Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Keuzeonderwerpen

Domein G — keuzeonderwerpen — is het deel van wiskunde D dat de school zelf invult: je verdiept je zelfstandig in één of meer thema's die de kern van wiskunde D (bewijzen, structuren, modelleren) verbreden, en je presenteert je bevindingen. Omdat de keuze bij de school ligt, geeft dit hoofdstuk representatieve voorbeelden, geen voorgeschreven lijst: grafentheorie en netwerken (grafen, wegen, circuits, Euler- en Hamiltonpaden), getaltheorie en cryptografie (deelbaarheid, priemgetallen, modulair rekenen $a\equiv b\pmod{n}$ en het idee achter RSA), en iteratie, fractals en matrices (zelfgelijkvormigheid en lineaire transformaties). Wiskunde D heeft geen centraal examen; deze stof wordt, net als de rest, in het schoolexamen (SE) getoetst zoals jouw school die heeft ingevuld.

4 Onderdelen~20 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·191919 / 19

Examenprofiel

G · Een door de school gekozen verdiepend thema zelfstandig bestuderen en de kernbegrippen beheersenG · Grafentheorie: grafen, graden, wegen en circuits en de Euler-voorwaarde voor een pad hanterenG · Getaltheorie: deelbaarheid, priemgetallen en modulair rekenen a\equiv b\pmod{n} toepassen, onder meer in het RSA-ideeG · Iteratie, fractals en matrices (lineaire transformaties) herkennen en toepassen, en het thema onderbouwd presenteren

Operatoren:leg uitbepaalberekenbewijstoon aanonderzoekpas toepresenteer

basisniveau

De keuzeonderwerpen bouwen op de algemene vaardigheden van domein A: begrippen scherp definiëren, redeneren en bewijzen, en resultaten helder presenteren. Welke thema's je bestudeert, bepaalt je school.

verhoogd niveau

Elk keuzeonderwerp is een klein wiskundegebied op zich. De kunst is de kernbegrippen te doorgronden, de methode op voorbeelden toe te passen en het verband te leggen met de rest van wiskunde D — en dat overtuigend te presenteren en te onderbouwen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Keuzeonderwerpen

Wat zijn keuzeonderwerpen (domein G)?#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-G

Domein G is bijzonder: het is een verplicht domein waarvan de school de inhoud kiest. Waar de domeinen B tot en met E vastliggen, vult jouw school domein G in met één of meer verdiepende thema's die je grotendeels zelfstandig bestudeert en vervolgens presenteert. Dat betekent dat er geen landelijk voorgeschreven lijst bestaat; dit hoofdstuk toont daarom representatieve voorbeelden en niet „de” stof. In Afb. 1 staan enkele veelgekozen keuzeonderwerpen rond een centrale kern — elk is een eigen tak van de wiskunde die je in een schoolexamen kunt tegenkomen zoals jouw docent die heeft ingevuld.

Afb. 1 — Enkele keuzeonderwerpen van domein G

Afb. 1Afb. 1 — Domein G is door de school ingevuld: enkele veelgekozen verdiepende thema's rond de gemeenschappelijke kern. Deze lijst is representatief, niet voorgeschreven.

De klassieke voorbeelden zijn goed afgebakende, aansprekende gebieden. Grafentheorie en netwerken bestuderen punten en verbindingen (routes, planningen, sociale netwerken). Getaltheorie en cryptografie gaan over gehele getallen, priemgetallen en modulair rekenen, met moderne versleuteling als toepassing. Fractals en iteratie onderzoeken wat er gebeurt als je een eenvoudige regel eindeloos herhaalt, en matrices en lineaire algebra beschrijven transformaties van het vlak en de ruimte. Andere scholen kiezen speltheorie, dynamische systemen of wiskundige logica. De volgende drie paragrafen werken drie van deze voorbeelden concreet uit.

Een keuzeonderwerp bestudeer je met een vaste aanpak, en die aanpak is zelf een leerdoel. Eerst beheers je de kernbegrippen en definities scherp; dan pas je de methode toe op concrete voorbeelden; vervolgens leg je het verband met de kern van wiskunde D — het gaat vaak om structuur, bewijzen en modelleren; en ten slotte presenteer je je bevindingen onderbouwd. Die vaardigheden — definiëren, redeneren, bewijzen en presenteren — komen rechtstreeks uit domein A (algemene en wiskundige vaardigheden) en worden bij domein G in samenhang getoetst.

