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Gravitazione universale

La gravitazione universale unifica in un'unica legge il moto dei pianeti, osservato e descritto da Keplero, e la caduta dei gravi sulla Terra: è la grande sintesi newtoniana. In questo appunto si studiano le tre leggi di Keplero, la legge di gravitazione universale di Newton con la costante G, il concetto di campo gravitazionale, l'energia potenziale gravitazionale e il moto dei satelliti, fino alla velocità orbitale e alla velocità di fuga. Tutto l'argomento rientra a pieno titolo nell'Esame di Stato del secondo ciclo.

4sezionica. 16min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·0444 / 16

Profilo d’esame

Collegare l'osservazione astronomica e il modello teorico, interpretando il moto dei corpi celesti alla luce di una legge fisica unicaApplicare la legge di gravitazione universale e i princìpi di conservazione al moto di pianeti e satellitiCogliere il valore unificante della teoria della gravitazione, che riconduce meccanica celeste e meccanica terrestre a un'unica causa

Operatori:enunciadimostracalcoladeterminaspiegaanalizzainterpretaconfrontagiustifica

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede di enunciare le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale, di calcolare forze e periodi orbitali e di interpretare qualitativamente campo ed energia potenziale gravitazionale.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) si chiede in più la deduzione della terza legge di Keplero dal modello newtoniano per orbite circolari, l'uso quantitativo dell'energia meccanica per ricavare velocità orbitale e di fuga e la discussione degli stati legati e non legati.

Profondità

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Inhalt · 4 sezioni

Gravitazione universale

Le tre leggi di Keplero#

BasisOSA-fisica-meccanica-gravitazione: Leggi di Keplero sul moto dei pianeti

Lo studio moderno del moto dei pianeti comincia con Johannes Kepler, che tra il 1609 e il 1619 sintetizza le accuratissime osservazioni di Tycho Brahe in tre leggi puramente descrittive (cinematiche): esse dicono come si muovono i pianeti, ma non perché. È la base osservativa su cui Newton costruirà, decenni dopo, la spiegazione dinamica.

La prima legge (legge delle orbite) afferma che ogni pianeta percorre un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. L'ellisse è in genere poco eccentrica: il punto di massima vicinanza al Sole si chiama perielio, quello di massima distanza afelio. Questa legge rompe il dogma millenario delle orbite circolari perfette.

La seconda legge (legge delle aree) stabilisce che il segmento che congiunge il Sole al pianeta (il raggio vettore) spazza aree uguali in tempi uguali. Di conseguenza la velocità areale è costante e il pianeta si muove più velocemente al perielio e più lentamente all'afelio. Come si vedrà più avanti, questa legge è una manifestazione della conservazione del momento angolare, dovuta al fatto che la forza gravitazionale è centrale (diretta sempre verso il Sole).

La terza legge (legge dei periodi) afferma che il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo del semiasse maggiore a dell'orbita: il rapporto T²/a³ ha lo stesso valore per tutti i pianeti che orbitano attorno allo stesso corpo centrale. È la legge che lega tra loro i diversi pianeti e che permette, noto il periodo, di determinare la distanza media dal Sole. La Fig. 1 illustra l'orbita ellittica con il Sole in un fuoco e la legge delle aree.

Orbita ellittica e legge delle aree

\frac{T^2}{a^3} = \text{costante}

III legge di Keplero

Per tutti i corpi che orbitano attorno allo stesso centro, il rapporto fra il quadrato del periodo T e il cubo del semiasse maggiore a e lo stesso. Permette di confrontare due orbite.

\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}

Confronto fra due orbite

Forma operativa usata nei problemi: noto il periodo e il semiasse di un corpo, si ricava l'incognita dell'altro.

Esempio svolto

Distanza di Giove dal Sole con la terza legge

Giove compie una rivoluzione attorno al Sole in circa 11.9 anni. Sapendo che la Terra ha periodo 1 anno e semiasse maggiore 1 UA, determina il semiasse maggiore dell'orbita di Giove in unità astronomiche.

