Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Toevalsvariabelen en verwachtingswaarde

Een toevalsvariabele koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; met de kansverdeling vat je dat samen. De verwachtingswaarde E(X) is het gemiddelde op de lange duur, de variantie en de standaardafwijking σ meten de spreiding. Met de rekenregels voor E(aX+b), Var(aX+b) en voor sommen E(X+Y) en Var(X+Y) reken je snel aan lineaire combinaties van toevalsvariabelen.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0444 / 19

Examenprofiel

Discrete toevalsvariabele en kansverdeling opstellen (Σ P(X=x) = 1)Verwachtingswaarde E(X) = Σ x·P(X=x) berekenen, interpreteren en de regel E(aX+b) = aE(X)+b toepassenVariantie Var(X) = Σ(x−μ)²P(X=x) = E(X²)−μ² en standaardafwijking σ = √Var bepalenRekenregels voor sommen en lineaire combinaties: E(X+Y), Var(X+Y) bij onafhankelijkheid

Operatoren:berekenbepaalstel opleg uitinterpreteertoon aan

basisniveau

Toevalsvariabelen (domein B) horen tot de schoolexamen-stof (SE) van wiskunde D; er is geen centraal examen. Beheers minimaal: de kansverdeling van een discrete toevalsvariabele opstellen, en E(X), Var(X) en σ(X) uit die verdeling berekenen en interpreteren.

verhoogd niveau

Verdieping: de rekenregels E(aX+b)=aE(X)+b, Var(aX+b)=a²Var(X), E(X+Y)=E(X)+E(Y) en (bij onafhankelijkheid) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) toepassen, en het onderscheid tussen X+Y (twee onafhankelijke variabelen) en 2X (één variabele verdubbeld) doorzien.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Toevalsvariabelen en verwachtingswaarde

Toevalsvariabele en kansverdeling#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Een toevalsvariabele — ook stochast genoemd — koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; we schrijven hem met een hoofdletter, meestal

X

. Gooi je drie keer met een zuivere munt, dan is „het aantal keer kop” zo'n toevalsvariabele: hij kan de waarden

0

1

2

3

aannemen. Een toevalsvariabele is discreet als hij losse, aftelbare waarden aanneemt (zoals aantallen). Bij een discrete toevalsvariabele hoort een kansverdeling: een tabel of grafiek die bij elke mogelijke waarde

x

de kans

P(X=x)

geeft. In Afb. 1 staat de kansverdeling van het aantal keer kop bij drie worpen als staafdiagram.

Afb. 1 — Kansverdeling: aantal keer kop bij 3 worpen

Afb. 1Het aantal keer kop bij drie worpen met een zuivere munt. De verdeling is symmetrisch rond het midden; de kansen 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 tellen op tot 1.

De kansen in een kansverdeling bepaal je met de kansrekening uit het vorige onderwerp. Bij drie muntworpen zijn er

2^{3}=8

even waarschijnlijke uitkomsten (van KKK tot MMM). Voor

X=1

(precies één keer kop) zijn er

3

gunstige volgordes — KMM, MKM en MMK — dus

P(X=1)=\tfrac{3}{8}=0{,}375

. Zo vind je

P(X=0)=\tfrac{1}{8}

P(X=1)=\tfrac{3}{8}

P(X=2)=\tfrac{3}{8}

P(X=3)=\tfrac{1}{8}

. De verdeling is symmetrisch, met de grootste kansen in het midden bij

1

2

keer kop — precies wat je in Afb. 1 ziet.

Élke kansverdeling voldoet aan twee eisen die rechtstreeks uit de kansaxioma's volgen. Ten eerste is elke kans

P(X=x)

een getal tussen

0

1

. Ten tweede tellen alle kansen samen op tot precies

1

, want

X

neemt met zekerheid één van zijn waarden aan:

\sum_x P(X=x)=1

. Bij de muntworpen klopt dat:

\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{8}{8}=1

. Deze somcontrole is je belangrijkste zelfcheck: komt een kansverdeling niet op

1

uit, dan heb je een kans verkeerd berekend of een uitkomst vergeten.

