Vaardigheden: rekenen, grafieken, modelleren en onderzoeken

Grootheden, eenheden en het SI-stelsel#

Basisexamenblad-nl

Voorvoegsels en hun macht van tien

Afb. 1De belangrijkste SI-voorvoegsels met hun macht van tien. Let op het verschil tussen mega (M, 10⁶) en milli (m, 10⁻³), die een factor 10⁹ schelen.

De natuurkunde beschrijft de wereld met grootheden: meetbare eigenschappen zoals lengte, massa, tijd, snelheid of kracht. Elke grootheid heeft een eigen symbool —

l

voor lengte,

m

voor massa,

t

voor tijd,

v

voor snelheid en

F

voor kracht — en elke gemeten waarde bestaat uit twee onlosmakelijke delen: een getal én een eenheid. „De massa is 3” betekent niets; pas „de massa is

3\ \text{kg}

” zegt iets. Je mag een meetwaarde daarom altijd lezen als getal maal eenheid, en in een berekening reken je met de eenheid mee alsof het een gewone factor is. Wie de eenheid steeds meesleept, ziet meteen of het antwoord klopt: komt er bij een snelheid

\text{m/s}

uit, dan zit je goed; komt er

\text{kg}

uit, dan is er iets misgegaan. De eenheid is dus geen bijzaak maar een controlemiddel.

Om eenheden wereldwijd gelijk te houden, spreken natuurkundigen één stelsel af: het SI-stelsel (Système International d'Unités). Daarin liggen zeven basiseenheden vast waaruit alle andere zijn opgebouwd: de meter (m) voor lengte, de kilogram (kg) voor massa, de seconde (s) voor tijd, de ampère (A) voor elektrische stroom, de kelvin (K) voor temperatuur, de mol (mol) voor hoeveelheid stof en de candela (cd) voor lichtsterkte. Voor het HAVO-examen zijn vooral de eerste vijf van belang. De afspraak is streng maar handig: vul je in een formule elke grootheid consequent in SI-eenheden in — dus lengtes in meter, tijden in seconde, massa's in kilogram — dan rolt het antwoord vanzelf in de bijbehorende SI-eenheid uit de formule. Reken je met een mengelmoes aan eenheden, dan klopt het getal niet.

Alle overige eenheden zijn afgeleide eenheden: vaste combinaties van de basiseenheden. Snelheid is afstand gedeeld door tijd, dus meet je haar in meter per seconde,

\text{m/s}

(ook geschreven als

\text{m}\cdot\text{s}^{-1}

). Sommige combinaties komen zó vaak voor dat ze een eigen naam kregen. Kracht meet je in newton, en uit

F = m \cdot a

volgt

1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^{2}

. Energie meet je in joule (

1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}

), vermogen in watt (

1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}

) en druk in pascal (

1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^{2}

). Achter elke afgeleide eenheid schuilt dus een natuurkundige formule; dat verband helpt je de eenheid te onthouden én te controleren of je de juiste grootheid hebt uitgerekend.

Grootheden lopen in de natuurkunde over enorme bereiken — van de diameter van een atoom tot de afstand tot een ster. Om niet eindeloos nullen te hoeven schrijven, gebruik je voorvoegsels die een macht van tien voorstellen. In de figuur staan de belangrijkste bij elkaar: kilo (k) is

10^{3}

, mega (M) is

10^{6}

en giga (G) is

10^{9}

; de andere kant op is centi (c)

10^{-2}

, milli (m)

10^{-3}

, micro (

\mu

)

10^{-6}

en nano (n)

10^{-9}

. Zo is

1\ \text{km} = 10^{3}\ \text{m}

en

1\ \text{mA} = 10^{-3}\ \text{A}

. Let scherp op de hoofdletters:

M

(mega) en

m

(milli) schelen een factor

10^{9}

— verwar je ze, dan is je antwoord al gauw een miljard keer te groot of te klein.

Omrekenen tussen eenheden komt neer op vermenigvuldigen of delen met de juiste macht van tien. Van km/h naar m/s reken je om door de afstand met

1000

te vermenigvuldigen (km → m) en de tijd door

3600

te delen (h → s); samen is dat

\times \tfrac{1000}{3600}

, oftewel delen door

3{,}6

. Bij oppervlakten en volumes tellen de machten dubbel of driedubbel mee: omdat

1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}

is

1\ \text{cm}^{3} = (10^{-2})^{3}\ \text{m}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}

, en een dichtheid van

1\ \text{g/cm}^{3}

wordt daarmee

1000\ \text{kg/m}^{3}

. Twijfel je over een eenheid, een voorvoegsel of een natuurconstante, dan zoek je die op in BINAS, het tabellenboek dat je bij het examen mag gebruiken en dat naast constanten ook veel formules bevat.

v_{\text{m/s}} = \frac{v_{\text{km/h}}}{3{,}6}

km/h omrekenen naar m/s

Vermenigvuldigen met 1000 (km → m) en delen door 3600 (h → s) komt samen neer op delen door 3,6.

