Samenvattingen · NatuurkundeNL · HAVO

Optica: terugkaatsing, breking, lenzen en beeldvorming

Optica beschrijft hoe licht terugkaatst, breekt en door lenzen een beeld vormt, met de wet van Snellius, de grenshoek en de lenzenformule als kerngereedschap. Let op: optica is een keuze-/schoolexamenonderwerp — je oefent het voor het schoolexamen (SE) en niet voor het centraal examen (CE). Je leert lichtstralen construeren en berekenen, van terugkaatsing en totale terugkaatsing tot lenzen, het oog, de loep en de bril.

4Onderdelenca. 23min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0999 / 15

Examenprofiel

Terugkaatsing (i = r) en breking met de wet van Snellius n₁ \sin(i) = n₂ \sin(r) berekenen en tekenen ten opzichte van de normaal.De grenshoek \sin(g) = \dfrac{1}{n} bepalen en totale terugkaatsing herkennen en toepassen (glasvezel, prisma).Met de lenzenformule \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{b}, de sterkte S = \dfrac{1}{f} en de vergroting N = \dfrac{b}{v} beeldvorming construeren en berekenen, en toepassen op oog, loep en bril.Dit is een keuze-/schoolexamenonderwerp (optica): het wordt in het schoolexamen (SE) getoetst en valt buiten het centraal examen (CE).

Operatoren:berekentekenleg uitverklaarconstrueerberedeneerbepaal

basisniveau

Beheers terugkaatsing (i = r), de wet van Snellius en de grenshoek, en reken de lenzenformule en de sterkte foutloos uit met f in meter.

verhoogd niveau

Construeer beeldvorming met de drie constructiestralen, verklaar totale terugkaatsing en pas oog, loep, bril en camera kwantitatief toe.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Optica: terugkaatsing, breking, lenzen en beeldvorming

Terugkaatsing en breking#

Basisexamenblad-nl

sin r tegen sin i: een rechte lijn

Afb. 1Zet je sin r uit tegen sin i, dan geeft de wet van Snellius een rechte lijn door de oorsprong met helling 1/n. Voor glas (n = 1,5) is de helling 0,667; bij sin i = 0,60 hoort sin r = 0,40. Uit de helling volgt de brekingsindex terug: n = 1/0,667 = 1,5.

Om te begrijpen hoe licht zich langs spiegels, door glas en door lenzen gedraagt, gebruikt de meetkundige optica het lichtstraalmodel: je stelt een smalle lichtbundel voor als een rechte lijn met een pijl, de lichtstraal, die de weg van het licht aangeeft. Zolang het licht in één doorzichtige stof blijft — een medium als lucht, water of glas — loopt zo'n straal kaarsrecht. Pas op een grensvlak, de scheiding tussen twee media, verandert er iets: een deel van het licht kaatst terug het oude medium in, en een deel dringt het nieuwe medium binnen maar buigt daarbij van richting. Dit onderwerp is keuze- en schoolexamenstof: je oefent het voor het schoolexamen, niet voor het centraal examen. In de figuur zie je hoe we elke straal steeds meten ten opzichte van de normaal, de hulplijn die loodrecht op het grensvlak staat.

Bij terugkaatsing (reflectie) botst de lichtstraal op het grensvlak en keert hij terug het eerste medium in. De richting waarin dat gebeurt ligt vast in de terugkaatsingswet: de invalshoek en de terugkaatsingshoek zijn even groot,

i = r

, waarbij je béide hoeken meet tussen de straal en de normaal — nooit tussen de straal en het grensvlak zelf. Een straal die loodrecht invalt (

i = 0^\circ

) kaatst dus recht terug (

r = 0^\circ

); een straal die scheef invalt, kaatst even scheef aan de andere kant van de normaal terug. Bij een vlakke spiegel zorgt deze wet ervoor dat je een scherp spiegelbeeld ziet, dat ogenschijnlijk even ver achter de spiegel ligt als het voorwerp ervoor. Meet je de hoeken per ongeluk vanaf het oppervlak, dan trek je overal

90^\circ

af en klopt er niets meer.