Scrivere la terza legge come confronto
Terra e Giove orbitano attorno allo stesso centro (il Sole), quindi vale T_T^2/a_T^3 = T_G^2/a_G^3.
Isolare il semiasse di Giove
Risolvendo rispetto ad a_G si ottiene a_G = a_T (T_G/T_T)^{2/3}.
Sostituire i valori numerici
Con a_T = 1 UA, T_T = 1 anno e T_G = 11.9 anni: a_G = 1 \cdot (11.9)^{2/3}.
Calcolare
11.9^{2/3} = (11.9^2)^{1/3} = (141.6)^{1/3} \approx 5.21.

Risultato: Il semiasse maggiore dell'orbita di Giove vale circa 5.2 UA, in ottimo accordo con il valore reale (circa 5.20 UA).

Errori frequenti

Scrivere la terza legge come T²/R³ usando il raggio di un'orbita supposta circolare: in generale la grandezza corretta è il semiasse maggiore a dell'ellisse (R è giustificato solo nell'approssimazione di orbita circolare).
Confondere il significato della prima legge: il Sole sta in UN fuoco dell'ellisse, non al centro; affermare che il Sole è al centro dell'orbita è un errore concettuale ricorrente.

Ripasso attivo

Marte ha un periodo di rivoluzione attorno al Sole di circa 1.88 anni. Utilizzando la terza legge di Keplero e prendendo come unità la distanza Terra-Sole (1 UA), determina il semiasse maggiore dell'orbita di Marte espresso in unità astronomiche.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Legge di gravitazione universale e campo gravitazionale#

StandardOSA-fisica-meccanica-gravitazione: Legge di gravitazione universale di Newton; campo gravitazionale

Isaac Newton, nei Principia (1687), propone una sola legge per ogni coppia di corpi dotati di massa: due masse puntiformi si attraggono con una forza diretta lungo la loro congiungente, proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. È la legge di gravitazione universale, valida tanto per la mela e la Terra quanto per la Terra e la Luna.

La costante di proporzionalità G, detta costante di gravitazione universale, vale circa 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg² ed è la stessa in tutto l'Universo. Il suo valore, estremamente piccolo, fu misurato sperimentalmente da Henry Cavendish (1798) con una bilancia di torsione, «pesando» di fatto la Terra. Proprio la piccolezza di G spiega perché la gravità tra oggetti ordinari sia impercettibile e diventi dominante solo per masse astronomiche.

La forza gravitazionale è una forza centrale e attrattiva: agisce a distanza, lungo la retta che unisce i due corpi, ed è sempre diretta verso l'altra massa. Per il terzo principio della dinamica le due masse si attraggono con forze uguali e opposte. Per corpi a simmetria sferica (come pianeti e stelle) si dimostra che la forza è quella di una massa puntiforme concentrata nel centro: per questo nei calcoli si usa la distanza tra i centri.

Per descrivere l'azione a distanza si introduce il campo gravitazionale: in ogni punto dello spazio una massa sorgente genera un campo g, definito come la forza per unità di massa che agirebbe su una massa di prova posta in quel punto. Il modulo del campo generato da una massa M a distanza r è g = GM/r²; alla superficie terrestre questo campo coincide con l'accelerazione di gravità g ≈ 9.8 m/s². L'andamento del campo con la distanza (decrescita come 1/r²) è mostrato nella Fig. 2.

Intensità del campo gravitazionale in funzione della distanza

F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}

Legge di gravitazione universale

Modulo della forza attrattiva tra due masse puntiformi m1 e m2 a distanza r; G e la costante di gravitazione universale.

g = \frac{G\,M}{r^2}

Campo gravitazionale

Intensita del campo gravitazionale generato dalla massa M alla distanza r dal suo centro; alla superficie (r = R) coincide con l'accelerazione di gravita.

