Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Domein A is de gereedschapskist die onder heel het examen wiskunde B ligt: foutloos rekenen met machten, wortels en breuken, algebraïsch herleiden en ontbinden, formules bewerken en een variabele vrijmaken, en het verschil kennen tussen een exacte waarde en een benadering. Deze vaardigheden worden nooit los getoetst, maar bepalen bij elke opgave of je tot een correct eindantwoord komt. Omdat het centraal examen wiskunde B grotendeels zonder rekenmachine gemaakt wordt, is exact en secuur algebraïsch werken hier extra belangrijk.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 2

T·0111 / 16

Examenprofiel

A5 · Algebraïsche vaardigheden: rekenen met machten, wortels en breuken en algebraïsch herleidenFormules bewerken: een variabele vrijmaken, substitueren en gelijknamig makenExacte waarden versus benaderingen; correct afronden en wiskundig noterenRedeneren en een uitwerking of bewijs helder en volledig opschrijven (domein A)

Operatoren:herleidvereenvoudigontbindberekentoon aanschrijfmaak vrijlos op

basisniveau

De algebraïsche basisvaardigheden van domein A (machten, wortels, herleiden, ontbinden, formules bewerken) horen tot de centraal-examenstof en doorsnijden elk ander domein van wiskunde B.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het combineren van meerdere herleidingen in één opgave, het exact werken zonder rekenmachine en het compact maar volledig opschrijven van een redenering of bewijs — vaardigheden die op het CE punten opleveren.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Machten, wortels en de machtsregels#

Basisexamenblad-wiskunde-b-domein-A

Een macht

a^{n}

is een verkorte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^{3}=a\cdot a\cdot a

. Het grondtal

a

wordt

n

keer met zichzelf vermenigvuldigd, waarbij

n

de exponent heet. In Afb. 1 zie je de machtsfuncties

y=x

y=x^{2}

y=x^{3}

naast elkaar: hoe groter de exponent, hoe sneller de grafiek stijgt voor

x>1

en hoe platter hij loopt voor

0<x<1

. Alle drie gaan door de oorsprong

(0,0)

en door het punt

(1,1)

, want

1^{n}=1

voor elke

n

. Dit machtsbegrip is het fundament onder alle standaardfuncties die je later gaat differentiëren en integreren.

De machtsfuncties x, x² en x³

Afb. 1Afb. 1 — De machtsfuncties y = x, y = x² en y = x³. Ze gaan alle drie door (0; 0) en (1; 1); een grotere exponent geeft snellere groei voorbij x = 1.

Met de machten reken je via de machtsregels, die je uit het definitiebegrip kunt afleiden. Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op:

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

(want je zet simpelweg

m

n

factoren achter elkaar). Bij delen trek je af:

\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

. Een macht van een macht geeft een product van exponenten:

(a^{m})^{n}=a^{mn}

. En een macht van een product verdeel je:

(ab)^{n}=a^{n}b^{n}

. Uit de deelregel volgt meteen dat

a^{0}=1

(voor

a\neq 0

), want

\dfrac{a^{m}}{a^{m}}=a^{0}

en tegelijk

=1

Een negatieve exponent betekent „één gedeeld door”:

a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}

. Zo is

2^{-3}=\dfrac{1}{8}

x^{-1}=\dfrac{1}{x}

. Een gebroken exponent staat voor een wortel:

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

, dus

a^{1/2}=\sqrt{a}

a^{1/3}=\sqrt[3]{a}

. Algemener is

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}

. Deze vertaling tussen wortels en machten is onmisbaar: pas als je

\sqrt{x}

als

x^{1/2}

\dfrac{1}{x^{2}}

als

x^{-2}

schrijft, kun je de machtsregels — en straks de machtsregel voor differentiëren — toepassen.