Uit de kansverdeling lees je meteen samengestelde kansen af door de juiste staven op te tellen. „Minstens twee keer kop” betekent

X=2

X=3

, dus

P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{4}{8}=0{,}5

. „Hoogstens één keer kop” is het complement daarvan:

P(X\le 1)=1-0{,}5=0{,}5

. Zo gebruik je de som- en complementregel binnen één verdeling. Let goed op de grens: „minstens

2

” is

X\ge 2

(inclusief

2

), terwijl „meer dan

2

”

X>2

zou zijn (dus alleen

X=3

De kansverdeling is het fundament voor de rest van dit onderwerp. Zodra je de verdeling hebt, kun je er in de volgende paragrafen één getal uit halen dat het „gemiddelde” aangeeft (de verwachtingswaarde

E(X)

) en één getal dat de spreiding aangeeft (de standaardafwijking

\sigma

). Voor wiskunde D, dat alleen met een schoolexamen wordt afgesloten en geen centraal examen kent, is het zorgvuldig opstellen én controleren van de kansverdeling (domein B) de basisvaardigheid waarop al het overige rust.

\sum_x P(X=x)=1

Kansverdeling

De som van alle kansen in een kansverdeling is precies 1.

0\le P(X=x)\le 1

Elke kans in [0,1]

Elke afzonderlijke kans ligt tussen 0 en 1.

P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)

Samengestelde kans

Tel de kansen van de gunstige waarden op; „minstens 2” is X ≥ 2.

Uitgewerkt voorbeeld

De kansverdeling van drie muntworpen opstellen

Je gooit drie keer met een zuivere munt. Zij X het aantal keer kop. (a) Geef alle mogelijke waarden van X. (b) Stel de kansverdeling van X op. (c) Controleer dat de kansen samen 1 zijn. (d) Bereken P(X ≥ 2).

a) Mogelijke waarden
Bij drie worpen kun je 0, 1, 2 of 3 keer kop gooien, dus X ∈ {0, 1, 2, 3}.
b) Kansen tellen
Er zijn $2^{3}=8$ even waarschijnlijke uitkomsten. Het aantal volgordes met k keer kop is $\binom{3}{k}$ : 1, 3, 3, 1.
$P(X{=}0)=\tfrac{1}{8},\ P(X{=}1)=\tfrac{3}{8},\ P(X{=}2)=\tfrac{3}{8},\ P(X{=}3)=\tfrac{1}{8}$
c) Somcontrole
Tel alle kansen op; ze moeten precies 1 opleveren.
$\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{8}{8}=1$
d) Minstens twee keer kop
„Minstens 2” is X = 2 of X = 3; tel die twee kansen op.
$P(X\ge 2)=\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{4}{8}=0{,}5$

Resultaat: a) X ∈ {0,1,2,3}; b) kansen 1/8, 3/8, 3/8, 1/8; c) samen 1; d) P(X ≥ 2) = 1/2 = 0,5.

Veelgemaakte fouten

Uitkomsten en waarden verwarren: bij drie worpen zijn er 8 uitkomsten maar slechts 4 waarden van X, met verschillende kansen.
„Minstens 2” ( $X\ge 2$ ) en „meer dan 2” ( $X>2$ ) door elkaar halen; let op of de grenswaarde meetelt.
Een kansverdeling niet controleren; als de kansen niet op 1 uitkomen, is er een fout gemaakt.

Actieve herhaling

Een zuivere dobbelsteen wordt twee keer geworpen. Zij X het aantal keer dat je een zes gooit. (a) Geef de mogelijke waarden van X. (b) Stel de kansverdeling van X op (denk aan mét/zonder zes per worp). (c) Controleer dat de kansen samen 1 zijn. (d) Bereken P(X ≥ 1).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Verwachtingswaarde en haar rekenregels#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Afb. 1 — E(X) als zwaartepunt van de kansverdeling

Afb. 2Het spel keert 0, 10 of 20 euro uit met kansen 0,6, 0,3 en 0,1. De verwachtingswaarde E(X) = 5 is het balanspunt: de kans-„gewichten” houden elkaar rond 5 in evenwicht. E(X) hoeft zelf geen mogelijke uitkomst te zijn.

