Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Wiskunde in wetenschap

Wiskunde is de taal waarin de natuurwetenschappen hun wetten opschrijven: een verschijnsel wordt een formule, een formule een grafiek, en daarmee wordt de werkelijkheid berekenbaar, voorspelbaar en toetsbaar. In dit onderwerp — domein F, „Wiskunde in wetenschap” — zie je hoe je een verschijnsel modelleert (aannames kiezen, variabelen benoemen, het model toetsen aan data), hoe machtsverbanden $y=a\cdot x^{p}$ en schaal- en dimensieargumenten de samenhang tussen grootheden vastleggen, en hoe je zo'n machtsverband op dubbellogaritmische schaal tot een rechte lijn „recht trekt” ( $\log y=\log a+p\log x$ ). Ten slotte zie je functies, differentiaalvergelijkingen, vectoren en complexe getallen terug als het gereedschap waarmee de wetenschap haar modellen bouwt. Domein F is een verplicht domein, maar de school kiest zelf de accenten en contexten; dit hoofdstuk biedt daarom representatieve voorbeelden, geen voorgeschreven lijst — en wiskunde D kent geen centraal examen, alleen een schoolexamen (SE).

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·181818 / 19

Examenprofiel

F · Een natuurwetenschappelijk verschijnsel vertalen in een wiskundig model: variabelen kiezen, aannames benoemen en het model toetsen aan dataF · Machts- en exponentiële verbanden herkennen, en een machtsverband y=a·xp rechttrekken op dubbellogaritmische schaalF · Met een schaal- of dimensieargument een formule controleren of afleiden (oppervlakte \propto L², volume \propto L³)F · De rol van wiskundige structuren — functies, differentiaalvergelijkingen, vectoren en complexe getallen — als modelgereedschap in de wetenschap benoemen

Operatoren:modelleerleg uitberekentoon aananalyseerinterpreteerstel opschat

basisniveau

De rode draad van domein F is het modelleren: van een verschijnsel naar een formule, grafiek of vergelijking, en weer terug naar de betekenis. Machtsverbanden $y=a\cdot x^{p}$ en exponentiële verbanden zijn daarbij het meest voorkomende gereedschap.

verhoogd niveau

Je school kiest de contexten en de diepgang zelf (domein F is verplicht, maar wordt door de school ingevuld). Wie het rechttrekken op log-schaal en het schaal-/dimensieargument beheerst, kan een gemeten verband herkennen, de parameters $a$ en $p$ aflezen en de aannames van een model kritisch beoordelen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Wiskunde in wetenschap

Wiskunde als taal van de wetenschap#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-F

De natuurwetenschappen beschrijven de werkelijkheid met wiskunde: een grootheid wordt een symbool, een natuurwet wordt een formule en een verband tussen grootheden wordt een grafiek. Al in de zeventiende eeuw vatte Galilei dit samen met de gedachte dat „het boek van de natuur in de taal van de wiskunde geschreven is”. Die taal is krachtig omdat ze compact en ondubbelzinnig is: waar een woordelijke beschrijving van de vrije val een halve bladzijde kost, legt de formule

s=\frac{1}{2}gt^{2}

hetzelfde verband vast in enkele tekens. In Afb. 1 zie je die wet als grafiek — de valafstand

s

tegen de tijd

t

— en in één oogopslag lees je af dat de val steeds sneller gaat.

Afb. 1 — De vrije val als grafiek

Afb. 1Afb. 1 — De vrije val

s=\frac{1}{2}gt^{2}

met

g\approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}

. De valafstand groeit met het kwadraat van de tijd (machtsverband,

p=2

); na

2

s is

s\approx 19{,}6

Een formule is meer dan een afkorting; ze maakt de werkelijkheid berekenbaar en voorspelbaar. Uit

s=\frac{1}{2}gt^{2}

met

g\approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}

volgt niet alleen hoe ver een steen na

2

seconden gevallen is (

s\approx 19{,}6

m), maar ook — door de vergelijking om te keren — na hoeveel tijd hij een gegeven diepte bereikt. Diezelfde formule geldt voor élk vallend voorwerp in het luchtledige, of het nu een steen of een muntstuk is. Dat is de winst van de wiskundige taal: één formule vat oneindig veel afzonderlijke waarnemingen samen en laat je gevallen voorspellen die je nooit hebt gemeten.