Wat de keuzeonderwerpen bindt, is dat ze de kern van wiskunde D verbréden in plaats van uitrekenen. In veel schoolvakken draait het om rekenen; hier draait het vaker om inzien wáárom iets waar is en om het herkennen van structuur. Een keuzeonderwerp is daarmee een voorproefje van de universitaire wiskunde: je ontmoet een echt wiskundig gebied, met eigen taal, stellingen en open vragen, op een niveau dat met schoolwiskunde bereikbaar is. Juist daarom lenen deze onderwerpen zich uitstekend voor een zelfstandig onderzoek en een presentatie.

Een klein voorbeeld laat meteen zien hoe zo'n onderwerp voelt. Vat een gezelschap op als een graaf: elke persoon is een punt en elke handdruk een verbinding. Zonder één handdruk te tellen kun je met een eenvoudige redenering al zeggen hoeveel handdrukken er in totaal vallen als iedereen iedereen een hand geeft — zie het uitgewerkte voorbeeld hieronder. Dat is de geest van domein G: met heldere begrippen en een korte redenering kom je tot een algemeen resultaat, niet tot een som die je „even intoetst”.

|E(K_{n})|=\frac{n(n-1)}{2}

Ribben in de volledige graaf

In de volledige graaf Kₙ is elk paar punten verbonden; het aantal verbindingen (handdrukken) is n(n−1)/2.

\sum_{v}\deg(v)=2\,|E|

Handshakelemma

De som van alle graden is tweemaal het aantal ribben, want elke ribbe telt bij twee punten mee.

Uitgewerkt voorbeeld

Handdrukken tellen met een graaf

Op een feest geven $6$ mensen elkaar allemaal precies één keer een hand. Vat dit op als een graaf: elke persoon een punt, elke handdruk een ribbe (de volledige graaf $K_{6}$ ). (a) Hoeveel handen schudt ieder? (b) Hoeveel handdrukken zijn er in totaal? (c) Geef een formule voor $n$ mensen.

(a) Graad van elk punt
Iedere persoon schudt met de $5$ anderen, dus elk punt heeft graad $5$ .
(b) Van graden naar ribben
De som van de graden is $6\cdot 5=30$ . Volgens het handshakelemma is dat tweemaal het aantal ribben, dus er zijn $\frac{30}{2}=15$ handdrukken.
$|E|=\frac{\sum_{v}\deg(v)}{2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$
(c) Algemene formule
Bij $n$ mensen heeft elk punt graad $n-1$ , dus $|E|=\frac{n(n-1)}{2}$ . Voor $n=6$ geeft dat $\frac{6\cdot 5}{2}=15$ , wat klopt.
$|E(K_{n})|=\frac{n(n-1)}{2}$

Resultaat: (a) ieder schudt $5$ handen; (b) er zijn $15$ handdrukken; (c) bij $n$ mensen zijn het er $\frac{n(n-1)}{2}$ — een algemeen resultaat, gevonden zonder te tellen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat er één landelijk voorgeschreven keuzeonderwerp is. Domein G is per school verschillend; leer het thema zoals jouw docent het heeft ingevuld.
Een keuzeonderwerp als losse trucjes opvatten. De bedoeling is juist de samenhang: begrippen, redeneringen en het verband met de kern van wiskunde D.
Bij het handdrukken tellen elke handdruk dubbel rekenen. De som van de graden telt elke ribbe twee keer, dus je moet nog door $2$ delen.

Actieve herhaling

In een klein netwerk zijn $5$ computers onderling allemaal met elkaar verbonden (de volledige graaf $K_{5}$ ). (a) Hoeveel verbindingen heeft elke computer? (b) Hoeveel kabels zijn er in totaal? (c) Hoeveel kabels zou je bij $10$ computers nodig hebben? Gebruik de formule.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Voorbeeld: grafentheorie en netwerken#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-G

Een graaf is een verzameling punten (hoekpunten of knopen) met verbindingen ertussen (ribben of kanten). Ondanks die eenvoud modelleren grafen ontelbaar veel situaties: steden met wegen, computers met kabels, mensen met vriendschappen, vakken met roosterconflicten. Het aantal ribben dat in een punt samenkomt heet de graad van dat punt. Een centrale eigenschap is het handshakelemma

\sum_{v}\deg(v)=2\,|E|

: omdat elke ribbe twee uiteinden heeft, is de som van alle graden altijd even, en dus is het aantal punten met een oneven graad óók altijd even. Afb. 2 toont een kleine graaf — het bekende „huisje van de Kerstman” — waarmee we de begrippen concreet maken.

