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Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi

Il calcolo algebrico è lo strumento con cui si traducono i problemi in relazioni tra quantità e si determinano gli insiemi delle soluzioni. In questo argomento si riprendono e si consolidano equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, estendendoli ai casi razionali fratti, irrazionali e con valore assoluto, e si padroneggiano la scomposizione dei polinomi, il teorema del resto e la regola di Ruffini. L'obiettivo è saper risolvere con rigore e interpretare anche graficamente le soluzioni, scegliendo di volta in volta la strategia più efficace.

4sezionica. 14min di lettura3competenzeLivelloStandard 2 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·0111 / 16

Profilo d’esame

Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo algebrico, rappresentandole anche sotto forma graficaConfrontare e analizzare modelli algebrici, individuando invarianti e relazioniIndividuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

Operatori:risolvideterminacalcoladimostradiscuticlassificainterpretagiustificarappresenta

livello base

In tutti i licei si richiede di risolvere con sicurezza equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, comprese le forme fratte e con valore assoluto più semplici, e di interpretarne le soluzioni.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) si curano maggiormente la discussione completa di equazioni parametriche, le disequazioni irrazionali e i sistemi di grado superiore, con un uso fluido di Ruffini e del teorema del resto.

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Inhalt · 4 sezioni

Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi

Equazioni e disequazioni algebriche#

StandardOSA-matematica-aritmetica-e-algebraPrincipi di equivalenza per equazioni e disequazioni

Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni che risulta vera soltanto per particolari valori dell'incognita, dette soluzioni o radici; una disequazione, invece, è una disuguaglianza la cui soluzione è in generale un intervallo o un'unione di intervalli. Risolvere significa, in entrambi i casi, determinare l'insieme di tutti i valori che rendono vera la relazione, dopo aver fissato l'insieme in cui si lavora (per noi i numeri reali).

La risoluzione si fonda sui principi di equivalenza. Per le equazioni: sommando o sottraendo a entrambi i membri una stessa quantità, oppure moltiplicando o dividendo per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente. Per le disequazioni vale un principio analogo, con un'avvertenza decisiva: moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero negativo il verso della disuguaglianza si inverte. È l'errore più frequente di tutto il calcolo algebrico.

Un'equazione di primo grado «ax + b = 0» con «a ≠ 0» ammette l'unica soluzione «x = -b/a». Un'equazione di secondo grado «ax² + bx + c = 0» si risolve con la formula risolutiva: il numero delle soluzioni reali dipende dal segno del discriminante «Δ = b² - 4ac» (due soluzioni distinte se «Δ > 0», una doppia se «Δ = 0», nessuna soluzione reale se «Δ < 0»). Le relazioni di Viète «x₁ + x₂ = -b/a» e «x₁ · x₂ = c/a» permettono spesso verifiche rapide.

Per le disequazioni di secondo grado il metodo grafico è il più sicuro: si studia la parabola «y = ax² + bx + c». Se «a > 0» la parabola volge la concavità verso l'alto, quindi è positiva «all'esterno» delle radici e negativa «tra» di esse; se «a < 0» vale il contrario. La regola mnemonica «valori esterni / valori interni» va sempre ricondotta al grafico (Fig. 1), così non la si dimentica nei casi limite «Δ = 0» e «Δ < 0».

Parabola y = x² - 5x + 6 e segno della disequazione

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Formula risolutiva

Soluzioni dell'equazione di secondo grado ax^2 + bx + c = 0, con a diverso da 0.

\Delta = b^2 - 4ac

Discriminante

Il segno di Delta determina il numero di soluzioni reali: due se positivo, una doppia se nullo, nessuna se negativo.

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Relazioni di Viete

Somma e prodotto delle radici in funzione dei coefficienti; utili per verifiche e per costruire equazioni note le radici.

Esempio svolto

Disequazione di secondo grado

Risolvi la disequazione «x² - 5x + 6 > 0» e scrivi l'insieme delle soluzioni in forma di intervalli.