In de wetenschap staat achter elk symbool een grootheid mét een eenheid:

s

is een lengte in meter,

t

een tijd in seconde,

g

een versnelling in

\text{m/s}^{2}

. Het gelijkteken in een natuurwet is daarom een sterke bewering — links en rechts moeten niet alleen in getal, maar ook in eenheid kloppen. Die eis, dat beide kanten dezelfde dimensie hebben, is een eerste controle op elke formule (zie de paragraaf over schaal en dimensie). De valwet

s=\frac{1}{2}gt^{2}

is bovendien een voorbeeld van een machtsverband:

s

is evenredig met een macht van

t

, hier de tweede macht, wat de grafiek in Afb. 1 zijn paraboolvorm geeft.

Dezelfde taal beschrijft heel verschillende verschijnselen. De slingertijd van een slinger volgt

T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}

: de periode

T

hangt af van de lengte

\ell

via een wortel, dus via de macht

p=\frac{1}{2}

. Verviervoudig je de lengte, dan wordt de slingertijd precies twee keer zo groot — een voorspelling die je met een touwtje en een stopwatch kunt controleren. Juist dat is de kern van natuurwetenschap: een wiskundig model doet een uitspraak die door meting kan worden bevestigd óf weerlegd. Een model dat niets uitsluit, voorspelt niets.

Naast rekenen en voorspellen levert de wiskunde de wetenschap ook exacte redeneringen. Met algebra leid je uit de ene wet een andere af, met een bewijs stel je een verband buiten twijfel, en door te generaliseren til je een concreet resultaat naar een algemene regel. Zo verbindt domein F de rekenkundige kant van wiskunde D (formules, machten, wortels) met de redeneerkant (modelleren, afleiden, controleren). De volgende paragrafen maken dat concreet: eerst hoe je een verschijnsel tot een model maakt, daarna hoe schaal en machtsverbanden de samenhang tussen grootheden vastleggen.

s=\frac{1}{2}gt^{2}

Valwet (vrije val)

De valafstand groeit met het kwadraat van de tijd: een machtsverband met exponent p=2.

T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}

Slingertijd

De periode van een slinger hangt via de macht p=½ (een wortel) af van de lengte ℓ.

Uitgewerkt voorbeeld

De valwet gebruiken om te voorspellen

Een steen valt van een brug (verwaarloos de luchtweerstand, $g=9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ ). (a) Stel de formule op voor de valafstand $s$ na $t$ seconden. (b) Hoe ver is de steen na $2$ s gevallen? (c) Na hoeveel seconden heeft de steen $45$ m gevallen?

(a) Vul de valwet in
Met $g=9{,}81$ wordt $s=\frac{1}{2}\cdot 9{,}81\cdot t^{2}=4{,}905\,t^{2}$ (met $s$ in meter en $t$ in seconde).
$s=\frac{1}{2}gt^{2}=4{,}905\,t^{2}$
(b) Bereken s bij t = 2
$s=4{,}905\cdot 2^{2}=4{,}905\cdot 4=19{,}62$ m.
(c) Los s = 45 op naar t
$4{,}905\,t^{2}=45\Rightarrow t^{2}=\dfrac{45}{4{,}905}=9{,}174\Rightarrow t=\sqrt{9{,}174}\approx 3{,}03$ s (de negatieve wortel vervalt).
$t=\sqrt{\dfrac{45}{4{,}905}}\approx 3{,}03\ \text{s}$

Resultaat: (a) $s=4{,}905\,t^{2}$ ; (b) na $2$ s is de steen $19{,}62$ m gevallen; (c) na ongeveer $3{,}03$ s heeft hij $45$ m gevallen.

