Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Telproblemen en combinatoriek

Telproblemen los je systematisch op met boomdiagrammen, roosters en het vermenigvuldigingsprincipe. Je leert permutaties (n!), variaties (n!/(n−k)!) en combinaties (de binomiaalcoëfficiënt C(n,k)) berekenen en kiest de juiste telmethode op grond van twee vragen: telt de volgorde, en mag je herhalen? Deze teltechnieken vormen de basis voor het rekenen met kansen. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein B2).

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0222 / 15

Examenprofiel

Systematisch tellen met boomdiagrammen, roosters en het vermenigvuldigingsprincipe (domein B2)Permutaties, variaties en combinaties berekenen: n!, n!/(n−k)! en C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)De juiste telmethode kiezen op grond van orde (geordend/ongeordend) en terugleggen (met/zonder)Combinatoriek toepassen in kansrekening (Laplace: gunstig/mogelijk)

Operatoren:berekenbepaalleg uittoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Gemeenschappelijke eindexamenstof: het vermenigvuldigingsprincipe, faculteit, permutaties, variaties en combinaties horen tot domein B2 en gelden voor alle profielen (NG, EM en CM).

verhoogd niveau

Verdieping: permutaties met herhaling, de symmetrie en de Pascal-relatie van C(n,k), en combinatoriek als opstap naar de binomiale verdeling in de statistiek.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Telproblemen en combinatoriek

Systematisch tellen en het vermenigvuldigingsprincipe#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-B2

In Afb. 1 zie je een boomdiagram voor een eenvoudig menu: er zijn 2 voorgerechten (soep of salade) en bij elk daarvan 3 hoofdgerechten (vis, vlees of pasta). Elke tak van links naar rechts is één volledige keuze, en je telt het aantal mogelijkheden door de eindpunten — de bladeren — te tellen:

2 \cdot 3 = 6

menu's. Dit is de kern van systematisch tellen: je brengt een keuzeproces in kaart als een reeks opeenvolgende deelkeuzes en zorgt dat je geen enkele mogelijkheid dubbel telt of overslaat. Een boomdiagram is daarbij het meest zichtbare hulpmiddel; een rooster (een tabel met de ene keuze langs de rijen en de andere langs de kolommen) doet hetzelfde voor precies twee deelkeuzes.

Boomdiagram van het vermenigvuldigingsprincipe

Afb. 1Afb. 1 — Elke tak is één deelkeuze; de zes bladeren zijn de 2 × 3 = 6 menu's. Zo maakt het vermenigvuldigingsprincipe zichtbaar waarom je de aantallen vermenigvuldigt.

Het vermenigvuldigingsprincipe is de rekenregel achter het boomdiagram. Bestaat een keuze uit

k

opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes, en zijn er voor de eerste deelkeuze

n_1

mogelijkheden, voor de tweede

n_2

, …, voor de

k

-de

n_k

mogelijkheden, dan is het totale aantal mogelijkheden

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

. Je vermenigvuldigt omdat elke mogelijkheid van de eerste keuze zich vertakt in álle mogelijkheden van de tweede, precies zoals in het boomdiagram elke bovenste tak zich weer in drie takken splitst. ‘Onafhankelijk’ betekent dat het aantal mogelijkheden bij een deelkeuze niet verandert door wat je eerder koos; het aantal mag wél afhangen van of iets al gebruikt is (dan daalt het aantal per stap, zie §3).

Vermenigvuldigen hoort bij ‘en dan’ (eerst dit, daarna dat, in één opbouwend proces); optellen hoort bij ‘of’ (het ene geval óf het andere, en die gevallen sluiten elkaar uit). Valt een telprobleem uiteen in gevallen die niet samen kunnen — bijvoorbeeld ‘de code begint met een letter’ tegenover ‘de code begint met een cijfer’ — dan bereken je elk geval apart met het vermenigvuldigingsprincipe en tel je de uitkomsten aan het eind op. Dit onderscheid tussen vermenigvuldigen (binnen één opbouw) en optellen (over elkaar uitsluitende gevallen) voorkomt de meest gemaakte telfout.