Equazione associata
Si annulla il primo membro per individuare gli zeri della parabola.
Discriminante e radici
Il discriminante e positivo, quindi vi sono due radici reali distinte.
Segno del coefficiente direttivo
Poiche a = 1 > 0, la parabola ha concavita verso l'alto: e positiva all'esterno dell'intervallo delle radici.
Lettura del segno
La disequazione e soddisfatta dove la parabola sta sopra l'asse x, cioe per i valori esterni alle radici.

Risultato: L'insieme delle soluzioni e «(-∞, 2) ∪ (3, +∞)».

Errori frequenti

Dividere per un coefficiente negativo (o per l'incognita) senza invertire il verso della disequazione, o senza discutere il caso in cui il fattore si annulla.
Scambiare «valori esterni» e «valori interni» nelle disequazioni di secondo grado dimenticando di controllare il segno del coefficiente direttivo «a».

Ripasso attivo

Risolvi la disequazione «x² - 5x + 6 > 0», rappresentando graficamente la parabola associata e scrivendo l'insieme delle soluzioni in forma di intervalli.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Equazioni e disequazioni fratte, irrazionali e con valore assoluto#

VertiefungOSA-matematica-aritmetica-e-algebraStudio del segno di un prodotto/quoziente di fattori

Quando l'incognita compare al denominatore, sotto radice o dentro un valore assoluto, la prima mossa è sempre la stessa: determinare le condizioni di esistenza. Per le frazioni occorre imporre il denominatore diverso da zero; per le radici di indice pari, il radicando non negativo; per i valori assoluti non vi sono restrizioni di dominio, ma è necessario discutere i casi secondo il segno dell'argomento. Trascurare il dominio è la causa più comune di soluzioni errate, perché si introducono valori che non appartengono all'insieme di esistenza.

Una disequazione fratta si risolve studiando separatamente il segno del numeratore e del denominatore e combinandoli in una tabella dei segni. È un errore moltiplicare entrambi i membri per il denominatore: il suo segno è incognito e potrebbe invertire il verso. La tabella dei segni (Fig. 2) rende visibile, intervallo per intervallo, il segno del quoziente, e va sempre esclusa l'ascissa che annulla il denominatore.

Tabella dei segni di una disequazione fratta

Le equazioni irrazionali del tipo «√(A(x)) = B(x)» si risolvono elevando al quadrato, ma l'elevamento a potenza pari non è un'operazione equivalente: può introdurre soluzioni estranee. Per questo si impongono le condizioni «A(x) ≥ 0» e «B(x) ≥ 0» (il secondo membro deve essere non negativo, perché una radice quadrata è non negativa) e, soprattutto, si verifica ogni soluzione nell'equazione di partenza.

Il valore assoluto «|A|» vale «A» quando «A ≥ 0» e «-A» quando «A < 0». Le equazioni e disequazioni con valore assoluto si affrontano o per casi (sciogliendo il modulo secondo il segno dell'argomento) oppure con le equivalenze notevoli: «|A| = k» (con «k ≥ 0») equivale a «A = k ∨ A = -k»; «|A| < k» equivale a «-k < A < k»; «|A| > k» equivale a «A < -k ∨ A > k». Queste regole vanno sempre ricondotte alla definizione, per non sbagliare i casi limite.

\sqrt{A(x)} = B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) \ge 0 \\ A(x) = \big(B(x)\big)^2 \end{cases}

Equazione irrazionale

Schema risolutivo: le prime due condizioni garantiscono l'esistenza e il segno non negativo; la terza si ottiene elevando al quadrato.

|A| = \begin{cases} A & \text{se } A \ge 0 \\ -A & \text{se } A < 0 \end{cases}

Definizione di valore assoluto

Il modulo restituisce sempre un valore non negativo; da qui le regole per equazioni e disequazioni.

|A| < k \iff -k < A < k \qquad (k > 0)

Disequazione con modulo

Una disuguaglianza con minore equivale a un sistema; con maggiore si ottiene invece un'unione di due intervalli.

Esempio svolto

Equazione irrazionale con verifica

Risolvi l'equazione «√(x + 1) = x - 1», indicando le condizioni di esistenza e verificando le soluzioni.