1\ \text{g/cm}^{3} = 1000\ \text{kg/m}^{3}

dichtheid: g/cm³ naar kg/m³

1 g = 10⁻³ kg en 1 cm³ = 10⁻⁶ m³, dus de factor tussen g/cm³ en kg/m³ is altijd 10³ = 1000.

Uitgewerkt voorbeeld

Twee eenheden omrekenen

Reken $72\ \text{km/h}$ om naar $\text{m/s}$ , en reken een dichtheid van $2{,}7\ \text{g/cm}^{3}$ (aluminium) om naar $\text{kg/m}^{3}$ .

Stap 1 — km/h naar m/s
Vermenigvuldig de afstand met 1000 (km → m) en deel de tijd door 3600 (h → s); samen is dat delen door 3,6.
$72\ \text{km/h} = \frac{72 \times 1000}{3600}\ \text{m/s} = \frac{72}{3{,}6}\ \text{m/s} = 20\ \text{m/s}$
Stap 2 — De omrekenfactor voor de dichtheid
1 g = 10⁻³ kg en 1 cm³ = 10⁻⁶ m³, dus 1 g/cm³ is 10⁻³ gedeeld door 10⁻⁶ = 10³ kg/m³.
$1\ \text{g/cm}^{3} = \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^{3}} = 10^{3}\ \text{kg/m}^{3}$
Stap 3 — Pas de factor toe op 2,7
Vermenigvuldig de gegeven dichtheid met 1000.
$2{,}7\ \text{g/cm}^{3} = 2{,}7 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^{3} = 2700\ \text{kg/m}^{3}$

Resultaat: Resultaat: $72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ en $2{,}7\ \text{g/cm}^{3} = 2700\ \text{kg/m}^{3}$ . Onthoud dat de factor tussen $\text{g/cm}^{3}$ en $\text{kg/m}^{3}$ altijd $1000$ is en dat je km/h door $3{,}6$ deelt om m/s te krijgen.

Veelgemaakte fouten

Het antwoord zonder eenheid opschrijven, of de grootheid (bijvoorbeeld $v$ ) met haar eenheid ( $\text{m/s}$ ) verwarren.
Bij km/h → m/s met $3{,}6$ vermenigvuldigen in plaats van erdoor te delen (of precies andersom).
Bij $\text{cm}^{3}$ → $\text{m}^{3}$ met $10^{-2}$ omrekenen in plaats van met $(10^{-2})^{3} = 10^{-6}$ .
Mega ( $\text{M}$ ) en milli ( $\text{m}$ ) door elkaar halen, of kilo als $\times 100$ nemen in plaats van $\times 1000$ .

Actieve herhaling

Een auto rijdt $90\ \text{km/h}$ . Reken deze snelheid om naar $\text{m/s}$ . Reken vervolgens de dichtheid van ijs, $0{,}92\ \text{g/cm}^{3}$ , om naar $\text{kg/m}^{3}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (College voor Toetsen en Examens (CvTE))

Significante cijfers, afronden en nauwkeurigheid#

Standardexamenblad-nl

Significante cijfers tellen

Afb. 2Voorbeelden van het tellen van significante cijfers. Voorloopnullen tellen niet mee (0,0250 → 3); bij 3400 is het aantal dubbelzinnig, wat de wetenschappelijke notatie oplost.

Elke meting is beperkt nauwkeurig: een liniaal leest tot op een millimeter, een gewone weegschaal tot op een gram. Het aantal significante cijfers van een getal vertelt hoe nauwkeurig die waarde bekend is — het zijn de cijfers die écht informatie over de meting dragen. Meet je een lengte als

12{,}3\ \text{cm}

, dan zijn dat drie significante cijfers: je kent de lengte tot op een tiende centimeter. Het laatste cijfer is daarbij altijd het minst zekere, min of meer een schatting. Juist daarom kun je een uitkomst nooit nauwkeuriger opschrijven dan de metingen waaruit ze volgt: significante cijfers zijn de eerlijke manier om te laten zien hoe zeker je van een resultaat bent, zonder een schijnnauwkeurigheid voor te wenden die er niet is.

Het tellen van significante cijfers volgt vaste regels. Alle cijfers 1 tot en met 9 tellen mee, en nullen tússen andere cijfers ook:

304

heeft er drie. Voorloopnullen — nullen vóór het eerste echte cijfer — tellen níét mee, want ze geven alleen de grootteorde aan:

0{,}0250

heeft drie significante cijfers (de

2

, de

5

en de laatste

0

), niet vijf. Nullen áchter de komma na een cijfer tellen wél mee, want die schrijf je niet zomaar op: de laatste

0

in

0{,}0250

zegt dat je tot in die decimaal gemeten hebt. Zo verschilt

2{,}5

(twee cijfers) wezenlijk van

2{,}50

(drie cijfers): het tweede getal claimt een nauwkeuriger meting, ook al is de waarde „even groot”.