In de praktijk zijn er vaak beperkingen: bepaalde posities liggen vast, of een teken mag niet opnieuw gebruikt worden. Begin dan met de meest beperkte positie en werk van daaruit verder. Ook belangrijk is het onderscheid tussen met en zonder terugleggen. Mag een teken opnieuw voorkomen (met terugleggen, herhaling toegestaan), dan blijft het aantal mogelijkheden per positie gelijk: een code van 3 cijfers geeft

10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3} = 1000

mogelijkheden. Mag een teken niet herhaald worden (zonder terugleggen), dan daalt het aantal per positie telkens met 1:

10 \cdot 9 \cdot 8

. Dat verschil — met of zonder terugleggen — loopt als een rode draad door het hele hoofdstuk.

\text{aantal} = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Vermenigvuldigingsprincipe

Bij k opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes met n₁, n₂, …, nₖ mogelijkheden is het totale aantal het product van die aantallen.

Uitgewerkt voorbeeld

Aantal menu's tellen met een boomdiagram

Een lunchmenu bestaat uit één voorgerecht (soep of salade) en één hoofdgerecht (vis, vlees of pasta). Hoeveel verschillende menu's zijn er? Licht je antwoord toe met het boomdiagram.

Benoem de deelkeuzes
Er zijn twee opeenvolgende keuzes: eerst het voorgerecht, daarna het hoofdgerecht.
Tel de mogelijkheden per deelkeuze
Voorgerecht: 2 mogelijkheden (soep, salade). Hoofdgerecht: 3 mogelijkheden (vis, vlees, pasta).
Pas het vermenigvuldigingsprincipe toe
De keuzes zijn opeenvolgend en onafhankelijk, dus vermenigvuldig de aantallen.
$2 \cdot 3 = 6$
Controleer met het boomdiagram
Het boomdiagram in Afb. 1 heeft 6 bladeren, en elk blad is precies één menu. Dat bevestigt de uitkomst.

Resultaat: Er zijn 6 verschillende menu's.

Uitgewerkt voorbeeld

Codes tellen, met en zonder een vaste positie

Een toegangscode bestaat uit 3 tekens. (a) Hoeveel codes zijn er als elk teken een cijfer 0 t/m 9 mag zijn (herhaling toegestaan)? (b) Hoeveel als het eerste teken een hoofdletter (A–Z) moet zijn en de laatste twee tekens cijfers?

(a) Mogelijkheden per positie
Elk van de 3 posities is een cijfer: telkens 10 mogelijkheden, met terugleggen (herhaling mag).
(a) Vermenigvuldig
Drie posities met elk 10 keuzes.
$10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3} = 1000$
(b) Mogelijkheden per positie met beperking
Positie 1: 26 hoofdletters. Posities 2 en 3: elk 10 cijfers.
(b) Vermenigvuldig
Werk van links naar rechts en vermenigvuldig de aantallen.
$26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600$

Resultaat: (a) 1000 codes; (b) 2600 codes.

Veelgemaakte fouten

De aantallen optellen in plaats van vermenigvuldigen bij opeenvolgende deelkeuzes (‘en dan’ is vermenigvuldigen; alleen elkaar uitsluitende gevallen tel je op).
Een beperking negeren, bijvoorbeeld doorrekenen met 10 mogelijkheden terwijl het eerste cijfer geen 0 mag zijn, of met terugleggen rekenen terwijl herhaling verboden is.

Actieve herhaling

Een kentekenplaat bestaat uit 2 letters (uit 26) gevolgd door 3 cijfers (0–9), met herhaling toegestaan. Hoeveel verschillende kentekens zijn er? En hoeveel als het eerste cijfer geen 0 mag zijn?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Permutaties en faculteit#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-B2

Afb. 2 toont de faculteit

n!

voor

n = 0

tot en met

6

: de waarden 1, 1, 2, 6, 24, 120 en 720. De staven worden razendsnel hoger — de faculteit groeit sneller dan elke machtsfunctie. Die faculteit telt precies het aantal manieren om

n

verschillende objecten in een rij te zetten, en is daarmee het rekenkundige hart van dit onderdeel: elke rangschikking van alle objecten heet een permutatie.

