Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Toepassingen van discrete en continue dynamische systemen

Dynamische systemen komen tot leven in toepassingen: van een situatie maak je een model door aannames te kiezen, parameters te schatten en het te valideren. Groei- en vervalmodellen (populatiegroei, radioactief verval $N=N_0e^{-kt}$ met halveringstijd) en afkoeling (de wet van Newton $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{omg}})$ , met de omgevingstemperatuur als asymptoot) bouwen voort op exponentiële en begrensde groei. Gekoppelde systemen — predator-prooi en de SIR-epidemie — beschrijven meerdere grootheden die elkaar beïnvloeden. Steeds interpreteer je de uitkomst kritisch en toets je de aannames. Wiskunde D is een schoolexamenvak (SE) zonder centraal examen; dit onderwerp hoort bij domein C.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·111111 / 19

Examenprofiel

Een situatie vertalen in een discreet of continu dynamisch model (aannames en parameters)Groei- en vervalmodellen opstellen en de halveringstijd gebruikenDe wet van afkoeling van Newton toepassen en de asymptoot interpreterenGekoppelde systemen (predator-prooi, SIR) opstellen en kwalitatief analyseren

Operatoren:stel opbepaalberekenmodelleervalideerinterpreteeronderzoekbeschrijf

basisniveau

Schoolexamenstof (SE) domein C: een situatie modelleren, exponentiële groei- en vervalmodellen met halveringstijd, en de wet van afkoeling van Newton met haar asymptoot.

verhoogd niveau

Verdieping: parameters uit data schatten en een model valideren, en gekoppelde systemen (predator-prooi, SIR) opstellen en kwalitatief analyseren, inclusief de drempelwaarde waarboven een epidemie groeit.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Toepassingen van discrete en continue dynamische systemen

Van situatie naar model: aannames en parameters#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Modelleren is het vertalen van een verschijnsel uit de werkelijkheid naar wiskunde, en het verloopt in een vaste „modelleercyclus" (Afb. 1). Je begint bij de „situatie" (een populatie, een afkoelend voorwerp, een epidemie), maakt vervolgens „aannames" en kiest de „variabelen" (wat meet je, en waarvan hangt de verandering af?). Daarna giet je die aannames in een „model" — een recursie of een differentiaalvergelijking — dat je oplost of simuleert. Ten slotte „valideer" je de uitkomst met echte gegevens en „interpreteer" je haar terug in de situatie. Klopt het model niet, dan pas je de aannames aan: de cyclus draait opnieuw.

Afb. 1 — De modelleercyclus

Afb. 1Afb. 1 — De modelleercyclus: van situatie via aannames en model naar valideren en interpreteren; klopt het niet, dan stel je de aannames bij en draait de cyclus opnieuw.

De eerste keuze is discreet of continu. Verandert de grootheid in natuurlijke, losse stappen — een populatie die per jaar of per generatie telt, een saldo dat per maand rente krijgt — dan past een „recursie"

u(n+1)=f(u(n))

. Verandert ze op elk moment vloeiend — een temperatuur, een concentratie, een stroom — dan past een „differentiaalvergelijking"

\frac{dy}{dt}=f(t,y)

. Vaak beschrijven een discreet en een continu model hetzelfde verschijnsel; ze hangen samen doordat een groeifactor

g

per tijdstap hoort bij een continue groeiconstante

k=\ln g

(want

g^{\,n}=e^{kn}

De „parameters" zijn de getallen in het model die de situatie ijken: de groeisnelheid

r

k

, de draagkracht

K

, de afkoelconstante, de halveringstijd. Die haal je uit de gegevens. Een groeifactor schat je uit twee metingen: als een populatie in één stap van

u(n)

naar

u(n+1)

gaat, is de relatieve groei

\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)}

, en de groeifactor

g=\frac{u(n+1)}{u(n)}

. Bij een percentage per periode geldt

g=1+\frac{p}{100}

+12\%

per uur hoort bij

g=1{,}12

. Het schatten van parameters uit data is de kern van het „ijken" van een model op de werkelijkheid.