Bij hele getallen met nullen op het eind is het aantal significante cijfers soms dubbelzinnig. Betekent

3400\ \text{m}

dat je tot op honderd meter of tot op de meter nauwkeurig hebt gemeten? Aan het kale getal zie je dat niet. De wetenschappelijke notatie lost dit op: schrijf je

3{,}4 \cdot 10^{3}\ \text{m}

, dan zijn er twee significante cijfers; schrijf je

3{,}400 \cdot 10^{3}\ \text{m}

, dan zijn het er vier. In de figuur staan enkele getallen met hun aantal significante cijfers naast elkaar; let vooral op de voorloopnullen die niet meetellen en op de

3400

die twee óf vier cijfers kan hebben. Wetenschappelijke notatie is bovendien handig omdat je er de grootteorde (de macht van tien) meteen bij ziet.

Bij het rekenen mag het antwoord nooit nauwkeuriger lijken dan de gegevens toelaten; daarvoor gelden twee rekenregels. Bij vermenigvuldigen en delen krijgt het antwoord evenveel significante cijfers als het gegeven met de mínste significante cijfers. Reken je

6{,}2\ \text{m} \times 3{,}0\ \text{m}

, dan heeft

3{,}0

er twee, dus rond je de uitkomst

18{,}6

af op twee significante cijfers:

19\ \text{m}^{2}

. Bij optellen en aftrekken kijk je niet naar significante cijfers maar naar het aantal decimalen: het antwoord krijgt evenveel decimalen als de term met de mínste decimalen. Zo wordt

12{,}5 + 1{,}23 = 13{,}73

, wat je afrondt op één decimaal:

13{,}7

. Kies dus eerst de juiste regel — die hangt af van de bewerking, niet van de grootheden.

Afronden zelf gaat volgens de bekende regel: is het eerste weggelaten cijfer een

0

tot en met

4

, dan rond je naar beneden af; is het een

5

tot en met

9

, dan naar boven. Cruciaal is dat je pas op het éínd afrondt: in tussenresultaten houd je één of twee extra cijfers aan, zodat afrondfouten zich niet opstapelen tot een merkbare eindfout. Andersom mag je een uitkomst ook niet mooier maken dan ze is — een extra nul achter de komma plakken suggereert een nauwkeurigheid die de meting niet had. De rode draad achter alle regels is steeds dezelfde: significante cijfers weerspiegelen de meetnauwkeurigheid. Een antwoord met acht cijfers achter de komma uit gegevens die maar op twee cijfers nauwkeurig zijn, is niet nauwkeuriger — het is misleidend.

\rho = \frac{m}{V}

dichtheid

De dichtheid is massa gedeeld door volume; het aantal significante cijfers van het antwoord volgt uit het minst nauwkeurige gegeven.

Uitgewerkt voorbeeld

Dichtheid met het juiste aantal significante cijfers

Een voorwerp heeft massa $m = 48{,}6\ \text{g}$ en volume $V = 18\ \text{cm}^{3}$ . Bereken de dichtheid en geef het antwoord met het juiste aantal significante cijfers.

Stap 1 — Tel de significante cijfers van de gegevens
48,6 g heeft er drie; 18 cm³ heeft er twee. Bij delen telt het mínste aantal, dus het antwoord krijgt twee significante cijfers.
$48{,}6 \rightarrow 3\ \text{sign. cijfers}, \qquad 18 \rightarrow 2\ \text{sign. cijfers}$
Stap 2 — Vul de formule in
Deel de massa door het volume.
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{48{,}6\ \text{g}}{18\ \text{cm}^{3}} = 2{,}7\ \text{g/cm}^{3}$
Stap 3 — Controleer het aantal significante cijfers
De uitkomst 2,7 heeft precies twee significante cijfers, gelijk aan het minst nauwkeurige gegeven (18 cm³). Je mag hier géén 2,70 schrijven — dat zou drie cijfers claimen.
$\rho = 2{,}7\ \text{g/cm}^{3}$

Resultaat: Resultaat: de dichtheid is $2{,}7\ \text{g/cm}^{3}$ — twee significante cijfers, opgelegd door het volume $18\ \text{cm}^{3}$ . Let op: $2{,}70$ zou ten onrechte een nauwkeuriger meting suggereren. (De waarde past bij aluminium.)

Veelgemaakte fouten

Voorloopnullen meetellen, waardoor $0{,}0250$ ten onrechte vijf in plaats van drie significante cijfers zou hebben.
Tussenresultaten al afronden en met die afgeronde waarden verder rekenen, zodat de eindfout oploopt.
Bij optellen de regel voor vermenigvuldigen toepassen (significante cijfers in plaats van decimalen), of andersom.
Het eindantwoord met álle cijfers van de rekenmachine overnemen, zonder af te ronden op de meetnauwkeurigheid.

