Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Algebra, rekenregels, machten en wortels

Dit onderwerp legt de rekenkundige en algebraïsche basis voor de hele wiskunde A: rekenen met machten (ook negatieve en gebroken exponenten) en wortels, wetenschappelijke notatie en afronden op significante cijfers, algebraïsch herleiden en ontbinden, en het exact oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen. Daarnaast frissen we procenten en groeifactoren op tot eindexamenniveau, met als sleutelgedachte dat een procentuele verandering hetzelfde is als vermenigvuldigen met een groeifactor. Deze technieken zijn examenstof en keren in vrijwel elke andere opgave terug als gereedschap.

4 Onderdelen~26 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0111 / 15

Examenprofiel

Rekenen met machten (gehele en gebroken exponenten) en wortels, en de machtsregels correct toepassenWerken met wetenschappelijke notatie, significante cijfers en correct afronden bij (zeer) grote en kleine getallenAlgebraïsch herleiden en ontbinden, en lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen (ontbinden, abc-formule, kwadraatafsplitsen)Rekenen met procenten en groeifactoren, ook bij herhaalde (samengestelde) verandering

Operatoren:berekenherleidvereenvoudigontbindlos opbepaaltoon aanschrijf in wetenschappelijke notatie

basisniveau

Dit is gereedschap voor het hele centraal examen: machten, herleiden, vergelijkingen oplossen en groeifactoren gebruik je in bijna elke contextopgave, dus beheers ze vlot en foutloos.

verhoogd niveau

Wie verder reikt, kiest bewust de handigste techniek (ontbinden, abc-formule of kwadraatafsplitsen), werkt volledig exact met wortels en gebroken exponenten, en schakelt moeiteloos tussen procenten, groeifactoren en machten.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Algebra, rekenregels, machten en wortels

Machten, wortels en wetenschappelijke notatie#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-B1

Een macht is een korte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^n

betekent dat je het grondtal

a

precies

n

keer met zichzelf vermenigvuldigt, dus

2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

. Het getal

a

heet het grondtal en

n

de exponent. Afb. 1 maakt die herhaalde vermenigvuldiging zichtbaar: de grafiek van

y = 2 \cdot 1{,}5^x

ontstaat doordat je bij elke stap van

1

x

de vorige waarde met

1{,}5

vermenigvuldigt — daarom stijgt de grafiek steeds sneller. Bij

x = 0

is de waarde

2

, want

1{,}5^0 = 1

; naar links kruipt de grafiek naar de

x

-as toe zonder die ooit te raken, want een positief grondtal tot een macht blijft altijd positief. Die

x

-as (

y = 0

) is de horizontale asymptoot. Machten zijn dus niet alleen een rekentruc, maar de motor achter alle exponentiële groei die je verderop tegenkomt.

Afb. 1 — Exponentiële groei y = 2·1,5^x

Afb. 1De grafiek van y = 2·1,5^x. Elke stap van 1 in x vermenigvuldigt de vorige waarde met de groeifactor 1,5; bij x = 0 is de waarde 2 (want 1,5^0 = 1). De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot: de kromme nadert die maar raakt hem nooit.

Met machten reken je volgens vaste rekenregels die je overal in de wiskunde A terugziet. Vermenigvuldig je twee machten met hetzelfde grondtal, dan tel je de exponenten op:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

(bijvoorbeeld

a^5 \cdot a^2 = a^7

), want je zet simpelweg de vermenigvuldigingen achter elkaar. Deel je ze, dan trek je de exponenten af:

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

. Een macht van een macht geeft een product van de exponenten:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

. En een product of quotiënt onder één exponent verdeel je over de factoren:

(ab)^n = a^n b^n

\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

. Let op de val: deze verdeling geldt alleen over vermenigvuldigen en delen, nooit over optellen —

(a+b)^n

is niet gelijk aan

a^n + b^n

De rekenregels dwingen af hoe je een nul-exponent en negatieve exponenten moet lezen. Omdat

\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0

en tegelijk

\dfrac{a^n}{a^n} = 1

, geldt

a^0 = 1

voor elk grondtal

a \neq 0

. En omdat

\dfrac{1}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}

, betekent een negatieve exponent „één gedeeld door”:

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

, dus

2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

. Een negatieve exponent maakt het getal dus níét negatief; hij zet het onder de deelstreep. Dit is precies de reden dat de grafiek in Afb. 1 links (bij negatieve

x

) steeds kleinere positieve waarden aanneemt in plaats van negatief te worden.

