Samenvattingen · InformaticaNL · VWO

Domein C: Informatie

In een computer is álles uiteindelijk een reeks bits. Domein C gaat over die representatie: hoe je getallen weergeeft in het binaire, decimale en hexadecimale stelsel (en negatieve getallen in tweecomplement), hoe tekens (ASCII, Unicode), afbeeldingen en geluid als bits worden gecodeerd, en hoe compressie de hoeveelheid bits terugbrengt. De rode draad is het onderscheid tussen ruwe data (de bits) en de betekenis die pas ontstaat door de afgesproken codering te kennen.

4 Onderdelen~14 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 1 · Verdieping 1

T·0222 / 18

Examenprofiel

C · Getallen omzetten tussen het binaire, decimale en hexadecimale stelselC · Negatieve gehele getallen representeren met tweecomplementC · Tekens, afbeeldingen en geluid coderen als bits (ASCII/Unicode, bitmap/RGB, sampling)C · Bestandsgrootte en compressie (lossless/lossy) beredeneren

Operatoren:reken omberekencodeerleg uittoon aan

basisniveau

Getalstelsels, ASCII en het bit/byte-onderscheid zijn basisstof; conversies binair ↔ decimaal ↔ hexadecimaal komen veel terug.

verhoogd niveau

Tweecomplement, samplingberekeningen en het redeneren over compressieverhoudingen vormen de verdieping.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Domein C: Informatie

Getalstelsels en conversies#

Basisexamenblad-informatica-C

Een positiestelsel geeft aan een cijfer een waarde afhankelijk van zijn plaats: elke positie is een macht van het grondtal. In het decimale stelsel (grondtal 10) is

342 = 3\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0

. Een computer werkt met het binaire stelsel (grondtal 2), omdat een schakeling maar twee stabiele toestanden kent: aan en uit, 1 en 0. Elke binaire positie is een macht van 2, dus

1011_2 = 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 11

. Afb. 1 zet enkele getallen naast elkaar in de drie stelsels die je moet beheersen.

Dezelfde getallen in drie stelsels

Afb. 1Afb. 1 — Eén getal, drie schrijfwijzen; één hexcijfer staat voor precies vier bits.

Eén binair cijfer heet een bit; acht bits vormen een byte. Met

n

bits kun je

2^n

verschillende patronen maken, dus de getallen

0

t/m

2^n - 1

. Een byte (8 bits) representeert daarmee 256 waarden: 0 t/m 255. Dit is de reden dat kleurwaarden, tekens en veel andere gegevens net in een byte passen. Onthoud de eerste machten van twee (

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

): daarmee reken je vrijwel elke binaire vraag uit het hoofd.

Het hexadecimale stelsel (grondtal 16) is de handige tussentaal voor mensen: het gebruikt de cijfers 0–9 en de letters A–F (voor 10–15). Het mooie is dat één hexadecimaal cijfer precies vier bits (een ‘nibble’) voorstelt, want

16 = 2^4

. Daardoor lees je een lange bitreeks in één oogopslag: je groepeert de bits per vier en vervangt elke groep door één hexcijfer. Zo wordt

0010\,1010_2

meteen

2\text{A}_{16}

. Hexadecimaal zie je overal waar bits compact getoond moeten worden: kleurcodes (#FF8800), geheugenadressen en foutcodes.

Omrekenen doe je met vaste methoden. Binair → decimaal: tel de plaatswaarden van de enen op. Decimaal → binair: deel herhaald door 2 en lees de resten van onder naar boven, of trek de grootste passende macht van 2 er telkens af. Binair ↔ hexadecimaal: groepeer per vier bits (vanaf rechts). Decimaal → hexadecimaal: reken via binair, of deel herhaald door 16. Let bij het groeperen op: vul links met nullen aan tot een veelvoud van vier, anders verschuift alles.