Voor het rekenen met vierkantswortels gelden dezelfde regels, want een wortel is een macht. Zo mag je een wortel splitsen over een product en een quotiënt:

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

(met

a,b\ge 0

). Daarmee vereenvoudig je een wortel door kwadraten eruit te halen:

\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}

. Let op:

\sqrt{a+b}

is NIET gelijk aan

\sqrt{a}+\sqrt{b}

— de wortel verdeelt zich alleen over vermenigvuldigen en delen, nooit over optellen of aftrekken. Een breuk met een wortel in de noemer maak je „wortelvrij” door teller en noemer met die wortel te vermenigvuldigen:

\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Op het examen wiskunde B wordt vrijwel altijd een exacte uitwerking verwacht: laat wortels en breuken staan in plaats van ze op de rekenmachine te benaderen. Een antwoord als

\dfrac{3\sqrt{2}}{2}

is exact;

2{,}12

is slechts een afronding. Reken daarom door met machten en wortels in hun nette vorm, haal kwadraten uit wortels, maak de noemer wortelvrij en vereenvoudig breuken volledig. Deze secuurheid is precies wat de correctoren belonen: een keurige exacte vorm levert de volledige score op, terwijl een kaal decimaal getal vaak scorepunten kost.

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn}

De machtsregels

Bij vermenigvuldigen tel je exponenten op, bij delen trek je af, bij een macht van een macht vermenigvuldig je ze.

a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\qquad a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\qquad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}

Negatieve en gebroken exponenten

Een negatieve exponent is een omgekeerde; een gebroken exponent is een wortel. Zo koppel je machten en wortels.

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}

Rekenen met wortels

Een wortel verdeelt zich over vermenigvuldigen en delen (niet over optellen); een wortel in de noemer maak je wortelvrij.

Uitgewerkt voorbeeld

Vereenvoudigen met machten en wortels

Schrijf $\dfrac{2x^{3}\cdot x^{-1}}{x^{4}}$ als één macht van $x$ , en vereenvoudig $\sqrt{50}+\dfrac{6}{\sqrt{2}}$ tot de vorm $a\sqrt{2}$ .

Machten in de teller samennemen
Gebruik $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ op de teller.
$2x^{3}\cdot x^{-1}=2x^{3+(-1)}=2x^{2}$
Delen: exponenten aftrekken
Gebruik $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ .
$\frac{2x^{2}}{x^{4}}=2x^{2-4}=2x^{-2}=\frac{2}{x^{2}}$
Wortel vereenvoudigen
Haal het grootste kwadraat uit $\sqrt{50}$ : $50=25\cdot 2$ .
$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
Noemer wortelvrij maken en optellen
Maak $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$ wortelvrij en tel de gelijksoortige wortels op.
$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\;\Rightarrow\; 5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

Resultaat: $\dfrac{2x^{3}\cdot x^{-1}}{x^{4}}=2x^{-2}=\dfrac{2}{x^{2}}$ en $\sqrt{50}+\dfrac{6}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}$ .

Veelgemaakte fouten

Denken dat $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ of $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ ; de wortel en het kwadraat verdelen zich NIET over een som.
Bij delen de exponenten optellen in plaats van aftrekken, of $a^{0}$ voor $0$ aanzien in plaats van $1$ .
Een negatieve exponent als een negatief getal opvatten: $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ (positief), niet $-8$ .
Een decimale benadering geven waar een exacte waarde ( $a\sqrt{b}$ of een breuk) gevraagd is.

Actieve herhaling

Schrijf $\dfrac{\sqrt{x}\cdot x^{2}}{x^{-1}}$ als één macht van $x$ en vereenvoudig $\sqrt{27}-\dfrac{3}{\sqrt{3}}$ tot de vorm $a\sqrt{3}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Algebraïsch herleiden en ontbinden#

Basisexamenblad-wiskunde-b-domein-A

Ontbinden en de nulpunten van een parabool

Afb. 2Afb. 1 — f(x) = x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3): de nulpunten x = 2 en x = 3 zijn precies de factoren van de ontbonden vorm.

Herleiden is een uitdrukking in een eenvoudiger, gelijkwaardige vorm schrijven. De basisbewerking is haakjes wegwerken met de distributieve wet

a(b+c)=ab+ac

, en bij twee tweetermen elk lid met elk lid vermenigvuldigen:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

. Daarna neem je gelijksoortige termen samen. Zo wordt

(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6

. Dit „uitwerken” is de heenweg; het „ontbinden” verderop is de terugweg, en beide moet je vlot kunnen.