Wortels zijn machten met een gebroken exponent, en dat inzicht maakt worteltrekken tot gewoon rekenen met machten. De

n

-de-machtswortel is per definitie de macht met exponent

\dfrac{1}{n}

a^{1/2} = \sqrt{a}

a^{1/3} = \sqrt[3]{a}

, en in het algemeen

a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

(voor

a \ge 0

). Een breuk als exponent combineert een macht en een wortel:

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

, dus

8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4

. Omdat wortels gewoon machten zijn, gelden álle machtsregels ook voor wortels:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

(want

a^{1/2} b^{1/2} = (ab)^{1/2}

) en

\sqrt{a^2} = a

voor

a \ge 0

. Zo herleid je een worteluitdrukking door hem eerst als macht te schrijven.

Voor heel grote of heel kleine getallen gebruik je de wetenschappelijke notatie: je schrijft het getal als

a \cdot 10^n

, waarbij

a

het significantiegetal is met

1 \le |a| < 10

n

een geheel getal. Zo wordt

384000000

tot

3{,}84 \cdot 10^8

, en

0{,}00000642

tot

6{,}42 \cdot 10^{-6}

: je verschuift de komma tot er één cijfer vóór de komma staat en telt hoeveel plaatsen dat kostte — naar links een positieve

n

, naar rechts een negatieve. Rekenen doe je apart met de significantiegetallen en met de machten van tien via de machtsregels:

(3{,}0 \cdot 10^8) \cdot (2{,}0 \cdot 10^{-3}) = 6{,}0 \cdot 10^{5}

. Bij het afronden let je op significante cijfers: dat zijn alle cijfers die je écht berekend hebt, dus

6{,}0 \cdot 10^5

(twee significante cijfers) zegt iets nauwkeurigers dan

6 \cdot 10^5

(één significant cijfer).

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Machten vermenigvuldigen en delen

Zelfde grondtal: bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op, bij delen trek je ze af.

(a^m)^n = a^{m \cdot n} \qquad (ab)^n = a^n b^n

Macht van een macht en van een product

Een macht van een macht geeft het product van de exponenten; een macht van een product verdeel je over de factoren (niet over een som).

a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Nul- en negatieve exponent

Elk grondtal (behalve 0) tot de macht 0 is 1; een negatieve exponent zet de macht onder de deelstreep.

a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a \ge 0)

Wortels als gebroken exponenten

De n-de-machtswortel is de macht met exponent 1/n; een breukexponent combineert een macht en een wortel.

N = a \cdot 10^{n}, \qquad 1 \le |a| < 10, \ n \in \mathbb{Z}

Wetenschappelijke notatie

Het significantiegetal a ligt tussen 1 en 10; de macht van tien geeft de grootteorde.

Uitgewerkt voorbeeld

Machten vereenvoudigen en als wortel schrijven

Herleid tot één macht van a (met a > 0): (a^5 · a^{-2}) / a^4. Schrijf daarna a^{1/2} als wortel en licht toe waarom een negatieve exponent geen negatief getal geeft.

Teller samennemen
Zelfde grondtal, dus exponenten optellen: a^5 · a^{-2} = a^{5 + (-2)} = a^3.
$a^5 \cdot a^{-2} = a^{5+(-2)} = a^{3}$
Delen door a⁴
Bij delen de exponenten aftrekken: a^3 / a^4 = a^{3-4} = a^{-1}.
$\dfrac{a^{3}}{a^{4}} = a^{3-4} = a^{-1}$
Negatieve exponent uitschrijven
a^{-1} betekent 1 gedeeld door a^1, dus 1/a. Dat is een breuk, geen negatief getal: voor a > 0 is 1/a positief.
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}$
Gebroken exponent als wortel
Een exponent 1/2 is de vierkantswortel: a^{1/2} = √a.
$a^{1/2} = \sqrt{a}$

Resultaat: De uitdrukking is gelijk aan a^{-1} = 1/a, en a^{1/2} = √a. Een negatieve exponent zet het grondtal onder de deelstreep; hij maakt het getal niet negatief.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen in wetenschappelijke notatie

Bereken (3,0 · 10^8) × (2,0 · 10^{-3}) en geef het antwoord in wetenschappelijke notatie met 2 significante cijfers. Schrijf ter controle ook 0,00000642 in wetenschappelijke notatie.