Veelgemaakte fouten

De eenheden vergeten of door elkaar halen. In $s=\frac{1}{2}gt^{2}$ moet $g$ in $\text{m/s}^{2}$ en $t$ in seconde staan; vul je $t$ in minuten in, dan klopt de uitkomst niet.
Bij het omkeren van $s=4{,}905\,t^{2}$ de wortel vergeten of $t=\frac{s}{4{,}905}$ nemen. Je moet éérst delen en dan worteltrekken: $t=\sqrt{s/4{,}905}$ .
Denken dat een zwaardere steen sneller valt. In het model $s=\frac{1}{2}gt^{2}$ komt de massa niet voor — in het luchtledige vallen alle voorwerpen even snel.

Actieve herhaling

De remweg $r$ (in meter) van een auto hangt bij benadering via $r=0{,}01\,v^{2}$ samen met de snelheid $v$ (in km/h). (a) Leg uit dat dit een machtsverband is en geef de exponent. (b) Bereken de remweg bij $50$ en bij $100$ km/h. (c) Met welke factor groeit de remweg als de snelheid verdubbelt? Verklaar je antwoord uit de formule.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Modelleren van verschijnselen#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-F

Een wiskundig model is een vereenvoudigde beschrijving van een verschijnsel in formules, grafieken of vergelijkingen. Het woord „vereenvoudigd” is essentieel: je kunt nooit álle invloeden meenemen, dus je kiest bewust wat je meeneemt en wat je verwaarloost. Bij een vallende steen laat je de luchtweerstand weg; bij een groeiende populatie ga je er eerst van uit dat er voedsel genoeg is. Modelleren is daarom geen truc maar een cyclus, weergegeven in Afb. 2: van het verschijnsel naar aannames en variabelen, naar een wiskundig model, naar een oplossing, en via toetsing aan meetgegevens weer terug.

Afb. 2 — De modelleercyclus

Afb. 2Afb. 2 — De modelleercyclus: van verschijnsel naar model, en via toetsing aan data weer terug. Klopt de voorspelling niet, dan stel je de aannames bij en doorloop je de cyclus opnieuw.

De eerste stap is het kiezen van variabelen en aannames. Je benoemt de grootheden die ertoe doen — bijvoorbeeld de tijd

t

(onafhankelijk) en de omvang

N

(afhankelijk) — en geeft de parameters een symbool, zoals een groeifactor

g

of een constante

k

. Vervolgens schrijf je expliciet op wélke aannames je doet: „de relatieve groei is constant”, „de omgevingstemperatuur blijft gelijk”, „er is geen migratie”. Deze aannames bepalen zowel de vorm van het model als de grens van zijn geldigheid; ze weglaten maakt een model onbruikbaar, want dan weet niemand waarvoor het wél opgaat.

Daarna los je het model op of analyseer je het, en dan komt de beslissende stap: toetsen aan data. Je vergelijkt de voorspelling van het model met echte metingen. Klopt het redelijk, dan is het model bruikbaar binnen zijn geldigheidsgebied; wijkt het systematisch af, dan stel je de aannames bij en doorloop je de cyclus opnieuw — de terugpijl „bijstellen” in Afb. 2. Zo verbetert een model stapsgewijs. Belangrijk is dat toetsing niet „bewijst” dat een model waar is; het kan een model alleen ondersteunen of weerleggen, precies zoals in de rest van de natuurwetenschap.

Een concreet voorbeeld is een exponentieel groeimodel. Neem je aan dat de toename per tijdstap evenredig is met de huidige omvang,

\dfrac{\Delta N}{\Delta t}\approx k\cdot N

, dan groeit

N

met een vaste factor per stap en krijg je

N(t)=N_{0}\cdot g^{t}

. Die aanname past goed bij een bacteriecultuur in de eerste uren, bij samengestelde rente of bij de beginfase van een epidemie. Maar zodra ruimte of voedsel schaars worden, klopt de aanname niet meer en vlakt de groei af — dan is een begrensd (logistisch) model beter. Het model is dus zo goed als zijn aanname.