Esempio svolto

Accelerazione di gravità alla superficie della Terra

Verifica, a partire dalla legge di gravitazione universale, che l'accelerazione di gravità alla superficie terrestre vale circa 9.8 m/s². Usa M = 5.97·10²⁴ kg, R = 6.37·10⁶ m e G = 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg².

Uguagliare peso e forza gravitazionale
Per una massa m sulla superficie, P = mg deve coincidere con la forza gravitazionale G Mm/R^2; la massa m si semplifica.
Ricavare g
Semplificando m si ottiene la formula del campo alla superficie, indipendente dalla massa che cade.
Sostituire i valori
g = (6.67\cdot10^{-11} \cdot 5.97\cdot10^{24}) / (6.37\cdot10^{6})^2.
Calcolare
Il numeratore vale circa 3.98\cdot10^{14}; il denominatore circa 4.06\cdot10^{13}; il rapporto vale circa 9.8.

Risultato: Si ottiene g ≈ 9.8 m/s², in accordo con il valore misurato: il fatto che g non dipenda dalla massa del corpo che cade spiega la legge galileiana di caduta dei gravi.

Errori frequenti

Usare nella formula la distanza tra le superfici dei corpi anziché tra i loro centri: per un oggetto sulla superficie terrestre la distanza corretta è il raggio della Terra, non l'altezza dal suolo.
Confondere massa e peso: la massa è la stessa ovunque, mentre il peso P = mg dipende dal campo gravitazionale locale e cambia da pianeta a pianeta (o con la quota).

Ripasso attivo

Calcola l'accelerazione di gravità alla superficie della Luna, sapendo che la sua massa vale circa 7.35·10²² kg e il suo raggio circa 1.74·10⁶ m. Confronta il risultato con quello terrestre.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Energia potenziale gravitazionale e moto dei satelliti#

VertiefungOSA-fisica-meccanica-gravitazione: Campo gravitazionale ed energia potenziale gravitazionale; moto dei satelliti, velocità orbitale e cenni alla velocità di fuga

Satellite in orbita circolare: gravità come forza centripeta

La forza gravitazionale è conservativa: a essa si può associare un'energia potenziale gravitazionale. Scegliendo lo zero dell'energia all'infinito (dove la forza si annulla), l'energia potenziale di una massa m a distanza r da una massa M vale U = −GMm/r. Il segno negativo indica che si tratta di un sistema legato: per allontanare la massa fino all'infinito occorre fornire energia. La Fig. 3 mostra la «buca» di potenziale gravitazionale.

Buca di energia potenziale gravitazionale

Per un satellite in orbita circolare di raggio r attorno a un pianeta, la forza gravitazionale fornisce esattamente la forza centripeta necessaria a curvare la traiettoria. Uguagliando GMm/r² = mv²/r si ricava la velocità orbitale v = √(GM/r): è una velocità ben definita, che dipende solo dalla massa del corpo centrale e dal raggio dell'orbita, non dalla massa del satellite. Più l'orbita è alta, più la velocità orbitale è piccola.

Combinando energia cinetica e potenziale, l'energia meccanica totale di un satellite in orbita circolare è E = K + U = −GMm/(2r): anch'essa negativa, segno che il satellite è legato. Da questa relazione si deduce la terza legge di Keplero in forma newtoniana, T² = (4π²/GM)·r³, che identifica la costante di Keplero con 4π²/(GM) e dimostra che essa dipende solo dalla massa del corpo centrale.

Se si fornisce a un corpo energia cinetica sufficiente a portare l'energia meccanica totale a zero, esso può sfuggire definitivamente all'attrazione: la velocità minima necessaria, lanciando dal suolo, è la velocità di fuga v_f = √(2GM/R), pari per la Terra a circa 11.2 km/s. La velocità di fuga è esattamente √2 volte la velocità orbitale alla stessa quota. Un caso applicativo notevole è il satellite geostazionario, che ha periodo uguale a quello di rotazione terrestre (circa 24 ore) e quindi appare fermo nel cielo.