„Valideren" betekent het model toetsen aan onafhankelijke gegevens: voorspelt het waarden die overeenkomen met wat je meet? Een model dat de meetpunten waaruit je het schatte perfect raakt maar daarbuiten faalt, is niet gevalideerd. Even belangrijk is het beoordelen van de „aannames": een exponentieel groeimodel neemt onbeperkte hulpbronnen aan (onrealistisch op lange termijn), de wet van Newton neemt een constante omgevingstemperatuur aan, een SIR-model neemt een goed gemengde bevolking aan. Bij elke conclusie hoort de vraag: onder welke aannames geldt dit, en waar breekt het model?

Ten slotte „interpreteer" je de wiskundige uitkomst terug in de context, met de juiste eenheid en een zinvolle nauwkeurigheid. Een niet-geheel aantal dieren rond je af, een negatieve tijd verwerp je, en een asymptoot vertaal je naar „het eindniveau". Modelleren is dus geen eenrichtingsverkeer van situatie naar formule, maar een kringloop waarin je heen en weer beweegt tussen werkelijkheid en wiskunde totdat het model bruikbaar én verantwoord is. Deze houding — bouwen, toetsen, bijstellen — is precies wat domein C van wiskunde D van je vraagt.

u(n+1)=f(u(n)),\quad u(0)\ \text{gegeven}

Discreet model (recursie)

Passend als de grootheid in vaste stappen verandert (per jaar, per generatie).

\frac{dy}{dt}=f(t,y),\quad y(0)\ \text{gegeven}

Continu model (DV)

Passend als de grootheid vloeiend, op elk moment verandert.

g=\frac{u(n+1)}{u(n)}=1+\frac{p}{100},\qquad k=\ln g

Parameter schatten uit data

De groeifactor per stap volgt uit twee metingen of uit een percentage; $k=\ln g$ koppelt discreet aan continu.

Uitgewerkt voorbeeld

Eén situatie, twee modellen

Een bacteriekweek telt op $t=0$ (uren) 500 cellen en groeit met 12% per uur. Stel zowel een discreet model (per uur) als een continu model op, en laat zien dat ze bij $t=1$ dezelfde waarde geven.

Discreet model
12% erbij per uur is een groeifactor $g=1{,}12$ : een meetkundige recursie.
$u(n+1)=1{,}12\,u(n),\quad u(0)=500\ \Rightarrow\ u(n)=500\cdot 1{,}12^{\,n}$
Continu model
Koppel de groeifactor aan een continue groeiconstante via $k=\ln g$ .
$k=\ln(1{,}12)\approx 0{,}1133\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dt}=0{,}1133\,y,\ \ y=500\,e^{0{,}1133t}$
Vergelijk bij t = 1
Beide modellen moeten na één uur hetzelfde aantal geven.
$u(1)=500\cdot 1{,}12=560,\qquad y(1)=500\,e^{0{,}1133}\approx 560$

Resultaat: Discreet: $u(n)=500\cdot 1{,}12^{\,n}$ ; continu: $y=500\,e^{0{,}1133t}$ . Bij $t=1$ geven beide 560 cellen, want $k=\ln(1{,}12)$ koppelt de groeifactor aan de groeiconstante.

Veelgemaakte fouten

Een percentage verkeerd naar een groeifactor omzetten ( $+12\%\to\times 1{,}12$ , $-12\%\to\times 0{,}88$ ), of de groeifactor $g$ verwarren met de continue constante $k=\ln g$ .
De aannames van een model niet benoemen (bijv. onbeperkte hulpbronnen bij exponentiële groei), waardoor je conclusies buiten hun geldigheidsgebied trekt.