Elk model heeft daarmee zowel waarde als grenzen. Een bekende vuistregel luidt: „alle modellen zijn fout, maar sommige zijn bruikbaar.” Bruikbaar betekent: nauwkeurig genoeg voor het doel, binnen een duidelijk benoemd geldigheidsgebied. De grootste valkuil is extrapolatie — een model dat de gemeten periode goed beschrijft blindelings ver buiten die periode doortrekken. Bij het presenteren van een model hoort daarom altijd: welke aannames zitten erin, hoe goed past het op de data, en waar houdt zijn geldigheid op?

N(t)=N_{0}\cdot g^{t}

Exponentieel groeimodel

Vaste groeifactor g per tijdstap, startwaarde N₀; passend bij een constante relatieve groei.

\frac{\Delta N}{\Delta t}\approx k\cdot N

De aanname achter het model

De toename per tijdseenheid is evenredig met de huidige omvang — de modelaanname die tot exponentiële groei leidt.

Uitgewerkt voorbeeld

Van waarnemingen naar een groeimodel

Een bacteriecultuur telt bij aanvang $200$ cellen en verdubbelt elk uur. (a) Stel een exponentieel model $N(t)$ op met $t$ in uren. (b) Hoeveel cellen zijn er na $5$ uur? (c) Welke aanname zit achter dit model, en waarom kan het op den duur niet blijven kloppen?

(a) Kies de vorm en de groeifactor
Verdubbelen per uur betekent groeifactor $g=2$ per uur en startwaarde $N_{0}=200$ , dus $N(t)=200\cdot 2^{t}$ .
$N(t)=200\cdot 2^{t}$
(b) Vul t = 5 in
$N(5)=200\cdot 2^{5}=200\cdot 32=6400$ cellen.
(c) Benoem de aanname en de grens
Het model neemt aan dat de relatieve groei constant is: elke cel deelt onbeperkt, ruimte en voedsel zijn onbeperkt. In werkelijkheid raakt de voedingsbodem uitgeput, zodat de groei afvlakt — dan past een begrensd (logistisch) model beter dan het exponentiële.

Resultaat: (a) $N(t)=200\cdot 2^{t}$ ; (b) na $5$ uur ongeveer $6400$ cellen; (c) de aanname van constante relatieve groei geldt alleen zolang voedsel en ruimte onbeperkt zijn — daarna is exponentiële groei niet meer houdbaar.

Veelgemaakte fouten

De aannames niet benoemen. Een model is pas af als je zegt wát je verwaarloost (luchtweerstand, uitputting van voedsel); zonder die aannames kun je het geldigheidsgebied niet aangeven.
Een goed passend model onbeperkt doortrekken (extrapoleren). Dat de bacteriegroei de eerste uren klopt, betekent niet dat $N(t)=200\cdot 2^{t}$ ook na een dag nog geldt.
Groeifactor en groeisnelheid door elkaar halen: verdubbelen per uur is groeifactor $g=2$ (keer $2$ ), niet „ $+2$ per uur”.