Significantiegetallen apart
Vermenigvuldig eerst de getallen vóór de macht van tien: 3,0 × 2,0 = 6,0.
$3{,}0 \times 2{,}0 = 6{,}0$
Machten van tien apart
Zelfde grondtal 10, dus exponenten optellen: 10^8 · 10^{-3} = 10^{8 + (-3)} = 10^5.
$10^{8} \cdot 10^{-3} = 10^{8+(-3)} = 10^{5}$
Samenvoegen
Het product is 6,0 · 10^5. Het significantiegetal 6,0 ligt tussen 1 en 10, dus de notatie is al goed; met 2 significante cijfers blijft het 6,0 · 10^5.
$6{,}0 \cdot 10^{5}$
Klein getal omzetten
Schuif de komma in 0,00000642 zes plaatsen naar rechts tot 6,42; dat kostte 6 plaatsen naar rechts, dus n = −6.
$0{,}00000642 = 6{,}42 \cdot 10^{-6}$

Resultaat: (3,0 · 10^8) × (2,0 · 10^{-3}) = 6,0 · 10^5, en 0,00000642 = 6,42 · 10^{-6}. Reken de significantiegetallen en de machten van tien altijd apart uit.

Veelgemaakte fouten

De exponenten bij vermenigvuldigen verkeerd behandelen: a^m·a^n is a^{m+n} (optellen), niet a^{m·n}. Dat laatste hoort bij (a^m)^n.
Denken dat een negatieve exponent het getal negatief maakt. 2^{-3} is 1/8, een positief getal onder de deelstreep — en a^0 = 1, niet 0.
De verdeling over een som toepassen: (a + b)^2 is niet a^2 + b^2, en √(a^2 + b^2) is niet a + b.

Actieve herhaling

Herleid tot één macht van a (met a > 0): ((a^3)^2 · a^{-1}) / √a. Schrijf het antwoord zowel met een gebroken exponent als met een wortel, en bereken de waarde voor a = 4.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Algebraïsch herleiden en ontbinden#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-B1

Herleiden betekent een uitdrukking overzichtelijker schrijven zonder de waarde te veranderen, en de basisstap is haakjes wegwerken. Je vermenigvuldigt elke term binnen de ene haak met elke term binnen de andere — de distributieve wet. Afb. 2 laat dit zien als een oppervlaktemodel: een rechthoek met zijden

x+3

x+2

heeft een oppervlakte die je op twee manieren kunt schrijven. In één keer is dat

(x+3)(x+2)

; opgedeeld in vier vakken is het

x^2 + 3x + 2x + 6

, en dat vat je samen tot

x^2 + 5x + 6

. Beide beschrijven precies dezelfde oppervlakte, dus

(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6

. Ontbinden is exact deze stap achterstevoren: van de losse som

x^2 + 5x + 6

terug naar het product

(x+3)(x+2)

Afb. 2 — Oppervlaktemodel voor (x + 3)(x + 2)

Afb. 2Haakjes wegwerken en ontbinden als één plaatje. De rechthoek met zijden x + 3 en x + 2 valt uiteen in vier vakken x², 3x, 2x en 6. Samen: x² + 5x + 6. Ontbinden is dezelfde stap terug, van de som naar het product (x + 3)(x + 2).

Drie producten komen zo vaak voor dat je ze uit het hoofd moet kennen — de merkwaardige producten. Het kwadraat van een som:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

; het kwadraat van een verschil:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

; en het product van som en verschil:

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

. De valkuil zit in het middelste, dubbele product

2ab

(a+b)^2

is nadrukkelijk niet

a^2 + b^2

. Je ziet dat terug in het oppervlaktemodel van Afb. 2, waar naast de twee „hoekvakken”

a^2

b^2

óók twee rechthoeken

ab

ontstaan. Deze formules werken beide kanten op: je gebruikt ze om haakjes weg te werken én om te ontbinden, want

a^2 - b^2

herken je meteen als

(a+b)(a-b)

— het verschil van twee kwadraten.