De verwachtingswaarde

E(X)

vat samen wat je „op de lange duur gemiddeld” per keer krijgt. Je berekent hem als een gewogen gemiddelde: vermenigvuldig elke waarde met háár kans en tel alles op,

E(X)=\sum_x x\cdot P(X=x)

. Beschouw een spel dat een bedrag

X

uitkeert: €0 met kans

0{,}6

, €10 met kans

0{,}3

en €20 met kans

0{,}1

. Dan is

E(X)=0\cdot 0{,}6+10\cdot 0{,}3+20\cdot 0{,}1=5

euro. In Afb. 1 zie je deze waarde als het zwaartepunt van de kansverdeling op de getallenlijn:

E(X)=5

is het balanspunt waar de „gewichten” (de kansen) elkaar in evenwicht houden.

De verwachtingswaarde hoeft zélf geen mogelijke uitkomst te zijn. In het spel win je nooit precies €5 — de prijzen zijn

0

10

20

— maar wie het spel duizenden keren speelt, wint gemiddeld ongeveer €5 per keer. Zo interpreteer je

E(X)

altijd: niet als „wat er deze keer gebeurt”, maar als het gemiddelde over heel veel herhalingen. Dit is dezelfde gedachte als de wet van de grote aantallen bij de empirische kans: het steekproefgemiddelde over veel spellen nadert

E(X)

Deze interpretatie maakt

E(X)

tot de „eerlijke prijs” van een kansspel. Kost een lot precies

E(X)

, dan is het spel op de lange duur gelijkspel; kost het méér, dan verliest de speler gemiddeld; kost het minder, dan is het voordelig. Bij ons spel is

E(X)=5

euro: bij een inleg van €7 verlies je gemiddeld €2 per keer, bij een inleg van €4 win je gemiddeld €1. Zo gebruik je de verwachtingswaarde om een weddenschap, verzekering of loterij te beoordelen — een klassieke examencontext in domein B.

Vaak bereken je niet

X

zelf, maar een lineaire bewerking ervan, zoals de nettowinst „prijs min inleg”. Daarvoor geldt de rekenregel

E(aX+b)=a\,E(X)+b

: een schaalfactor

a

en een verschuiving

b

werken rechtstreeks door in de verwachtingswaarde. Kost een lot €7, dan is de nettowinst

W=X-7

en dus

E(W)=E(X)-7=5-7=-2

euro (gemiddeld €2 verlies). Verdubbelt de organisator alle prijzen, dan is de nieuwe uitkering

2X

met

E(2X)=2\cdot E(X)=10

euro. Je hoeft de kansverdeling dus niet opnieuw op te stellen.

De rekenregel

E(aX+b)=a\,E(X)+b

heet lineariteit en is heel intuïtief: alle uitkomsten met

a

vermenigvuldigen schaalt ook het gemiddelde met

a

, en er

b

bij optellen verschuift het gemiddelde met

b

. Twee bijzondere gevallen:

E(aX)=a\,E(X)

(alleen schalen) en

E(X+b)=E(X)+b

(alleen verschuiven). In de laatste paragraaf breiden we dit uit naar sommen van twéé toevalsvariabelen. Onthoud alvast dat lineariteit voor de verwachtingswaarde altijd geldt — anders dan bij de variantie, waar de verschuiving

b

juist géén effect heeft.

E(X)=\sum_x x\cdot P(X=x)

Verwachtingswaarde

Het gewogen gemiddelde van de waarden, elk gewogen met zijn kans.

E(aX+b)=a\,E(X)+b

Lineariteit van E

Schalen met a en verschuiven met b werken rechtstreeks door in de verwachtingswaarde.

E(aX)=a\,E(X),\qquad E(X+b)=E(X)+b

Bijzondere gevallen

Alleen schalen, of alleen verschuiven.

Uitgewerkt voorbeeld

Verwachtingswaarde en de regel E(aX+b)

Een spel keert een bedrag X uit: P(X=0)=0,6, P(X=10)=0,3 en P(X=20)=0,1. (a) Bereken E(X) en interpreteer. (b) Een lot kost €7. Zij W = X − 7 de nettowinst; bereken E(W) met de regel E(aX+b)=aE(X)+b. (c) De organisator verdubbelt alle prijzen; bereken de nieuwe verwachte uitkering E(2X).

a) Verwachtingswaarde
Weeg elke prijs met zijn kans en tel op.
$E(X)=0\cdot 0{,}6+10\cdot 0{,}3+20\cdot 0{,}1=5$
a) Interpretatie
Op de lange duur keert het spel gemiddeld €5 per keer uit; €5 is dus de „eerlijke” inleg.
b) Nettowinst met lineariteit
Hier is $a=1$ en $b=-7$ , dus $E(W)=1\cdot E(X)+(-7)$ .
$E(W)=E(X)-7=5-7=-2$
c) Prijzen verdubbeld
Nu is $a=2$ en $b=0$ , dus $E(2X)=2\cdot E(X)$ .
$E(2X)=2\cdot 5=10$

Resultaat: a) E(X) = €5 (gemiddelde uitkering op lange duur); b) E(W) = −€2, dus bij €7 inleg gemiddeld €2 verlies per lot; c) E(2X) = €10.

