welche drei Beschriftungen in "Binomialverteilung — Stabdiagramm B(n=10; p=0,3)" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k = 0 bis 10; Maximum nahe E(X) = np = 3.

Musterlösung

Binomialverteilung — Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Eine Klausuraufgabe hat 10 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Alternativen. Bei rein zufälligem Ankreuzen: Wie hoch ist $P(X \geq 5)$ und $E(X)$ ?

Schritt 1 — Parameter
Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}25$ , Wiederholungen $n = 10$ . $X \sim B(10; 0{,}25)$ .
Schritt 2 — Erwartungswert
$E(X) = np = 10\cdot 0{,}25 = 2{,}5$ .
Schritt 3 — Wahrscheinlichkeit
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)$ ; per Tabelle oder GTR: $P(X \leq 4) \approx 0{,}9219$ , also $P(X \geq 5) \approx 0{,}0781$ .
$P(X \geq 5) \approx 7{,}81\,\%$

Ergebnis: $E(X) = 2{,}5$ richtige Antworten; $P(X \geq 5) \approx 7{,}8\,\%$ .

Typische Fehler

Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ falsch berechnet — Symmetrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ vergessen.
Erwartungswert mit Varianz verwechselt.
Bei abhängigen Versuchen wird trotzdem Binomial-Modell verwendet.
Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ mit $P(X \leq k)$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie $E(X) = np$ für $X \sim B(n, p)$ aus der Definition $E(X) = \sum_{k} k\cdot P(X = k)$ über das Binomialtheorem her.

Normalverteilung und Sigma-Regeln#

StandardL5

Kernpunkte

Normalverteilung $N(\mu, \sigma^{2})$ ist stetig mit Dichtefunktion $\varphi(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$ .
Standardisierung: $Z = \tfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$ ; Tabellenwerte $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ .
Sigma-Regeln: $P(|X - \mu| \leq \sigma) \approx 68{,}3\,\%$ , $\leq 2\sigma \approx 95{,}4\,\%$ , $\leq 3\sigma \approx 99{,}7\,\%$ .
Approximation: Für große $n$ und $np(1-p) > 9$ gilt $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$ .
Modellierung: Körpergröße, Messfehler, Notenverteilung — Phänomene mit additiver Überlagerung kleiner Effekte.
Stetigkeitskorrektur bei Approximation: $P(X = k) \approx \Phi\!\left(\tfrac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\tfrac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$ .

STANDARDISIERUNG DER NORMALVERTEILUNG UND 1Σ-REGEL

P(X \leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right),\quad P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683

NORMALVERTEILUNG — SIGMA-REGELN

Welche drei Beschriftungen in "Normalverteilung — Sigma-Regeln" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Anteil der Werte innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Erwartungswert.

Interaktive Grafik lädt…

Typische Fehler

Standardisierung mit falschem Vorzeichen ( $\tfrac{\mu - X}{\sigma}$ statt $\tfrac{X-\mu}{\sigma}$ ).
Symmetrie $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ nicht genutzt.
Approximation auf zu kleine $n$ angewendet.
Verteilungsfunktion $\Phi$ mit Dichtefunktion $\varphi$ verwechselt.

LK-Vertiefung

Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz#

StandardL5

Kernpunkte

Eine (diskrete) Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu; die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet alle Werte $x_{i}$ mit $P(X=x_{i})$ auf.
Der Erwartungswert $E(X)=\sum_{i} x_{i}\,P(X=x_{i})$ ist der auf lange Sicht zu erwartende Mittelwert, nicht ein konkret eintretender Wert.
Die Varianz $V(X)=\sum_{i}(x_{i}-\mu)^{2}P(X=x_{i})$ misst die Streuung; die Standardabweichung ist $\sigma=\sqrt{V(X)}$ .
Verschiebungssatz $V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$ vereinfacht die Rechnung erheblich.
Linearität: $E(aX+b)=a\,E(X)+b$ und $V(aX+b)=a^{2}\,V(X)$ — der additive Term $b$ verändert die Streuung nicht.
Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Reingewinn null ist: $E(X)=\text{Einsatz}$ .

ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ EINER DISKRETEN ZUFALLSGRÖSSE

E(X) = \sum_{i} x_{i}\,P(X=x_{i}),\qquad V(X) = \sum_{i} (x_{i}-\mu)^{2}\,P(X=x_{i}) = E(X^{2}) - \mu^{2}

Musterlösung

Erwartungswert und faires Spiel beurteilen

Schritt 1 — Zufallsgröße festlegen
Sei $X$ die Auszahlung (vor Abzug des Einsatzes): $X\in\{5;\,2;\,0\}$ mit $P=0{,}2;\,0{,}3;\,0{,}5$ .
Schritt 2 — Erwartungswert der Auszahlung
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 + 0\cdot 0{,}5 = 1{,}0 + 0{,}6 = 1{,}6$ (in €).
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 = 1{,}6\;\text{EUR}$
Schritt 3 — Erwarteter Reingewinn
Reingewinn $G=X-2$ ; $E(G)=E(X)-2 = 1{,}6 - 2 = -0{,}4$ .
Schritt 4 — Beurteilen
Da $E(G)=-0{,}40$ € $< 0$ , ist das Spiel unfair zuungunsten des Spielers; auf lange Sicht verliert man im Mittel $0{,}40$ € pro Spiel.

Ergebnis: Erwartete Auszahlung $1{,}60$ €, erwarteter Reingewinn $-0{,}40$ € — das Spiel ist nicht fair, da $E(G)<0$ .

Typische Fehler

Erwartungswert als „wahrscheinlichster Wert“ statt als gewichtetes Mittel gedeutet.
Varianz ohne Quadrieren der Abweichungen berechnet.
Bei $V(aX+b)$ wird der Faktor $a$ nicht quadriert oder $b$ fälschlich berücksichtigt.
Summe der Wahrscheinlichkeiten in der Verteilung ergibt nicht 1 (Verteilung unvollständig).

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie über den Verschiebungssatz, dass für $X\sim B(n;p)$ die Varianz $V(X)=np(1-p)$ gilt, ausgehend von $E(X)=np$ und $E(X^{2})$ .

Kombinatorik — Abzählen von Möglichkeiten#

StandardL5L1

Kernpunkte

Zählprinzip (Produktregel): Bei $k$ unabhängigen Stufen mit $n_{1},\dots,n_{k}$ Möglichkeiten gibt es $n_{1}\cdot \dots\cdot n_{k}$ Gesamtmöglichkeiten.
Geordnet mit Wiederholung (Variation mit Zurücklegen): $n^{k}$ Möglichkeiten.
Geordnet ohne Wiederholung (Variation): $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ ; Spezialfall $k=n$ ergibt $n!$ Permutationen.
Ungeordnet ohne Wiederholung (Kombination): $\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt die $k$ -elementigen Teilmengen und tritt in der Binomialverteilung auf.
Entscheidungsfrage zur Formelwahl: Zählt die Reihenfolge? Dürfen Elemente mehrfach vorkommen?

GRUNDFORMELN DER KOMBINATORIK (VARIATION UND KOMBINATION)

\text{geordnet, ohne Zurücklegen: } \frac{n!}{(n-k)!},\qquad \text{ungeordnet: } \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Die Wahl der Formel hängt davon ab, ob Reihenfolge zählt (geordnet) und ob Elemente mehrfach vorkommen dürfen (mit/ohne Zurücklegen).

Musterlösung

Kombinatorik — Anzahl günstiger Anordnungen

Aus 10 Teilnehmern werden ein erster, zweiter und dritter Platz vergeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wie viele, wenn nur eine dreiköpfige Jury (ohne Rangfolge) gewählt wird?

Schritt 1 — Geordnete Auswahl (Plätze)
Rangfolge zählt, keine Wiederholung: Variation $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ mit $n=10$ , $k=3$ .
$\frac{10!}{7!} = 10\cdot 9\cdot 8 = 720$
Schritt 2 — Ungeordnete Auswahl (Jury)
Reihenfolge egal: Kombination $\binom{10}{3}$ .
$\binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = 120$
Schritt 3 — Vergleich
Die geordnete Anzahl ist um den Faktor $3! = 6$ größer, da jede Jury-Auswahl auf $3!$ verschiedene Rangfolgen verteilt werden kann.

Ergebnis: Platzvergabe: $720$ Möglichkeiten; Jurywahl ohne Rangfolge: $120$ Möglichkeiten ( $720/3! = 120$ ).

Typische Fehler

Variation und Kombination verwechselt — Reihenfolge wird falsch berücksichtigt.
Mit/ohne Zurücklegen nicht unterschieden ( $n^{k}$ statt $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ ).
Beim Binomialkoeffizienten Fakultäten falsch gekürzt.
Doppelzählung gleicher Auswahlen bei ungeordneten Problemen.

LK-Vertiefung

eA: Begründen Sie die Formel $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (Pascalsches Dreieck) kombinatorisch über die Fallunterscheidung „ein festes Element ist enthalten oder nicht“.