Drie merkwaardige producten kom je zo vaak tegen dat je ze uit het hoofd hoort te kennen:

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

. De middelste term

2ab

bij een kwadraat van een tweeterm wordt het vaakst vergeten. Deze producten werken ook andersom: herken je

a^{2}-b^{2}

, dan ontbind je meteen tot

(a+b)(a-b)

; zo is

x^{2}-9=(x+3)(x-3)

x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}

Ontbinden in factoren is de sleutel tot het oplossen van vergelijkingen, want een product is nul precies als een van de factoren nul is. Er zijn drie hoofdmethoden. (1) Een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen:

6x^{2}-9x=3x(2x-3)

. (2) De som-productmethode voor

x^{2}+px+q

: zoek twee getallen met som

p

en product

q

. Voor

x^{2}-5x+6

zijn dat

-2

-3

(som

-5

, product

6

), dus

x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)

. In Afb. 1 zie je dat de nulpunten van deze parabool inderdaad bij

x=2

x=3

liggen. (3) De abc-formule wanneer ontbinden niet lukt.

De abc-formule geeft de oplossingen van

ax^{2}+bx+c=0

(met

a\neq 0

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

. De uitdrukking onder de wortel, de discriminant

D=b^{2}-4ac

, vertelt hoeveel oplossingen er zijn:

D>0

geeft twee oplossingen,

D=0

één (een dubbel nulpunt, de parabool raakt de

x

-as), en

D<0

geen reële oplossing (de parabool snijdt de

x

-as niet). De discriminant is dus niet alleen een rekenstap maar ook een redeneermiddel: uit het teken van

D

lees je direct het aantal snijpunten met de

x

-as af.

Breuken met variabelen vereenvoudig je door teller en noemer eerst te ontbinden en dan gemeenschappelijke factoren weg te delen:

\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}=\dfrac{x+3}{x}

(voor

x\neq 3

). Wees hierbij precies: je mag alleen héle factoren wegstrepen, geen losse termen —

\dfrac{x+3}{x}

is NIET

3

, want

x

is geen factor van de teller. Deze herleidingen komen overal terug: bij het oplossen van gebroken vergelijkingen, bij asymptoten (een weggedeelde factor geeft een perforatie) en bij het vereenvoudigen van een afgeleide.

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\qquad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

Kwadraat van een tweeterm

Vergeet de dubbele productterm $2ab$ nooit; dat is de meest gemaakte fout bij herleiden.

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Verschil van kwadraten

Herken je $a^{2}-b^{2}$ , dan ontbind je meteen tot $(a+b)(a-b)$ .

ax^{2}+bx+c=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

abc-formule

De discriminant $D=b^{2}-4ac$ bepaalt het aantal oplossingen: $D>0$ twee, $D=0$ één, $D<0$ geen.

Uitgewerkt voorbeeld

Ontbinden en een breuk vereenvoudigen

Ontbind $2x^{2}-8$ volledig, en vereenvoudig $\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}$ zo ver mogelijk.

Gemeenschappelijke factor eerst
Haal bij $2x^{2}-8$ eerst de factor $2$ buiten haakjes.
$2x^{2}-8=2(x^{2}-4)$
Verschil van kwadraten
Herken $x^{2}-4=x^{2}-2^{2}$ en ontbind verder.
$2(x^{2}-4)=2(x+2)(x-2)$
Teller en noemer van de breuk ontbinden
Gebruik som-product voor de teller ( $3$ en $-1$ : som $2$ , product $-3$ ) en verschil van kwadraten voor de noemer.
$\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
Gemeenschappelijke factor wegdelen
Deel de factor $(x-1)$ weg; dit mag voor $x\neq 1$ .
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+3}{x+1}$

Resultaat: $2x^{2}-8=2(x+2)(x-2)$ en $\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}=\dfrac{x+3}{x+1}$ (voor $x\neq 1$ ).

Veelgemaakte fouten

De dubbele productterm vergeten: $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ , niet $x^{2}+9$ .
Losse termen wegstrepen in een breuk: in $\dfrac{x+3}{x}$ mag je de $x$ niet wegdelen, want $x$ is geen factor van de teller.
De discriminant verkeerd lezen: $D<0$ betekent geen reële oplossing (geen snijpunt met de $x$ -as), niet twee oplossingen.
Bij de abc-formule het minteken of de noemer $2a$ vergeten, of $b^{2}$ negatief maken.