Het deel van het licht dat het tweede medium binnendringt, verandert van richting: dat heet breking (refractie). De oorzaak is dat licht in verschillende stoffen verschillend snel gaat — in glas of water is het trager dan in lucht. Gaat het licht van een optisch ijl (dun) medium naar een optisch dicht medium, bijvoorbeeld van lucht naar glas, dan buigt de gebroken straal naar de normaal toe: de brekingshoek

r

is dan kleiner dan de invalshoek

i

. Andersom, van dicht naar ijl, buigt de straal juist van de normaal af. Ook hier meet je beide hoeken ten opzichte van de normaal. Valt het licht loodrecht in (

i = 0^\circ

), dan gaat het onafgebogen rechtdoor; hoe schever de inval, hoe sterker de knik. Precies deze richtingsverandering aan grensvlakken stelt een lens later in staat om licht te bundelen.

De precieze samenhang tussen invals- en brekingshoek legt de wet van Snellius vast:

n_1 \cdot \sin(i) = n_2 \cdot \sin(r)

, waarin

n_1

n_2

de brekingsindices van het eerste en het tweede medium zijn. Voor de veelvoorkomende overgang van lucht naar een stof mag je

n_1 \approx 1

nemen, en dan versimpelt de wet tot

\dfrac{\sin(i)}{\sin(r)} = n

, met

n

de brekingsindex van de stof. Die brekingsindex is een materiaaleigenschap die je in BINAS opzoekt: glas heeft ongeveer

n = 1{,}5

, water

n = 1{,}33

en diamant zelfs

n = 2{,}4

. Hoe groter

n

, hoe sterker de stof het licht afbuigt en hoe langzamer het licht er loopt. Omdat er een sinus in de wet staat, is het verband tussen

i

r

niet recht evenredig — bij kleine hoeken lijkt het er even op, maar bij grote hoeken loopt het duidelijk krom.

Juist die sinus maakt een handige grafiek mogelijk. Zet je niet

r

tegen

i

uit, maar

\sin(r)

tegen

\sin(i)

, dan wordt

\sin(r) = \dfrac{\sin(i)}{n}

een rechte lijn door de oorsprong. In de figuur zie je die lijn voor glas: haar richtingscoëfficiënt is

\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667

. Bij

\sin(i) = 0{,}60

lees je

\sin(r) = 0{,}40

af, en uit de helling haal je meteen

n = \dfrac{1}{0{,}667} = 1{,}5

terug. Zo'n meting — verschillende invalshoeken instellen, telkens

r

meten en

\sin(r)

tegen

\sin(i)

uitzetten — is een klassieke practicummanier om de brekingsindex van een onbekende stof te bepalen, en de rechte lijn bevestigt bovendien dat de wet van Snellius klopt. In de volgende paragraaf bekijken we wat er gebeurt als je juist van dicht naar ijl gaat en de invalshoek opvoert.

n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r), \qquad \frac{\sin(i)}{\sin(r)} = n

wet van Snellius

De brekingswet met brekingsindices n₁ en n₂; bij de overgang lucht → stof (n₁ ≈ 1) versimpelt hij tot sin(i)/sin(r) = n, de brekingsindex van de stof.

Uitgewerkt voorbeeld

Brekingshoek berekenen (lucht → glas)

Licht valt vanuit lucht op glas met $n = 1{,}5$ onder een invalshoek $i = 30^\circ$ . Bereken de brekingshoek $r$ .

Stap 1 — Kies de juiste vorm van de wet van Snellius
Bij de overgang lucht → stof geldt sin(i)/sin(r) = n, dus sin(r) = sin(i)/n.
$\sin(r) = \frac{\sin(i)}{n}$
Stap 2 — Vul de gegevens in
Neem sin(30°) = 0,500 en n = 1,5.
$\sin(r) = \frac{\sin(30^\circ)}{1{,}5} = \frac{0{,}500}{1{,}5} = 0{,}333$
Stap 3 — Neem de arcsinus
Zoek de hoek waarvan de sinus 0,333 is.
$r = \arcsin(0{,}333) \approx 19^\circ$

Resultaat: Resultaat: de brekingshoek is $r \approx 19^\circ$ . Zoals verwacht bij de overgang naar een optisch dichter medium is $r < i$ : de straal buigt naar de normaal toe.

Veelgemaakte fouten

De hoeken vanaf het grensvlak meten in plaats van vanaf de normaal, waardoor je met de complementaire hoek rekent en invals- en brekingshoek verwisselt.
In de wet van Snellius $n_1$ en $n_2$ (of $\sin(i)$ en $\sin(r)$ ) omdraaien, zodat de straal de verkeerde kant op buigt.
Denken dat $\dfrac{i}{r} = n$ (de kale hoeken delen) in plaats van $\dfrac{\sin(i)}{\sin(r)} = n$ ; alleen bij zeer kleine hoeken lijkt dat te kloppen.

Actieve herhaling

Een lichtstraal valt vanuit lucht op een glasplaat ( $n = 1{,}5$ ) onder een invalshoek van $40^\circ$ . Bereken de brekingshoek $r$ en teken de gebroken straal ten opzichte van de normaal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Totale terugkaatsing en de grenshoek#

Standardexamenblad-nl

Grenshoeken van enkele stoffen

Afb. 2De grenshoek g volgt uit sin g = 1/n. Hoe groter de brekingsindex, hoe kleiner de grenshoek: diamant houdt licht daardoor gemakkelijk gevangen. De waarden zijn afgerond volgens BINAS.

In de vorige paragraaf ging het licht meestal van lucht naar een dichtere stof. Nu draaien we de situatie om en laten we het licht van een optisch dicht medium naar een optisch ijl medium gaan, bijvoorbeeld van glas of water naar lucht. Volgens de wet van Snellius buigt de gebroken straal dan van de normaal af: de brekingshoek

r

is groter dan de invalshoek

i

. Voer je de invalshoek langzaam op, dan wordt de gebroken straal steeds platter — hij scheert steeds dichter langs het grensvlak. Er komt een moment waarop de gebroken straal precies langs het oppervlak loopt, met een brekingshoek van

90^\circ

. Bij die bijzondere invalshoek gebeurt er iets opvallends, en dat is het onderwerp van deze paragraaf. Ook deze stof hoort bij het keuzeonderwerp optica en wordt in het schoolexamen getoetst, niet in het centraal examen.

De invalshoek waarbij de gebroken straal precies langs het grensvlak scheert (brekingshoek

90^\circ

) heet de grenshoek

g

. Maak je de invalshoek nóg groter dan de grenshoek, dan kan het licht het tweede medium helemaal niet meer in: er is geen gebroken straal meer en ál het licht kaatst terug het dichte medium in. Dit verschijnsel heet totale terugkaatsing (totale interne reflectie). Het woord „totaal” is letterlijk bedoeld: waar bij gewone terugkaatsing altijd een deel van het licht ontsnapt, blijft hier 100% binnen. De voorwaarde is dus tweeledig: het licht moet van dicht naar ijl gaan én de invalshoek moet groter zijn dan de grenshoek,

i > g

. Onder de grenshoek breekt het licht gewoon naar buiten; precies óp de grenshoek scheert het langs het oppervlak.

De grenshoek volgt rechtstreeks uit de wet van Snellius. Voor de overgang van een stof met brekingsindex

n

naar lucht (

n \approx 1

) geldt

n \cdot \sin(i) = 1 \cdot \sin(r)

. Bij de grenshoek is per definitie

i = g

r = 90^\circ

, en omdat

\sin(90^\circ) = 1

wordt dit

n \cdot \sin(g) = 1

, oftewel

\sin(g) = \dfrac{1}{n}

. De grenshoek hangt dus alleen van de brekingsindex van de stof af: hoe groter

n

, hoe kleiner de grenshoek. In de figuur zie je dat terug: water (

n = 1{,}33

) heeft een ruime grenshoek van ongeveer

49^\circ

, glas (

n = 1{,}5

) ongeveer

42^\circ

, en diamant met zijn hoge index een heel kleine grenshoek van ongeveer

24^\circ

. Bij diamant blijft licht daardoor gemakkelijk gevangen, wat de bekende fonkeling van geslepen diamant helpt verklaren.