Actieve herhaling

Een meer bevat op $t=0$ (dagen) 200 algen; elke dag komt er 8% bij. Stel een discreet en een continu model op, koppel de parameters met $k=\ln(1{,}08)$ , en bereken met beide de hoeveelheid na 10 dagen. Benoem één aanname die het model op lange termijn onrealistisch maakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Groei- en vervalmodellen#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Radioactief verval met halveringstijd

Afb. 2Afb. 1 — Vervalkromme met halveringstijd 5 jaar: elke 5 jaar halveert de hoeveelheid (100 → 50 → 25). De asymptoot N=0 wordt genaderd maar nooit bereikt.

Het bekendste continue model is exponentiële groei of verval, de oplossing van

\frac{dy}{dt}=k\,y

. Bij

k>0

groeit de grootheid (

y=y_0e^{kt}

, populaties, kapitaal); bij

k<0

vervalt ze. Radioactief verval schrijf je meestal met een positieve vervalconstante als

N(t)=N_0\,e^{-kt}

: de hoeveelheid radioactieve kernen neemt af evenredig met het aantal dat er nog is. In Afb. 1 zie je zo'n vervalkromme: ze daalt steeds trager en nadert de horizontale asymptoot

N=0

zonder die ooit te bereiken — er blijft altijd een (steeds kleiner) restje over.

Kenmerkend voor exponentieel verval is de „halveringstijd"

t_{1/2}

: de vaste tijd waarin de hoeveelheid telkens halveert, onafhankelijk van waar je begint. Van

N_0

naar

\tfrac{1}{2}N_0

kost evenveel tijd als van

\tfrac{1}{2}N_0

naar

\tfrac{1}{4}N_0

. Het verband met de vervalconstante volgt uit

\tfrac{1}{2}=e^{-k\,t_{1/2}}

, wat na logaritmen

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}

geeft. Zo reken je een gemeten halveringstijd om naar

k

en omgekeerd. Met de halveringstijd kun je het model ook direct schrijven als

N(t)=N_0\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{t/t_{1/2}}

, wat vaak handiger rekent.

In Afb. 1 heeft de stof een halveringstijd van 5 jaar en start ze op

N_0=100

. Na 5 jaar is er nog

50

over, na 10 jaar

25

, na 15 jaar

12{,}5

— elke

5

jaar de helft. De vervalconstante is

k=\dfrac{\ln 2}{5}\approx 0{,}139

per jaar, zodat

N(t)=100\,e^{-0{,}139t}

. Deze twee schrijfwijzen — met

e

-macht of met

\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{t/5}

— geven exact dezelfde kromme; je kiest de vorm die bij de opgave past. Merk op dat de gemarkeerde punten op de kromme precies de opeenvolgende halveringen zijn.

Dezelfde wiskunde beschrijft groei. Een populatie zonder beperkingen groeit exponentieel met

N(t)=N_0e^{kt}

; nu is er geen halveringstijd maar een „verdubbelingstijd"

t_2=\dfrac{\ln 2}{k}

. Discreet schrijf je hetzelfde als een meetkundige rij

N(n)=N_0\cdot g^{\,n}

met groeifactor

g=e^{k}

. Of je nu met verdubbelen (groei) of halveren (verval) werkt, de structuur is identiek: een vaste factor per vaste tijdsduur. Dat is precies waarom exponentiële modellen zo breed toepasbaar zijn, van bacteriën en rente tot koolstofdatering.

Exponentiële groei is echter alleen op de korte termijn realistisch, want ze kent geen grens. Zodra hulpbronnen, ruimte of voedsel gaan tellen, remt de groei af en past het logistische model met draagkracht

K

beter (zie de volgende paragraaf over begrensde groei). Bij het toepassen van een groei- of vervalmodel hoort dus altijd een oordeel over het geldigheidsgebied: exponentieel verval geldt onbeperkt (er is geen ondergrens behalve

0

), maar exponentiële groei kantelt in werkelijkheid vroeg of laat naar begrensde groei. Het herkennen van die overgang is een kernvaardigheid bij het modelleren.