Actieve herhaling

Een meer wordt in het begin bedekt door $3\ \text{m}^{2}$ kroos, dat elke week met $40\%$ toeneemt. (a) Stel een model $A(t)$ op voor de bedekte oppervlakte na $t$ weken. (b) Bereken de bedekking na $4$ weken. (c) Noem één aanname van dit model en leg uit wanneer het niet meer realistisch is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Schaal, dimensie en machtsverbanden#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-F

Een machtsverband heeft de vorm

y=a\cdot x^{p}

: de ene grootheid is evenredig met een vaste macht van de andere. De constante

a

is de evenredigheidsconstante (ze stelt de verticale schaal in), en de exponent

p

bepaalt de vorm. Bij

p>1

buigt de grafiek steeds steiler omhoog (zoals de massa van een kubus in Afb. 3), bij

0<p<1

vlakt hij juist af, en bij

p<0

daalt hij. Let goed op het verschil met een exponentieel verband

y=a\cdot g^{x}

: bij een machtsverband staat de variabele in de basis, bij een exponentieel verband in de exponent. Dat onderscheid bepaalt zowel het gedrag als de manier waarop je het verband herkent.

Afb. 3 — Een machtsverband: massa tegen ribbe

Afb. 3Afb. 3 — Voor gelijkvormige kubussen met ribbe

L

(en dichtheid

1

) is de massa

M=L^{3}

: een machtsverband met exponent

p=3

. Verdubbel je

L

, dan wordt

M

acht (

=2^{3}

) keer zo groot.

Machtsverbanden komen als vanzelf uit schaal- en dimensieargumenten. Vergroot je een voorwerp gelijkvormig met een lineaire factor

L

, dan groeit elke lengte met

L

, elke oppervlakte met

L^{2}

en elk volume (en dus, bij gelijke dichtheid, de massa) met

L^{3}

. De exponent is telkens de dimensie van de grootheid:

1

voor lengte,

2

voor oppervlakte,

3

voor volume. Afb. 3 toont dit voor een kubus met ribbe

L

en dichtheid

1

: de massa is

M=L^{3}

, een machtsverband met

p=3

. Verdubbel je de ribbe, dan wordt de massa

2^{3}=8

keer zo groot — een gevolg dat je zonder één meting puur uit de dimensie voorspelt.

Machtsverbanden herken je door ze recht te trekken. Neem van beide kanten van

y=a\cdot x^{p}

de logaritme:

\log y=\log a+p\,\log x

. Dit is een lineair verband tussen

\log x

\log y

— dus op dubbellogaritmische (log-log) schaal wordt élk machtsverband een rechte lijn. De helling van die lijn is precies de exponent

p

, en het snijpunt met de verticale as is

\log a

. Afb. 4 laat het verband

M=L^{3}

uit Afb. 3 zien op log-log schaal: de gebogen kromme is een kaarsrechte lijn geworden met helling

3

. Zo lees je uit meetdata rechtstreeks de exponent af.

Afb. 4 — Hetzelfde verband recht getrokken op log-log schaal

Afb. 4Afb. 4 — Hetzelfde verband

M=L^{3}

op dubbellogaritmische schaal. De punten

(\log L,\ \log M)

liggen op een rechte lijn; de helling is

3

— precies de exponent

p

. Zo verraadt een rechte op log-log dat het om een machtsverband gaat.

Deze schaalwetten hebben verrassende gevolgen. Omdat oppervlakte met

L^{2}

groeit en volume met

L^{3}

, geldt tussen oppervlakte en volume

A\propto V^{2/3}

: verdubbel je het volume, dan groeit de oppervlakte maar met

2^{2/3}\approx 1{,}59

keer. Grote dieren hebben daardoor relatief weinig huidoppervlak ten opzichte van hun massa en koelen langzaam af, terwijl kleine dieren juist veel warmte verliezen — de reden dat een muis voortdurend moet eten en een olifant grote oren gebruikt om af te koelen. Zulke „allometrische” machtsverbanden (bijvoorbeeld het stofwisselingstempo

R\propto M^{3/4}

) beschrijven talloze verbanden tussen grootte en functie in de biologie.