Afb. 2 — Een graaf met een Eulerpad (het „huisje”)

Afb. 2Afb. 2 — Het „huisje van de Kerstman”, met acht ribben. De punten

A

B

hebben graad

3

(oneven), de rest een even graad; volgens Euler bestaat er dus een Eulerpad van

A

naar

B

— de tekening is „in één streek” te maken.

Belangrijke begrippen zijn de weg, het circuit en het pad. Een weg is een route langs ribben van het ene punt naar het andere; een circuit (of gesloten pad) is een route die eindigt waar hij begint. Van bijzonder belang zijn routes die elke ribbe of elk punt precies één keer gebruiken. Een Eulerpad gebruikt elke ríbbe precies één keer (een Eulercircuit is zo'n pad dat gesloten is); een Hamiltonpad bezoekt elk púnt precies één keer. Het onderscheid ribbe/punt lijkt klein, maar de theorie erachter verschilt enorm: voor Eulerpaden bestaat een simpele test, voor Hamiltonpaden niet.

De stelling van Euler geeft die simpele test. Een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit precies dan als élk hoekpunt een even graad heeft; hij heeft een (open) Eulerpad precies dan als er hoogstens twee hoekpunten met een oneven graad zijn — en bij twee oneven punten begint en eindigt het pad juist in die twee. Zo weet je zónder proberen of een figuur „in één streek” te tekenen is. Voor het huisje in Afb. 2 hebben de twee onderste punten een oneven graad en de rest een even graad, dus er bestaat een Eulerpad dat bij het ene onderste punt begint en bij het andere eindigt.

Bij Hamiltonpaden is er geen eenvoudige graadtest. Of een graaf een route heeft die elk punt precies één keer aandoet, is in het algemeen een berucht moeilijk probleem: voor grote grafen is er geen bekende snelle methode, en het nauw verwante handelsreizigersprobleem (de kortste rondreis langs alle steden) is een van de beroemde open uitdagingen in de informatica. Dit contrast — Euler makkelijk, Hamilton moeilijk — is precies wat grafentheorie zo'n rijk keuzeonderwerp maakt: eenvoudige begrippen, verrassend diepe vragen.

In toepassingen krijgen ribben vaak een gewicht (afstand, tijd, kosten), en dan zoek je bijvoorbeeld de kortste route of het goedkoopste verbindingsnetwerk. Zulke netwerkproblemen los je op met algoritmen — stapsgewijze recepten — zoals het kortstepad-algoritme van Dijkstra of een methode voor een minimale opspannende boom. Voor domein G volstaat het meestal om de begrippen te beheersen, kleine gevallen met de hand te doen en de Euler-voorwaarde te kunnen toepassen; het besef dat achter een routekaart of een planning een graaf schuilt, is de kern.

\text{Eulercircuit} \iff \text{alle graden even}

Euler-circuit (gesloten)

Een samenhangende graaf heeft een gesloten Eulerpad precies als elk hoekpunt een even graad heeft.

\text{Eulerpad} \iff \text{precies } 0 \text{ of } 2 \text{ oneven graden}

Euler-pad (open)

Een open Eulerpad bestaat precies als er hoogstens twee hoekpunten van oneven graad zijn; bij twee begint en eindigt het pad daar.

Uitgewerkt voorbeeld

Bestaat er een Eulerpad?

Bekijk de graaf van het „huisje” (Afb. 2) met hoekpunten $A,B,C,D,E$ en acht ribben. (a) Bepaal de graad van elk hoekpunt. (b) Leg met de stelling van Euler uit of er een Eulerpad bestaat. (c) Geef zo'n pad.