\text{waarde} = \sum_{i} d_i \cdot g^{\,i} \qquad (g = \text{grondtal})

Positiestelsel

Elk cijfer d_i telt mee met de macht van het grondtal op zijn positie i.

n \text{ bits} \;\Rightarrow\; 2^n \text{ waarden} \;(0 \ldots 2^n - 1)

Bereik van n bits

Met n bits maak je 2 tot de macht n verschillende patronen.

Uitgewerkt voorbeeld

Decimaal 42 naar binair en hexadecimaal

Zet het decimale getal 42 om naar een 8-bit binair getal en naar hexadecimaal.

Grootste macht aftrekken
42 = 32 + 8 + 2 = 2^5 + 2^3 + 2^1. De posities 5, 3 en 1 krijgen een 1.
Bitpatroon opschrijven
Posities 7..0: 0·128 + 0·64 + 1·32 + 0·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 0·1 = 0010 1010.
Per vier bits groeperen
0010 = 2, 1010 = A (=10). Samen: 2A.

Resultaat: 42 is 0010 1010 in binair en 2A in hexadecimaal.

Veelgemaakte fouten

Bij binair → hexadecimaal de bits vanaf links in plaats van vanaf rechts in groepjes van vier verdelen, waardoor bij een niet-veelvoud van vier alles verschuift.
$2^n$ (aantal patronen) verwarren met het grootste representeerbare getal $2^n - 1$ ; met 8 bits kun je 256 waarden maken, maar het hoogste getal is 255.

Actieve herhaling

Reken om: (a) $1101\,0110_2$ naar decimaal en hexadecimaal; (b) het decimale getal 200 naar binair (8 bit) en hexadecimaal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma informatica vwo — domein C (representatie) (CvTE / Examenblad)

Negatieve getallen: tweecomplement#

Standaardexamenblad-informatica-C

4-bits tweecomplement

Afb. 2Afb. 1 — 4-bits tweecomplement loopt van −8 (1000) tot +7 (0111); het linker bit bepaalt het teken.

Bits kennen geen minteken, dus negatieve gehele getallen krijgen een afspraak: tweecomplement. Het idee is dat de meest linkse bit (de meest significante) een negatieve plaatswaarde krijgt. Bij 8 bits weegt die bit

-2^7 = -128

; de overige bits houden hun gewone positieve gewicht. Zo staat

1111\,1011_2

voor

-128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = -5

. Afb. 1 laat voor 4 bits zien hoe de patronen op de getallenlijn liggen: de bovenste helft (0xxx) is positief, de onderste helft (1xxx) negatief.

Waarom deze schijnbaar rare afspraak? Omdat optellen dan gewoon blijft werken. Tel je de tweecomplement-representaties van

+5

-5

op, dan krijg je vanzelf nul (met een overloopbit die je weggooit). De hardware hoeft aftrekken niet apart te kunnen:

a - b

is simpelweg

a + (-b)

, met dezelfde optelschakeling. Eén enkele optelschakeling verwerkt dus zowel positieve als negatieve getallen — een elegante besparing die tweecomplement tot de standaard maakt in vrijwel elke processor.

Een getal negatief maken (het tweecomplement nemen) gaat in twee stappen: inverteer alle bits (0↔1, het ‘eencomplement’) en tel er 1 bij op. Om

-5

in 8 bits te maken: begin met

+5 = 0000\,0101

, inverteer naar

1111\,1010

, tel 1 op:

1111\,1011

. Dezelfde procedure werkt ook terug: pas hem toe op een negatief patroon en je krijgt de positieve tegenhanger, waarvan je de waarde afleest. Handig detail: het meest linkse bit is meteen het tekenbit — is het 1, dan is het getal negatief.

Het bereik is asymmetrisch. Met

n

bits loopt tweecomplement van

-2^{n-1}

tot

+2^{n-1} - 1

; bij 8 bits dus van

-128

tot

+127

. Er is één negatief getal méér dan positief, omdat de nul bij de positieve helft ‘hoort’ (patroon 0000 0000). Overschrijd je dit bereik bij een berekening, dan treedt overflow op: het resultaat ‘klapt om’ naar de verkeerde kant (127 + 1 wordt −128). Dat is geen computerfout maar een direct gevolg van het eindige aantal bits, en de reden dat programmeurs bewust een geheeltype met genoeg bits kiezen.