De faculteit n! groeit explosief

Afb. 2Afb. 2 — n! voor n = 0 t/m 6: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720. De faculteit telt de rangschikkingen (permutaties) van n objecten en groeit sneller dan elke machtsfunctie.

De faculteit van een geheel getal

n \ge 1

, genoteerd als

n!

, is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met

n

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

. Zo is

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

. Per afspraak geldt

0! = 1

: er is precies één manier om niets te rangschikken (de lege rij), en die afspraak zorgt bovendien dat de formules voor variaties en combinaties in §3 en §4 blijven kloppen. Op de grafische rekenmachine vind je de faculteit onder MATH → PRB → ! (typ eerst het getal, dan de toets).

Een permutatie van

n

verschillende objecten is een rangschikking ervan in een bepaalde volgorde; het aantal permutaties is

n!

. Waarom? Voor de eerste plaats heb je

n

keuzes, voor de tweede nog

n-1

(er is er al één gebruikt, dus zonder terugleggen), daarna

n-2

, enzovoort tot de laatste plaats met 1 keuze. Volgens het vermenigvuldigingsprincipe geeft dat

n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1 = n!

. Zo kun je 5 verschillende boeken op

5! = 120

manieren op een plank zetten.

Als niet alle objecten verschillend zijn, telt

n!

te veel: het verwisselen van twee identieke objecten levert dezelfde rij op. Bij een permutatie met herhaling deel je daarom

n!

door de faculteiten van de groepen gelijke objecten: het aantal verschillende rangschikkingen is

\dfrac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}

, waarbij

n_1, n_2, \ldots, n_r

de groottes van de groepen gelijke objecten zijn (met

n_1 + n_2 + \cdots + n_r = n

). Je deelt omdat elke groep van

n_i

gelijke objecten onderling op

n_i!

manieren verwisseld kan worden zonder dat de rij verandert; die dubbeltellingen haal je er zo uit. Het klassieke voorbeeld is het woord MISSISSIPPI (zie het uitgewerkte voorbeeld).

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Faculteit

Het product van alle gehele getallen van 1 tot en met n; het aantal permutaties van n verschillende objecten. Per afspraak 0! = 1.

\frac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}

Permutaties met herhaling

Het aantal verschillende rangschikkingen van n objecten waarvan groepen van n₁, n₂, …, nᵣ identiek zijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Boeken rangschikken (permutatie)

Op hoeveel manieren kun je 5 verschillende boeken naast elkaar op een plank zetten?

Herken het type
Je rangschikt álle 5 boeken in een volgorde: dat is een permutatie van 5 verschillende objecten (zonder herhaling).
Tel plaats voor plaats
Plaats 1: 5 keuzes; plaats 2: nog 4; dan 3, dan 2, dan 1. Vermenigvuldig die aantallen.
Bereken de faculteit
Het product is per definitie 5-faculteit.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Resultaat: Er zijn 5! = 120 manieren.

Uitgewerkt voorbeeld

MISSISSIPPI (permutatie met herhaling)

Hoeveel verschillende letterrijen kun je maken door alle letters van het woord MISSISSIPPI te herschikken?

Tel de letters
MISSISSIPPI heeft 11 letters: 1×M, 4×I, 4×S en 2×P.
Deel de dubbeltellingen weg
Zonder herhaling zouden er 11! rijen zijn, maar de 4 I's, de 4 S'en en de 2 P's zijn onderling niet te onderscheiden. Deel daarom door 4!, 4! en 2!.
$\frac{11!}{4!\, 4!\, 2!}$
Reken uit
Er geldt 11! = 39 916 800 en 4! · 4! · 2! = 24 · 24 · 2 = 1152. Deel het eerste door het tweede.
$\frac{39\,916\,800}{1152} = 34\,650$

Resultaat: Er zijn 34 650 verschillende letterrijen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat 0! = 0; per afspraak is 0! = 1.
Bij een permutatie met herhaling vergeten te delen door de faculteiten van de herhaalde objecten (dan tel je elke rij meerdere keren).