Ontbinden in factoren schrijft een som als een product, en dat is onmisbaar om vergelijkingen en breuken te vereenvoudigen. Kijk altijd eerst of er een gemeenschappelijke factor is die je buiten haakjes kunt halen:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

. Voor een kwadratische vorm

x^2 + bx + c

zoek je twee getallen

p

q

met

p + q = b

(de som) én

p \cdot q = c

(het product); dan is

x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)

. Bij

x^2 + 5x + 6

zoek je twee getallen met som

5

en product

6

: dat zijn

2

3

, dus

(x+2)(x+3)

. Herken daarnaast altijd het verschil van kwadraten (

x^2 - 9 = (x+3)(x-3)

) en een volkomen kwadraat (

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

). Ontbinden is grotendeels gericht zoeken naar dat paar

p, q

Algebraïsche breuken tel je op en vereenvoudig je met precies dezelfde regels als gewone breuken, alleen staan er nu letters in. Optellen of aftrekken kan pas als de noemers gelijk zijn: je maakt ze gelijknamig, en in het algemeen geldt

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}

. Vereenvoudigen mag alleen door gelijke factoren (niet: gelijke termen) boven en onder weg te delen; daarvoor moet je teller en noemer eerst ontbinden. Zo wordt

\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x - 3

, mits

x \neq 2

(want delen door nul mag niet). Let op de grootste valkuil: je mag alleen strepen wat als factor van de héle teller en noemer voorkomt — in

\dfrac{x+2}{x}

mag je de

x

niet wegstrepen, want boven is

x

een term, geen factor.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Kwadraat van som en verschil

Vergeet het dubbele product 2ab niet; dat is precies de fout (a+b)^2 = a^2 + b^2.

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Verschil van twee kwadraten

Product van som en verschil; andersom herken je a^2 − b^2 meteen als (a+b)(a−b).

x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)

Ontbinden van x² + bx + c

Zoek twee getallen met som b en product c; dat paar levert de factoren.

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \quad (b, d \neq 0)

Breuken gelijknamig optellen

Maak de noemers gelijk; optellen kan alleen bij gelijke noemers.

Uitgewerkt voorbeeld

Haakjes wegwerken met merkwaardige producten

Werk de haakjes weg en herleid zo ver mogelijk: (2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1).

Eerste kwadraat uitwerken
Gebruik (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 met a = 2x en b = 3: (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.
$(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$
Som maal verschil
Gebruik (a+b)(a−b) = a^2 − b^2 met a = x en b = 1: (x−1)(x+1) = x^2 − 1.
$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$
Aftrekken, minteken doorvoeren
Trek de tweede uitdrukking af en voer het minteken over beide termen door: 4x^2 + 12x + 9 − (x^2 − 1) = 4x^2 + 12x + 9 − x^2 + 1.
$4x^2 + 12x + 9 - (x^2 - 1) = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 1$
Gelijksoortige termen samennemen
4x^2 − x^2 = 3x^2 en 9 + 1 = 10, de 12x blijft staan.
$3x^2 + 12x + 10$

Resultaat: (2x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1) = 3x^2 + 12x + 10. Let op het dubbele product 12x in het kwadraat en op het minteken dat je over de héle tweede haak doorvoert.

Uitgewerkt voorbeeld

Ontbinden en een breuk vereenvoudigen

Ontbind de teller in factoren en vereenvoudig: (x^2 − 5x + 6) / (x − 2). Vermeld voor welke x de breuk niet bestaat.

Teller ontbinden
Zoek twee getallen met som −5 en product 6: dat zijn −2 en −3. Dus x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
Gemeenschappelijke factor wegdelen
Teller en noemer hebben de factor (x − 2) gemeen; die mag je wegstrepen omdat het een factor is (geen term).
$\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x-3$
Voorwaarde bepalen
Delen door nul mag niet, dus de noemer x − 2 mag geen 0 zijn: x ≠ 2. Voor x = 2 bestaat de breuk niet.

Resultaat: (x^2 − 5x + 6) / (x − 2) = x − 3, mits x ≠ 2. Strepen mag pas na ontbinden en alleen bij een gemeenschappelijke factor.

Veelgemaakte fouten

(a + b)^2 = a^2 + b^2 schrijven en het dubbele product 2ab vergeten.
Het minteken vóór een haakje niet overal doorvoeren: −(x − 1) = −x + 1, niet −x − 1.
In een breuk termen wegstrepen in plaats van factoren: in (x + 2)/x kun je niets wegdelen; strepen mag pas na ontbinden en alleen bij gemeenschappelijke factoren.

Actieve herhaling

Herleid (x^2 − 9) / (x^2 + 6x + 9) door teller en noemer te ontbinden, en geef aan voor welke x de breuk niet bestaat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Vergelijkingen: lineair en kwadratisch#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-B1

Een vergelijking oplossen betekent de waarden van

x

vinden waarvoor de linker- en rechterkant gelijk zijn. Bij een lineaire vergelijking (

ax + b = 0

) is dat er precies één; bij een kwadratische vergelijking (

ax^2 + bx + c = 0

) kunnen het er twee, één of geen zijn. Afb. 3 toont dat meetkundig voor

y = x^2 - 4x + 3

: de oplossingen van

x^2 - 4x + 3 = 0

zijn de nulpunten van de parabool, de plaatsen waar de grafiek de

x

-as snijdt — hier bij

x = 1

x = 3

. De laagste waarde ligt in de top bij

x = 2

, met

y = -1

; die

x

-waarde van de top ligt altijd precies midden tussen de nulpunten, bij

x = -\dfrac{b}{2a}

. Het snijpunt met de

y

-as,

(0, 3)

, is de constante

c

. Zo lees je uit één parabool meteen de oplossingen, de top en het startpunt af.

Afb. 3 — De parabool y = x²−4x+3 met nulpunten en top

Afb. 3De grafiek van y = x²−4x+3. De nulpunten x = 1 en x = 3 zijn de oplossingen van x²−4x+3 = 0; de top ligt bij (2, −1), precies midden tussen de nulpunten (x = −b/2a = 2). Het snijpunt met de y-as (0, 3) is de constante c.

Een lineaire vergelijking los je op door alle termen met

x

naar één kant te halen en de rest naar de andere, en daarna te delen. Uit

ax + b = 0

volgt

ax = -b

en dus

x = -\dfrac{b}{a}

(mits

a \neq 0

). Dezelfde techniek gebruik je om een formule te herschrijven en een variabele vrij te maken: je behandelt de gewenste variabele als onbekende en werkt met omgekeerde bewerkingen naar buiten toe. Wil je uit

A = \pi r^2

de straal

r

vrijmaken, dan deel je eerst door

\pi

(

\dfrac{A}{\pi} = r^2

) en trek je daarna de wortel (

r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}

, want

r > 0

). Elke bewerking die je links uitvoert, doe je ook rechts — dat houdt de vergelijking in evenwicht.

Voor een kwadratische vergelijking heb je drie technieken. Staat er

0

aan één kant en kun je de andere kant ontbinden, dan gebruik je de productregel: een product is nul precies als één van de factoren nul is. Uit

(x-1)(x-3) = 0

volgt meteen

x = 1

x = 3

. Lukt ontbinden niet, dan werkt altijd de abc-formule

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

. Het stuk onder de wortel, de discriminant

D = b^2 - 4ac

, vertelt vooraf hoeveel oplossingen er zijn: bij

D > 0

zijn er twee, bij

D = 0

precies één (de top raakt de

x

-as), en bij

D < 0

geen enkele reële oplossing (de parabool blijft helemaal boven of onder de as). Voor

x^2 - 4x + 3 = 0

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4

, dus

\sqrt{D} = 2

x = \dfrac{4 \pm 2}{2}

, oftewel

x = 3

x = 1

— dezelfde nulpunten als in Afb. 3.

Een derde techniek is kwadraatafsplitsen: je schrijft

x^2 + bx + c

als

\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 + c

en trekt dan de wortel. Zo wordt

x^2 - 2x - 4 = 0

tot

(x-1)^2 - 5 = 0

, dus

(x-1)^2 = 5

x = 1 \pm \sqrt{5}

; deze methode geeft meteen ook de top van de parabool. Ongelijkheden als

x^2 - 4x + 3 < 0

los je in twee stappen op: eerst de bijbehorende vergelijking (de grenzen

x = 1

x = 3

), daarna kijk je met de grafiek of een tekenverloop wáár de uitdrukking het gevraagde teken heeft. Afb. 4 vat dat samen op de getallenlijn: tussen de nulpunten ligt de parabool ónder de

x

-as, dus

x^2 - 4x + 3 < 0

geldt voor

1 < x < 3

; buiten dat interval is de uitdrukking positief. De oplossing noteer je als het open interval waar de ongelijkheid klopt.

Afb. 4 — Oplossing van de ongelijkheid x²−4x+3 < 0

Afb. 4De kwadratische ongelijkheid x²−4x+3 < 0 op de getallenlijn. Tussen de nulpunten x = 1 en x = 3 ligt de parabool onder de x-as, dus daar is de uitdrukking negatief. De oplossing is het open interval 1 < x < 3 (de randen tellen niet mee, want de ongelijkheid is strikt).

ax + b = 0 \ \Rightarrow \ x = -\dfrac{b}{a} \quad (a \neq 0)

Lineaire vergelijking

Breng b naar rechts en deel door a; er is precies één oplossing.

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

De abc-formule

Lost elke kwadratische vergelijking ax^2 + bx + c = 0 op; let op de ± en op het teken van b.

D = b^2 - 4ac

De discriminant

D > 0: twee oplossingen; D = 0: één; D < 0: geen reële oplossing.

x_{\text{top}} = -\dfrac{b}{2a}

x-waarde van de top

De symmetrieas van de parabool; ligt precies midden tussen de nulpunten.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kwadratische vergelijking op twee manieren

Los exact op: x^2 − 4x + 3 = 0. Doe het via ontbinden én via de abc-formule, en controleer je antwoord met de grafiek in Afb. 3.

Ontbinden
Zoek twee getallen met som −4 en product 3: dat zijn −1 en −3. Dus x^2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0.
$(x-1)(x-3) = 0$
Productregel toepassen
Een product is nul als een factor nul is: x − 1 = 0 of x − 3 = 0, dus x = 1 of x = 3.
Discriminant via abc
Met a = 1, b = −4, c = 3: D = (−4)^2 − 4·1·3 = 16 − 12 = 4. Omdat D > 0 zijn er twee oplossingen.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4$
abc-formule invullen
x = (−b ± √D)/(2a) = (4 ± 2)/2, dus x = 3 of x = 1.
$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm 2}{2}$
Controle met de grafiek
De parabool in Afb. 3 snijdt de x-as bij x = 1 en x = 3 — precies de gevonden oplossingen; de top (2, −1) ligt ertussen.

Resultaat: x = 1 of x = 3. Beide methoden geven hetzelfde, en dat klopt met de nulpunten van de parabool in Afb. 3. Let bij de abc-formule op: b = −4, dus −b = +4.

Uitgewerkt voorbeeld

abc-formule en kwadraatafsplitsen met wortels

Los exact op: x^2 − 2x − 4 = 0. Gebruik de abc-formule en controleer met kwadraatafsplitsen.

Discriminant
Met a = 1, b = −2, c = −4: D = (−2)^2 − 4·1·(−4) = 4 + 16 = 20.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 20$
Wortel vereenvoudigen
√20 = √(4·5) = 2√5, want √4 = 2.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
abc-formule invullen
x = (2 ± 2√5)/2 = 1 ± √5. Numeriek: x ≈ 3,24 of x ≈ −1,24.
$x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$
Controle via kwadraatafsplitsen
x^2 − 2x − 4 = (x − 1)^2 − 1 − 4 = (x − 1)^2 − 5 = 0, dus (x − 1)^2 = 5 en x − 1 = ±√5, oftewel x = 1 ± √5 — hetzelfde antwoord.
$(x-1)^2 - 5 = 0 \ \Rightarrow \ x = 1 \pm \sqrt{5}$

Resultaat: x = 1 + √5 of x = 1 − √5 (ongeveer 3,24 en −1,24). Bij worteltrekken hoort altijd de ±; vergeet die niet, anders mis je een oplossing.

Veelgemaakte fouten

Het teken van b in de abc-formule fout overnemen. Bij x^2 − 4x + 3 is b = −4, dus −b = +4.
Bij D < 0 toch een wortel proberen te trekken; er is dan geen reële oplossing. En bij worteltrekken de ± vergeten, waardoor je één oplossing mist.
Een vergelijking als x^2 = 3x door x delen; dan verlies je de oplossing x = 0. Breng alles naar één kant en ontbind: x(x − 3) = 0.

Actieve herhaling

Los exact op: 2x^2 − 3x − 2 = 0. Bereken eerst de discriminant, gebruik daarna de abc-formule, en controleer je antwoord door te ontbinden.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Procenten, groeifactoren en verhoudingen#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-B1

Procenten en vermenigvuldigen zijn twee kanten van dezelfde medaille, en de groeifactor is de brug ertussen. Een toename van

p

procent betekent vermenigvuldigen met de groeifactor

g = 1 + \dfrac{p}{100}

8\%

erbij is

\times 1{,}08

, en

8\%

eraf is vermenigvuldigen met

1 - 0{,}08 = 0{,}92

. Het grote voordeel is dat je herhaalde groei dan met een macht berekent:

n

keer achter elkaar met

g

vermenigvuldigen is

\times g^n

. Afb. 5 zet dat naast lineaire groei: een spaarbedrag van €1000 dat elk jaar met

10\%

groeit (samengestelde rente, groeifactor

1{,}1

) tegenover een vaste bijschrijving van €100 per jaar (enkelvoudig). De eerste jaren lopen ze bijna gelijk op, maar de groeifactor werkt cumulatief: na

5

jaar is het saldo

1000 \cdot 1{,}1^5 = 1610{,}51

euro tegen €1500 — en dat verschil loopt steeds sneller op. Dat is het wezenlijke onderscheid tussen exponentiële en lineaire groei.

Afb. 5 — Samengestelde groei (×1,1) versus enkelvoudige groei (+€100)

Afb. 5Een startbedrag van €1000 dat samengesteld groeit (elk jaar ×1,1) tegenover enkelvoudige groei (elk jaar +€100). Beide starten gelijk, maar na 5 jaar staat er €1610,51 tegen €1500: de groeifactor werkt cumulatief, dus het verschil loopt steeds sneller op.

Omgekeerd bepaal je uit twee bedragen de procentuele verandering met

\dfrac{\text{nieuw} - \text{oud}}{\text{oud}} \times 100\%

, altijd gedeeld door het oude (begin)getal. Gaat een prijs van

80

naar

100

, dan is de verandering

\dfrac{100 - 80}{80} \times 100\% = 25\%

erbij; van

100

naar

80

\dfrac{80 - 100}{100} \times 100\% = -20\%

. Dat de percentages verschillen (

25\%

versus

20\%

) terwijl het om dezelfde twee getallen gaat, komt doordat het grondtal verschilt — een veelgemaakte denkfout. De groeifactor lees je direct af als de verhouding

\dfrac{\text{nieuw}}{\text{oud}}

: van

80

naar

100

is dat

\dfrac{100}{80} = 1{,}25

, precies de

+25\%

. Zo reken je vlot heen en weer tussen bedragen, groeifactoren en percentages.

Bij opeenvolgende veranderingen vermenigvuldig je de groeifactoren met elkaar — je telt de percentages níét op. Stijgt een prijs eerst met

20\%

en daalt hij daarna met

20\%

, dan is de totale groeifactor

1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96

, dus de prijs is per saldo

4\%

gedáald en niet onveranderd gebleven. Dit is dezelfde rekenregel als bij samengestelde rente: groeit een bedrag

n

perioden met dezelfde factor

g

, dan is de eindwaarde

\text{beginwaarde} \times g^n

. Wil je omgekeerd uit beginwaarde en eindwaarde de groeifactor per periode terugrekenen over

n

perioden, dan trek je de

n

-de-machtswortel:

g = \sqrt[n]{\dfrac{\text{eind}}{\text{begin}}} = \left(\dfrac{\text{eind}}{\text{begin}}\right)^{1/n}

. Hier zie je de machten en wortels uit de eerste paragraaf terug als gereedschap voor groei.

Verhoudingen en procenten horen bij elkaar: een verhouding vergelijkt twee grootheden, en een percentage is niets anders dan een verhouding op de

100

. Bij recht evenredige grootheden (samen groter, samen kleiner in dezelfde mate) is het quotiënt constant; je rekent dan met een verhoudingstabel of met kruislings vermenigvuldigen: uit

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}

volgt

a \cdot d = b \cdot c

. Zo los je „

3

appels kosten €

1{,}80

, wat kosten er

7

?” op met

\dfrac{1{,}80}{3} = \dfrac{x}{7}

, dus

x = \dfrac{1{,}80 \cdot 7}{3} = 4{,}20

euro. Let bij het terugrekenen van een korting op de valkuil van het grondtal: is een prijs ná

20\%

korting €

80

, dan was de oude prijs niet

80 \times 1{,}20

maar

\dfrac{80}{0{,}80} = 100

euro, want je deelt door de groeifactor waarmee vermenigvuldigd is. Consistent met groeifactoren werken voorkomt precies deze fouten.

g = 1 + \dfrac{p}{100} \ \text{(toename)} \qquad g = 1 - \dfrac{p}{100} \ \text{(afname)}

Groeifactor uit een percentage

Een verandering van p procent is vermenigvuldigen met de groeifactor g.

\text{eindwaarde} = \text{beginwaarde} \times g^{n}

Herhaalde (samengestelde) groei

n keer met dezelfde factor g vermenigvuldigen is de macht g^n.