Actieve herhaling

Bepaal het aantal significante cijfers van $0{,}00680$ , van $50{,}0$ en van $7{,}20 \cdot 10^{4}$ . Bereken vervolgens $4{,}5\ \text{m} \times 2{,}00\ \text{m}$ en geef het antwoord met het juiste aantal significante cijfers.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (College voor Toetsen en Examens (CvTE))

Verhoudingen, evenredigheid en formules herleiden#

Standardexamenblad-nl

Recht en omgekeerd evenredig

Afb. 3Recht evenredig (de rechte lijn y = 2x, gericht op de oorsprong) tegenover omgekeerd evenredig (de hyperbool y = 6/x). Bij recht evenredig verdubbelt y met x; bij omgekeerd evenredig halveert y als x verdubbelt.

Veel natuurkundige verbanden zijn in de kern eenvoudige verhoudingen, en het belangrijkste is recht evenredig. Twee grootheden zijn recht evenredig als hun verhouding constant is, dus

y = a \cdot x

met

a

een vaste evenredigheidsconstante. Verdubbel je

x

, dan verdubbelt

y

; wordt

x

drie keer zo groot, dan

y

ook. In een grafiek herken je recht evenredigheid onmiddellijk aan een rechte lijn dóór de oorsprong: bij

x = 0

hoort

y = 0

, en de constante

a

is de helling van die lijn. De veerwet

F = C \cdot u

is een bekend voorbeeld: de uitrekking van een veer is recht evenredig met de kracht, met de veerconstante

C

als evenredigheidsconstante. Herken je het verband, dan heb je vaak maar één meetpunt nodig om

a

te bepalen.

Het tweede standaardverband is omgekeerd evenredig: als de éne grootheid groter wordt, wordt de andere in dezelfde mate kleiner, precies zó dat hun product constant blijft. Je schrijft dit als

y = \dfrac{a}{x}

, oftewel

x \cdot y = a

. Verdubbel je

x

, dan halveert

y

; maak je

x

tien keer zo klein, dan wordt

y

tien keer zo groot. In een grafiek is dit géén rechte lijn maar een dalende kromme (een hyperbool) die de assen wel nadert maar nooit raakt. In de figuur zie je beide verbanden naast elkaar: de rechte lijn

y = 2x

(recht evenredig, gericht op de oorsprong) en de dalende kromme

y = 6/x

(omgekeerd evenredig). Een natuurkundig voorbeeld is de reistijd bij een vaste afstand: uit

t = s/v

met

s

constant volgt dat twee keer zo snel rijden de reistijd halveert.

Een algemener verband is het machtsverband

y = a \cdot x^{n}

, waarin de exponent

n

vastlegt hóe sterk

y

met

x

meegroeit. Recht evenredigheid is hiervan het geval

n = 1

en omgekeerde evenredigheid het geval

n = -1

. Bij

n = 2

— een kwadratisch verband — groeit

y

veel sneller: maak je

x

twee keer zo groot, dan wordt

y

vier keer zo groot, want

2^{2} = 4

. Dat zie je bijvoorbeeld bij de remweg, die (bij benadering) evenredig is met het kwadraat van de snelheid, en bij de valformule

s = \tfrac{1}{2} a t^{2}

, waarin de afgelegde weg met het kwadraat van de tijd toeneemt. Herken je een machtsverband, dan weet je meteen hoe het antwoord verandert als je

x

met een factor

k

vermenigvuldigt:

y

wordt dan

k^{n}

keer zo groot.

Naast verbanden herkennen moet je formules kunnen herleiden: een formule zó omschrijven dat de gezochte grootheid alléén links van het isgelijkteken staat. Dat doe je met omgekeerde bewerkingen die je aan béíde kanten tegelijk toepast, zodat de gelijkheid blijft kloppen. Staat er iets bij opgeteld, dan trek je het aan beide kanten weg; wordt er mee vermenigvuldigd, dan deel je aan beide kanten; staat je grootheid in de noemer, dan vermenigvuldig je eerst met die noemer. Uit

F = m \cdot a

haal je de versnelling door beide kanten door

m

te delen:

a = \dfrac{F}{m}

. Uit

v = \dfrac{s}{t}

haal je de tijd door eerst met

t

te vermenigvuldigen en dan door

v

te delen:

t = \dfrac{s}{v}

. Herleid bij voorkeur eerst symbolisch en vul pas op het eind getallen in — dat voorkomt rekenfouten en houdt de eenheden overzichtelijk.

Bij het rekenen met heel grote of heel kleine getallen werk je met machten van tien. Vermenigvuldig je twee machten, dan tél je de exponenten op (

10^{3} \cdot 10^{4} = 10^{7}

); deel je ze, dan trék je ze af (

10^{6} / 10^{2} = 10^{4}

). Zo blijft een berekening met bijvoorbeeld de lichtsnelheid

3{,}0 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}

overzichtelijk en voorkom je fouten met eindeloze rijen nullen. Deze reken- en herleidvaardigheden zijn geen doel op zich: ze zijn het gereedschap waarmee je in élk natuurkundehoofdstuk formules toepast. Wie een verband vlot als recht of omgekeerd evenredig herkent, een formule zonder aarzelen herleidt en soepel met machten van tien rekent, houdt tijdens de opgave zijn hoofd vrij voor de natuurkunde in plaats van te blijven hangen in de algebra.

y = a \cdot x \quad \text{(recht evenredig)} \qquad y = \frac{a}{x} \quad \text{(omgekeerd evenredig)}

recht en omgekeerd evenredig

Bij recht evenredig is de verhouding y/x constant (rechte lijn door O); bij omgekeerd evenredig is het product x·y constant (hyperbool).

v = \frac{s}{t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{s}{v}

een formule herleiden

Isoleer de gezochte grootheid met omgekeerde bewerkingen aan beide kanten; hier volgt t uit v = s/t door met t te vermenigvuldigen en door v te delen.

Uitgewerkt voorbeeld

Een formule herleiden en invullen

Gegeven is $v = \dfrac{s}{t}$ . Herleid hieruit $t$ en bereken $t$ als $s = 150\ \text{m}$ en $v = 25\ \text{m/s}$ .

Stap 1 — Schrijf de formule op
De snelheid is de afgelegde weg gedeeld door de tijd; t staat in de noemer.
$v = \frac{s}{t}$
Stap 2 — Herleid t
Vermenigvuldig eerst beide kanten met t (weg uit de noemer) en deel dan beide kanten door v.
$v = \frac{s}{t} \;\Rightarrow\; v \cdot t = s \;\Rightarrow\; t = \frac{s}{v}$
Stap 3 — Vul de getallen in
Vul s = 150 m en v = 25 m/s in; de eenheden geven m gedeeld door m/s = s.
$t = \frac{s}{v} = \frac{150\ \text{m}}{25\ \text{m/s}} = 6{,}0\ \text{s}$

Resultaat: Resultaat: uit $v = s/t$ volgt $t = s/v$ , en met $s = 150\ \text{m}$ en $v = 25\ \text{m/s}$ is $t = 6{,}0\ \text{s}$ . Doordat je eerst symbolisch herleidt en pas daarna invult, zie je meteen dat de eenheden $\text{m}/(\text{m/s}) = \text{s}$ kloppen.

Veelgemaakte fouten

Recht en omgekeerd evenredig verwarren: bij omgekeerd evenredig verdubbelt $y$ niet als $x$ verdubbelt, maar halveert het.
Bij het herleiden een bewerking maar aan één kant van het isgelijkteken toepassen, zodat de gelijkheid niet meer klopt.
Bij een kwadratisch verband ( $n = 2$ ) denken dat $y$ verdubbelt in plaats van vier keer zo groot wordt.
Machten van tien vermenigvuldigen door de exponenten te vermenigvuldigen in plaats van op te tellen.

Actieve herhaling

Gegeven is de veerwet $F = C \cdot u$ . Herleid hieruit de veerconstante $C$ . Bereken $C$ als een kracht $F = 6{,}0\ \text{N}$ een uitrekking $u = 0{,}15\ \text{m}$ veroorzaakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (College voor Toetsen en Examens (CvTE))

Grafieken lezen: hellingen en oppervlakten#

Standardexamenblad-nl

Helling en oppervlak van een v,t-diagram

Afb. 4Een recht (v,t)-diagram v(t) = 2t. De helling (2 m/s²) is de versnelling; het gearceerde oppervlak onder de lijn tot t = 5 s (een driehoek) is de afgelegde weg s = 25 m.

Een grafiek is in de natuurkunde geen plaatje maar een informatiebron waaruit je nauwkeurig moet kunnen aflezen. Kijk daarom altijd eerst naar de assen: welke grootheid staat horizontaal en welke verticaal, in welke eenheid, en welke waarde hoort bij één hokje? Pas als je de assen en de schaal begrijpt, kun je betrouwbaar waarden aflezen. Ligt een gevraagd punt tussen twee meetpunten in, dan schat je de waarde door te interpoleren: aflezen op een tussenliggende plek van de getekende lijn. Wil je een waarde net buiten het gemeten gebied weten, dan extrapoleer je door de lijn voorzichtig door te trekken — met het voorbehoud dat je dan aanneemt dat het verband ook daarbuiten hetzelfde blijft, wat niet altijd zo is. Het aflezen luistert nauw: gebruik de schaalverdeling en niet je oogmaat.

Twee eigenschappen van een grafiek dragen bijzonder veel natuurkundige informatie: de helling en het oppervlak. De helling van een grafiek is de verticale verandering gedeeld door de horizontale verandering,

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

, en je bepaalt haar door een flink recht stuk van de lijn te nemen en

\Delta y

en

\Delta x

af te lezen. Het bijzondere is dat die helling zélf weer een grootheid is, met een eigen betekenis en eenheid. In een

(x,t)

-diagram (plaats tegen tijd) is de helling

\dfrac{\Delta x}{\Delta t}

de snelheid. In een

(v,t)

-diagram (snelheid tegen tijd) is de helling

\dfrac{\Delta v}{\Delta t}

de versnelling. De eenheid volgt automatisch:

\text{m/s}

voor de eerste,

\text{m/s}^{2}

voor de tweede. De helling vertaalt een grafiek zo in een nieuwe grootheid.

Het oppervlak onder een grafiek is de tweede informatiedrager, en ook dat oppervlak is een grootheid. In een

(v,t)

-diagram stelt het oppervlak onder de lijn de afgelegde weg voor: vermenigvuldig je immers een snelheid (

\text{m/s}

) met een tijd (

\text{s}

), dan hou je een afstand (

\text{m}

) over — precies de eenheid die uit „oppervlak = hoogte maal breedte” rolt. In de figuur zie je een recht

(v,t)

-diagram met het gearceerde oppervlak tot

t = 5\ \text{s}

; dat vlak is een driehoek, dus het oppervlak (de afgelegde weg) reken je uit als

\tfrac{1}{2} \cdot \text{basis} \cdot \text{hoogte}

. Bij grillige grafieken benader je het oppervlak door het in hokjes te verdelen en die te tellen. Zo levert de grafiek naast de helling nóg een grootheid op.

Dat een helling en een oppervlak zélf grootheden zijn, is een van de krachtigste ideeën uit de natuurkunde. Het betekent dat je uit één grafiek meteen een andere kunt afleiden: de helling van het plaats-tijddiagram levert het snelheid-tijddiagram, en het oppervlak onder het snelheid-tijddiagram levert de afgelegde weg weer terug. Helling en oppervlak zijn in die zin elkaars tegengestelde bewerking. Belangrijk is dat je bij het bepalen ervan de eenheden meesleept: een helling zonder eenheid is betekenisloos, want juist de eenheid (

\text{m/s}

of

\text{m/s}^{2}

) vertelt wélke grootheid je hebt gevonden. Reken de helling daarom nooit uit met kale hokjes, maar altijd met de afgelezen waarden inclusief hun eenheden.

In de praktijk gebruik je grafieken vooral om waarden te voorspellen die je niet rechtstreeks gemeten hebt. Interpoleren — aflezen tússen meetpunten — is meestal betrouwbaar, want je blijft binnen het gemeten gebied. Extrapoleren — de lijn buiten het gemeten gebied doortrekken — is riskanter: je neemt aan dat het verband hetzelfde blijft, en die aanname kan onjuist zijn zodra er iets verandert (een veer die knikt, een beweging die afremt). Bij het examen wordt bovendien vaak gevraagd de helling of het oppervlak met een korte redenering te bepalen én te benoemen welke grootheid eruit komt. Wie assen, schaal, helling en oppervlak beheerst, kan een grafiek lezen als een tekst — en dat is bij vrijwel elke natuurkunde-opgave nodig.

a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

versnelling = helling van het (v,t)-diagram

De helling van een snelheid-tijddiagram is de verandering van de snelheid gedeeld door de tijd; de eenheid m/s² laat zien dat het om een versnelling gaat.

s = \tfrac{1}{2} \cdot \Delta t \cdot v

afgelegde weg = oppervlak onder het (v,t)-diagram

De afgelegde weg is het oppervlak onder de v,t-grafiek; voor een rechte lijn vanuit de oorsprong is dat de driehoek ½ · basis · hoogte.

Uitgewerkt voorbeeld

De versnelling en de weg uit een v,t-grafiek

Bepaal uit het getekende $(v,t)$ -diagram $v(t) = 2t$ de versnelling (uit de helling) en de afgelegde weg tot $t = 5\ \text{s}$ (uit het oppervlak).