Totale terugkaatsing is niet alleen een curiositeit; het is de basis van moderne lichtgeleiders. In een glasvezel (optische vezel) loopt het licht door een dunne glazen kern die omgeven is door een mantel met een iets lagere brekingsindex. Elke keer dat een lichtstraal het grensvlak tussen kern en mantel raakt, doet hij dat onder een hoek groter dan de grenshoek, zodat hij volledig wordt teruggekaatst en verliesarm door de vezel „stuitert” — soms over tientallen kilometers. Zo gaat vrijwel geen licht verloren, wat glasvezel ideaal maakt voor internet en telefonie. Hetzelfde principe gebruikt de endoscoop bij kijkoperaties. Ook een

45^\circ

-prisma benut het: omdat de grenshoek van glas (

42^\circ

) kleiner is dan

45^\circ

, kaatst het prisma een bundel netjes en verliesloos

90^\circ

180^\circ

om, veel efficiënter dan een gewone spiegel met zijn matte laagje.

Bij een rekenopgave pak je het steeds op dezelfde manier aan: constateer eerst of het licht van dicht naar ijl gaat (alleen dán kan totale terugkaatsing optreden), bereken de grenshoek met

\sin(g) = \dfrac{1}{n}

, en vergelijk vervolgens de invalshoek met

g

. Is

i < g

, dan breekt het licht naar buiten; is

i > g

, dan wordt het volledig teruggekaatst en geldt bovendien de terugkaatsingswet

i = r

uit de vorige paragraaf. Let op het veelgemaakte misverstand dat totale terugkaatsing „vanzelf” bij elke steile hoek optreedt: gaat het licht van ijl naar dicht (lucht naar glas), dan is er nooit een grenshoek en breekt het licht altijd naar binnen. In de volgende paragrafen verlaten we vlakke grensvlakken en buigen we het licht doelbewust met gekromde glasoppervlakken — dan ontstaat een lens die een beeld kan vormen.

\sin(g) = \frac{1}{n}

grenshoek bij totale terugkaatsing

Bij de overgang van stof (index n) naar lucht scheert de gebroken straal bij de grenshoek g precies langs het oppervlak (r = 90°); voor i > g treedt totale terugkaatsing op.

Uitgewerkt voorbeeld

Grenshoek van glas berekenen

Glas heeft $n = 1{,}5$ . Bereken de grenshoek en leg uit waarom een straal die van binnenuit onder $i = 50^\circ$ op het glasoppervlak valt, volledig wordt teruggekaatst.

Stap 1 — Pas de grenshoekformule toe
Bij de overgang glas → lucht geldt sin(g) = 1/n.
$\sin(g) = \frac{1}{n} = \frac{1}{1{,}5} = 0{,}667$
Stap 2 — Neem de arcsinus
Zoek de hoek met sinus 0,667.
$g = \arcsin(0{,}667) \approx 42^\circ$
Stap 3 — Vergelijk de invalshoek met de grenshoek
De invalshoek 50° is groter dan de grenshoek 42°, dus i > g.
$i = 50^\circ > g = 42^\circ \Rightarrow \text{totale terugkaatsing}$

Resultaat: Resultaat: de grenshoek van glas is ongeveer $42^\circ$ . Omdat de invalshoek ( $50^\circ$ ) groter is dan de grenshoek, kan het licht het glas niet verlaten en wordt het voor 100% teruggekaatst — er is geen gebroken straal.

Veelgemaakte fouten

Denken dat totale terugkaatsing ook van ijl naar dicht (lucht → glas) kan optreden; er is dan geen grenshoek en het licht breekt altijd naar binnen.
$\sin(g) = \dfrac{1}{n}$ omdraaien tot $\sin(g) = n$ , wat een sinus groter dan 1 oplevert — een onmogelijk resultaat dat je fout verraadt.
De grens verkeerd om lezen: totale terugkaatsing treedt op bij $i > g$ , niet bij $i < g$ .

Actieve herhaling

Water heeft een brekingsindex $n = 1{,}33$ . Bereken de grenshoek voor de overgang water → lucht en leg uit of een lichtstraal die van onderaf onder $55^\circ$ op het wateroppervlak valt, het water kan verlaten.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Lenzen en beeldvorming#

Standardexamenblad-nl

Beeldvorming door een positieve lens

Afb. 3Een voorwerp buiten de brandpuntsafstand van een positieve lens (hier f = 4 cm, v = 6 cm) geeft een reëel, omgekeerd beeld op b = 12 cm. De vergroting is N = b/v = 2,0. De engine berekent de beeldpositie uit de lenzenformule.

Een lens is een stukje glas of doorzichtig kunststof met (meestal) twee gekromde oppervlakken. Bij elk oppervlak breekt het licht, en door die twee brekingen samen buigt een lens een hele bundel licht op een geordende manier. Een positieve lens — ook wel bolle of convergerende lens genoemd, want ze is in het midden dikker dan aan de rand — bundelt evenwijdig invallend licht naar één punt: het brandpunt

F

. De afstand van het optische midden van de lens tot dat brandpunt heet de brandpuntsafstand

f

. Elke lens heeft aan beide zijden een brandpunt op gelijke afstand

f

. Hoe boller (sterker gekromd) de lens, hoe korter

f

en hoe krachtiger ze het licht buigt. Ook dit hoort bij het keuzeonderwerp optica voor het schoolexamen. In de figuur zie je hoe zo'n positieve lens van een voorwerp een beeld maakt.

Hoe sterk een lens het licht buigt, druk je uit in de sterkte

S

(ook lenssterkte genoemd). De sterkte is het omgekeerde van de brandpuntsafstand:

S = \dfrac{1}{f}

, waarbij je

f

altijd in meter invult, zodat

S

de eenheid dioptrie krijgt (

\text{dpt}

, gelijk aan

\text{m}^{-1}

). Een bolle lens met een korte brandpuntsafstand heeft een grote, positieve sterkte; een lens met

f = 0{,}20\ \text{m}

heeft bijvoorbeeld

S = \dfrac{1}{0{,}20} = 5\ \text{dpt}

. Positieve (bolle) lenzen krijgen een positieve sterkte, negatieve (holle) lenzen een negatieve. Het handige van de dioptrie is dat de sterktes van twee lenzen die tegen elkaar staan gewoon optellen — dat gebruikt de opticien bij het combineren van glazen. Reken

f

steeds naar meter om vóór je de sterkte bepaalt, om eenheidsfouten te voorkomen.

Waar het beeld terechtkomt, bereken je met de lenzenformule:

\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{b}

. Hierin is

v

de voorwerpsafstand (de afstand van het voorwerp tot de lens) en

b

de beeldafstand (de afstand van de lens tot het beeld). Ken je twee van de drie grootheden

f

v

b

, dan volgt de derde. Let op de rekenvolgorde: je berekent eerst

\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{v}

als kommagetal, en pas op het láátst keer je het antwoord om tot

b

zelf — een veelgemaakte fout is die laatste stap vergeten. Alle afstanden vul je in meter of consequent in centimeter in. Staat het voorwerp heel ver weg (

v

zeer groot), dan is

\dfrac{1}{v} \approx 0

en wordt

b \approx f

: het beeld ontstaat dan vlak bij het brandpunt, precies zoals bij evenwijdig invallend licht.