Actieve herhaling

Op hoeveel manieren kun je alle letters van het woord BANAAN in een rij zetten? Let op de herhaalde letters.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Variaties: geordend zonder terugleggen#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-B2

Afb. 3 is het beslisschema van de combinatoriek: twee vragen — telt de volgorde? en mag je herhalen (met terugleggen)? — bepalen samen welke van de vier telmethoden je gebruikt. Dit onderdeel gaat over het gemarkeerde vak linksboven: geordend (de volgorde telt) én zonder terugleggen (geen herhaling). Zo'n telling heet een variatie. Een sprekend voorbeeld is het erepodium bij een wedstrijd: goud, zilver en brons zijn verschillende plaatsen (volgorde telt), en niemand wint twee medailles (zonder terugleggen).

Beslisschema: orde × terugleggen

Afb. 3Afb. 3 — Twee vragen (telt de volgorde? mag je herhalen?) leiden naar de vier telmethoden. Dit onderdeel behandelt het gemarkeerde vak: de variatie (geordend, zonder terugleggen). Een permutatie is de variatie met k = n.

Een variatie van

k

uit

n

is het aantal manieren om

k

objecten te kiezen uit

n

verschillende objecten, in een bepaalde volgorde en zonder terugleggen. Het aantal is

\dfrac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

: precies

k

dalende factoren vanaf

n

. De afleiding is opnieuw het vermenigvuldigingsprincipe: voor de eerste keuze

n

mogelijkheden, voor de tweede

n-1

, …, voor de

k

-de

n-k+1

. Op de grafische rekenmachine gebruik je hiervoor MATH → PRB → nPr: typ

n

, kies nPr, typ

k

(bijvoorbeeld 8 nPr 3).

Een permutatie is het bijzondere geval van een variatie waarbij je álle objecten kiest, dus

k = n

. Dan geldt

\dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = \dfrac{n!}{1} = n!

, precies de permutatieformule uit §2. Hier zie je waarom de afspraak

0! = 1

zo handig is: zonder die afspraak zou de variatieformule bij

k = n

niet kloppen. Permutaties en variaties horen dus bij elkaar: variaties zijn ‘gedeeltelijke permutaties’.

De tegenhanger met terugleggen: als herhaling wél is toegestaan en de volgorde telt, heeft elk van de

k

posities telkens

n

keuzes en is het aantal

n^{k}

. Vergelijk codes van 3 letters uit A–Z: met terugleggen

26^{3} = 17\,576

, zonder terugleggen (een variatie)

26 \cdot 25 \cdot 24 = 15\,600

. Het verschil,

1976

codes, bevat minstens één herhaalde letter. De examentactiek is telkens dezelfde: stel eerst de twee vragen — telt de volgorde? en mag ik herhalen? — en kies pas daarna de formule. Verwar geordend zonder terugleggen (variatie,

n!/(n-k)!

) niet met geordend mét terugleggen (

n^{k}

\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Variatie (geordend, zonder terugleggen)

Het aantal manieren om k uit n verschillende objecten te kiezen als de volgorde telt: k dalende factoren vanaf n.

n^{k}

Geordend, met terugleggen

Als herhaling is toegestaan en de volgorde telt, heeft elk van de k posities telkens n keuzes.

Uitgewerkt voorbeeld

Erepodium invullen (variatie)

Bij een hardloopwedstrijd met 8 deelnemers worden goud, zilver en brons uitgereikt. Op hoeveel manieren kan het erepodium (plaats 1, 2 en 3) worden ingevuld?