Stap 1 — De versnelling uit de helling
Lees af dat de lijn van (0; 0) naar (5; 10) loopt: Δv = 10 m/s over Δt = 5,0 s.
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{10\ \text{m/s} - 0}{5{,}0\ \text{s} - 0} = 2{,}0\ \text{m/s}^{2}$
Stap 2 — De afgelegde weg uit het oppervlak
Het oppervlak onder de lijn tot t = 5 s is een driehoek met basis 5,0 s en hoogte 10 m/s.
$s = \tfrac{1}{2} \cdot \Delta t \cdot v = \tfrac{1}{2} \cdot 5{,}0\ \text{s} \cdot 10\ \text{m/s} = 25\ \text{m}$
Stap 3 — Controleer de eenheden
De helling levert (m/s)/s = m/s² (een versnelling); het oppervlak levert s · m/s = m (een afstand).
$\frac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^{2}, \qquad \text{s} \cdot \text{m/s} = \text{m}$

Resultaat: Resultaat: de helling geeft de versnelling $a = 2{,}0\ \text{m/s}^{2}$ en het oppervlak onder de grafiek geeft de afgelegde weg $s = 25\ \text{m}$ . Zowel de helling als het oppervlak is dus een eigen grootheid, herkenbaar aan de eenheid die eruit komt.

Veelgemaakte fouten

De helling in kale hokjes aflezen in plaats van met de afgelezen waarden en hun eenheden, zodat de schaal wordt genegeerd.
Het oppervlak onder een driehoekige $(v,t)$ -grafiek als rechthoek $v \cdot t$ nemen in plaats van als driehoek $\tfrac{1}{2} v t$ .
De helling van een $(v,t)$ -diagram voor een snelheid aanzien, terwijl het een versnelling is (en het oppervlak juist de afgelegde weg).
Zonder voorbehoud extrapoleren en aannemen dat het verband ook ver buiten de metingen nog geldt.

Actieve herhaling

Een $(v,t)$ -diagram is een rechte lijn door de oorsprong die bij $t = 5{,}0\ \text{s}$ een snelheid $v = 10\ \text{m/s}$ bereikt. Bepaal de versnelling uit de helling en de afgelegde weg tot $t = 5{,}0\ \text{s}$ uit het oppervlak.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (College voor Toetsen en Examens (CvTE))

Modelleren en onderzoeken#

Standardexamenblad-nl

De onderzoekscyclus

Afb. 5De onderzoekscyclus: van onderzoeksvraag via hypothese, meten en verwerken naar een conclusie, die weer nieuwe vragen oproept — onderzoek is een herhalende kring.

Een natuurkundig model is een vereenvoudigde beschrijving van de werkelijkheid die je met formules of berekeningen gebruikt om iets te voorspellen. Elk model maakt aannames: dingen die je bewust weglaat of versimpelt om de som hanteerbaar te houden. Bij een vallend voorwerp neem je bijvoorbeeld vaak aan dat de luchtweerstand te verwaarlozen is en dat de valversnelling

g

constant is. Zulke aannames maken een model bruikbaar, maar begrenzen ook de geldigheid ervan: laat je een propje papier vallen, dan is „geen luchtweerstand” een slechte aanname en klopt de voorspelling niet. Een goed natuurkundige benoemt daarom altijd zijn aannames en beseft dat een model geen exacte kopie van de werkelijkheid is, maar een nuttige benadering die je aan metingen moet toetsen.

Niet elk probleem is met één formule op te lossen; verandert een kracht of snelheid voortdurend, dan gebruik je een numeriek model (rekenmodel) dat de beweging in kleine stapjes

\Delta t

vooruitrekent. In elke stap werk je eerst de snelheid bij met de versnelling en dan de plaats met de snelheid:

v_{\text{nieuw}} = v_{\text{oud}} + a \cdot \Delta t

en

x_{\text{nieuw}} = x_{\text{oud}} + v \cdot \Delta t

. Daarna verhoog je de tijd met

\Delta t

en herhaal je de stap, honderden keren achter elkaar — precies het werk waarvoor je een computer of rekenmodel inzet. Zo bouw je stukje bij beetje de hele beweging op, ook als er geen kant-en-klare formule bestaat. De uitkomst is een tabel of grafiek van plaats en snelheid tegen de tijd.

De prijs van een numeriek model is dat het maar een benadering geeft. Binnen één stap doe je namelijk alsof de snelheid en de versnelling even constant blijven, terwijl ze in werkelijkheid tijdens die stap al veranderen. Hoe groter je

\Delta t

kiest, hoe grover die aanname en hoe groter de fout per stap. Maak je

\Delta t

kleiner, dan verandert er binnen elke stap minder en sluit het model beter aan bij de werkelijkheid; in de limiet van heel kleine stapjes nadert het numerieke resultaat de exacte, analytische oplossing. De keerzijde is dat kleinere stappen méér stappen en dus meer rekenwerk kosten. Bij modelleren zoek je daarom een

\Delta t

die klein genoeg is voor de gewenste nauwkeurigheid, maar niet zó klein dat het onnodig veel rekentijd vraagt.

