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Fisica atomica e nucleare

Questo appunto ricostruisce il percorso che, dai primi modelli dell'atomo fino al nucleo e alla sua energia, ha rivoluzionato la fisica del Novecento: dal modello di Rutherford ai livelli quantizzati di Bohr e agli spettri a righe, dalla struttura del nucleo al difetto di massa e all'energia di legame, fino alla radioattività e ai processi di fissione e fusione. Il filo conduttore è duplice: la quantizzazione dell'energia, che governa l'atomo, e l'equivalenza massa-energia di Einstein, che governa il nucleo. L'argomento rientra a pieno titolo nei nuclei della fisica moderna previsti dalle Indicazioni Nazionali per l'ultimo anno del Liceo e può comparire nella seconda prova e nel colloquio dell'Esame di Stato.

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Profilo d’esame

Descrivere la struttura della materia a livello atomico e nucleare scegliendo il modello appropriato (Thomson, Rutherford, Bohr; modello a protoni e neutroni).Collegare i fenomeni nucleari ai princìpi di conservazione (numero di massa, carica, energia) e all'equivalenza massa-energia E = mc².Applicare la legge del decadimento radioattivo e il concetto di tempo di dimezzamento a contesti quantitativi e di datazione.Valutare le implicazioni tecnologiche, energetiche e di radioprotezione dei fenomeni di fissione e fusione nucleare.

Operatori:calcoladeterminaspiegadescriviconfrontainterpretagiustificaclassificaillustra

livello base

A tutti gli indirizzi si richiede di conoscere i modelli atomici, la struttura del nucleo, la radioattività con la legge del decadimento e il significato di fissione e fusione, anche con una trattazione prevalentemente concettuale.

livello avanzato

Negli indirizzi a maggiore monte ore di fisica (in particolare il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate) si chiede padronanza quantitativa: calcolo dei livelli e delle lunghezze d'onda di Bohr, bilanci di massa-energia, energia di legame per nucleone e uso completo della legge esponenziale del decadimento.

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Inhalt · 4 sezioni

Fisica atomica e nucleare

Modelli atomici e il modello di Bohr#

StandardOSA-fisica-fisica-moderna-atomo-nucleo: modelli atomici, livelli energetici e spettri

Livelli energetici di Bohr e transizioni dell'idrogeno

La storia dei modelli atomici è una catena di crisi e ricostruzioni: ogni modello nasce per spiegare un esperimento che il precedente non sapeva descrivere. Si parte dal modello di Thomson (1904), in cui le cariche negative (gli elettroni) sono immerse in una sfera diffusa di carica positiva, come l'uvetta in un panettone, e si arriva al modello quantizzato di Bohr, capace finalmente di rendere conto degli spettri a righe dell'idrogeno.

L'esperimento decisivo è lo scattering di particelle alfa di Rutherford, Geiger e Marsden (1909-1911): un sottile foglio d'oro viene bombardato con particelle alfa. La maggior parte le attraversa quasi indisturbata, ma una piccolissima frazione viene deviata ad angoli grandissimi, alcune addirittura rimbalzano indietro. