Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Algebraïsche methoden: vergelijkingen van lijnen en cirkels

In de analytische meetkunde beschrijf je meetkundige figuren met vergelijkingen en reken je er algebraïsch mee. Dit onderwerp behandelt de vergelijking van een lijn ( $y = ax + b$ , met richtingscoëfficiënt en het verband tussen evenwijdige en loodrechte lijnen), de cirkelvergelijking $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ , het algebraïsch berekenen van de snijpunten van een lijn en een cirkel, en de raaklijn aan een cirkel die loodrecht op de straal staat.

4Onderdelenca. 18min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0888 / 12

Examenprofiel

De vergelijking van een lijn opstellen uit een richtingscoëfficiënt en een punt, of uit twee punten.Het verband tussen de richtingscoëfficiënten van evenwijdige en loodrechte lijnen gebruiken.De cirkelvergelijking (x-a)² + (y-b)² = r² opstellen en lezen (middelpunt en straal).De snijpunten van een lijn en een cirkel algebraïsch berekenen en de raaklijn aan een cirkel bepalen.

Operatoren:stel opberekentoon aanbepaallos opleid af

basisniveau

Stel de vergelijking van een lijn en van een cirkel op en lees er middelpunt, straal en richtingscoëfficiënt uit af.

verhoogd niveau

Bereken snijpunten en raaklijnen algebraïsch en gebruik de loodrechte stand van raaklijn en straal.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Algebraïsche methoden: vergelijkingen van lijnen en cirkels

De vergelijking van een lijn#

Basisexamenblad-nl

De vergelijking van een lijn

Afb. 1De lijn door A(1,2) en B(5,4) heeft richtingscoëfficiënt a = Δy/Δx = 2/4 = ½ en vergelijking y = ½x + 1½. De hellingsdriehoek toont Δx = 4 en Δy = 2.

Een rechte lijn beschrijf je in het coördinatenstelsel met de vergelijking

y = ax + b

, waarin

a

de richtingscoëfficiënt (rico) is en

b

het snijpunt met de

y

-as. De richtingscoëfficiënt geeft de steilheid van de lijn: het is de verticale verandering per eenheid horizontale verandering, oftewel

a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}

. Een positieve

a

betekent een stijgende lijn, een negatieve

a

een dalende, en

a = 0

een horizontale lijn. Het getal

b

vertelt op welke hoogte de lijn de

y

-as kruist. Met deze twee getallen ligt de lijn volledig vast, en omgekeerd kun je uit een gegeven lijn

a

b

aflezen.

De richtingscoëfficiënt bepaal je uit twee punten

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

van de lijn met de hellingformule

a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

— het verschil in

y

gedeeld door het verschil in

x

. In de figuur zie je dit als een „hellingsdriehoek”: van

A(1, 2)

naar

B(5, 4)

\Delta x = 4

\Delta y = 2

, dus

a = \dfrac{2}{4} = \dfrac12

. Let op de volgorde: neem

y

x

in dezelfde richting (beide van

A

naar

B

), anders krijg je het verkeerde teken. De hellingsdriehoek maakt de betekenis van de rico concreet: per 4 naar rechts gaat de lijn 2 omhoog.

Heb je de richtingscoëfficiënt en één punt van de lijn, dan vind je

b

door dat punt in te vullen. Voor de lijn met

a = \dfrac12

door

A(1, 2)

geldt

2 = \dfrac12\cdot 1 + b

, dus

b = 2 - \dfrac12 = 1\tfrac12

, en de vergelijking is

y = \dfrac12 x + 1\tfrac12

. Deze werkwijze — eerst de rico bepalen, dan met een punt

b

uitrekenen — is de standaardmanier om de vergelijking van een lijn op te stellen. Controleer altijd door het tweede punt in te vullen: krijg je de juiste

y

, dan klopt je vergelijking.