U = -\,\frac{G\,M\,m}{r}

Energia potenziale gravitazionale

Energia potenziale di una massa m a distanza r dalla massa M, con lo zero scelto all'infinito; e negativa perche il sistema e legato.

v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}

Velocità orbitale (orbita circolare)

Si ottiene uguagliando la forza gravitazionale alla forza centripeta; dipende solo da M e da r, non dalla massa del satellite.

v_f = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}

Velocità di fuga

Velocita minima per sfuggire all'attrazione partendo dalla superficie (raggio R), ottenuta imponendo energia meccanica totale nulla; per la Terra vale circa 11.2 km/s.

T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3

III legge di Keplero (forma newtoniana)

Dedotta dal modello del satellite circolare: la costante di Keplero T^2/r^3 vale 4 pi greco al quadrato diviso GM e dipende solo dal corpo centrale.

Esempio svolto

Velocità di fuga dalla Terra

Determina la velocità di fuga dalla superficie terrestre. Usa M = 5.97·10²⁴ kg, R = 6.37·10⁶ m e G = 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg², e verifica che vale circa 11 km/s.

Imporre energia meccanica totale nulla
Il corpo sfugge se arriva all'infinito con velocita nulla, cioe con energia meccanica totale uguale a zero: (1/2)m v_f^2 + (-GMm/R) = 0.
Ricavare la velocità di fuga
Semplificando m e risolvendo rispetto a v_f si ottiene la formula generale, indipendente dalla massa del corpo lanciato.
Sostituire i valori
v_f = \sqrt{(2 \cdot 6.67\cdot10^{-11} \cdot 5.97\cdot10^{24}) / (6.37\cdot10^{6})}.
Calcolare
L'argomento della radice vale circa 1.25\cdot10^{8} m^2/s^2; la radice e circa 1.12\cdot10^{4} m/s.

Risultato: La velocità di fuga dalla Terra vale circa 11.2 km/s: è la stessa per qualunque massa, perché m si semplifica nel bilancio energetico.

Errori frequenti

Dimenticare il segno meno nell'energia potenziale gravitazionale o trattarla come la forma elastica/uniforme mgh: la formula mgh vale solo vicino alla superficie, mentre U = −GMm/r è la forma generale con zero all'infinito.
Pensare che un satellite più pesante debba viaggiare più veloce: la velocità orbitale v = √(GM/r) non dipende dalla massa del satellite, esattamente come la velocità di fuga.

Ripasso attivo

Un satellite per telecomunicazioni deve essere posto in orbita geostazionaria, cioè con periodo di rivoluzione uguale al giorno siderale (circa 86164 s). Usando M = 5.97·10²⁴ kg e G = 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg², determina il raggio dell'orbita misurato dal centro della Terra.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

La sintesi newtoniana#

StandardOSA-fisica-meccanica-gravitazione: Sintesi newtoniana tra meccanica celeste e meccanica terrestre

Mappa della sintesi newtoniana

La grande conquista concettuale di Newton è la sintesi: la stessa forza che fa cadere una mela sulla Terra tiene la Luna in orbita. Prima di lui i fenomeni celesti e quelli terrestri erano governati, nella visione aristotelica, da leggi diverse; Newton mostra che obbediscono a un'unica legge fisica universale. È il primo grande esempio di unificazione nella storia della fisica.

L'argomento decisivo è quantitativo. Newton confrontò l'accelerazione di caduta di un grave alla superficie terrestre (g ≈ 9.8 m/s²) con l'accelerazione centripeta della Luna nella sua orbita. La Luna dista dal centro della Terra circa 60 raggi terrestri: poiché la forza decresce come 1/r², la sua accelerazione doveva risultare circa 60² ≈ 3600 volte più piccola di g, e così è. Questa coerenza numerica fu la prova che la legge dell'inverso del quadrato governa allo stesso modo cielo e Terra.