Actieve herhaling

Ontbind $3x^{2}-12x+12$ volledig en vereenvoudig $\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$ zo ver mogelijk. Geef bij de breuk aan voor welke $x$ de vereenvoudiging geldt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Formules bewerken en een variabele vrijmaken#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-A

De vrijgemaakte formule r = √(A/π) als grafiek

Afb. 3Afb. 1 — Na het vrijmaken van r uit A = πr² lees je bij elke oppervlakte A de bijbehorende straal r = √(A/π) af.

Een formule legt een verband tussen grootheden, en vaak wil je diezelfde formule „andersom” gebruiken: één variabele uitdrukken in de andere. Dat heet een variabele vrijmaken (of isoleren). Het principe is dat je aan beide kanten van het isgelijkteken dezelfde bewerking uitvoert, zodat de gelijkheid blijft kloppen, en zo de gezochte variabele stap voor stap „uitpakt”. Je werkt de bewerkingen weg in omgekeerde volgorde: wat het laatst bij de variabele gedaan is, maak je het eerst ongedaan — net als het uitpakken van een cadeau van buiten naar binnen.

Elke bewerking heeft een inverse waarmee je hem ongedaan maakt: optellen

\leftrightarrow

aftrekken, vermenigvuldigen

\leftrightarrow

delen, kwadrateren

\leftrightarrow

worteltrekken, en

e

-macht

\leftrightarrow

natuurlijke logaritme. Wil je

r

vrijmaken uit

A=\pi r^{2}

, dan deel je eerst door

\pi

en trek je dan de wortel:

r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}

. In Afb. 1 staat deze vrijgemaakte formule

r=\sqrt{A/\pi}

als grafiek: bij een gegeven oppervlakte

A

lees je de bijbehorende straal

r

af. Let bij worteltrekken op het tekenprobleem: een lengte of straal is niet-negatief, dus je kiest de positieve wortel; in een zuiver algebraïsche context hoort er strikt genomen

\pm

bij.

Bij het vrijmaken uit een breuk of een verhouding is „kruislings vermenigvuldigen” de snelste weg. Uit

\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}

volgt

ad=bc

. En zit de gezochte variabele in een noemer, vermenigvuldig dan eerst beide kanten met die noemer om hem naar boven te halen. Wil je bijvoorbeeld

t

vrijmaken uit

v=\dfrac{s}{t}

, dan geeft vermenigvuldigen met

t

eerst

vt=s

en delen door

v

daarna

t=\dfrac{s}{v}

. Werk zulke stappen altijd netjes één voor één uit; het overslaan van een tussenstap is een klassieke bron van fouten.

Substitutie is het invullen van de ene formule in de andere, om een grootheid te elimineren of om een verband in één variabele te krijgen. Als

y=2x+1

en je wilt

x^{2}+y^{2}

x

uitdrukken, vul je

y=2x+1

in:

x^{2}+(2x+1)^{2}=x^{2}+4x^{2}+4x+1=5x^{2}+4x+1

. Deze techniek is de motor achter het oplossen van stelsels (substitutiemethode), het opstellen van een optimaliseringsfunctie in één variabele, en het berekenen van snijpunten van grafieken. Werk na een substitutie de haakjes zorgvuldig uit met de merkwaardige producten.

Gelijknamig maken is nodig om breuken op te tellen of af te trekken: je brengt ze op één noemer, meestal de kleinste gemene veelvoud van de noemers. Zo is

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}

. Deze vaardigheid heb je nodig bij gebroken vergelijkingen en bij het schrijven van een functie in een vorm waaruit je asymptoten of een afgeleide gemakkelijk afleest. Controleer altijd of je de noemers correct hebt vermenigvuldigd en of er geen waarden zijn (hier

x=0

x=-1

) waarvoor een noemer nul wordt.

A=\pi r^{2}\;\Rightarrow\; r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}

Een variabele vrijmaken

Maak de bewerkingen in omgekeerde volgorde ongedaan: eerst delen door $\pi$ , dan worteltrekken (positieve wortel voor een lengte).