Stel de twee vragen
Plaats 1, 2 en 3 zijn verschillend, dus de volgorde telt. Een deelnemer kan niet twee medailles krijgen, dus zonder terugleggen. Dat is een variatie.
Kies k uit n, geordend
Kies k = 3 medailleplaatsen uit n = 8 deelnemers.
$\frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6$
Reken uit
Vermenigvuldig de drie dalende factoren.
$8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Resultaat: Er zijn 336 mogelijke erepodia (op de GR: 8 nPr 3 = 336).

Uitgewerkt voorbeeld

Codes: met versus zonder terugleggen

Vergelijk codes van 3 letters uit A–Z. (a) Hoeveel als herhaling is toegestaan? (b) Hoeveel zonder herhaalde letters? (c) Hoeveel codes hebben minstens één herhaalde letter?

(a) Met terugleggen
Elke van de 3 posities heeft 26 keuzes, herhaling mag.
$26^{3} = 17\,576$
(b) Zonder terugleggen (variatie)
Volgorde telt, geen herhaling: drie dalende factoren vanaf 26.
$\frac{26!}{23!} = 26 \cdot 25 \cdot 24 = 15\,600$
(c) Minstens één herhaling
Trek de codes zonder herhaling af van het totaal met herhaling.
$17\,576 - 15\,600 = 1976$

Veelgemaakte fouten

Een variatie en een combinatie verwisselen: bij een variatie telt de volgorde, bij een combinatie niet.
Geordend zonder terugleggen (n!/(n−k)!) verwarren met geordend met terugleggen (nᵏ).

Actieve herhaling

Uit 12 films kies je er 4 om achter elkaar te bekijken; de volgorde van kijken telt en geen film wordt twee keer gekozen. Op hoeveel manieren kan dat?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-B2

Afb. 4 toont de binomiaalcoëfficiënten

C(6,k)

voor

k = 0

t/m

6

: de waarden 1, 6, 15, 20, 15, 6 en 1 — precies rij 6 uit de driehoek van Pascal. De rij is symmetrisch (links en rechts spiegelen) met de hoogste staaf in het midden bij

k = 3

, en de waarden tellen op tot

2^{6} = 64

: het totale aantal deelverzamelingen van 6 objecten. Een combinatie beantwoordt de vraag ‘op hoeveel manieren kies ik

k

uit

n

als de volgorde er niet toe doet?’.

Binomiaalcoëfficiënten C(6,k) — rij 6 van Pascal

Afb. 4Afb. 4 — C(6,k) voor k = 0 t/m 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. De rij is symmetrisch (C(6,k) = C(6,6−k)) en telt op tot 2⁶ = 64.

Een combinatie is het aantal manieren om

k

objecten te kiezen uit

n

verschillende objecten, ongeordend (de volgorde telt niet) en zonder terugleggen. Dit aantal is de binomiaalcoëfficiënt

\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

, uitgesproken als ‘n boven k’. Op de grafische rekenmachine staat deze onder MATH → PRB → nCr (bijvoorbeeld 10 nCr 3). De naam binomiaalcoëfficiënt komt doordat deze getallen de coëfficiënten zijn bij het uitwerken van

(a+b)^{n}

Het verband met de variatie maakt de formule begrijpelijk. Tel je eerst geordend (een variatie,

\dfrac{n!}{(n-k)!}

), dan heb je elke groep van

k

gekozen objecten

k!

keer geteld, want die

k

objecten kun je op

k!

volgordes zetten. Omdat de volgorde bij een combinatie niet meetelt, deel je door

k!

\dbinom{n}{k} = \dfrac{1}{k!}\cdot\dfrac{n!}{(n-k)!}

. Voor

\dbinom{10}{3}

geeft dat

\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{720}{6} = 120

Twee eigenschappen besparen rekenwerk. De symmetrie

\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}

zegt dat

k

objecten kiezen om mee te doen hetzelfde is als

n-k

objecten kiezen om weg te laten; daarom is

\dbinom{20}{18} = \dbinom{20}{2} = 190

snel te bepalen. De Pascal-relatie

\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}

bouwt elke rij op uit de rij erboven — dat is precies hoe de driehoek van Pascal in Afb. 4 ontstaat.