Veelgemaakte fouten

$E(X)$ berekenen als het gewone gemiddelde van de waarden in plaats van het gewogen gemiddelde met de kansen.
Denken dat $E(X)$ een uitkomst moet zijn die echt kan vallen; $E(X)$ is een gemiddelde en mag tussen de waarden in liggen (zoals €5 of €3,60).
Bij $E(aX+b)$ de verschuiving $b$ ook met $a$ vermenigvuldigen; alleen $X$ wordt geschaald, $b$ komt er ongewijzigd bij.

Actieve herhaling

Bij een rad win je punten X: P(X=0)=0,5, P(X=2)=0,3, P(X=5)=0,2. (a) Bereken E(X). (b) Elke beurt kost 1 punt inleg; zij W = X − 1 de nettowinst. Bereken E(W) met de rekenregel. (c) De punten worden verdrievoudigd; bereken E(3X). Is het spel op de lange duur voordelig bij een inleg van 1 punt?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Variantie en standaardafwijking#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Afb. 1 — Gelijke verwachtingswaarde, verschillende spreiding

Afb. 3Beide spellen hebben E(X) = 4, maar spel A (σ ≈ 0,71) ligt dicht om het midden en spel B (σ ≈ 2,12) veel wijder. De standaardafwijking meet juist dat verschil, dat E(X) niet ziet.

De verwachtingswaarde zegt niets over de spreiding — hoe ver de uitkomsten doorgaans van het midden liggen. Afb. 1 maakt dat scherp: twee spellen

A

B

hebben dezelfde verwachtingswaarde

E(X)=4

, maar een heel verschillende spreiding. Spel

A

geeft

3

4

5

punten en blijft dicht bij het midden; spel

B

geeft

1

4

7

punten en springt veel verder weg. Wie alleen naar

E(X)

kijkt, ziet dit verschil niet. Daarom heb je naast de verwachtingswaarde een tweede kengetal nodig dat de spreiding meet: de variantie en de standaardafwijking.

De variantie is de verwachte gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde:

\text{Var}(X)=\sum_x (x-\mu)^2\,P(X=x)

, waarbij

\mu=E(X)

. Je kwadrateert de afwijkingen om twee redenen: zo heffen positieve en negatieve afwijkingen elkaar niet op (anders zou de som altijd

0

zijn), en grote afwijkingen tellen extra zwaar. Voor spel

B

met

\mu=4

geeft dat

\text{Var}(X)=(1-4)^2\cdot 0{,}25+(4-4)^2\cdot 0{,}5+(7-4)^2\cdot 0{,}25=9\cdot 0{,}25+0+9\cdot 0{,}25=4{,}5

. Voor het smallere spel

A

vind je op dezelfde manier

\text{Var}(X)=0{,}5

— veel kleiner, precies zoals Afb. 1 suggereert.

In de praktijk reken je de variantie meestal met de handige rekenformule

\text{Var}(X)=E(X^2)-\mu^2

, waarbij

E(X^2)=\sum_x x^2\,P(X=x)

het gewogen gemiddelde van de kwadraten is. Voor spel

B

E(X^2)=1^2\cdot 0{,}25+4^2\cdot 0{,}5+7^2\cdot 0{,}25=0{,}25+8+12{,}25=20{,}5

, dus

\text{Var}(X)=20{,}5-4^2=4{,}5

— hetzelfde antwoord als met de definitie. Deze formule is vaak sneller omdat je niet elke afwijking apart hoeft te kwadrateren, en ze is minder gevoelig voor rekenfouten met minnetjes.