\text{waarde} = -d_{n-1}\cdot 2^{\,n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} d_i\cdot 2^{\,i}

Tweecomplement-waarde

De meest linkse bit weegt negatief; de rest positief.

\text{bereik } n\text{ bits}: \; -2^{\,n-1} \ldots\; 2^{\,n-1} - 1

Bereik

Bij 8 bits: −128 t/m +127; één negatief getal meer dan positief.

Uitgewerkt voorbeeld

−5 in 8-bit tweecomplement

Bepaal de 8-bit tweecomplement-representatie van −5 en controleer je antwoord door +5 en −5 op te tellen.

Begin positief
+5 in 8 bit is 0000 0101.
Inverteer
Alle bits omdraaien: 1111 1010 (het eencomplement).
Tel 1 op
1111 1010 + 1 = 1111 1011. Dit is −5.
Controle
0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000; de negende bit (overflow) valt weg, er blijft 0000 0000 = 0 over.

Resultaat: −5 = 1111 1011; de controle levert netjes 0, wat de representatie bevestigt.

Veelgemaakte fouten

Bij het nemen van het tweecomplement vergeten er 1 bij op te tellen na het inverteren (dat levert het eencomplement, niet het tweecomplement).
Het tekenbit als gewone positieve plaatswaarde meetellen; bij tweecomplement weegt de meest linkse bit juist negatief.

Actieve herhaling

Representeer $-20$ in 8-bit tweecomplement. Bepaal daarna welke decimale waarde het patroon $1000\,0000$ (8 bit) voorstelt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma informatica vwo — domein C (representatie van getallen) (CvTE / Examenblad)

Tekens coderen: ASCII en Unicode#

Basisexamenblad-informatica-C

Enkele ASCII-codes

Afb. 3Afb. 1 — ASCII koppelt elk teken aan een getal; de hoofdletters, kleine letters en cijfers staan elk aaneengesloten.

Ook letters zijn in een computer getallen. Een tekencodering is een afgesproken tabel die elk teken aan een getal koppelt. De klassieke is ASCII: 7 bits per teken, dus 128 codes, genoeg voor de Latijnse letters (hoofd- en kleine), de cijfers, leestekens en enkele stuurtekens. Afb. 1 toont een paar codes. Belangrijk is dat de codering systematisch is: de hoofdletters staan aaneengesloten (A = 65, B = 66, …), net als de kleine letters (a = 97, …) en de cijfers (‘0’ = 48, ‘1’ = 49, …). Daardoor bereken je bijvoorbeeld de code van een letter uit die van ‘A’, en zet je een cijferteken om in zijn getalwaarde door 48 af te trekken.

Let op het subtiele maar veelgetoetste onderscheid tussen het teken ‘7’ en het getal 7. Het teken ‘7’ heeft ASCII-code 55 (binair

0110111

); het getal zeven is

0000111

. Ze zien er in het geheugen totaal anders uit. Dit verklaart waarom je een ingetypt cijfer eerst moet omzetten (parsen) voordat je ermee kunt rekenen: de toetsaanslag levert een tékencode, geen getal. Verwarring hiertussen is een klassieke bron van programmeerfouten.

ASCII schiet tekort voor de wereld: 128 codes bevatten geen é, ñ, α, 汉 of 😀. Unicode lost dit op met één gigantische tabel (‘code points’) voor vrijwel elk schriftteken ter wereld, meer dan een miljoen posities. Unicode zegt wélk nummer een teken heeft; hóe je dat nummer in bytes opslaat, bepaalt een aparte coderingsvorm. De belangrijkste is UTF-8: die gebruikt 1 byte voor de oude ASCII-tekens (waardoor ASCII een deelverzameling van UTF-8 is) en 2 tot 4 bytes voor de rest. Zo blijft gewone Engelse tekst compact, terwijl elk teken toch representeerbaar is.