(a) Graden tellen
$\deg(A)=3$ (naar $B,C,D$ ), $\deg(B)=3$ (naar $A,D,C$ ), $\deg(C)=4$ , $\deg(D)=4$ en $\deg(E)=2$ . Controle: $3+3+4+4+2=16=2\cdot 8$ ribben.
$\sum_{v}\deg(v)=16=2\cdot 8$
(b) Euler-voorwaarde toepassen
Er zijn precies twee hoekpunten van oneven graad ( $A$ en $B$ ) en de graaf is samenhangend. Volgens Euler bestaat er dan een open Eulerpad, dat begint en eindigt in $A$ en $B$ .
(c) Een pad construeren
Begin in een oneven punt, bijvoorbeeld $A$ : $A\to C\to B\to D\to C\to E\to D\to A\to B$ . Alle acht ribben worden precies één keer gebruikt en het pad eindigt in $B$ .

Resultaat: (a) graden $3,3,4,4,2$ ; (b) precies twee oneven graden, dus er is een Eulerpad; (c) bijvoorbeeld $A\to C\to B\to D\to C\to E\to D\to A\to B$ .

Veelgemaakte fouten

Een Eulerpad met een Hamiltonpad verwarren. Euler gaat over álle ríbben precies één keer, Hamilton over alle púnten precies één keer.
De Euler-voorwaarde verkeerd toepassen: bij vier of meer oneven punten bestaat er géén Eulerpad. „Hoogstens twee oneven graden” is de grens.
Vergeten te controleren of de graaf samenhangend is. Zonder samenhang helpt de graadvoorwaarde niet — je kunt losse delen niet in één streek verbinden.

Actieve herhaling

Teken vier punten $A,B,C,D$ en de ribben $A\!-\!B$ , $B\!-\!C$ , $C\!-\!D$ , $D\!-\!A$ en $A\!-\!C$ (een vierkant met één diagonaal). (a) Bepaal de graad van elk punt. (b) Bestaat er een Eulerpad of een Eulercircuit? Verklaar met de stelling van Euler. (c) Geef, als het kan, zo'n pad.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Voorbeeld: getaltheorie en cryptografie#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-G

Getaltheorie is de studie van de gehele getallen: deelbaarheid, priemgetallen en hun onderlinge verhoudingen. Je schrijft

d\mid a

(„

d

deelt

a

”) als

a

een geheel veelvoud van

d

is. De priemgetallen — getallen groter dan

1

die alleen door

1

en zichzelf deelbaar zijn — zijn de bouwstenen: volgens de hoofdstelling van de rekenkunde is elk geheel getal groter dan

1

op precies één manier te schrijven als een product van priemgetallen. Ondanks deze eenvoudige begrippen zit de getaltheorie vol diepe, soms eeuwenoude open vragen, en juist daarom is ze een geliefd keuzeonderwerp.

Het werkpaard van de moderne getaltheorie is het modulair rekenen. Je schrijft

a\equiv b\pmod{n}

als

n

het verschil

a-b

deelt; anders gezegd:

a

b

laten dezelfde rest bij deling door

n

. Dit is precies „klokrekenen”: op een klok met

n

posities loop je bij

n

weer rond naar

0

. Afb. 3 toont zo'n rekenklok modulo

7

; de diagonaalpijl laat zien dat

5+3\equiv 1\pmod{7}

, want

8

komt na één rondje weer op

1

uit. Optellen en vermenigvuldigen mag je gewoon met de resten doen, wat het rekenen met heel grote getallen sterk vereenvoudigt.

Afb. 3 — Rekenklok modulo 7

Afb. 3Afb. 3 — Modulo

7

loop je na positie

6

weer terug naar

0

. De diagonaalpijl toont

5+3\equiv 1\pmod{7}

: na één rondje komt

8

uit op

1

De verbinding met cryptografie ontstaat door een verschil in moeilijkheid. Twee priemgetallen

p

q

met elkaar vermenigvuldigen tot

n=p\cdot q

is makkelijk, maar uit een groot getal

n

de priemfactoren

p

q

terugvinden (factoriseren) is bijzonder moeilijk — er is geen bekende snelle methode. Dat noem je een „valdeur”-functie: één kant op eenvoudig, terug bijna onmogelijk. Zulke asymmetrie is precies wat je nodig hebt om een bericht wél te kunnen versleutelen maar niet zonder geheime sleutel te kunnen ontcijferen.