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\Rightarrow\; ad=bc

Kruislings vermenigvuldigen

Bij een gelijkheid van twee breuken zijn de kruisproducten gelijk; handig om een variabele uit een noemer te halen.

\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x+1}{x(x+1)}

Gelijknamig maken

Breng op één noemer (het kleinste gemene veelvoud) en tel de tellers op; let op verboden waarden van de noemer.

Uitgewerkt voorbeeld

Een variabele vrijmaken uit een fysische formule

De valtijd $t$ en de valhoogte $h$ hangen samen via $h=\tfrac{1}{2}g t^{2}$ . Maak $t$ vrij (met $t\ge 0$ ) en bereken $t$ als $h=20$ m en $g=10$ m/s².

De factor voor t² wegwerken
Vermenigvuldig beide kanten met $2$ en deel door $g$ .
$h=\tfrac{1}{2}g t^{2}\;\Rightarrow\; 2h=g t^{2}\;\Rightarrow\; t^{2}=\frac{2h}{g}$
Worteltrekken
Trek de wortel; omdat een tijd niet-negatief is, kies je de positieve wortel.
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
Getallen invullen
Vul $h=20$ en $g=10$ in.
$t=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{10}}=\sqrt{4}=2$

Resultaat: $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ ; bij $h=20$ m en $g=10$ m/s² is $t=2$ s.

Veelgemaakte fouten

Bij het vrijmaken de bewerkingen in de verkeerde volgorde ongedaan maken (eerst worteltrekken en dan pas delen door $\pi$ ).
Bij worteltrekken het $\pm$ -teken vergeten in een zuiver algebraïsche context, of juist een negatieve waarde toestaan voor een lengte/tijd.
Bij substitutie de haakjes fout uitwerken, bijvoorbeeld $(2x+1)^{2}=4x^{2}+1$ in plaats van $4x^{2}+4x+1$ .
Bij gelijknamig maken slechts één teller aanpassen, of de verboden waarden van de noemer niet vermelden.

Actieve herhaling

Maak $x$ vrij uit de formule $y=\dfrac{3}{x-2}+1$ . Voor welke $x$ is de oorspronkelijke formule niet gedefinieerd, en welke $y$ -waarde wordt door de vrijgemaakte formule nooit bereikt?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Exact rekenen, afronden en noteren#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-A

Bekende irrationale getallen op de getallenlijn

Afb. 4Afb. 1 — De exacte getallen √2, √3, e en π op de getallenlijn: elk heeft een precieze naam maar een oneindige, niet-periodieke decimale ontwikkeling.

Een exacte waarde is een waarde die je zonder afronding opschrijft, met alle wortels, breuken en constanten als

\pi

e

netjes bewaard. Een benadering is een decimaal getal dat je met de rekenmachine krijgt en dus afgerond is. Op het examen wiskunde B staat vaak expliciet „bereken exact” of „geef een exacte waarde”: dan is

\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

het antwoord en is

0{,}71

fout (of levert het minder punten op). In Afb. 1 zijn enkele bekende irrationale getallen op een getallenlijn gezet:

\sqrt{2}

\sqrt{3}

e

\pi

hebben een exacte naam maar een oneindige, niet-periodieke decimale ontwikkeling.

Reken daarom zoveel mogelijk door in exacte vorm en rond pas op het allerlaatst af als de opgave om een benadering vraagt. Wie halverwege afrondt en met dat afgeronde getal verder rekent, stapelt afrondfouten op: het eindantwoord kan er dan meerdere procenten naast zitten. De vuistregel is: exact rekenen tot de laatste stap, en als er dan een decimaal antwoord gevraagd wordt, één keer afronden op de gevraagde nauwkeurigheid. Zo blijft je antwoord zo nauwkeurig mogelijk en volg je de nette werkwijze die de correctoren verwachten.