N(t)=N_0\,e^{-kt}

Exponentieel verval

De hoeveelheid neemt af evenredig met wat er nog is; $k>0$ is de vervalconstante.

t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}

Halveringstijd

De vaste tijd waarin de hoeveelheid halveert; volgt uit $\tfrac{1}{2}=e^{-k\,t_{1/2}}$ .

N(t)=N_0\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{\,t/t_{1/2}}

Verval met de halveringstijd

Gelijkwaardige schrijfwijze zonder $k$ ; handig als de halveringstijd gegeven is.

Uitgewerkt voorbeeld

Verval, vervalconstante en resthoeveelheid

Een radioactieve stof heeft een halveringstijd van 5 jaar; er is 100 mg aanwezig op $t=0$ . Bepaal de vervalconstante $k$ , stel $N(t)$ op en bereken hoeveel er na 12 jaar over is.

Bepaal de vervalconstante
Gebruik $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ met $t_{1/2}=5$ .
$k=\frac{\ln 2}{5}\approx 0{,}1386\ \text{per jaar}$
Stel het model op
Vul $N_0=100$ en $k$ in de vervalformule in.
$N(t)=100\,e^{-0{,}1386t}$
Bereken na 12 jaar
Vul $t=12$ in (of gebruik $100\cdot(\tfrac{1}{2})^{12/5}$ ).
$N(12)=100\,e^{-0{,}1386\cdot 12}=100\,e^{-1{,}663}\approx 19{,}0\ \text{mg}$

Resultaat: De vervalconstante is $k\approx 0{,}1386$ per jaar en $N(t)=100\,e^{-0{,}1386t}$ ; na 12 jaar is er nog ongeveer $19{,}0$ mg over.

Veelgemaakte fouten

De halveringstijd verwarren met de vervalconstante; $t_{1/2}$ en $k$ hangen samen via $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ , ze zijn niet gelijk.
Bij verval een negatieve exponent vergeten ( $N_0e^{+kt}$ i.p.v. $N_0e^{-kt}$ ), waardoor het model groeit in plaats van vervalt.

Actieve herhaling

Een isotoop heeft halveringstijd 8 dagen; begin 40 mg. Bepaal $k$ , stel $N(t)$ op en bereken de resthoeveelheid na 20 dagen. Na hoeveel dagen is er nog 5 mg over?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Afkoeling en begrensde groei#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Afkoeling naar de omgevingstemperatuur

Afb. 3Afb. 1 — Afkoeling volgens Newton: T(t)=20+70e^{-0,3t} daalt van 90 °C en nadert de omgevingstemperatuur T=20 °C (asymptoot). Het voorwerp wordt nooit kouder dan zijn omgeving.

De „wet van afkoeling van Newton" beschrijft hoe een warm voorwerp afkoelt in een koelere omgeving: de afkoelsnelheid is evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving. Als DV luidt dat

\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_{\text{omg}})

, waarin

T_{\text{omg}}

de constante omgevingstemperatuur is en

k>0

de afkoelconstante. Hoe groter het verschil

T-T_{\text{omg}}

, hoe sneller de temperatuur daalt; is het verschil klein, dan koelt het voorwerp nog maar traag af. Dit verklaart waarom hete koffie eerst snel en daarna steeds langzamer afkoelt.

De oplossing van deze DV is

T(t)=T_{\text{omg}}+(T_0-T_{\text{omg}})\,e^{-kt}

, met

T_0=T(0)

de begintemperatuur. Ze bestaat uit een constante

T_{\text{omg}}

plus een exponentieel dovende term die het beginverschil

T_0-T_{\text{omg}}

afbouwt. In Afb. 1 staat het geval

T_0=90

T_{\text{omg}}=20

k=0{,}3

: de kromme

T(t)=20+70\,e^{-0{,}3t}

daalt van

90

en nadert de horizontale asymptoot

T=20

. Die asymptoot is precies de omgevingstemperatuur: op lange termijn neemt het voorwerp de temperatuur van zijn omgeving aan, zonder er (wiskundig gezien) ooit exact op te komen.

