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Matrizen und Übergangsprozesse

Matrizenrechnung als Werkzeug für lineare Abbildungen und Markov-Prozesse: Matrixmultiplikation, stochastische Übergangsmatrizen, Fixvektoren, Populationsmodelle (Leslie-Matrizen) und Verflechtungsmatrizen für mehrstufige Produktionsprozesse. Auf eA-Niveau Eigenwertproblem und Diagonalisierung.

6Abschnitteca. 10Min Lesezeit4Kompetenzen

L1 · Leitidee Algorithmus und ZahlL3 · Leitidee Raum und FormL5 · Leitidee Daten und ZufallK3 · Mathematisch modellieren

Operatoren:berechnen · modellieren · interpretieren · untersuchen

grundlegendes Niveau

gA: Zwei- und dreidimensionale Matrizen, Matrixmultiplikation, einfache stochastische Matrizen mit Fixvektor, Verflechtungsmatrizen.

erhöhtes Niveau

eA: Eigenwertproblem $M\vec{v} = \lambda\vec{v}$ , Diagonalisierung, Leslie-Matrizen mit periodischer Dynamik, allgemeine Markov-Eigenschaften (Ergodizität).

Matrizen — Operationen und Inverse#

BasisL1

Kernpunkte

Eine $m\times n$ -Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten; quadratische Matrizen haben $m = n$ .
Addition und skalare Multiplikation sind komponentenweise definiert.
Matrixmultiplikation $A\cdot B$ ist nur möglich, wenn Spaltenzahl von $A$ gleich Zeilenzahl von $B$ ist; $(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj}$ .
Einheitsmatrix $E_{n}$ ist neutrales Element: $A\cdot E = E\cdot A = A$ .
Inverse Matrix $A^{-1}$ erfüllt $A\cdot A^{-1} = E$ ; existiert nur, wenn $\det A \neq 0$ .
Für $2\times 2$ -Matrix: $A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

MATRIXMULTIPLIKATION (ZEILE · SPALTE)

(A\cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Typische Fehler

Matrixmultiplikation komponentenweise statt Zeile mal Spalte.
Reihenfolge $A\cdot B$ und $B\cdot A$ verwechselt.
Inverse berechnet bei $\det = 0$ (existiert nicht).
Vorzeichen in der $2\times 2$ -Inversen-Formel falsch.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ über das charakteristische Polynom $\det(A - \lambda E) = 0$ .

Stochastische Übergangsmatrizen und Fixvektor#

StandardL1L5

Kernpunkte

Eine stochastische Matrix hat nichtnegative Einträge und Spaltensummen gleich 1; jede Spalte beschreibt einen Übergang.
Verteilung nach $n$ Schritten: $\vec{v}_{n} = M^{n}\cdot \vec{v}_{0}$ .
Fixvektor (stationäre Verteilung): $M\vec{v} = \vec{v}$ mit $\sum v_{i} = 1$ ; Lösung über $(M - E)\vec{v} = \vec{0}$ .
Wenn $M$ ergodisch (irreduzibel + aperiodisch), konvergiert jede Anfangsverteilung gegen den Fixvektor.
Modellierung: Wahlumfragen, Markenwechsel, Wetterprognosen — Zustände entsprechen Spalten der Matrix.
Periodische Modelle (z. B. zyklische Übergänge) erreichen keinen Fixvektor — Vorsicht bei Interpretation.

FIXVEKTOR EINER STOCHASTISCHEN MATRIX M

M\cdot \vec{v} = \vec{v}\quad \Leftrightarrow\quad (M - E)\,\vec{v} = \vec{0}

ÜBERGANGSGRAPH ZWEIER ZUSTÄNDE A UND B

Welche drei Beschriftungen in "Übergangsgraph zweier Zustände A und B" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Übergangswahrscheinlichkeiten 0,7 (A→A), 0,3 (A→B), 0,4 (B→A), 0,6 (B→B).

Musterlösung

Langzeitverteilung über Fixvektor

Eine stochastische Matrix $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ modelliert den Übergang zwischen Zuständen A und B. Bestimmen Sie den Fixvektor mit Anteilen $a + b = 1$ .

Schritt 1 — Fixvektor-Bedingung
$M\vec{v} = \vec{v}$ , also $\begin{cases} 0{,}7a + 0{,}4b = a \\ 0{,}3a + 0{,}6b = b \end{cases}$ .
Schritt 2 — Umformen
Aus der ersten Gleichung: $0{,}4b = 0{,}3a$ , also $b = 0{,}75 a$ .
Schritt 3 — Normierung
$a + 0{,}75 a = 1 \Rightarrow a = \tfrac{4}{7}\approx 0{,}571$ , $b = \tfrac{3}{7}\approx 0{,}429$ .
$\vec{v} = (\tfrac{4}{7}, \tfrac{3}{7})^{T}$

Ergebnis: Langzeitverteilung: rund 57 % im Zustand A, 43 % im Zustand B.