Het onderscheid code point versus coderingsvorm verklaart praktische verschijnselen. Omdat een é in UTF-8 twee bytes kost, is het aantal bytes van een tekst niet gelijk aan het aantal tekens — een val bij het berekenen van bestandsgroottes. En als tekst met de verkeerde codering wordt gelezen (bijvoorbeeld UTF-8-bytes als een oud 8-bits stelsel), verschijnen de beruchte ‘mojibake’-tekens (Ã©, â€™). De les uit heel domein C keert hier terug: bits hebben pas betekenis samen met de afgesproken codering; zonder de juiste tabel is dezelfde reeks bits leesbare tekst óf onzin.

Uitgewerkt voorbeeld

Een cijferteken naar een getal

Een toets levert het teken ‘7’ met ASCII-code 55. Toon hoe je daaruit het getal 7 berekent, en bepaal de code van het teken ‘9’.

Cijferteken → getal
De cijfertekens staan aaneengesloten vanaf ‘0’ = 48. Getalwaarde = code − 48.
Reken uit
55 − 48 = 7. Het teken ‘7’ hoort dus bij het getal 7.
Code van ‘9’
‘9’ = 48 + 9 = 57 (binair 0111001).

Resultaat: Uit de tekencode 55 volgt het getal 7 (via − 48); het teken ‘9’ heeft code 57.

Veelgemaakte fouten

Het teken ‘7’ (ASCII-code 55) verwarren met het getal 7; een ingetypt cijfer is een tekencode en moet eerst omgezet worden voordat je ermee rekent.
Aannemen dat elk teken één byte kost; in UTF-8 nemen tekens buiten ASCII (é, €, emoji) 2 tot 4 bytes in beslag.

Actieve herhaling

Het woord „Hi” wordt in ASCII opgeslagen. Geef voor beide letters de decimale ASCII-code en de 8-bit binaire representatie (H = 72). Leg uit hoeveel bytes het woord „café” in UTF-8 kost.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma informatica vwo — domein C (codering van tekens) (CvTE / Examenblad)

Beeld en geluid coderen en comprimeren#

Verdiepingexamenblad-informatica-C

Een bitmap als rooster van bits

Afb. 4Afb. 1 — Een zwart-wit bitmap: elke pixel is één bit (1 = zwart, 0 = wit).

Een digitale afbeelding van het bitmap-type is een rooster van pixels, elk met een kleurwaarde. Afb. 1 toont zo’n rooster in het klein: elke cel is één pixel, en zijn bit(s) bepalen de kleur. Bij zwart-wit volstaat 1 bit per pixel; bij grijstinten meestal 8 bit (256 tinten); bij kleur het RGB-model, waarin rood, groen en blauw elk een byte krijgen — samen 24 bit, goed voor ruim 16 miljoen kleuren. De resolutie (aantal pixels) bepaalt het detail. Hieruit volgt direct de onbewerkte bestandsgrootte:

\text{breedte} \times \text{hoogte} \times \text{bitdiepte}

. Een foto van

2000 \times 1500

pixels in 24-bits kleur is al

2000 \cdot 1500 \cdot 24 = 7{,}2\cdot 10^7

bit ≈ 9 MB.

Geluid is van nature een continue golf; een computer legt die vast door sampling: op vaste tijdstippen de geluidsdruk meten en elke meting kwantiseren tot een getal. Afb. 2 laat het idee zien: de gladde golf wordt vervangen door een rij meetpunten. Twee instellingen bepalen de kwaliteit: de samplefrequentie (metingen per seconde, in Hz — cd-kwaliteit is 44 100 Hz) en de bitdiepte per meting (bijvoorbeeld 16 bit). Hoe hoger beide, hoe getrouwer de weergave, maar hoe groter het bestand. De grootte is

\text{duur} \times \text{samplefrequentie} \times \text{bitdiepte} \times \text{kanalen}

Onbewerkte beeld- en geluidsbestanden zijn enorm, dus je comprimeert ze: je slaat dezelfde (of bijna dezelfde) informatie op in minder bits. Verliesvrije (lossless) compressie herstelt het origineel exact; ze buit redundantie uit, bijvoorbeeld door een rij van 500 identieke witte pixels op te slaan als ‘500× wit’ (run-length) of door veelvoorkomende patronen een kortere code te geven. PNG, ZIP en FLAC werken zo. Het nadeel is dat de compressieverhouding beperkt is: onvoorspelbare data laat zich nauwelijks inkorten.