Op dat idee berust RSA, het bekendste voorbeeld van publieke-sleutelcryptografie. Je kiest twee priemgetallen

p

q

, stelt

n=pq

\varphi(n)=(p-1)(q-1)

op, kiest een openbare exponent

e

en berekent de geheime

d

met

e\cdot d\equiv 1\pmod{\varphi(n)}

. Het paar

(n,e)

is openbaar;

d

blijft geheim. Versleutelen doet iedereen met

c\equiv m^{e}\pmod{n}

, ontsleutelen kan alleen de eigenaar van

d

met

m\equiv c^{d}\pmod{n}

. Het uitgewerkte voorbeeld doet dit met kleine getallen helemaal voor.

Belangrijk is het eerlijke perspectief: dit is een representatief keuzeonderwerp, en wat je hier in het klein ziet, gebeurt in de praktijk met priemgetallen van honderden cijfers. De veiligheid van RSA staat of valt met de aanname dat factoriseren moeilijk blijft — geen bewezen onmogelijkheid, maar een goed onderbouwd vermoeden. Zo raakt dit onderwerp aan de kern van wiskunde D: scherpe definities, een stelling (hier de eigenschap

m^{ed}\equiv m

) en de eerlijke grens van wat we zeker weten.

a\equiv b\pmod{n}\iff n\mid (a-b)

Congruentie modulo n

a en b zijn congruent modulo n als n hun verschil deelt — ze hebben dezelfde rest bij deling door n.

\varphi(pq)=(p-1)(q-1)

Euler-totiënt (RSA)

Voor een product van twee priemgetallen p en q telt φ(n) de getallen onder n die geen factor met n delen; het bepaalt de private sleutel.

c\equiv m^{e}\pmod{n},\qquad m\equiv c^{d}\pmod{n}

RSA: versleutelen en ontsleutelen

Met de openbare (n,e) versleutel je; met de geheime d — waarvoor e·d≡1 (mod φ(n)) — ontsleutel je.

Uitgewerkt voorbeeld

RSA met kleine getallen

Neem de priemgetallen $p=3$ en $q=11$ . (a) Bepaal $n$ en $\varphi(n)$ . (b) Kies openbare exponent $e=3$ en bepaal de geheime $d$ met $e\cdot d\equiv 1\pmod{\varphi(n)}$ . (c) Versleutel de boodschap $m=2$ . (d) Ontsleutel de uitkomst en controleer dat je $m$ terugkrijgt.

(a) n en φ(n)
$n=p\cdot q=3\cdot 11=33$ en $\varphi(n)=(p-1)(q-1)=2\cdot 10=20$ .
$n=33,\qquad \varphi(n)=20$
(b) Geheime sleutel d
Zoek $d$ met $3d\equiv 1\pmod{20}$ . Omdat $3\cdot 7=21\equiv 1\pmod{20}$ , is $d=7$ .
$3\cdot 7=21\equiv 1\pmod{20}\ \Rightarrow\ d=7$
(c) Versleutelen
$c\equiv m^{e}=2^{3}=8\pmod{33}$ , dus de versleutelde boodschap is $c=8$ .
(d) Ontsleutelen
$m\equiv c^{d}=8^{7}\pmod{33}$ . Reken via herhaald kwadrateren: $8^{2}=64\equiv 31$ , $8^{4}\equiv 31^{2}=961\equiv 4$ , dus $8^{7}=8^{4}\cdot 8^{2}\cdot 8\equiv 4\cdot 31\cdot 8=992\equiv 2\pmod{33}$ . We krijgen $m=2$ terug.
$8^{7}\equiv 4\cdot 31\cdot 8\equiv 2\pmod{33}$

Resultaat: (a) $n=33$ , $\varphi(n)=20$ ; (b) $d=7$ ; (c) $c=8$ ; (d) $8^{7}\equiv 2\pmod{33}$ , dus de oorspronkelijke boodschap $m=2$ komt terug — precies wat RSA belooft.

Veelgemaakte fouten

Modulo pas op het eind toepassen bij grote machten. Reduceer tussentijds: $8^{7}\bmod 33$ bereken je met herhaald kwadrateren, niet door eerst $8^{7}=2097152$ uit te rekenen.
$\varphi(n)$ verwarren met $n$ bij het zoeken van $d$ . De geheime sleutel voldoet aan $e\cdot d\equiv 1\pmod{\varphi(n)}$ , dus modulo $\varphi(n)$ , niet modulo $n$ .
Denken dat $a\equiv b\pmod{n}$ betekent dat $a$ en $b$ gelijk zijn. Het betekent alleen dat ze dezelfde rest hebben bij deling door $n$ , oftewel dat $n$ het verschil deelt.