Zonder te rekenen kun je het beeld ook construeren met drie bijzondere stralen vanuit de top van het voorwerp. De eerste loopt evenwijdig aan de hoofdas en gaat na de lens door het brandpunt

F

achter de lens. De tweede gaat recht door het optische midden van de lens en verandert niet van richting. De derde loopt eerst door het brandpunt vóór de lens en verlaat de lens daarna evenwijdig aan de hoofdas. Waar deze stralen elkaar snijden, ligt de top van het beeld; in de figuur zie je de constructie. Snijden de échte stralen elkaar aan de andere kant van de lens, dan is het beeld reëel: het staat omgekeerd (ondersteboven) en je kunt het op een scherm opvangen. Staat het voorwerp binnen de brandpuntsafstand, dan lopen de stralen na de lens uiteen en snijden alleen hun verlengden elkaar — dan ontstaat een virtueel, rechtopstaand beeld dat je niet op een scherm kunt vangen (de loep, volgende paragraaf).

Hoe groot het beeld is vergeleken met het voorwerp, geeft de lineaire vergroting

N

aan. Ze is gelijk aan de verhouding van beeld- en voorwerpsafstand:

N = \dfrac{b}{v}

, en tegelijk aan de verhouding van beeld- en voorwerpgrootte. Is

N > 1

, dan is het beeld groter dan het voorwerp; is

N < 1

, dan is het kleiner; bij

N = 1

zijn ze even groot. Een reëel beeld met

b > v

is dus vergroot en omgekeerd — precies wat een diaprojector doet. Staat het voorwerp juist ver weg (

v

groot,

b

klein), dan is

N

klein en krijg je een verkleind beeld, zoals in een fototoestel of op je netvlies. In de figuur staat het voorwerp op

v = 6{,}0\ \text{cm}

bij een lens met

f = 4{,}0\ \text{cm}

; de lenzenformule geeft dan

b = 12\ \text{cm}

N = 2{,}0

, een tweemaal vergroot, omgekeerd en reëel beeld. In de volgende paragraaf passen we dit alles toe op het oog, de loep en de bril.

\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}

lenzenformule

Het verband tussen brandpuntsafstand f, voorwerpsafstand v en beeldafstand b; bereken 1/b = 1/f − 1/v en keer op het laatst om tot b.

S = \frac{1}{f}, \qquad N = \frac{b}{v}

sterkte en lineaire vergroting

De sterkte S (in dioptrie, f in meter) is 1/f; de lineaire vergroting N is de verhouding van beeld- en voorwerpsafstand.

Uitgewerkt voorbeeld

Beeldafstand en vergroting berekenen

Een voorwerp staat op $v = 6{,}0\ \text{cm}$ voor een positieve lens met $f = 4{,}0\ \text{cm}$ . Bereken de beeldafstand $b$ en de vergroting $N$ .

Stap 1 — Vul de lenzenformule in
Bereken 1/b als 1/f − 1/v.
$\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{1}{4{,}0} - \frac{1}{6{,}0}$
Stap 2 — Werk de breuken uit
Maak gelijknamig: 1/4 = 3/12 en 1/6 = 2/12.
$\frac{1}{b} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \Rightarrow b = 12\ \text{cm}$
Stap 3 — Bereken de vergroting
Deel de beeldafstand door de voorwerpsafstand.
$N = \frac{b}{v} = \frac{12}{6{,}0} = 2{,}0$

Resultaat: Resultaat: de beeldafstand is $b = 12\ \text{cm}$ en de vergroting $N = 2{,}0$ . Omdat $b$ positief is, is het beeld reëel; het is omgekeerd en twee keer zo groot als het voorwerp.

Veelgemaakte fouten

Bij de lenzenformule $\dfrac{1}{b}$ uitrekenen maar vergeten om te keren, zodat je $\dfrac{1}{b}$ als $b$ opschrijft.
$v$ en $b$ verwisselen, of afstanden in centimeter en meter door elkaar gebruiken (vooral bij de sterkte $S = \dfrac{1}{f}$ ).
De brandpuntsafstand met de voorwerpsafstand verwarren, of denken dat een verder weg staand voorwerp een groter beeld geeft (het geeft juist een kleiner beeld).