In de praktijk gebruik je het rechttrekken als gereedschap om een onbekend verband te vinden. Zet je meetpunten op log-log schaal en liggen ze op een rechte, dan is het verband een machtsverband; de helling geeft

p

en het snijpunt geeft (na terugrekenen met

a=10^{\log a}

) de constante. Liggen de punten juist op een rechte op enkellogaritmische (semi-log) schaal — met alleen de

y

-as logaritmisch — dan heb je een exponentieel verband. De vorm van de rechte lijn verraadt zo het type verband, en de helling levert de parameter. Dit is precies de brug tussen meten en modelleren die domein F legt.

y=a\cdot x^{p}

Machtsverband

a is de evenredigheidsconstante, p de macht; bij p>1 buigt de grafiek omhoog, bij 0<p<1 vlakt hij af.

\log y=\log a+p\,\log x

Rechttrekken (log-log)

Neem van beide kanten de logaritme: op dubbellogaritmische schaal is een machtsverband een rechte met helling p en snijpunt log a.

A\propto L^{2},\quad V\propto L^{3}\ \Rightarrow\ A\propto V^{2/3}

Schaal en dimensie

Bij gelijkvormig vergroten groeit oppervlakte met de macht 2 en volume met de macht 3 van de lengte; daaruit volgt de 2/3-wet voor oppervlakte tegen volume.

Uitgewerkt voorbeeld

De formule uit een log-log-grafiek aflezen

Van gelijkvormige voorwerpen zijn de oppervlakte $A$ en het volume $V$ gemeten. Op dubbellogaritmische schaal (horizontaal $\log V$ , verticaal $\log A$ ) liggen de punten op een rechte lijn door $(0;\ 0{,}78)$ met helling $\frac{2}{3}$ . (a) Wat is de exponent $p$ ? (b) Bepaal de constante $a$ en de formule $A=a\cdot V^{p}$ . (c) Met welke factor groeit de oppervlakte als het volume verdubbelt?

(a) Helling = exponent
Op log-log is de helling gelijk aan de macht: $p=\frac{2}{3}$ . De oppervlakte groeit dus met de macht $\frac{2}{3}$ van het volume.
$\log A=\log a+p\,\log V,\quad p=\tfrac{2}{3}$
(b) Snijpunt = log a
Het snijpunt met de verticale as is $\log a=0{,}78$ , dus $a=10^{0{,}78}\approx 6{,}0$ . Daarmee is $A=6{,}0\cdot V^{2/3}$ .
$a=10^{0{,}78}\approx 6{,}0\ \Rightarrow\ A=6{,}0\,V^{2/3}$
(c) Verdubbel V
Vervang $V$ door $2V$ : $A_{\text{nieuw}}=6{,}0\,(2V)^{2/3}=2^{2/3}\cdot 6{,}0\,V^{2/3}=2^{2/3}\,A$ , en $2^{2/3}\approx 1{,}59$ .
$\dfrac{A_{\text{nieuw}}}{A}=2^{2/3}\approx 1{,}59$

Resultaat: (a) $p=\frac{2}{3}$ ; (b) $a\approx 6{,}0$ , dus $A\approx 6{,}0\,V^{2/3}$ ; (c) de oppervlakte groeit met factor $2^{2/3}\approx 1{,}59$ (dus $+59\%$ ) terwijl het volume met $100\%$ toeneemt — grote voorwerpen hebben relatief minder oppervlak.

Veelgemaakte fouten

Een machtsverband ( $y=a\,x^{p}$ , variabele in de basis) verwarren met een exponentieel verband ( $y=a\cdot g^{x}$ , variabele in de exponent). Een machtsverband wordt recht op log-log schaal, een exponentieel verband op enkellogaritmische (semi-log) schaal.
Bij het rechttrekken de helling als $a$ lezen en het snijpunt als $p$ . Het is andersom: de helling is $p$ en het snijpunt is $\log a$ .
Vergeten dat het snijpunt $\log a$ oplevert en niet $a$ zelf — je moet nog terugrekenen met $a=10^{\log a}$ .