\text{procentuele verandering} = \dfrac{\text{nieuw} - \text{oud}}{\text{oud}} \times 100\%

Procentuele verandering

Altijd delen door het oude (begin)getal; dat grondtal bepaalt het percentage.

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \ \Rightarrow \ a \cdot d = b \cdot c

Kruislings vermenigvuldigen

Voor evenredige grootheden; handig bij verhoudingstabellen.

Uitgewerkt voorbeeld

Groeifactor en herhaalde groei (samengesteld versus enkelvoudig)

Een spaarbedrag van €1000 groeit met 10% samengestelde rente per jaar. Bepaal de groeifactor en het saldo na 5 jaar, en vergelijk met €100 vaste (enkelvoudige) bijschrijving per jaar (zie Afb. 5).

Groeifactor bepalen
Een toename van 10% is vermenigvuldigen met g = 1 + 10/100 = 1,1.
$g = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1$
Saldo na 5 jaar (samengesteld)
Vijf keer met 1,1 vermenigvuldigen is de macht 1,1^5 = 1,61051. Dus 1000 · 1,1^5 = 1610,51 euro.
$1000 \cdot 1{,}1^{5} = 1000 \cdot 1{,}61051 = 1610{,}51$
Saldo na 5 jaar (enkelvoudig)
Elk jaar komt er een vast bedrag van €100 bij: 1000 + 5 · 100 = 1500 euro.
$1000 + 5 \cdot 100 = 1500$
Vergelijken
Het verschil is 1610,51 − 1500 = 110,51 euro in het voordeel van de samengestelde groei; dat verschil groeit elk volgend jaar sneller (zie de staven in Afb. 5).

Resultaat: Groeifactor 1,1; het samengestelde saldo is 1000 · 1,1^5 = 1610,51 euro tegen €1500 bij enkelvoudige bijschrijving — een verschil van €110,51 dat elk jaar sneller oploopt.

Uitgewerkt voorbeeld

Twee opeenvolgende procentuele veranderingen

Een product wordt eerst 20% duurder en daarna 20% goedkoper. Met welk percentage is de prijs in totaal veranderd?

Eerste groeifactor
20% duurder is vermenigvuldigen met g₁ = 1 + 20/100 = 1,20.
$g_1 = 1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}20$
Tweede groeifactor
20% goedkoper is vermenigvuldigen met g₂ = 1 − 20/100 = 0,80.
$g_2 = 1 - \dfrac{20}{100} = 0{,}80$
Totale groeifactor
Opeenvolgende veranderingen vermenigvuldig je: g = 1,20 · 0,80 = 0,96.
$g = 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$
Interpreteren
0,96 = 1 − 0,04, dus een groeifactor kleiner dan 1: de prijs is per saldo 4% gedaald, niet 0%. De 20% korting geldt namelijk over een hogere tussenprijs dan de 20% verhoging.

Resultaat: De totale groeifactor is 1,20 · 0,80 = 0,96, dus de prijs is per saldo 4% gedaald. Percentages van verschillende grondtallen mag je niet zomaar tegen elkaar wegstrepen.

Veelgemaakte fouten

Percentages van verschillende grondtallen optellen: 20% erbij en daarna 20% eraf is niet 0%, maar ×1,20 × 0,80 = 0,96, dus 4% eraf.
Bij herhaalde groei vermenigvuldigen met n in plaats van met g^n: drie jaar 10% groei is ×1,1^3, niet ×1,3.
Bij het terugrekenen van een korting optellen in plaats van delen: van de nieuwe prijs de oude terugvinden doe je door te delen door de groeifactor, niet door te vermenigvuldigen.

Actieve herhaling

Een auto van €24000 verliest per jaar 15% van zijn waarde. Bepaal de groeifactor, bereken de waarde na 3 jaar, en bepaal met hoeveel procent de auto in die 3 jaar in totaal in waarde is gedaald (rond af op één decimaal).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Algebra, rekenregels, machten en wortels

Kernpunten

Machten vereenvoudigen en als wortel schrijven

Rekenen in wetenschappelijke notatie

Kernpunten

Haakjes wegwerken met merkwaardige producten

Ontbinden en een breuk vereenvoudigen

Kernpunten

Een kwadratische vergelijking op twee manieren

abc-formule en kwadraatafsplitsen met wortels

Kernpunten

Groeifactor en herhaalde groei (samengesteld versus enkelvoudig)

Twee opeenvolgende procentuele veranderingen

Bronnen