Omdat de variantie in „punten-kwadraten” staat, is ze lastig te interpreteren. Daarom neem je de wortel terug om weer in de oorspronkelijke eenheid te komen: de standaardafwijking

\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}

. Zij is een maat voor de typische afstand tot de verwachtingswaarde. Voor spel

B

\sigma=\sqrt{4{,}5}\approx 2{,}12

en voor spel

A

\sigma=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71

: de uitkomsten van

A

liggen dus typisch zo'n

0{,}7

punt van het midden, die van

B

ruim

2

punten. Een kleine

\sigma

betekent „voorspelbaar, dicht om

E(X)

”, een grote

\sigma

betekent „grillig, veel risico”.

Ook voor de spreiding bestaat een rekenregel bij lineaire bewerkingen:

\text{Var}(aX+b)=a^2\,\text{Var}(X)

. Twee dingen vallen op. De verschuiving

b

verdwijnt volledig — alle uitkomsten evenveel opschuiven verandert de onderlinge spreiding niet. En de schaalfactor komt in het kwadraat terug, want de variantie leeft in kwadraten. Voor de standaardafwijking betekent dit

\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)

. Verdrievoudig je bijvoorbeeld de uitkomsten van spel

B

(

Y=3X

), dan is

\text{Var}(Y)=3^2\cdot 4{,}5=40{,}5

\sigma(Y)=3\cdot 2{,}12\approx 6{,}36

— driemaal zo groot.

\text{Var}(X)=\sum_x (x-\mu)^2\,P(X=x)

Variantie (definitie)

De verwachte gekwadrateerde afwijking van de verwachtingswaarde μ = E(X).

\text{Var}(X)=E(X^2)-\mu^2

Variantie (rekenformule)

Vaak sneller: het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde.

\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}

Standaardafwijking

De wortel van de variantie; een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als X.

\text{Var}(aX+b)=a^2\,\text{Var}(X),\qquad \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)

Rekenregel bij aX+b

De verschuiving b heeft geen effect; de schaalfactor komt in het kwadraat (variantie) of als |a| (σ) terug.

Uitgewerkt voorbeeld

Variantie en standaardafwijking van spel B

Voor spel B geldt P(X=1)=0,25, P(X=4)=0,5, P(X=7)=0,25. (a) Bereken E(X). (b) Bereken Var(X) met de definitie. (c) Controleer met Var(X)=E(X²)−μ². (d) Bereken σ(X). (e) De uitkomsten worden verdrievoudigd (Y=3X); bereken σ(Y).

a) Verwachtingswaarde
Weeg elke waarde met zijn kans.
$E(X)=1\cdot 0{,}25+4\cdot 0{,}5+7\cdot 0{,}25=4$
b) Variantie met de definitie
Kwadrateer elke afwijking van $\mu=4$ en weeg met de kans.
$\text{Var}(X)=(1-4)^2\cdot 0{,}25+0+(7-4)^2\cdot 0{,}25=2{,}25+2{,}25=4{,}5$
c) Controle met de rekenformule
Bereken eerst $E(X^2)=1\cdot 0{,}25+16\cdot 0{,}5+49\cdot 0{,}25=20{,}5$ ; trek dan $\mu^2$ af.
$\text{Var}(X)=E(X^2)-\mu^2=20{,}5-16=4{,}5$
d) Standaardafwijking
Neem de wortel van de variantie.
$\sigma(X)=\sqrt{4{,}5}\approx 2{,}12$
e) Uitkomsten verdrievoudigd
Gebruik $\sigma(aX)=|a|\,\sigma(X)$ met $a=3$ .
$\sigma(3X)=3\cdot\sqrt{4{,}5}\approx 6{,}36$

Resultaat: a) E(X) = 4; b) Var(X) = 4,5; c) 20,5 − 16 = 4,5 (klopt); d) σ(X) ≈ 2,12; e) σ(3X) ≈ 6,36 (driemaal zo groot).

Veelgemaakte fouten

Vergeten de wortel te trekken: $\sum (x-\mu)^2 P(X=x)$ is de variantie; de standaardafwijking is de wortel daarvan (anders staat je antwoord in kwadraten).
Bij $\text{Var}(aX+b)$ de schaalfactor $a$ niet kwadrateren, of de verschuiving $b$ wél laten meetellen (die heeft juist geen effect op de spreiding).
De afwijkingen niet kwadrateren maar de gewone afwijkingen optellen; die som is altijd 0.