Deze modelvorm hoort tot de „begrensde groei": een grootheid die een vast eindniveau nadert. Algemeen is dat

y(t)=G+(y_0-G)\,e^{-kt}

met eindwaarde (asymptoot)

G

. Bij afkoeling is

G=T_{\text{omg}}

en daalt

y

naar

G

; maar dezelfde formule beschrijft ook stijgende begrensde groei, bijvoorbeeld het opwarmen van een koud voorwerp of het vollopen van een tank tot een maximum. Of

y

stijgt of daalt hangt af van het teken van

y_0-G

; in beide gevallen krimpt het verschil met

G

exponentieel. De asymptoot lees je altijd af als de constante in de formule.

Let op het onderscheid met het logistische model uit de vorige paragrafen. Beide zijn „begrensde groei" met een asymptoot, maar hun vorm verschilt: begrensde groei volgens Newton nadert de asymptoot „van meet af aan" en heeft geen buigpunt (de snelheid is vanaf het begin het grootst en neemt gestaag af), terwijl de logistische kromme een S-vorm heeft met eerst versnelling en dan afvlakking. Kies het model dat bij het verschijnsel past: afkoeling en opladen zonder aanloop volgen de wet van Newton; groei die traag begint, versnelt en dan afvlakt (populaties, verspreiding) is logistisch.

Bij een afkoelvraag is de standaardaanpak: lees

T_0

T_{\text{omg}}

af, bepaal

k

uit een extra meting (bijvoorbeeld de temperatuur na een bekende tijd), stel

T(t)

op en beantwoord de vraag (temperatuur op een tijdstip, of het tijdstip bij een gegeven temperatuur). De asymptoot

T_{\text{omg}}

geeft meteen de grens: het voorwerp kan nooit kouder worden dan zijn omgeving, dus een gevraagde temperatuur onder

T_{\text{omg}}

heeft geen oplossing. Zo koppelt de wiskundige asymptoot direct aan een fysische onmogelijkheid — een mooi voorbeeld van interpreteren en valideren.

\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_{\text{omg}})

Wet van afkoeling van Newton

De afkoelsnelheid is evenredig met het temperatuurverschil met de (constante) omgeving.

T(t)=T_{\text{omg}}+(T_0-T_{\text{omg}})\,e^{-kt}

Oplossing (begrensde groei)

Een constante $T_{\text{omg}}$ plus een exponentieel dovend beginverschil; asymptoot $T=T_{\text{omg}}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Afkoelende koffie

Koffie van 90 °C staat in een kamer van 20 °C en koelt af volgens $\frac{dT}{dt}=-0{,}3\,(T-20)$ . Stel $T(t)$ op met $T_0=90$ en bereken de temperatuur na 5 minuten.

Vul de oplossing in
Gebruik $T(t)=T_{\text{omg}}+(T_0-T_{\text{omg}})e^{-kt}$ met $T_{\text{omg}}=20$ , $T_0=90$ , $k=0{,}3$ .
$T(t)=20+(90-20)\,e^{-0{,}3t}=20+70\,e^{-0{,}3t}$
Bereken na 5 minuten
Vul $t=5$ in; $e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231$ .
$T(5)=20+70\,e^{-1{,}5}\approx 20+15{,}6=35{,}6\ {}^\circ\text{C}$
Interpreteer
De koffie zakt richting de asymptoot $T=20$ °C; na 5 minuten is ze afgekoeld tot ongeveer $35{,}6$ °C en kan nooit onder $20$ °C komen.

Resultaat: $T(t)=20+70\,e^{-0{,}3t}$ ; na 5 minuten is de koffie ongeveer $35{,}6$ °C, op weg naar de omgevingstemperatuur van $20$ °C.