Bijzonder belangrijk bij wiskunde B is het verband tussen de richtingscoëfficiënten van evenwijdige en loodrechte lijnen. Twee lijnen zijn evenwijdig (parallel) precies wanneer ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben:

a_1 = a_2

— ze stijgen even steil en kruisen elkaar nooit. Twee lijnen staan loodrecht op elkaar precies wanneer het product van hun richtingscoëfficiënten

-1

is:

a_1\cdot a_2 = -1

, oftewel de ene rico is de negatieve omgekeerde van de andere. Staat een lijn met rico

\dfrac12

gegeven, dan heeft elke loodrechte lijn rico

-2

(want

\dfrac12\cdot(-2) = -1

). Deze regel gebruik je voortdurend, onder andere bij raaklijnen aan cirkels.

De vergelijking van een lijn is het eerste stuk gereedschap van de analytische meetkunde, waarin je meetkundige objecten met algebra beschrijft en berekent. Met

y = ax + b

kun je snijpunten met andere lijnen of krommen berekenen (door vergelijkingen gelijk te stellen), de afstand en het midden van twee punten bepalen, en — met de loodrechte-rico-regel — loodlijnen en raaklijnen construeren. Samen met de cirkelvergelijking uit de volgende paragraaf vormt de lijnvergelijking de basis waarmee je meetkundige vragen omzet in algebra en exact oplost.

y = ax + b, \qquad a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

lijnvergelijking en richtingscoëfficiënt

a is de helling (Δy/Δx), b het snijpunt met de y-as; uit twee punten bereken je a met de hellingformule.

\text{evenwijdig: } a_1 = a_2, \qquad \text{loodrecht: } a_1\cdot a_2 = -1

evenwijdig en loodrecht

Evenwijdige lijnen hebben gelijke rico's; loodrechte lijnen hebben rico's met product −1 (de negatieve omgekeerde).

Uitgewerkt voorbeeld

De vergelijking van een lijn opstellen uit twee punten

Stel de vergelijking op van de lijn door $A(1, 2)$ en $B(5, 4)$ en geef de rico van een loodrechte lijn.

Stap 1 — Bereken de richtingscoëfficiënt
Gebruik de hellingformule met de twee punten in dezelfde richting.
$a = \frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \tfrac12$
Stap 2 — Bepaal b met een punt
Vul de rico en het punt A(1,2) in y = ax + b in en los b op.
$2 = \tfrac12\cdot 1 + b \ \Rightarrow\ b = 1\tfrac12, \quad\text{dus}\quad y = \tfrac12 x + 1\tfrac12$
Stap 3 — Bepaal de rico van een loodrechte lijn
Een loodrechte lijn heeft de negatieve omgekeerde rico: a₁·a₂ = −1.
$a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\tfrac12} = -2$

Resultaat: Resultaat: de lijn door $A$ en $B$ is $y = \tfrac12 x + 1\tfrac12$ ; een lijn die daar loodrecht op staat heeft richtingscoëfficiënt $-2$ . De controle met $B(5,4)$ : $\tfrac12\cdot 5 + 1\tfrac12 = 4$ , klopt.

Veelgemaakte fouten

Bij de hellingformule $\Delta y$ en $\Delta x$ in tegengestelde richting nemen, zodat het teken van de rico verkeerd uitvalt.
Voor een loodrechte lijn alleen het teken omdraaien (rico $-a$ ) in plaats van de negatieve omgekeerde ( $-\dfrac{1}{a}$ ).
$b$ bepalen zonder een punt in te vullen, of het verkeerde punt gebruiken.

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van de lijn door $A(1, 2)$ en $B(5, 4)$ , en geef de richtingscoëfficiënt van een lijn die daar loodrecht op staat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De cirkelvergelijking#

Standardexamenblad-nl

De cirkel met middelpunt M(2,1) en straal 3

Afb. 2De cirkel (x − 2)² + (y − 1)² = 9 heeft middelpunt M(2,1) en straal 3. Het punt P(2,4) ligt op de cirkel; de straal MP heeft lengte 3.

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op een vaste afstand — de straal

r

— van een vast punt — het middelpunt

M(a, b)

— liggen. Vertaal je die meetkundige definitie met de afstandsformule, dan krijg je de cirkelvergelijking. Een punt

(x, y)

ligt op de cirkel precies wanneer de afstand tot

M

gelijk is aan

r

, dus

\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r

. Kwadrateren van beide kanten geeft de standaardvorm

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

. Deze vergelijking is dus niets anders dan „de afstand tot het middelpunt is

r

”, algebraïsch opgeschreven — een mooi voorbeeld van hoe een meetkundige eigenschap een vergelijking wordt.

Uit de standaardvorm lees je het middelpunt en de straal direct af, en daar zit een valkuil met de tekens. In

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

is het middelpunt

(a, b)

, dus je neemt de getallen mét tegengesteld teken van wat er in de haakjes staat. Bij

(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9

is het middelpunt

(2, 1)

— let op:

+2

+1

, ondanks de mintekens in de haakjes — en de straal

r = \sqrt{9} = 3

. De rechterkant is het kwadraat van de straal, dus vergeet niet de wortel te trekken: een

9

rechts hoort bij straal

3

, niet

9

. In de figuur zie je deze cirkel met middelpunt

M(2, 1)

en straal

3

, met het punt

P(2, 4)

erop.

Andersom stel je de cirkelvergelijking op zodra je het middelpunt en de straal kent: vul

a

b

r

in de standaardvorm in. Ken je het middelpunt en een punt op de cirkel in plaats van de straal, dan bereken je de straal eerst met de afstandsformule als de afstand tussen die twee punten. Zo heeft een cirkel met middelpunt

M(2, 1)

door het punt

P(2, 4)

als straal

r = \sqrt{(2-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9} = 3

, en dus de vergelijking

(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9

. Het middelpunt en één punt leggen de cirkel dus volledig vast.

Je controleert of een gegeven punt op, binnen of buiten de cirkel ligt door zijn coördinaten in de linkerkant van de vergelijking in te vullen en met

r^2

te vergelijken. Komt er precies

r^2

uit, dan ligt het punt op de cirkel; komt er minder uit, dan ligt het erbinnen (dichter bij het middelpunt dan de straal); komt er meer uit, dan ligt het erbuiten. Dit is in feite weer de afstandsformule: je berekent het kwadraat van de afstand tot het middelpunt en vergelijkt dat met het kwadraat van de straal. Deze test gebruik je vaak bij snijpunt- en raaklijnvraagstukken.

De cirkelvergelijking is samen met de lijnvergelijking de kern van de meetkunde met coördinaten bij wiskunde B. Met beide kun je meetkundige situaties — een cirkel met een lijn die hem snijdt of raakt, een punt op een afstand — volledig algebraïsch behandelen. In de praktijk komt een cirkelvergelijking soms in „uitgewerkte” vorm voor (met losse

x^2

x

- en constante termen door elkaar); door kwadraatafsplitsing breng je die terug naar de standaardvorm met de haakjes, zodat je middelpunt en straal weer kunt aflezen. Maar de standaardvorm is het hart: hij koppelt de meetkundige cirkel aan een nette algebraïsche vergelijking.

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

cirkelvergelijking

De cirkel met middelpunt (a, b) en straal r; de vergelijking zegt dat de afstand van (x, y) tot het middelpunt gelijk is aan r.

r = \sqrt{(x_P - a)^2 + (y_P - b)^2}

straal uit middelpunt en een punt

De straal is de afstand tussen het middelpunt en een gegeven punt op de cirkel, via de afstandsformule.

Uitgewerkt voorbeeld

Een cirkelvergelijking opstellen en een punt testen

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt $M(2, 1)$ door $P(2, 4)$ en onderzoek of $(5, 1)$ op de cirkel ligt.

Stap 1 — Bereken de straal
De straal is de afstand tussen M en P, via de afstandsformule.
$r = \sqrt{(2-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3$
Stap 2 — Stel de vergelijking op
Vul middelpunt (2,1) en r² = 9 in de standaardvorm in.
$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$
Stap 3 — Test het punt (5,1)
Vul (5,1) in de linkerkant in en vergelijk met r² = 9.
$(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9 + 0 = 9 = r^2 \ \Rightarrow\ \text{op de cirkel}$

Resultaat: Resultaat: de cirkel heeft vergelijking $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ , en het punt $(5, 1)$ ligt erop, want invullen geeft precies $r^2 = 9$ . De cirkelvergelijking is de afstandsformule, gekwadrateerd.