Naast rekenen en modelleren hoort bij natuurkunde het zelf doen van onderzoek, en dat verloopt volgens een vaste cyclus die je in de figuur ziet. Je begint met een onderzoeksvraag: een scherp geformuleerde vraag over een verband, bijvoorbeeld „hoe hangt de slingertijd af van de lengte?”. Daaruit leid je een hypothese af: een toetsbare verwachting, liefst met een richting („een langere slinger heeft een grotere slingertijd”). Vervolgens bedenk je een meetopzet, voer je de metingen uit, verwerk je de resultaten (vaak in een tabel en een grafiek) en trek je een conclusie waarin je de hypothese aanneemt of verwerpt. Levert dat nieuwe vragen op, dan begint de cyclus opnieuw — onderzoek is zelden af na één ronde.

Bij het opzetten van een goed onderzoek let je scherp op de variabelen. De onafhankelijke variabele is de grootheid die je zelf instelt en varieert (bij de slinger: de lengte); de afhankelijke variabele is wat je meet en wat daarvan afhangt (de slingertijd). Alle overige grootheden die de uitkomst kunnen beïnvloeden houd je constant — de constante of controlevariabelen — want alleen dan weet je zeker dat een gevonden verband écht door jouw onafhankelijke variabele komt en niet door iets anders. Meet bovendien meerdere keren en over een flink bereik, zodat je een betrouwbare meetreeks krijgt. Zo sluit modelleren en onderzoeken de kring van dit hoofdstuk: je rekent met grootheden en eenheden, verwerkt de metingen met significante cijfers, en giet het verband ten slotte in een grafiek of model.

v_{\text{nieuw}} = v_{\text{oud}} + a \cdot \Delta t

snelheid bijwerken (per stap Δt)

De nieuwe snelheid is de oude snelheid plus de versnelling maal de stapgrootte; dit is de eerste regel van elke stap in het model.

x_{\text{nieuw}} = x_{\text{oud}} + v \cdot \Delta t

plaats bijwerken (per stap Δt)

De nieuwe plaats is de oude plaats plus de (zojuist bijgewerkte) snelheid maal de stapgrootte; daarna verhoog je de tijd met Δt en herhaal je.

Uitgewerkt voorbeeld

Eén stap van een numeriek valmodel

Een numeriek valmodel begint met $v_{\text{oud}} = 0$ , $x_{\text{oud}} = 0$ , versnelling $a = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ en stapgrootte $\Delta t = 0{,}1\ \text{s}$ . Bepaal de snelheid en de afgelegde afstand na de eerste stap.

Stap 1 — Werk de snelheid bij
Nieuwe snelheid = oude snelheid + a · Δt.
$v_{\text{nieuw}} = 0 + 9{,}8 \cdot 0{,}1 = 0{,}98\ \text{m/s}$
Stap 2 — Werk de plaats bij
Nieuwe plaats = oude plaats + de zojuist berekende snelheid · Δt.
$x_{\text{nieuw}} = 0 + 0{,}98 \cdot 0{,}1 = 0{,}098\ \text{m}$
Stap 3 — Vergelijk met de exacte waarde
De exacte valafstand na 0,1 s volgt uit ½·a·t². Het model rekent binnen de stap met één vaste snelheid, dus het wijkt af.
$\tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot (0{,}1)^{2} = 0{,}049\ \text{m}$

Resultaat: Resultaat: na de eerste stap geeft het model $v = 0{,}98\ \text{m/s}$ en een afgelegde afstand van $0{,}098\ \text{m}$ . Dat is nog grof: de exacte waarde is $0{,}049\ \text{m}$ , want binnen de stap loopt de snelheid in werkelijkheid van $0$ naar $0{,}98\ \text{m/s}$ op in plaats van constant te zijn. Met veel kleinere stapjes $\Delta t$ kruipt het model naar de exacte waarde toe — daarom is een kleinere stapgrootte nauwkeuriger.

Veelgemaakte fouten

De onafhankelijke en afhankelijke variabele verwisselen, of vergeten de overige grootheden constant te houden.
In het numerieke model bij de plaatsstap de verkeerde snelheid gebruiken, of vergeten de tijd met $\Delta t$ op te hogen.
Denken dat een kleinere $\Delta t$ altijd „gratis beter” is, zonder te beseffen dat het ook veel meer rekenstappen kost.
De aannames van een model niet benoemen en de modeluitkomst voor de exacte werkelijkheid aanzien.

Actieve herhaling

Een numeriek valmodel start met $v = 0$ , $a = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ en $\Delta t = 0{,}1\ \text{s}$ . Bereken de snelheid en de afgelegde afstand na de eerste stap. Leg uit waarom het model met een kleinere $\Delta t$ dichter bij de exacte waarde $\tfrac{1}{2} a t^{2}$ komt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (College voor Toetsen en Examens (CvTE))

Kernpunten

Twee eenheden omrekenen

Kernpunten

Dichtheid met het juiste aantal significante cijfers

Kernpunten

Een formule herleiden en invullen

Kernpunten

De versnelling en de weg uit een v,t-grafiek

Kernpunten

Eén stap van een numeriek valmodel

Bronnen