Veelgemaakte fouten

De omgevingstemperatuur $T_{\text{omg}}$ vergeten in de formule (alleen $T_0e^{-kt}$ schrijven), waardoor het model naar 0 zakt in plaats van naar $T_{\text{omg}}$ .
Het beginverschil verkeerd nemen: het is $(T_0-T_{\text{omg}})$ , niet $T_0$ — controleer altijd dat $T(0)=T_0$ uit je formule volgt.

Actieve herhaling

Een warm blok metaal van 150 °C koelt af in lucht van 25 °C met $\frac{dT}{dt}=-0{,}2\,(T-25)$ . Stel $T(t)$ op met $T_0=150$ , bereken de temperatuur na 10 minuten en leg uit waarom $T$ nooit onder 25 °C komt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Gekoppelde systemen en interactiemodellen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Koppeling in het SIR-model

Afb. 4Afb. 1 — Het SIR-model als stroom: vatbaren (S) worden besmet en gaan naar I, besmetten herstellen en gaan naar R. De term β·S·I koppelt S en I.

Tot nu toe veranderde één grootheid; in een „gekoppeld systeem" beïnvloeden twee of meer grootheden elkaar, elk met een eigen DV die van de andere afhangt. Het klassieke voorbeeld is het „predator-prooimodel" (Lotka-Volterra): een prooipopulatie

x

en een roofdierpopulatie

y

. De prooi groeit vanzelf maar wordt opgegeten, de roofdieren sterven vanzelf maar bloeien op van gegeten prooi:

\frac{dx}{dt}=a\,x-b\,xy

\frac{dy}{dt}=-c\,y+d\,xy

. De „interactieterm"

xy

— evenredig met het aantal ontmoetingen tussen prooi en roofdier — is de koppeling: hij komt in beide vergelijkingen voor, met tegengesteld effect.

Zulke gekoppelde systemen vertonen gedrag dat een enkele vergelijking niet kan: het predator-prooimodel geeft „schommelingen". Veel prooi laat de roofdieren toenemen; veel roofdieren drukken de prooi; weinig prooi laat de roofdieren afnemen; weinig roofdieren laten de prooi weer opveren — en de cyclus herhaalt zich, met de roofdierpiek steeds ná de prooipiek. Zo ontstaan periodieke golven in beide populaties. Omdat de vergelijkingen niet los van elkaar zijn op te lossen, analyseer je zo'n systeem vooral „kwalitatief" (welk gedrag?) en „numeriek" (met de methode van Euler, stap voor stap voor

x

y

tegelijk).

Een tweede belangrijk interactiemodel is de „SIR-epidemie", die een bevolking in drie groepen verdeelt:

S

(susceptible, vatbaar),

I

(infected, besmet) en

R

(recovered, hersteld/immuun). Afb. 1 toont de koppeling als een stroom: vatbaren worden besmet en stromen van

S

naar

I

, besmetten herstellen en stromen van

I

naar

R

. De vergelijkingen zijn

\frac{dS}{dt}=-\beta SI

\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I

\frac{dR}{dt}=\gamma I

, met besmettingsparameter

\beta

en herstelparameter

\gamma

. Ook hier is

SI

de interactieterm: besmetting vergt een ontmoeting tussen een vatbare en een besmette.

Uit de

I

-vergelijking lees je een scherpe „drempel" af. De besmettingen groeien (

\frac{dI}{dt}>0

) zolang

\beta S I-\gamma I=I(\beta S-\gamma)>0

, dus zolang

S>\dfrac{\gamma}{\beta}

. Zodra het aantal vatbaren onder deze drempel

\dfrac{\gamma}{\beta}

zakt, gaat

\frac{dI}{dt}<0

en dooft de epidemie uit. Deze drempelwaarde verklaart waarom een epidemie pas op gang komt als er genoeg vatbaren zijn, en waarom vaccineren (dat

S

verlaagt) een uitbraak kan voorkomen: het duwt

S

meteen onder de drempel. Zo levert een eenvoudige tekenanalyse van een gekoppeld model een beleidsrelevante conclusie.