Veelgemaakte fouten

Het middelpunt met het verkeerde teken aflezen: bij $(x-2)^2$ hoort middelpuntcoördinaat $+2$ , niet $-2$ .
De straal gelijkstellen aan de rechterkant in plaats van aan de wortel daarvan ( $r^2 = 9$ geeft $r = 3$ ).
Bij het opstellen vanuit een punt vergeten eerst de straal met de afstandsformule te berekenen.

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt $M(2, 1)$ die door het punt $P(2, 4)$ gaat, en onderzoek of het punt $(5, 1)$ op de cirkel ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Snijpunten van een lijn en een cirkel#

Standardexamenblad-nl

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Afb. 3De lijn y = x − 1 snijdt de cirkel x² + y² = 25 in twee punten: S₁(4, 3) en S₂(−3, −4). Je vindt ze door de lijn in de cirkelvergelijking te substitueren.

Om de snijpunten van een lijn en een cirkel te bepalen, gebruik je de substitutiemethode: je vult de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking in. Omdat de lijn

y = ax + b

y

uitdrukt in

x

, kun je die uitdrukking overal waar

y

in de cirkelvergelijking staat invullen. Zo ontstaat één vergelijking met alleen nog

x

— meestal een kwadratische vergelijking — die je met ontbinden of de abc-formule oplost. De gevonden

x

-waarden vul je daarna terug in de lijnvergelijking om de bijbehorende

y

-waarden te krijgen. Snijpunten zoeken wordt zo het algebraïsch oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen door substitutie.

Het aantal snijpunten lees je af aan de discriminant van de resulterende kwadratische vergelijking — en dat heeft een mooie meetkundige betekenis. Is de discriminant positief, dan zijn er twee snijpunten: de lijn is een snijlijn die de cirkel doorsnijdt. Is de discriminant nul, dan is er één snijpunt: de lijn raakt de cirkel en is een raaklijn. Is de discriminant negatief, dan zijn er geen snijpunten: de lijn mist de cirkel volledig. Zo vertelt de discriminant je, nog vóór je de snijpunten uitrekent, of de lijn de cirkel snijdt, raakt of mist — een directe brug tussen algebra en meetkunde.

In de figuur zie je een voorbeeld: de cirkel

x^2 + y^2 = 25

(middelpunt in de oorsprong, straal 5) en de lijn

y = x - 1

. Substitueren geeft

x^2 + (x-1)^2 = 25

, wat na uitwerken

2x^2 - 2x - 24 = 0

oftewel

x^2 - x - 12 = 0

oplevert. Ontbinden geeft

(x-4)(x+3) = 0

, dus

x = 4

x = -3

. De bijbehorende

y

-waarden volgen uit

y = x - 1

: bij

x = 4

y = 3

, bij

x = -3

y = -4

. De twee snijpunten zijn dus

(4, 3)

(-3, -4)

— precies de punten waar de lijn de cirkel doorsnijdt.

Bij het uitwerken van

(x-1)^2

en soortgelijke termen luistert het rekenwerk nauw: gebruik het merkwaardige product

(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1

en wees zorgvuldig met de tekens. Een veelgemaakte fout is de dubbele productterm vergeten of een teken verkeerd overnemen, waardoor de kwadratische vergelijking niet klopt. Vereenvoudig waar mogelijk (deel bijvoorbeeld door de gemeenschappelijke factor 2) voordat je oplost, dat scheelt fouten. En vergeet niet de

y

-coördinaten te berekenen: de oplossingen

x = 4

x = -3

zijn pas complete snijpunten als je er de bijbehorende

y

-waarden bij geeft.

De substitutiemethode voor lijn en cirkel is een sjabloon dat je breed kunt toepassen: snijpunten van twee krommen vind je vrijwel altijd door de ene vergelijking in de andere te substitueren en de resulterende vergelijking op te lossen. Bij wiskunde B komt dit terug bij snijpunten van grafieken, bij raaklijnvraagstukken (waar de discriminant-nul-voorwaarde de raaklijn karakteriseert) en bij meetkundige bewijzen. Het algebraïsch vinden van snijpunten — en het interpreteren van de discriminant als snijden, raken of missen — is daarmee een centrale vaardigheid in de analytische meetkunde.

y = ax + b \ \text{invullen in}\ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2

substitutiemethode

Vervang y in de cirkelvergelijking door de lijnuitdrukking; er ontstaat een kwadratische vergelijking in x.

D > 0: \text{snijden}, \quad D = 0: \text{raken}, \quad D < 0: \text{missen}

discriminant en aantal snijpunten

De discriminant van de resulterende kwadratische vergelijking bepaalt of de lijn de cirkel snijdt, raakt of mist.

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunten van een lijn en een cirkel berekenen

Bereken de snijpunten van $x^2 + y^2 = 25$ en $y = x - 1$ .

Stap 1 — Substitueer de lijn in de cirkel
Vervang y door x − 1 in de cirkelvergelijking en werk het kwadraat uit met (x−1)² = x² − 2x + 1.
$x^2 + (x-1)^2 = 25 \ \Rightarrow\ x^2 + x^2 - 2x + 1 = 25$
Stap 2 — Vereenvoudig en los op
Breng op nul, deel door 2 en ontbind de kwadratische vergelijking.
$2x^2 - 2x - 24 = 0 \ \Rightarrow\ x^2 - x - 12 = 0 \ \Rightarrow\ (x-4)(x+3) = 0$
Stap 3 — Bepaal de y-coördinaten
De oplossingen zijn x = 4 en x = −3. Vul ze terug in y = x − 1.
$x=4 \Rightarrow y=3, \qquad x=-3 \Rightarrow y=-4$

Resultaat: Resultaat: de snijpunten zijn $(4, 3)$ en $(-3, -4)$ . Doordat de discriminant positief is, snijdt de lijn de cirkel in twee punten; vergeet niet de $y$ -coördinaten terug te rekenen.

Veelgemaakte fouten

Vergeten de gevonden $x$ -waarden terug te substitueren om de $y$ -coördinaten te bepalen, zodat de snijpunten onvolledig zijn.
Bij het uitwerken van $(x-1)^2$ de dubbele productterm $-2x$ vergeten.
De discriminant verkeerd interpreteren: $D = 0$ betekent raken (één snijpunt), niet geen snijpunt.

Actieve herhaling

Bereken de snijpunten van de cirkel $x^2 + y^2 = 25$ en de lijn $y = x - 1$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De raaklijn aan een cirkel#

Standardexamenblad-nl

Raaklijn aan een cirkel

Afb. 4De raaklijn in P(7,5) staat loodrecht op de straal MP. De straal MP heeft rico ¾, dus de raaklijn heeft rico −4⁄3; de rechte hoek bij P markeert de loodrechte stand.

Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die de cirkel in precies één punt raakt — het raakpunt. De sleuteleigenschap, die je bij vrijwel elk raaklijnvraagstuk gebruikt, is dat de raaklijn in het raakpunt loodrecht op de straal naar dat punt staat. Meetkundig is dat logisch: de straal is de kortste verbinding van het middelpunt naar de cirkel, en de lijn die daar loodrecht op staat „schampt” de cirkel zonder hem binnen te dringen. Deze loodrechte stand van raaklijn en straal is de brug waarmee je een meetkundig raaklijnprobleem omzet in een algebraïsche berekening met richtingscoëfficiënten.

Met die eigenschap stel je de raaklijn in een gegeven punt

P

van de cirkel op in twee stappen. Bereken eerst de richtingscoëfficiënt van de straal

MP

met de hellingformule. Omdat de raaklijn daar loodrecht op staat, is haar richtingscoëfficiënt de negatieve omgekeerde: als de straal rico

a

heeft, heeft de raaklijn rico

-\dfrac{1}{a}

(want het product is

-1

). Bepaal ten slotte

b

door het raakpunt

P

y = (\text{rico raaklijn})\,x + b

in te vullen. In de figuur zie je dit voor de cirkel met middelpunt

M(3, 2)

en raakpunt

P(7, 5)

: de straal

MP

heeft rico

\dfrac{3}{4}

, dus de raaklijn heeft rico

-\dfrac{4}{3}

en staat loodrecht op de straal.