Actieve herhaling

Een voorwerp staat op $v = 15\ \text{cm}$ voor een positieve lens met brandpuntsafstand $f = 10\ \text{cm}$ . Bereken de beeldafstand $b$ en de vergroting $N$ , en geef aan of het beeld reëel of virtueel is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Toepassingen: oog, loep en bril#

Standardexamenblad-nl

De loep: een virtueel beeld

Afb. 4Bij een loep staat het voorwerp binnen de brandpuntsafstand (hier f = 5, v = 3). De gebroken stralen lopen uiteen; hun verlengden vormen een vergroot, rechtopstaand en virtueel beeld dat je niet op een scherm kunt opvangen.

De theorie van de positieve lens uit de vorige paragraaf komt tot leven in het menselijk oog. Vooraan zit een positieve lens — het samenspel van hoornvlies en ooglens — die van alles wat je bekijkt een scherp, reëel en omgekeerd beeld maakt op het netvlies achter in het oog. Dat het beeld ondersteboven staat, merk je niet: je hersenen draaien het weer om. Omdat de afstand tussen ooglens en netvlies vastligt (de beeldafstand

b

is dus vast), moet het oog voor voorwerpen op verschillende afstanden telkens een andere brandpuntsafstand hebben. Dat lukt doordat kleine spiertjes de ooglens boller of platter maken en zo haar sterkte aanpassen; dit heet accommoderen. Kijk je dichtbij, dan maakt het oog de lens boller (grotere sterkte, kleinere

f

); kijk je in de verte, dan ontspant de lens. Deze paragraaf, ook keuze-/schoolexamenstof, past de lenzenformule toe op oog, loep, bril en camera.

Niet elk oog vormt het beeld precies op het netvlies, en dan helpt een bril. Bij bijziendheid (myopie) is het oog te sterk of te lang: het beeld van een ver voorwerp ontstaat vóór het netvlies, zodat de verte onscherp wordt. Een negatieve (holle) bril met negatieve sterkte laat de lichtbundel eerst iets uiteenlopen, zodat het oog het beeld weer nét op het netvlies legt. Bij verziendheid (hypermetropie) is het oog te zwak of te kort: het beeld zou áchter het netvlies vallen, vooral bij dichtbij kijken. Een positieve (bolle) bril met positieve sterkte geeft dan de ontbrekende sterkte erbij. Omdat de sterktes van lenzen die vlak achter elkaar staan optellen, kun je de brilsterkte optellen bij de sterkte van het oog. Onthoud de vuistregel: beeld vóór het netvlies → bijziend → negatieve bril; beeld achter het netvlies → verziend → positieve bril.

Een loep is niets anders dan een enkele positieve lens waarmee je een klein voorwerp vergroot bekijkt. De truc zit in de plaats van het voorwerp: je houdt het binnen de brandpuntsafstand van de lens (

v < f

). Zoals in de vorige paragraaf bleek, lopen de gebroken stralen dan na de lens uiteen; hun verlengden snijden elkaar aan dezelfde kant als het voorwerp. Zo ontstaat een virtueel, rechtopstaand en vergroot beeld — je ziet het voorwerp groter, maar je kunt het beeld niet op een scherm opvangen. In de figuur zie je die situatie: het voorwerp staat binnen

F

en de doorgetrokken verlengstralen vormen een groot, rechtopstaand beeld. Precies dit gebruiken ook het vergrootglas, de loep van een juwelier en, in versterkte vorm, het oculair van een microscoop en verrekijker. Hoe korter de brandpuntsafstand van de loep, hoe sterker de vergroting.