Typische Fehler

Matrix wird transponiert aufgestellt (Zeilensummen statt Spaltensummen = 1).
Fixvektor ohne Normierung $\sum v = 1$ angegeben.
Iteration $\vec{v}_{n} = M^{n}\vec{v}_{0}$ als „mal $n$ " statt „hoch $n$ " gerechnet.
Konvergenz wird angenommen, obwohl Matrix periodisch ist.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, ob die Übergangsmatrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ergodisch ist, und beschreiben Sie das Langzeitverhalten.

Populationsmodelle und Verflechtungsmatrizen#

VertiefungL1K3

Kernpunkte

Leslie-Matrix modelliert altersstrukturierte Populationen: Geburtenraten in oberster Zeile, Überlebensraten auf der Subdiagonalen.
Eine Population mit Leslie-Matrix $L$ und Anfangsverteilung $\vec{p}_{0}$ entwickelt sich gemäß $\vec{p}_{n} = L^{n}\vec{p}_{0}$ .
Größter Eigenwert der Leslie-Matrix ist die langfristige Wachstumsrate; zugehöriger Eigenvektor gibt die stabile Altersverteilung.
Verflechtungsmatrix: Spalten geben den Verbrauch von Rohstoffen oder Halbfabrikaten pro Endprodukt an; Produkt mit Bedarfsvektor liefert Gesamtbedarf.
Mehrstufige Produktion: Zwischen- und Endprodukte hintereinander multiplizieren.
Modellgrenzen: konstante Rate-Annahme; in der Realität ändern sich Raten zeitabhängig.

Musterlösung

Populationsentwicklung mit Leslie-Matrix

Eine Population mit zwei Altersklassen hat die Leslie-Matrix $L = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0{,}4 & 0 \end{pmatrix}$ und Anfangsverteilung $\vec{p}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}$ . Berechnen Sie die Verteilung nach zwei Generationen und interpretieren Sie das Ergebnis.

Schritt 1 — Erste Generation
Multipliziere $L$ mit $\vec{p}_{0}$ : Geburten $0\cdot 100 + 3\cdot 50 = 150$ , Überlebende $0{,}4\cdot 100 + 0\cdot 50 = 40$ .
$\vec{p}_{1} = L\,\vec{p}_{0} = \begin{pmatrix} 150 \\ 40 \end{pmatrix}$
Schritt 2 — Zweite Generation
Erneut mit $L$ multiplizieren: $0\cdot 150 + 3\cdot 40 = 120$ und $0{,}4\cdot 150 + 0\cdot 40 = 60$ .
$\vec{p}_{2} = L\,\vec{p}_{1} = \begin{pmatrix} 120 \\ 60 \end{pmatrix}$
Schritt 3 — Gesamtbestand vergleichen
Gesamt: $\vec{p}_{0}$ 150, $\vec{p}_{1}$ 190, $\vec{p}_{2}$ 180 — der Bestand schwankt, ohne sich bereits stabilisiert zu haben.
Schritt 4 — Interpretieren
Die starke Geburtenrate (3) und die niedrige Überlebensrate (0,4) erzeugen ein oszillierendes Verhalten; die stabile Altersverteilung ergäbe sich erst über den dominanten Eigenwert von $L$ .

Ergebnis: Verteilung nach zwei Generationen: $\vec{p}_{2} = (120,\,60)^{T}$ ; der Gesamtbestand oszilliert noch und nähert sich erst langfristig der stabilen Altersstruktur.

Typische Fehler

Leslie-Matrix mit Überlebensraten in falscher Diagonale.
Verflechtungsmatrix wird transponiert aufgestellt.
Iteration $\vec{p}_{n}=L^{n}\vec{p}_{0}$ wird als „ $n$ -fache Multiplikation mit $n$ " statt als $n$ -fache Anwendung von $L$ gerechnet.
Modellkritik fehlt, Ergebnisse werden als „realistisch" verkauft.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie den dominanten Eigenwert der obigen Leslie-Matrix iterativ über $\vec{p}_{n+1}/\vec{p}_{n}$ und interpretieren Sie ihn als Wachstumsrate.