Condizioni di esistenza
Il radicando deve essere non negativo e il secondo membro, uguale a una radice, deve essere non negativo.
Elevamento al quadrato
Sotto le condizioni poste si elevano al quadrato entrambi i membri.
Equazione di secondo grado
Si riordinano i termini ottenendo un'equazione risolvibile per raccoglimento.
Soluzioni candidate e verifica
Si scartano i valori che non rispettano x >= 1 e si verifica la radice rimasta.

Risultato: L'unica soluzione accettabile è «x = 3» (il valore «x = 0» è estraneo).

Errori frequenti

Elevare al quadrato un'equazione irrazionale senza imporre «B(x) ≥ 0» e senza verificare le soluzioni, accettando così radici estranee.
Nelle disequazioni fratte, «portare a destra» il denominatore moltiplicando, ignorando che il suo segno è incognito e invertirebbe eventualmente il verso.

Ripasso attivo

Risolvi l'equazione irrazionale «√(x + 1) = x - 1», indicando le condizioni di esistenza e verificando le soluzioni ottenute.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Sistemi di equazioni e disequazioni#

StandardOSA-matematica-aritmetica-e-algebraSistemi di equazioni e di disequazioni; interpretazione algebrica e grafica delle soluzioni

Un sistema è un insieme di due o più equazioni (o disequazioni) nelle stesse incognite, di cui si cercano le soluzioni comuni. Per i sistemi di equazioni lineari in due incognite la soluzione, quando esiste ed è unica, è la coppia «(x, y)» che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni: geometricamente è il punto di intersezione delle rette associate (Fig. 3).

Soluzione di un sistema come intersezione di due rette

I metodi algebrici classici sono tre. Il metodo di sostituzione esplicita un'incognita da un'equazione e la sostituisce nell'altra; il metodo di riduzione (o di addizione) combina le equazioni per eliminare un'incognita; il metodo del confronto eguaglia due espressioni della stessa incognita. La scelta dipende dalla forma del sistema: la sostituzione è comoda quando un coefficiente vale «1», la riduzione quando i coefficienti si elidono facilmente.

L'interpretazione grafica chiarisce i casi possibili di un sistema lineare. Se le rette si intersecano in un punto il sistema è determinato (una sola soluzione); se sono parallele e distinte è impossibile (nessuna soluzione); se coincidono è indeterminato (infinite soluzioni). Questa lettura collega l'algebra alla geometria analitica e dà significato al risultato numerico.

Un sistema di disequazioni si risolve risolvendo separatamente ciascuna disequazione e intersecando gli insiemi delle soluzioni: la soluzione del sistema è l'insieme dei valori che soddisfano tutte le disequazioni simultaneamente. Conviene rappresentare le soluzioni parziali su una stessa retta reale e prendere la parte comune; se le soluzioni parziali non hanno punti in comune, il sistema è impossibile.

\begin{cases} y = x + 1 \\ x + y = 5 \end{cases}

Sistema lineare

Sistema di due equazioni in due incognite; la soluzione e la coppia (x, y) comune a entrambe le rette.

\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \;\Rightarrow\; S = S_1 \cap S_2

Sistema di disequazioni

La soluzione del sistema e l'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni.

Esempio svolto

Sistema lineare per sostituzione

Risolvi il sistema «{ y = x + 1 ; x + y = 5 }» con il metodo di sostituzione e interpreta graficamente la soluzione.

Sostituzione
La prima equazione fornisce y in funzione di x; lo si sostituisce nella seconda.
Equazione in una incognita
Si risolve l'equazione di primo grado ottenuta.
Calcolo della seconda incognita
Si sostituisce il valore trovato nella prima equazione.
Interpretazione grafica
Le due rette si intersecano in un solo punto: il sistema e determinato.

Risultato: Il sistema è determinato e ha l'unica soluzione «(2, 3)», punto di intersezione delle due rette.

Errori frequenti

Confondere l'unione con l'intersezione: nei sistemi di disequazioni la soluzione è l'intersezione (i valori comuni), non l'unione delle soluzioni parziali.
Concludere che un sistema lineare è impossibile o indeterminato senza riconoscere il caso dal confronto dei coefficienti o dall'interpretazione grafica delle rette.