Het fototoestel (de camera) is in zekere zin het spiegelbeeld van de loep. Hier staat het voorwerp juist ver búiten de brandpuntsafstand, zodat er een reëel, omgekeerd en meestal verkleind beeld ontstaat, dat scherp op de lichtgevoelige sensor (vroeger de film) wordt geprojecteerd. Scherpstellen doet de camera niet door de lens te vervormen zoals het oog, maar door de hele lens iets naar voren of naar achteren te schuiven en zo de beeldafstand

b

te regelen. Oog en camera lijken dus sterk op elkaar — beide maken met een positieve lens een reëel beeld op een „scherm” — maar ze stellen op verschillende manieren scherp: het oog verandert zijn

f

(accommoderen), de camera verandert zijn

b

(verschuiven). Een diaprojector ten slotte draait de camera om: hij zet een klein voorwerp (het dia) net buiten

F

en maakt er een groot reëel beeld van op een ver scherm.

Bij rekenopgaven over oog, loep en bril gebruik je steeds hetzelfde gereedschap: de lenzenformule

\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{b}

, de sterkte

S = \dfrac{1}{f}

(met

f

in meter) en de vergroting

N = \dfrac{b}{v}

. De tekens vertellen je het verhaal: een positieve sterkte hoort bij een bolle lens (verziend oog, projector, camera), een negatieve sterkte bij een holle lens (bijziend oog). Een brillenglas met bijvoorbeeld

f = -0{,}50\ \text{m}

heeft

S = \dfrac{1}{-0{,}50} = -2{,}0\ \text{dpt}

, dus een negatieve, bijziend-corrigerende bril. Reken de brandpuntsafstand altijd naar meter om vóór je de sterkte bepaalt, en controleer je antwoord aan de situatie: een loep hoort een vergroot beeld te geven, een camera een verkleind. Daarmee sluit het keuzeonderwerp optica aan op de rest van de natuurkunde, waarin je licht eerder als straal en later als golf en als energie leert beschrijven.

S = \frac{1}{f} \quad (f\ \text{in m},\ S\ \text{in dpt})

sterkte van een lens of bril

De sterkte is het omgekeerde van de brandpuntsafstand in meter; bolle (positieve) lenzen hebben S > 0, holle (negatieve) lenzen S < 0.

Uitgewerkt voorbeeld

Sterkte van een brillenglas

Een brillenglas moet een brandpuntsafstand $f = -0{,}50\ \text{m}$ hebben. Bereken de sterkte $S$ en bepaal om wat voor bril het gaat.

Stap 1 — Pas de sterkteformule toe
De brandpuntsafstand staat al in meter, dus vul direct in.
$S = \frac{1}{f} = \frac{1}{-0{,}50\ \text{m}}$
Stap 2 — Reken uit
Deel 1 door −0,50.
$S = -2{,}0\ \text{dpt}$
Stap 3 — Interpreteer het teken
Een negatieve sterkte hoort bij een holle (negatieve) lens.
$S < 0 \Rightarrow \text{holle lens, bijziend-corrigerend}$

Resultaat: Resultaat: de sterkte is $S = -2{,}0\ \text{dpt}$ . Het negatieve teken laat zien dat het een holle, negatieve lens is — een bril die bijziendheid corrigeert door de bundel eerst te laten uiteenlopen.

Veelgemaakte fouten

De brandpuntsafstand in centimeter laten staan bij $S = \dfrac{1}{f}$ , zodat de sterkte een factor 100 verkeerd uitkomt (vul $f$ in meter in).
Bijziend en verziend verwisselen: bijziend → negatieve bril, verziend → positieve bril.
Bij de loep vergeten dat het voorwerp binnen $F$ moet staan ( $v < f$ ) om een vergroot, virtueel beeld te krijgen; buiten $F$ krijg je een omgekeerd, reëel beeld.

Actieve herhaling

Een bijziend oog heeft een bril nodig met brandpuntsafstand $f = -0{,}40\ \text{m}$ . Bereken de sterkte $S$ in dioptrie en leg uit waarom een bijziend oog een negatieve bril nodig heeft.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde (HAVO)

Optica: terugkaatsing, breking, lenzen en beeldvorming

Kernpunten

Brekingshoek berekenen (lucht → glas)

Kernpunten

Grenshoek van glas berekenen

Kernpunten

Beeldafstand en vergroting berekenen

Kernpunten

Sterkte van een brillenglas

Bronnen