Determinante und lineare Abbildungen#

StandardL1L3

Kernpunkte

Eine $n\times n$ -Matrix beschreibt eine lineare Abbildung $\vec{x}\mapsto A\vec{x}$ des $\mathbb{R}^{n}$ ; Spaltenvektoren von $A$ sind die Bilder der Einheitsvektoren.
Standardabbildungen in der Ebene: Drehung um den Ursprung, Spiegelung an einer Achse, Streckung und Scherung lassen sich durch feste Matrizen darstellen.
Die Determinante misst den Flächen- bzw. Volumenfaktor der Abbildung; $|\det A|$ ist der Streckfaktor, das Vorzeichen kennzeichnet eine Orientierungsumkehr (Spiegelung).
$\det A = 0$ bedeutet, dass die Abbildung den Raum auf einen niederdimensionalen Unterraum „zusammendrückt“ — die Matrix ist nicht invertierbar.
Hintereinanderausführung von Abbildungen entspricht dem Matrixprodukt; es gilt $\det(AB)=\det A\cdot\det B$ .
Die inverse Abbildung existiert genau dann, wenn $\det A\neq 0$ ; ihre Matrix ist $A^{-1}$ .

DETERMINANTE EINER 3×3-MATRIX (ENTWICKLUNG NACH ERSTER ZEILE)

\det\!\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)

Die Sarrus-Regel ist eine gleichwertige Alternative für 3×3-Matrizen; eine Determinante ungleich null bedeutet invertierbar.

Musterlösung

Determinante und Lösbarkeit eines LGS beurteilen

Untersuchen Sie mit der Determinante, ob das LGS mit Koeffizientenmatrix $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ eindeutig lösbar ist.

Schritt 1 — Entwicklung nach erster Zeile
$\det A = 2\,(3\cdot 2 - 1\cdot 1) - 1\,(1\cdot 2 - 1\cdot 0) + 0$ .
Schritt 2 — Unterdeterminanten berechnen
$3\cdot 2 - 1\cdot 1 = 5$ und $1\cdot 2 - 1\cdot 0 = 2$ .
$\det A = 2\cdot 5 - 1\cdot 2 + 0 = 8$
Schritt 3 — Lösbarkeit folgern
Wegen $\det A = 8 \neq 0$ ist $A$ invertierbar; das LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ besitzt für jede rechte Seite $\vec{b}$ genau eine Lösung.

Ergebnis: $\det A = 8 \neq 0$ , also ist $A$ regulär und das LGS eindeutig lösbar.

Typische Fehler

Vorzeichen bei der Entwicklung nach einer Zeile (Schachbrettmuster $+\,-\,+$ ) falsch gesetzt.
Sarrus-Regel fälschlich auf 4×4-Matrizen angewendet (gilt nur für 3×3).
Aus $\det A=0$ wird auf „keine Lösung“ geschlossen, obwohl auch unendlich viele Lösungen möglich sind.
Orientierungsumkehr (negative Determinante) wird ignoriert bei der geometrischen Deutung.

LK-Vertiefung

eA: Geben Sie die Matrix der Drehung um $90^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn an, bestimmen Sie deren Determinante und interpretieren Sie das Ergebnis als flächentreue, orientierungserhaltende Abbildung.

Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung#

VertiefungL1L3

Kernpunkte

Ein Eigenvektor $\vec{v}\neq\vec{0}$ erfüllt $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ : die Abbildung streckt $\vec{v}$ nur, ohne seine Richtung zu ändern; $\lambda$ ist der zugehörige Eigenwert.
Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\det(A-\lambda E)=0$ .
Den Eigenraum zu $\lambda$ erhält man als Lösungsmenge des homogenen LGS $(A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0}$ .
Bei stochastischen Matrizen ist stets $\lambda=1$ ein Eigenwert; der zugehörige Eigenvektor (normiert) ist der Fixvektor.
Bei Leslie-Matrizen ist der betragsgrößte (dominante) Eigenwert die langfristige Wachstumsrate, sein Eigenvektor die stabile Altersverteilung.
Hat eine $n\times n$ -Matrix $n$ linear unabhängige Eigenvektoren, ist sie diagonalisierbar: $A=S\,D\,S^{-1}$ mit Diagonalmatrix $D$ der Eigenwerte; dann gilt $A^{n}=S\,D^{n}\,S^{-1}$ .

EIGENWERTGLEICHUNG UND CHARAKTERISTISCHES POLYNOM

A\vec{v} = \lambda\vec{v}\;\Leftrightarrow\;(A-\lambda E)\vec{v} = \vec{0}\;\Leftrightarrow\;\det(A-\lambda E) = 0

Eigenwerte $\lambda$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms; die zugehörigen Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf.

Musterlösung

Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Schritt 1 — Charakteristisches Polynom
$\det(A-\lambda E)=\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)^{2}-1$ .
$(2-\lambda)^{2}-1 = \lambda^{2}-4\lambda+3$
Schritt 2 — Eigenwerte
$\lambda^{2}-4\lambda+3=0$ liefert über die pq-Formel $\lambda_{1}=3$ und $\lambda_{2}=1$ .
Schritt 3 — Eigenvektor zu λ = 3
$(A-3E)\vec{v}=\vec{0}$ : $-v_{1}+v_{2}=0$ , also $\vec{v}_{1}=(1,\,1)^{T}$ (bis auf Vielfache).
Schritt 4 — Eigenvektor zu λ = 1
$(A-E)\vec{v}=\vec{0}$ : $v_{1}+v_{2}=0$ , also $\vec{v}_{2}=(1,\,-1)^{T}$ .