Actieve herhaling

(a) Bereken modulo $7$ : $5+4$ , $6\cdot 4$ en $3^{4}$ . (b) Bij een mini-RSA met $p=3$ en $q=5$ is $n=15$ en $\varphi(n)=8$ ; kies $e=3$ . Bepaal $d$ met $3d\equiv 1\pmod{8}$ . (c) Versleutel $m=2$ met $c\equiv m^{e}\pmod{15}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Voorbeeld: iteratie, fractals en matrices#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-G

Afb. 5 — De Sierpinski-driehoek (eerste stap)

Afb. 4Afb. 5 — Eén stap van de Sierpinski-driehoek: het middelste driehoekje (met hoekpunten in de middens

P,Q,R

) is weggehaald; er blijven

3

kleinere driehoeken over, elk met de halve zijde. Herhaling in elk driehoekje levert de fractal.

Itereren betekent dezelfde regel steeds opnieuw toepassen: je start met een waarde

x_{0}

en berekent

x_{n+1}=f(x_{n})

, zodat een rij

x_{0},x_{1},x_{2},\dots

ontstaat — de baan van het beginpunt. Zulke iteratie is volledig bepaald door de regel en het startpunt, maar het gedrag kan verrassend rijk zijn: de baan kan naar een vast punt kruipen (waar

f(x^{*})=x^{*}

), in een cyclus rondgaan, of ogenschijnlijk grillig („chaotisch”) worden. Dit sluit direct aan bij het domein „discrete dynamische systemen” van wiskunde D, maar als keuzeonderwerp gaat het vooral om de vraag welke patronen herhaling kan voortbrengen.

Herhaal je een meetkundige regel, dan ontstaan fractals: figuren die op elke schaal op zichzelf lijken (zelfgelijkvormig). Het schoolvoorbeeld is de Sierpinski-driehoek in Afb. 5: neem een driehoek, verbind de middens van de zijden en haal het middelste deel weg, zodat er

3

kleinere driehoeken overblijven met elk de halve zijde; herhaal dit in elk overgebleven driehoekje. Na

n

stappen zijn er

3^{n}

driehoeken, terwijl de resterende oppervlakte

\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}

maal de beginoppervlakte is. De oppervlakte gaat dus naar

0

, terwijl de figuur oneindig fijne structuur houdt — precies de fractale paradox.

Die spanning tussen „steeds minder oppervlakte” en „steeds meer detail” vang je met de fractale dimensie. De Sierpinski-driehoek bestaat uit

3

kopieën van zichzelf op halve schaal; zijn dimensie is

d=\dfrac{\log 3}{\log 2}\approx 1{,}585

, een getal tússen

1

(een lijn) en

2

(een vlak). Zo'n gebroken dimensie is de wiskundige manier om te zeggen dat de figuur „meer dan een lijn maar minder dan een vlak” is. Dat een simpele herhaalde regel tot zo'n niet-geheeltallige dimensie leidt, maakt fractals tot een populair en toegankelijk keuzeonderwerp.

Iteratie met complexe getallen levert de beroemdste fractals. Herhaal je

z_{n+1}=z_{n}^{2}+c

vanaf

z_{0}=0

, dan beslist de constante

c

of de baan begrensd blijft of naar oneindig ontsnapt; de verzameling

c

-waarden waarvoor de baan begrensd blijft, is de Mandelbrotverzameling, met haar oneindig gedetailleerde rand. Dit verbindt het keuzeonderwerp met domein E (complexe getallen): één kwadratische regel, eindeloos herhaald, brengt een van de rijkste figuren uit de hele wiskunde voort. Voor een schoolexamen volstaat het om het idee en enkele banen te begrijpen.