Actieve herhaling

Metingen aan planeten suggereren dat de omlooptijd $T$ en de baanstraal $r$ voldoen aan een machtsverband $T=a\cdot r^{p}$ . Op log-log schaal liggen de punten op een rechte door $(0;\ 0)$ met helling $1{,}5$ . (a) Geef $p$ en $a$ . (b) Schrijf de formule. (c) Leg uit hoe je aan de grafiek ziet dat het géén exponentieel verband is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Wiskundige structuren in de wetenschap#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-F

De wetenschap put uit een gereedschapskist van wiskundige structuren, elk geschikt voor een ander type samenhang. Functies leggen een verband tussen grootheden vast; differentiaalvergelijkingen beschrijven hoe iets verandert; vectoren vatten grootheden met een richting samen; en complexe getallen beschrijven trillingen en draaiingen. Wiskunde D werkt deze structuren in de andere domeinen los uit; domein F laat zien dat het dezelfde gereedschappen zijn die keer op keer terugkomen in de natuurkunde, biologie en techniek. Het herkennen van de passende structuur bij een verschijnsel is een kernvaardigheid van dit domein.

De belangrijkste structuur voor verandering is de differentiaalvergelijking (DV). Veel wetten zeggen niet hoe groot iets ís, maar hoe snel het verándert. „De afname per tijdseenheid is evenredig met de aanwezige hoeveelheid” wordt de DV

\dfrac{dN}{dt}=-k\,N

. Deze ene regel beschrijft radioactief verval, het leeglopen van een medicijn uit het bloed en het afkoelen van koffie. De oplossing is het exponentiële verval

N(t)=N_{0}\,e^{-kt}

, met het getal

e\approx 2{,}718

als natuurlijke basis. In Afb. 5 zie je die vervalkromme: hij daalt steeds langzamer en nadert de tijd-as als asymptoot zonder die ooit te raken.

Afb. 5 — Exponentieel verval

Afb. 5Afb. 5 — Exponentieel verval

N(t)=N_{0}e^{-kt}

met

N_{0}=100

k=0{,}2

. Elke

3{,}47

tijdseenheden (de halveringstijd

t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}

) halveert de hoeveelheid; de kromme nadert de tijd-as als asymptoot.

Bij exponentieel verval hoort de halveringstijd

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}

: de tijd waarin de hoeveelheid halveert. Een groter vervalgetal

k

betekent een kórtere halveringstijd. Cruciaal is dat de halveringstijd niet van de beginhoeveelheid afhangt — na elke

t_{1/2}

blijft de helft over, of je nu met

100

of met

1000

eenheden begon. Dat maakt exponentieel verval zo herkenbaar en zo bruikbaar, bijvoorbeeld bij het dateren met koolstof-14. Deze structuur — DV plus exponentiële oplossing — is precies de brug naar het domein „continue dynamische systemen” van wiskunde D.

Niet elke grootheid is een enkel getal. Een kracht, een snelheid of een elektrisch veld heeft óók een richting; zulke grootheden zijn vectoren. Werken twee krachten op een voorwerp, dan tel je ze op als vectoren (kop-staart), en de resulterende beweging volgt uit die som — het superpositiebeginsel. In twee en drie dimensies leveren vectoren, het inproduct en het uitproduct het gereedschap voor hoeken, afstanden en loodrechte standen, precies wat de ruimtemeetkunde van wiskunde D uitwerkt. Zonder vectoren zou de natuurkunde krachten en velden niet kunnen optellen.

Voor periodieke verschijnselen — trillingen, golven, wisselstroom — zijn complexe getallen het natuurlijke gereedschap. De formule van Euler

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

verbindt de exponentiële functie met de goniometrie: vermenigvuldigen met

e^{i\varphi}

is niets anders dan draaien over een hoek

\varphi

in het complexe vlak. Daardoor kun je een trilling als één compact complex getal noteren en optellen, in plaats van met sinussen en cosinussen te worstelen. Dat dezelfde

e

-macht zowel verval, groei als draaiing beschrijft, toont de eenheid van de wiskundige structuren: enkele ideeën, telkens opnieuw inzetbaar in de wetenschap.