Ergebnis: Eigenwerte $\lambda_{1}=3$ (Eigenvektor $(1,\,1)^{T}$ ) und $\lambda_{2}=1$ (Eigenvektor $(1,\,-1)^{T}$ ); $A$ ist diagonalisierbar.

Typische Fehler

Nullvektor wird als Eigenvektor angegeben (per Definition ausgeschlossen).
Beim charakteristischen Polynom wird $\lambda E$ nicht von allen Diagonaleinträgen abgezogen.
Eigenvektor nicht bis auf skalare Vielfache angegeben oder Normierung vergessen.
Bei nicht diagonalisierbarer Matrix wird trotzdem $A^{n}=S D^{n}S^{-1}$ verwendet.

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie, dass $\lambda=1$ Eigenwert jeder stochastischen Matrix ist, indem Sie den Zeilenvektor $(1,\dots,1)$ als Linkseigenvektor verwenden, und interpretieren Sie den zugehörigen Rechtseigenvektor.

Langzeitverhalten, Grenzmatrix und Ergodizität#

VertiefungL1L5K3

Kernpunkte

Die Verteilung nach $n$ Schritten ist $\vec{v}_{n}=M^{n}\vec{v}_{0}$ ; das Langzeitverhalten ergibt sich aus dem Grenzwert $\lim_{n\to\infty} M^{n}$ .
Ist $M$ regulär (es gibt ein $k$ mit $M^{k}$ rein positiv), so existiert eine Grenzmatrix mit identischen Spalten, jede gleich dem Fixvektor.
Konsequenz der Ergodizität: Die stabile Verteilung ist unabhängig vom Startzustand $\vec{v}_{0}$ .
Der Fixvektor $\vec{v}$ löst $(M-E)\vec{v}=\vec{0}$ unter der Nebenbedingung $\sum v_{i}=1$ und ist der Eigenvektor zum Eigenwert $1$ .
Periodische oder reduzible Übergangsmatrizen (z. B. mit absorbierenden Zuständen) besitzen keine eindeutige, startunabhängige Grenzverteilung.
Anwendungen: Marktanteile, Wanderungsbewegungen, Webseiten-Ranking — die Grenzmatrix beantwortet „wohin entwickelt sich das System auf lange Sicht?“.

Musterlösung

Grenzmatrix und stabile Verteilung eines Markov-Prozesses

Für die stochastische Matrix $M=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ soll die langfristige Verteilung unabhängig vom Startvektor bestimmt werden.

Schritt 1 — Ergodizität prüfen
Alle Einträge von $M$ sind positiv, also ist $M$ regulär (ergodisch); daher konvergiert $M^{n}$ gegen eine Grenzmatrix mit identischen Spalten gleich dem Fixvektor.
Schritt 2 — Fixvektor ansetzen
$M\vec{v}=\vec{v}$ mit $\vec{v}=(a,b)^{T}$ : aus Zeile 1 folgt $0{,}8a+0{,}3b=a$ , also $0{,}3b=0{,}2a$ und damit $b=\tfrac{2}{3}a$ .
Schritt 3 — Normieren
$a+b=1$ ergibt $a+\tfrac{2}{3}a=1$ , also $a=\tfrac{3}{5}=0{,}6$ und $b=0{,}4$ .
$\vec{v}=(0{,}6,\;0{,}4)^{T}$
Schritt 4 — Grenzmatrix angeben
Da jede Spalte gegen den Fixvektor strebt, gilt $\lim_{n\to\infty} M^{n}=\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}6 \\ 0{,}4 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ — unabhängig von der Startverteilung.

Ergebnis: Stabile Verteilung $(0{,}6;\,0{,}4)$ ; die Grenzmatrix hat zwei identische Spalten gleich dem Fixvektor, sodass jeder Startzustand langfristig zu 60 % in Zustand 1 endet.

Typische Fehler

Grenzmatrix wird mit unterschiedlichen Spalten angegeben, obwohl im ergodischen Fall alle Spalten gleich sind.
Existenz einer startunabhängigen Grenzverteilung wird bei periodischer Matrix fälschlich angenommen.
Fixvektor wird nicht normiert ( $\sum v_{i}=1$ fehlt).
Iteration $M^{n}\vec{v}_{0}$ wird mit $n\cdot M\vec{v}_{0}$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie die Übergangsmatrix $M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ mit zwei absorbierenden Zuständen und begründen Sie, warum die Grenzverteilung hier vom Startzustand abhängt.