Ripasso attivo

Risolvi il sistema lineare «{ y = x + 1 ; x + y = 5 }» con il metodo di sostituzione e interpreta graficamente la soluzione come intersezione di due rette.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Scomposizioni e teorema di Ruffini#

VertiefungOSA-matematica-aritmetica-e-algebraTeorema fondamentale dell'algebra (cenni), teorema del resto e teorema di Ruffini

Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di fattori di grado inferiore. È uno strumento centrale, perché trasforma equazioni e disequazioni di grado superiore in prodotti di fattori semplici, ai quali si applica la legge di annullamento del prodotto («un prodotto è nullo se e solo se almeno un fattore è nullo») e lo studio del segno fattore per fattore. Le tecniche di base — raccoglimento totale e parziale, prodotti notevoli, trinomio caratteristico — vanno tutte tenute presenti come ripasso.

Il teorema del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio «P(x)» per il binomio «x - a» è esattamente «P(a)». Ne discende il teorema di Ruffini: «x - a» è un divisore di «P(x)» (cioè «a» è una radice) se e solo se «P(a) = 0». Questi due risultati permettono di cercare le radici razionali di un polinomio e di abbassarne il grado.

La regola di Ruffini è l'algoritmo che esegue rapidamente la divisione di un polinomio per «x - a» (Fig. 4): si dispongono i coefficienti, si riporta il primo, lo si moltiplica per «a» e si somma al coefficiente successivo, ripetendo fino alla fine; l'ultimo numero ottenuto è il resto, gli altri sono i coefficienti del quoziente. Per cercare le radici razionali si provano i divisori del termine noto (teorema delle radici razionali).

Schema della regola di Ruffini per P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 con a = 1

Il teorema fondamentale dell'algebra (di cui qui si dà solo un cenno) garantisce che ogni polinomio di grado «n ≥ 1» a coefficienti complessi ammette esattamente «n» radici complesse, contate con la loro molteplicità. Sul campo reale ciò significa che un polinomio si scompone nel prodotto di fattori di primo grado e di fattori di secondo grado irriducibili (quelli con «Δ < 0»); questa è la struttura che giustifica la fattorizzazione completa.

P(x) = (x - a)\, Q(x) + P(a)

Teorema del resto

Dividendo P(x) per x - a, il resto coincide con il valore P(a) del polinomio in a.

P(a) = 0 \iff (x - a) \mid P(x)

Teorema di Ruffini

Il binomio x - a divide P(x) se e solo se a e una radice del polinomio.

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

Scomposizione completa

Fattorizzazione del polinomio in fattori di primo grado, ottenuta con radici 1, -2 e 3.

Esempio svolto

Scomposizione con Ruffini ed equazione cubica

Scomponi «P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6» con il teorema di Ruffini e risolvi «P(x) = 0».

Ricerca di una radice razionale
Si provano i divisori del termine noto 6; per a = 1 il polinomio si annulla.
Divisione con Ruffini
Dividendo per x - 1 si ottiene il quoziente di secondo grado.
Scomposizione del trinomio
Il trinomio x^2 - x - 6 si scompone trovandone le radici (somma 1, prodotto -6).
Soluzioni dell'equazione
Per la legge di annullamento del prodotto si annulla ciascun fattore.

Risultato: La scomposizione è «(x - 1)(x + 2)(x - 3)» e le soluzioni di «P(x) = 0» sono «x = -2, x = 1, x = 3».

Errori frequenti

Sbagliare il segno di «a» nella regola di Ruffini: per dividere per «x - 2» si usa «a = 2», per dividere per «x + 2» si usa «a = -2».
Cercare radici razionali tra numeri che non dividono il termine noto, oppure fermarsi alla prima radice senza completare la scomposizione del quoziente.

Ripasso attivo

Scomponi il polinomio «P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6» applicando il teorema di Ruffini e risolvi l'equazione «P(x) = 0».

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento

Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi

Punti chiave

Disequazione di secondo grado

Punti chiave

Equazione irrazionale con verifica

Punti chiave

Sistema lineare per sostituzione

Punti chiave

Scomposizione con Ruffini ed equazione cubica

Fonti

Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi

Punti chiave

Disequazione di secondo grado

Punti chiave

Equazione irrazionale con verifica

Punti chiave

Sistema lineare per sostituzione

Punti chiave

Scomposizione con Ruffini ed equazione cubica

Fonti