\frac{dN}{dt}=-k\,N

Vervalwet (differentiaalvergelijking)

De afname per tijdseenheid is evenredig met de aanwezige hoeveelheid — de DV die exponentieel verval beschrijft.

N(t)=N_{0}\,e^{-kt}

Oplossing: exponentieel verval

De oplossing van de vervalwet; N₀ is de beginhoeveelheid, k de vervalconstante.

t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}

Halveringstijd

De tijd waarin de hoeveelheid halveert; onafhankelijk van de beginhoeveelheid.

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

Formule van Euler

Complexe getallen beschrijven trillingen en wisselstroom; vermenigvuldigen met e^{iφ} is draaien over hoek φ.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met een vervalmodel

Een radioactief preparaat heeft op $t=0$ een activiteit van $100$ eenheden en vervalt volgens $N(t)=100\,e^{-0{,}2t}$ met $t$ in dagen. (a) Hoeveel is er na $5$ dagen over? (b) Bereken de halveringstijd. (c) Na hoeveel dagen is nog $10\%$ over?

(a) Vul t = 5 in
$N(5)=100\,e^{-0{,}2\cdot 5}=100\,e^{-1}\approx 100\cdot 0{,}368=36{,}8$ eenheden.
$N(5)=100e^{-1}\approx 36{,}8$
(b) Halveringstijd
Los $e^{-0{,}2t}=\frac{1}{2}$ op: $-0{,}2t=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ , dus $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}2}\approx 3{,}47$ dagen.
$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{0{,}2}\approx 3{,}47\ \text{dagen}$
(c) Nog 10% over
$100\,e^{-0{,}2t}=10\Rightarrow e^{-0{,}2t}=0{,}10\Rightarrow -0{,}2t=\ln 0{,}10\Rightarrow t=\dfrac{-\ln 0{,}10}{0{,}2}\approx 11{,}5$ dagen.
$t=\frac{-\ln 0{,}10}{0{,}2}\approx 11{,}5\ \text{dagen}$

Resultaat: (a) ongeveer $36{,}8$ eenheden; (b) de halveringstijd is $\frac{\ln 2}{0{,}2}\approx 3{,}47$ dagen; (c) na ongeveer $11{,}5$ dagen is nog $10\%$ over.

Veelgemaakte fouten

De vervalconstante $k$ en de halveringstijd $t_{1/2}$ verwarren. Ze horen bij elkaar via $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ ; een grotere $k$ betekent een kórtere halveringstijd.
Bij $N=N_{0}e^{-kt}$ het minteken vergeten of $e^{-kt}$ als $-e^{kt}$ lezen. De hoeveelheid blijft positief en dáált; $e^{-kt}$ is altijd positief en kleiner dan $1$ voor $t>0$ .
Denken dat de halveringstijd van de beginhoeveelheid afhangt. In $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ komt $N_{0}$ niet voor — na elke halveringstijd halveert wat er is, ongeacht de startwaarde.

Actieve herhaling

Warme koffie koelt af volgens de wet van Newton: het temperatuurverschil $\Delta T$ met de omgeving voldoet aan $\frac{d(\Delta T)}{dt}=-k\,\Delta T$ , met oplossing $\Delta T(t)=\Delta T_{0}\,e^{-kt}$ . Neem $\Delta T_{0}=60\ ^{\circ}\text{C}$ en $k=0{,}05$ per minuut. (a) Bereken $\Delta T$ na $10$ minuten. (b) Bepaal de halveringstijd van het temperatuurverschil. (c) Leg uit welke wiskundige structuur hier het model levert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Wiskunde in wetenschap

Kernpunten

De valwet gebruiken om te voorspellen

Kernpunten

Van waarnemingen naar een groeimodel

Kernpunten

De formule uit een log-log-grafiek aflezen

Kernpunten

Rekenen met een vervalmodel

Bronnen