Gekoppelde systemen laten de kracht én de grenzen van modelleren zien. Met een handvol parameters (

a,b,c,d

\beta,\gamma

) vang je rijk gedrag — cycli, drempels, uitbraken — maar de aannames zijn stevig: constante parameters, een goed gemengde populatie, geen leeftijd of ruimte. Bij het interpreteren blijf je daarom kritisch: het model geeft het „mechanisme" en de „trend", niet exacte voorspellingen. Voor wiskunde D volstaat het de vergelijkingen te kunnen opstellen, de koppelingsterm te herkennen, het systeem numeriek met Euler te kunnen doorrekenen, en het gedrag (schommeling, drempel, evenwicht) kwalitatief te beschrijven en te toetsen aan de aannames.

\frac{dx}{dt}=a\,x-b\,xy,\qquad \frac{dy}{dt}=-c\,y+d\,xy

Predator-prooimodel (Lotka-Volterra)

Prooi $x$ en roofdier $y$ ; de interactieterm $xy$ koppelt de twee vergelijkingen met tegengesteld effect.

\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\quad \frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I,\quad \frac{dR}{dt}=\gamma I

SIR-epidemiemodel

Vatbaar $S$ , besmet $I$ , hersteld $R$ ; $\beta$ is de besmettings-, $\gamma$ de herstelparameter.

\frac{dI}{dt}>0\iff S>\frac{\gamma}{\beta}

Epidemiedrempel

De besmettingen groeien alleen zolang het aantal vatbaren boven de drempel $\gamma/\beta$ ligt.

Uitgewerkt voorbeeld

Groeit de epidemie? De drempel bepalen

In een SIR-model gelden $\beta=0{,}002$ en $\gamma=0{,}1$ per dag. Op zeker moment is $S=800$ en $I=10$ . Bereken $\frac{dI}{dt}$ en beoordeel of de epidemie op dat moment groeit, en bepaal de drempelwaarde van $S$ waarboven $I$ toeneemt.

Stel de I-vergelijking op
Gebruik $\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I=I(\beta S-\gamma)$ .
$\frac{dI}{dt}=10\,(0{,}002\cdot 800-0{,}1)$
Reken uit
Werk de haakjes uit.
$\frac{dI}{dt}=10\,(1{,}6-0{,}1)=10\cdot 1{,}5=15\ \text{per dag}$
Bepaal de drempel
$I$ groeit zolang $\beta S-\gamma>0$ , dus $S>\gamma/\beta$ .
$S>\frac{\gamma}{\beta}=\frac{0{,}1}{0{,}002}=50$

Resultaat: $\frac{dI}{dt}=15>0$ , dus de epidemie groeit; ze blijft groeien zolang $S>50$ en dooft uit zodra het aantal vatbaren onder de drempel $50$ zakt.

Veelgemaakte fouten

De interactieterm weglaten of los behandelen; juist de gemeenschappelijke term $xy$ (of $SI$ ) koppelt de vergelijkingen — zonder koppeling zijn het twee onafhankelijke modellen.
De parameters $\beta$ en $\gamma$ verwisselen, of denken dat de roofdierpiek samenvalt met de prooipiek; de roofdieren pieken juist ná de prooi.

Actieve herhaling

In een SIR-model zijn $\beta=0{,}0005$ en $\gamma=0{,}2$ per dag. Bepaal de drempelwaarde $\gamma/\beta$ van $S$ . Groeit de epidemie bij $S=500$ , $I=20$ ? Bereken $\frac{dI}{dt}$ en licht je antwoord toe.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Toepassingen van discrete en continue dynamische systemen

Kernpunten

Eén situatie, twee modellen

Kernpunten

Verval, vervalconstante en resthoeveelheid

Kernpunten

Afkoelende koffie

Kernpunten

Groeit de epidemie? De drempel bepalen

Bronnen