Een verwant gereedschap zijn matrices en lineaire transformaties. Een

2\times 2

-matrix beeldt het vlak op zichzelf af:

\left(\begin{smallmatrix}x'\\y'\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)

, oftewel

x'=ax+by

y'=cx+dy

. Zo beschrijf je draaiingen, schalingen en scheringen; twee transformaties na elkaar hoort bij het product van hun matrices, en de determinant vertelt met welke factor oppervlakten worden vergroot. Deze structuur raakt aan de ruimtemeetkunde en aan de complexe getallen (vermenigvuldigen met een complex getal is draaien-en-schalen), en laat opnieuw zien hoe de keuzeonderwerpen de kern van wiskunde D verbreden.

x_{n+1}=f(x_{n})

Iteratie (recursie)

Herhaal dezelfde regel; de rij x₀,x₁,x₂,… heet de baan van het beginpunt.

N_{n}=3^{n},\qquad A_{n}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}A_{0}

Sierpinski-driehoek

Na n stappen zijn er 3ⁿ driehoeken en is de resterende oppervlakte (3/4)ⁿ maal de beginoppervlakte.

d=\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1{,}585

Fractale dimensie (Sierpinski)

Drie kopieën op halve schaal geven een dimensie tussen 1 (lijn) en 2 (vlak).

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

Lineaire transformatie (matrix)

Een 2×2-matrix beeldt het vlak af: draaiingen, schalingen en scheringen; x'=ax+by, y'=cx+dy.

Uitgewerkt voorbeeld

De Sierpinski-driehoek doorrekenen

Bij de Sierpinski-driehoek (Afb. 5) haal je in elke stap uit elke driehoek het middelste deel weg, zodat er $3$ kleinere driehoeken overblijven met elk de halve zijde. Begin met een driehoek met oppervlakte $1$ . (a) Hoeveel driehoeken zijn er na $n$ stappen? (b) Welke oppervlakte blijft er na $n$ stappen over? (c) Bereken de oppervlakte na $5$ stappen.

(a) Aantal driehoeken
Elke driehoek wordt vervangen door $3$ nieuwe, dus het aantal wordt per stap keer $3$ : na $n$ stappen zijn er $3^{n}$ driehoeken.
$N_{n}=3^{n}$
(b) Resterende oppervlakte
Een driehoek met de halve zijde heeft een kwart van de oppervlakte. Er blijven $3$ over, dus de totale oppervlakte wordt per stap keer $\frac{3}{4}$ : na $n$ stappen is het $\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ van de beginoppervlakte.
$A_{n}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}\cdot 1$
(c) Na 5 stappen
$A_{5}=\left(\frac{3}{4}\right)^{5}=\frac{3^{5}}{4^{5}}=\frac{243}{1024}\approx 0{,}237$ .
$A_{5}=\frac{243}{1024}\approx 0{,}237$

Resultaat: (a) $3^{n}$ driehoeken; (b) oppervlakte $\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}$ ; (c) na $5$ stappen ongeveer $0{,}237$ . Bij doorgaan gaat de oppervlakte naar $0$ , terwijl er steeds meer, steeds fijnere driehoeken ontstaan — de fractale structuur met dimensie $\tfrac{\log 3}{\log 2}\approx 1{,}585$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de Sierpinski-oppervlakte de factor per stap fout kiezen. Elke kleinere driehoek heeft de hálve zijde en dus een kwart van de oppervlakte; met $3$ driehoeken is de resterende oppervlakte $\frac{3}{4}$ per stap, niet $\frac{1}{2}$ .
Aantal en maat door elkaar halen: het aantal driehoeken groeit ( $3^{n}$ ), maar de totale oppervlakte krimpt ( $(3/4)^{n}$ ). Beide gebeuren tegelijk.
Bij een matrixtransformatie rijen en kolommen verwisselen. Vermenigvuldig elke rij van de matrix met de kolomvector: $(x',y')=(ax+by,\ cx+dy)$ .

Actieve herhaling

Een lineaire transformatie in het vlak hoort bij de matrix $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ . (a) Bereken het beeld van $(1,0)$ en van $(0,1)$ . (b) Welke meetkundige transformatie is dit? (c) Wat gebeurt er als je de transformatie vier keer achter elkaar uitvoert?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Keuzeonderwerpen

Kernpunten

Handdrukken tellen met een graaf

Kernpunten

Bestaat er een Eulerpad?

Kernpunten

RSA met kleine getallen

Kernpunten

De Sierpinski-driehoek doorrekenen

Bronnen