Afronden doe je op een aantal decimalen of op een aantal significante cijfers, precies zoals de opgave vraagt. Bij afronden op decimalen kijk je naar het eerste cijfer dat wegvalt: is dat

5

of hoger, dan rond je naar boven, anders naar beneden. Zo is

\sqrt{2}=1{,}41421\ldots\approx 1{,}41

(twee decimalen) en

\pi=3{,}14159\ldots\approx 3{,}142

(drie decimalen). Significante cijfers tellen vanaf het eerste cijfer dat niet nul is:

0{,}004072

afgerond op drie significante cijfers is

0{,}00407

. Let erop dat je nullen die de grootte-orde aangeven meetelt maar niet als „extra nauwkeurigheid” interpreteert.

Ook je notatie telt mee bij de beoordeling. Schrijf een breuk niet als

2^{-1}

maar als

\dfrac{1}{2}

wanneer dat de gevraagde vorm is; zet een wortel in de teller in plaats van in de noemer; en gebruik het isgelijkteken alleen tussen dingen die echt gelijk zijn (geen „

=

-treintjes” waarin de gelijkheid onderweg breekt). Bij een redenering of bewijs schrijf je elke stap logisch op, met de juiste symbolen (

\Rightarrow

voor „dus”,

\pm

waar twee tekens mogelijk zijn). Een helder opgeschreven, exacte uitwerking is op wiskunde B letterlijk scorepunten waard: de correctie beloont niet alleen het eindantwoord maar ook de weg ernaartoe.

Ten slotte hoort bij nette notatie ook het vermelden van eenheden en het interpreteren van je uitkomst in de context. Een lengte krijgt „m”, een oppervlakte „m²”, een snelheid „m/s”; een kaal getal zonder eenheid is in een contextopgave incompleet. En waar de opgave om uitleg vraagt, sluit je af met een zin die het getal betekenis geeft („de snelheid neemt toe”, „de oppervlakte is maximaal”). Zo verbind je het exacte rekenwerk met de vraag die gesteld werd — precies de combinatie van techniek en interpretatie die wiskunde B kenmerkt.

\sqrt{2}=1{,}41421\ldots\qquad \pi=3{,}14159\ldots\qquad e=2{,}71828\ldots

Exact versus benadering

Deze getallen hebben een exacte naam maar een oneindige, niet-periodieke decimale ontwikkeling; laat ze in exacte vorm staan tenzij een benadering gevraagd is.

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}

Nette exacte vorm

Maak de noemer wortelvrij en schrijf het resultaat compact; dit is de vorm die als exact antwoord verwacht wordt.

Uitgewerkt voorbeeld

Exact rekenen en pas op het eind afronden

Bereken exact de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $3$ en $5$ , en geef daarna een benadering in twee decimalen.

Stelling van Pythagoras toepassen
De schuine zijde $c$ voldoet aan $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ .
$c^{2}=3^{2}+5^{2}=9+25=34$
Exacte waarde
Trek de wortel; $34=2\cdot 17$ bevat geen kwadraat, dus $\sqrt{34}$ is al de nette exacte vorm.
$c=\sqrt{34}$
Eén keer afronden
Benader $\sqrt{34}$ en rond af op twee decimalen (het eerste weggelaten cijfer bepaalt de afronding).
$c=\sqrt{34}=5{,}83095\ldots\approx 5{,}83$

Resultaat: De exacte lengte is $c=\sqrt{34}$ ; afgerond op twee decimalen is dat $5{,}83$ .

Veelgemaakte fouten

Halverwege afronden en met dat afgeronde getal doorrekenen, waardoor het eindantwoord onnauwkeurig wordt.
Een decimale benadering geven waar „bereken exact” staat, of andersom een exacte vorm laten staan waar een benadering gevraagd is.
Verkeerd afronden (het weggelaten cijfer $5$ naar beneden afronden) of significante cijfers en decimalen door elkaar halen.
De eenheid vergeten of het getal niet in de context van de opgave interpreteren.

Actieve herhaling

Een vierkant heeft een oppervlakte van $50$ cm². Bereken exact de lengte van een zijde en van een diagonaal, en geef beide daarna als benadering in twee decimalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Kernpunten

Vereenvoudigen met machten en wortels

Kernpunten

Ontbinden en een breuk vereenvoudigen

Kernpunten

Een variabele vrijmaken uit een fysische formule

Kernpunten

Exact rekenen en pas op het eind afronden

Bronnen