Combinaties zijn het rekenhart van veel kansproblemen. Trek je in één greep meerdere voorwerpen (ongeordend, zonder terugleggen), dan bereken je een kans met de regel van Laplace als

\dfrac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

, waarbij teller en noemer allebei combinaties zijn (zie het vaas-voorbeeld). Dit is bovendien de opstap naar de binomiale verdeling bij de statistiek, waar

C(n,k)

verschijnt als coëfficiënt in

P(X=k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Binomiaalcoëfficiënt (combinatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten te kiezen als de volgorde niet telt en zonder terugleggen.

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Symmetrie

k objecten kiezen om mee te doen is hetzelfde als n−k objecten kiezen om weg te laten.

\binom{n}{k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}

Verband combinatie–variatie

Deel de variatie door k!, omdat elke keuze van k objecten op k! volgordes is geteld.

Uitgewerkt voorbeeld

Een commissie kiezen (combinatie)

Uit een klas van 10 leerlingen wordt een commissie van 3 leerlingen gekozen. Op hoeveel manieren kan dat?

Telt de volgorde?
Een commissie is een groep: de volgorde waarin je de 3 leden kiest maakt niet uit, en niemand zit er twee keer in. Dat is een combinatie (ongeordend, zonder terugleggen).
Pas de binomiaalcoëfficiënt toe
Kies k = 3 uit n = 10.
$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
Reken uit
Deel het product van de teller door 3! = 6.
$\frac{720}{6} = 120$

Resultaat: Er zijn C(10,3) = 120 mogelijke commissies (op de GR: 10 nCr 3 = 120).

Uitgewerkt voorbeeld

Kans berekenen met combinaties

In een vaas zitten 7 rode en 3 blauwe knikkers (10 in totaal). Je pakt in één greep 3 knikkers (ongeordend, zonder terugleggen). Bereken de kans op precies 2 rode en 1 blauwe knikker.

Aantal mogelijke uitkomsten (noemer)
Het aantal manieren om 3 uit de 10 knikkers te kiezen.
$\binom{10}{3} = 120$
Aantal gunstige uitkomsten (teller)
Kies 2 rode uit 7 én 1 blauwe uit 3, en vermenigvuldig (vermenigvuldigingsprincipe).
$\binom{7}{2} \cdot \binom{3}{1} = 21 \cdot 3 = 63$
Kans = gunstig / mogelijk (Laplace)
Deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten en vereenvoudig.
$P = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} = 0{,}525$

Resultaat: De kans op precies 2 rode en 1 blauwe knikker is 63/120 = 0,525 (ongeveer 52,5%).

Veelgemaakte fouten

Bij een combinatie toch op de volgorde letten; dan tel je elke groep k! keer te veel (je berekent een variatie in plaats van een combinatie).
Bij een kans de noemer verkeerd kiezen: bij gelijktijdig trekken zijn zowel teller als noemer combinaties, niet variaties.

Actieve herhaling

Bij een loterij kies je 6 verschillende getallen uit 45; de volgorde telt niet. Op hoeveel manieren kan dat, en wat is de kans op de hoofdprijs met één ingevuld formulier?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Telproblemen en combinatoriek

Kernpunten

Aantal menu's tellen met een boomdiagram

Codes tellen, met en zonder een vaste positie

Kernpunten

Boeken rangschikken (permutatie)

MISSISSIPPI (permutatie met herhaling)

Kernpunten

Erepodium invullen (variatie)

Codes: met versus zonder terugleggen

Kernpunten

Een commissie kiezen (combinatie)

Kans berekenen met combinaties

Bronnen

Telproblemen en combinatoriek

Kernpunten

Aantal menu's tellen met een boomdiagram

Codes tellen, met en zonder een vaste positie

Kernpunten

Boeken rangschikken (permutatie)

MISSISSIPPI (permutatie met herhaling)

Kernpunten

Erepodium invullen (variatie)

Codes: met versus zonder terugleggen

Kernpunten

Een commissie kiezen (combinatie)

Kans berekenen met combinaties

Bronnen