Verlieslatende (lossy) compressie gooit informatie weg die een mens toch amper waarneemt, en haalt daardoor veel hogere compressieverhoudingen. JPEG verwijdert fijne kleurdetails waar het oog ongevoelig voor is; MP3 laat tonen weg die door hardere tonen worden gemaskeerd. Het origineel is daarna niet meer exact terug te halen, en herhaald opslaan stapelt kwaliteitsverlies op (generatieverlies). De keuze is dus een afweging: verliesvrij waar exactheid telt (tekst, medische beelden, broncode), verlieslatend waar bestandsgrootte belangrijker is dan het laatste beetje detail (foto’s en muziek op internet).

\text{grootte}_{\text{bitmap}} = \text{breedte} \times \text{hoogte} \times \text{bitdiepte}

Onbewerkte beeldgrootte

Aantal pixels maal de bits per pixel; bij RGB is de bitdiepte 24.

\text{grootte}_{\text{geluid}} = \text{duur} \times f_s \times \text{bitdiepte} \times \text{kanalen}

Onbewerkte geluidsgrootte

f_s is de samplefrequentie; stereo telt 2 kanalen.

Sampling van een geluidsgolf

Afb. 5Afb. 2 — Sampling: de continue golf wordt op vaste tijdstippen gemeten (de punten op de kromme).

Uitgewerkt voorbeeld

Bestandsgrootte van een RGB-foto

Bereken de onbewerkte grootte van een foto van 1024 × 768 pixels in 24-bits RGB-kleur, in megabyte (1 MB = 1 miljoen byte).

Aantal pixels
1024 × 768 = 786 432 pixels.
$1024 \times 768 = 786\,432$
Bits en bytes
Elke pixel 24 bit = 3 byte, dus 786 432 × 3 = 2 359 296 byte.
$786\,432 \times 3 = 2\,359\,296 \text{ byte}$
Naar megabyte
Deel door 1 000 000.
$2\,359\,296 / 10^6 \approx 2{,}36 \text{ MB}$

Resultaat: De onbewerkte foto is ongeveer 2,36 MB; met JPEG-compressie past dezelfde foto vaak in een tiende daarvan.

Veelgemaakte fouten

Bij een RGB-afbeelding vergeten dat elke pixel 3 bytes (24 bit) kost en per ongeluk met 8 bit rekenen.
Denken dat verlieslatende compressie het origineel exact herstelt; JPEG en MP3 verwijderen definitief informatie, wat bij herhaald opslaan zichtbaar/hoorbaar wordt.

Actieve herhaling

Een monofoon geluidsfragment duurt 30 seconden, is opgenomen op 44 100 Hz met 16 bit per sample. Bereken de onbewerkte bestandsgrootte in megabyte. Leg uit welk soort compressie je kiest om het te delen op internet.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma informatica vwo — domein C (beeld, geluid, compressie) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma informatica vwo — domein C (representatie)

Domein C: Informatie

Kernpunten

Decimaal 42 naar binair en hexadecimaal

Kernpunten

−5 in 8-bit tweecomplement

Kernpunten

Een cijferteken naar een getal

Kernpunten

Bestandsgrootte van een RGB-foto

Bronnen

Domein C: Informatie

Kernpunten

Decimaal 42 naar binair en hexadecimaal

Kernpunten

−5 in 8-bit tweecomplement

Kernpunten

Een cijferteken naar een getal

Kernpunten

Bestandsgrootte van een RGB-foto

Bronnen