De loodrechte-stand-eigenschap verbindt dit onderwerp direct met de regel

a_1\cdot a_2 = -1

uit de eerste paragraaf. De „negatieve omgekeerde” maak je door het teken om te draaien én de breuk te keren: uit rico

\dfrac{3}{4}

wordt

-\dfrac{4}{3}

. Een veelgemaakte fout is alleen het teken omdraaien (en

-\dfrac{3}{4}

schrijven) of alleen de breuk keren; je moet beide doen. Controleer je raaklijn-rico door het product met de straal-rico uit te rekenen:

\dfrac{3}{4}\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right) = -1

, dus de twee staan inderdaad loodrecht op elkaar.

Er is een mooie samenhang met de vorige paragraaf over snijpunten. Een raaklijn is precies de lijn die de cirkel in één punt snijdt, dus waarvoor de substitutiemethode een discriminant nul oplevert. Je kunt een raaklijn dus op twee manieren benaderen: via de loodrechte stand op de straal (snel, als je het raakpunt kent) of via de discriminant-nul-voorwaarde (handig als je een raaklijn met een gegeven richting of door een gegeven punt buiten de cirkel zoekt). Beide gebruiken dezelfde meetkundige kern — één gemeenschappelijk punt — maar pakken hem algebraïsch verschillend aan.

Het raaklijnvraagstuk laat zien hoe de bouwstenen van dit onderwerp samenwerken: de cirkelvergelijking levert het middelpunt, de afstandsformule en de hellingformule leveren de richtingscoëfficiënt van de straal, en de loodrechte-rico-regel levert de raaklijn. Daarmee sluit de meetkunde met coördinaten naadloos aan op het werken met lijnen en cirkels, en op het begrip raaklijn dat in de differentiaalrekening — bij de afgeleide en de raaklijn aan een grafiek — opnieuw centraal komt te staan. De raaklijn aan een cirkel is zo een eerste, meetkundige kennismaking met een idee dat later analytisch terugkeert.

a_{\text{straal}}\cdot a_{\text{raaklijn}} = -1 \ \Rightarrow\ a_{\text{raaklijn}} = -\frac{1}{a_{\text{straal}}}

raaklijn loodrecht op de straal

De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt, dus haar rico is de negatieve omgekeerde van de rico van de straal.

Uitgewerkt voorbeeld

De raaklijn aan een cirkel opstellen

Stel de raaklijn op aan de cirkel met middelpunt $M(3, 2)$ in het raakpunt $P(7, 5)$ .

Stap 1 — Bereken de rico van de straal MP
Gebruik de hellingformule met M en P.
$a_{\text{straal}} = \frac{5 - 2}{7 - 3} = \frac{3}{4}$
Stap 2 — Bepaal de rico van de raaklijn
De raaklijn staat loodrecht op de straal: neem de negatieve omgekeerde.
$a_{\text{raaklijn}} = -\frac{1}{\tfrac34} = -\frac{4}{3}$
Stap 3 — Bepaal b met het raakpunt
Vul P(7,5) in y = −4⁄3·x + b in en los b op.
$5 = -\tfrac43\cdot 7 + b \ \Rightarrow\ b = 5 + \tfrac{28}{3} = \tfrac{43}{3}, \quad y = -\tfrac43 x + \tfrac{43}{3}$

Resultaat: Resultaat: de raaklijn is $y = -\tfrac43 x + \tfrac{43}{3}$ . Ze staat loodrecht op de straal $MP$ (want $\tfrac34\cdot(-\tfrac43) = -1$ ) en gaat door het raakpunt $P(7, 5)$ .

Veelgemaakte fouten

De raaklijn-rico bepalen door alleen het teken om te draaien of alleen de breuk te keren, in plaats van de negatieve omgekeerde te nemen.
De rico van de straal verkeerd berekenen (punten in tegengestelde richting), waardoor de hele raaklijn fout wordt.
Denken dat een raaklijn de cirkel in twee punten raakt; per definitie is er precies één raakpunt (discriminant nul).

Actieve herhaling

Stel de raaklijn op aan de cirkel met middelpunt $M(3, 2)$ in het raakpunt $P(7, 5)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Algebraïsche methoden: vergelijkingen van lijnen en cirkels

Kernpunten

De vergelijking van een lijn opstellen uit twee punten

Kernpunten

Een cirkelvergelijking opstellen en een punt testen

Kernpunten

Snijpunten van een lijn en een cirkel berekenen

Kernpunten

De raaklijn aan een cirkel opstellen

Bronnen