Actieve herhaling

Een toevalsvariabele X heeft P(X=2)=0,4, P(X=5)=0,4, P(X=10)=0,2. (a) Bereken E(X). (b) Bereken Var(X) met de rekenformule E(X²)−μ². (c) Bepaal σ(X). (d) De uitkomsten worden met 2 verhoogd (Y = X + 2); geef E(Y) en σ(Y) zonder de verdeling opnieuw op te stellen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Sommen en lineaire combinaties van toevalsvariabelen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Afb. 1 — Kansverdeling van de som van twee dobbelstenen

Afb. 4De som S = X + Y van twee zuivere dobbelstenen. De verdeling is driehoekig met de top bij s = 7, precies E(S) = 3,5 + 3,5 = 7. De spreiding, σ(S) ≈ 2,42, volgt uit Var(S) = Var(X) + Var(Y) omdat de worpen onafhankelijk zijn.

Vaak stel je een nieuwe toevalsvariabele samen uit meerdere: de som van twee dobbelstenen, de totale winst over twee spellen, het gemiddelde van drie metingen. Voor de verwachtingswaarde is dat eenvoudig, want

E

is altijd lineair:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

, ongeacht of

X

Y

iets met elkaar te maken hebben. Afb. 1 toont de kansverdeling van de som

S=X+Y

van twee zuivere dobbelstenen. Elke afzonderlijke worp heeft

E=3{,}5

, dus

E(S)=3{,}5+3{,}5=7

— en inderdaad ligt de top van de driehoekvormige verdeling precies bij

7

Voor de variantie ligt het subtieler:

\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)

geldt alléén als

X

Y

onafhankelijk zijn. Twee dobbelstenen beïnvloeden elkaar niet, dus mag het hier. Eén worp heeft

\text{Var}=\tfrac{35}{12}\approx 2{,}92

, dus

\text{Var}(S)=2\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}{6}\approx 5{,}83

\sigma(S)=\sqrt{5{,}83}\approx 2{,}42

. Belangrijk: varianties tel je op, standaardafwijkingen níét —

\sigma(S)

is dus niet

2\cdot 1{,}71

. Zijn de variabelen afhankelijk, dan komt er een correctieterm bij en klopt de eenvoudige optelling niet meer.

Het onderscheid tussen

X+Y

2X

is een klassiek — en gemakkelijk te verwarren — punt.

X+Y

is de som van twéé onafhankelijke worpen;

2X

is één worp waarvan je de uitkomst verdubbelt. Voor de verwachtingswaarde geven ze hetzelfde:

E(X+Y)=7

E(2X)=2\cdot 3{,}5=7

. Maar voor de spreiding lopen ze sterk uiteen:

\text{Var}(X+Y)=2\cdot 2{,}92=5{,}83

, terwijl

\text{Var}(2X)=2^2\cdot 2{,}92=11{,}67

— precies twee keer zo groot. Bij

2X

worden hoge en lage uitkomsten allebei verdubbeld en versterkt, terwijl bij

X+Y

een hoge en een lage worp elkaar vaak deels opheffen; middelen dempt de spreiding, verdubbelen versterkt haar.

De regels breiden uit naar willekeurige lineaire combinaties. Voor de verwachtingswaarde geldt

E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y)

zonder enige voorwaarde. Voor de variantie geldt bij onafhankelijke

X

Y

dat

\text{Var}(aX+bY)=a^2\,\text{Var}(X)+b^2\,\text{Var}(Y)

: elke coëfficiënt komt in het kwadraat terug, net als bij

\text{Var}(aX+b)

uit de vorige paragraaf. Deze formules gebruik je bijvoorbeeld om het gemiddelde

\bar{X}=\tfrac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)

van

n

onafhankelijke metingen te analyseren; daarbij blijkt dat

\sigma(\bar{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

kleiner wordt naarmate je meer meet.

Samengevat: voor de verwachtingswaarde mag je altijd optellen en lineair rekenen, ongeacht afhankelijkheid; voor de variantie mag je alleen optellen als de variabelen onafhankelijk zijn, en komen schaalfactoren gekwadrateerd terug. Controleer bij een variantiesom dus altijd eerst de onafhankelijkheid. Deze rekenregels vormen de afronding van domein B (kansrekening en toevalsvariabelen) van wiskunde D; omdat het vak alleen met een schoolexamen wordt afgesloten en geen centraal examen kent, toetst je school ze in samenhang met de kansverdelingen die je hierna tegenkomt (zoals de binomiale verdeling, waar

E(X)=np

\text{Var}(X)=np(1-p)

directe toepassingen van deze regels zijn).