Dalla legge di gravitazione, applicata alle orbite, discendono come conseguenze le tre leggi di Keplero, che fino ad allora erano regole empiriche senza spiegazione. In particolare la terza legge assume la forma T² = (4π²/GM)·r³ e la costante di Keplero diventa un numero che dipende solo dalla massa del corpo centrale: la teoria spiega l'osservazione invece di limitarsi a descriverla. La Fig. 4 sintetizza in una mappa il legame tra Keplero, Newton e le conseguenze.

La portata della sintesi va oltre il Sistema Solare: la stessa legge descrive le maree, la forma schiacciata della Terra, il moto delle comete e, storicamente, permise di prevedere l'esistenza di Nettuno dalle perturbazioni dell'orbita di Urano. La gravitazione newtoniana resta un modello straordinariamente accurato, i cui limiti (campi molto intensi, velocità prossime a quella della luce) saranno superati solo dalla relatività generale di Einstein: un tipico spunto per il colloquio dell'Esame di Stato.

\frac{a_{Luna}}{g} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = \left(\frac{1}{60}\right)^2 \approx \frac{1}{3600}

Confronto Luna-mela (inverso del quadrato)

Il rapporto tra l'accelerazione centripeta della Luna e g segue dalla dipendenza della forza da 1/r^2, con la Luna a circa 60 raggi terrestri: la prova quantitativa della sintesi newtoniana.

Esempio svolto

Coerenza Luna-mela

La Luna dista dal centro della Terra circa 3.84·10⁸ m e impiega circa 27.3 giorni a percorrere la sua orbita (suppostala circolare). Calcola la sua accelerazione centripeta e verifica che è circa 3600 volte minore di g = 9.8 m/s².

Convertire il periodo in secondi
T = 27.3 giorni = 27.3 \cdot 86400 s, circa 2.36\cdot10^{6} s.
Scrivere l'accelerazione centripeta
Per il moto circolare uniforme a = 4 pi greco al quadrato per r diviso T al quadrato.
Sostituire i valori
a = (4 pi^2 \cdot 3.84\cdot10^{8}) / (2.36\cdot10^{6})^2.
Calcolare e confrontare
Si ottiene a circa 2.7\cdot10^{-3} m/s^2; il rapporto g/a vale 9.8 / 2.7\cdot10^{-3}, circa 3600.

Risultato: L'accelerazione della Luna è circa 2.7·10⁻³ m/s², ossia circa 1/3600 di g: poiché la Luna è a circa 60 raggi terrestri e 60² = 3600, il dato conferma la legge dell'inverso del quadrato e quindi la sintesi newtoniana.

Errori frequenti

Presentare le leggi di Keplero e la legge di Newton come indipendenti: in realtà le leggi di Keplero sono CONSEGUENZE deducibili dalla legge di gravitazione, ed è proprio questo il cuore della sintesi.
Affermare che la teoria di Newton è «sbagliata» perché c'è la relatività: è invece un modello eccellente entro il suo dominio di validità, che la relatività generale estende ai casi estremi.

Ripasso attivo

Spiega, con un ragionamento basato sulla dipendenza della forza da 1/r², perché l'accelerazione centripeta della Luna è circa 3600 volte minore dell'accelerazione di gravità alla superficie terrestre, sapendo che la Luna dista circa 60 raggi terrestri dal centro della Terra.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Gravitazione universale

Punti chiave

Distanza di Giove dal Sole con la terza legge

Punti chiave

Accelerazione di gravità alla superficie della Terra

Punti chiave

Velocità di fuga dalla Terra

Punti chiave

Coerenza Luna-mela

Fonti

Gravitazione universale

Punti chiave

Distanza di Giove dal Sole con la terza legge

Punti chiave

Accelerazione di gravità alla superficie della Terra

Punti chiave

Velocità di fuga dalla Terra

Punti chiave

Coerenza Luna-mela

Fonti