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Som — verwachtingswaarde

Geldt altijd, ook als X en Y afhankelijk zijn.

\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\quad(X,Y\text{ onafhankelijk})

Som — variantie

Varianties tel je op, maar alléén bij onafhankelijkheid; standaardafwijkingen tel je nooit zomaar op.

E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y)

Lineaire combinatie — E

De verwachtingswaarde is lineair, zonder voorwaarden.

\text{Var}(aX+bY)=a^2\,\text{Var}(X)+b^2\,\text{Var}(Y)\quad(X,Y\text{ onafhankelijk})

Lineaire combinatie — Var

Elke coëfficiënt komt gekwadrateerd terug; alleen geldig bij onafhankelijkheid.

Uitgewerkt voorbeeld

De som van twee dobbelstenen versus het dubbele van één worp

X en Y zijn de ogen van twee onafhankelijke zuivere dobbelstenen. Voor één worp geldt E(X)=3,5 en Var(X)=35/12≈2,92. Zij S=X+Y de som (Afb. 1). (a) Bereken E(S). (b) Bereken Var(S) en σ(S). (c) Leg uit waarom je de varianties mag optellen. (d) Bereken E(T) en Var(T) voor T=2X en vergelijk met S.

a) Verwachtingswaarde van de som
De verwachtingswaarde is altijd lineair.
$E(S)=E(X)+E(Y)=3{,}5+3{,}5=7$
b) Variantie en standaardafwijking
Tel de varianties op en neem de wortel voor σ.
$\text{Var}(S)=2\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}{6}\approx 5{,}83,\qquad \sigma(S)=\sqrt{5{,}83}\approx 2{,}42$
c) Waarom optellen mag
De twee dobbelstenen beïnvloeden elkaar niet, dus X en Y zijn onafhankelijk; alleen dan geldt $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ .
d) Vergelijk met T = 2X
Nu schaal je één worp: $E(T)=2\cdot 3{,}5=7$ (gelijk aan $E(S)$ ), maar $\text{Var}(T)=2^2\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}{3}\approx 11{,}67$ — twee keer zo groot als $\text{Var}(S)$ .
$E(T)=7,\qquad \text{Var}(T)=4\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}{3}\approx 11{,}67$

Resultaat: a) E(S) = 7; b) Var(S) ≈ 5,83 en σ(S) ≈ 2,42; c) omdat X en Y onafhankelijk zijn; d) S en T hebben dezelfde verwachting 7, maar T spreidt veel meer (Var 11,67 tegen 5,83): twee worpen optellen is niet hetzelfde als één worp verdubbelen.

Veelgemaakte fouten

Standaardafwijkingen optellen in plaats van varianties: $\sigma(X+Y)\ne\sigma(X)+\sigma(Y)$ ; tel eerst de varianties op en trek dan pas de wortel.
$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ gebruiken zonder te controleren of $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn.
$X+Y$ en $2X$ als hetzelfde behandelen; hun verwachtingswaarde is gelijk, maar $\text{Var}(2X)=4\text{Var}(X)$ is dubbel zo groot als $\text{Var}(X+Y)=2\text{Var}(X)$ .

Actieve herhaling

Twee onafhankelijke machines vullen elk een zak; het gewicht X (machine 1) heeft E(X)=500 g en σ(X)=8 g, het gewicht Y (machine 2) E(Y)=500 g en σ(Y)=6 g. (a) Bereken E(X+Y) en σ(X+Y) voor het totale gewicht van twee zakken. (b) Bereken E(2X) en σ(2X) voor twee zakken van dezelfde machine. (c) Leg uit waarom (a) en (b) een verschillende spreiding geven, ook al is de verwachtingswaarde gelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Toevalsvariabelen en verwachtingswaarde

Kernpunten

De kansverdeling van drie muntworpen opstellen

Kernpunten

Verwachtingswaarde en de regel E(aX+b)

Kernpunten

Variantie en standaardafwijking van spel B

Kernpunten

De som van twee dobbelstenen versus het dubbele van één worp

Bronnen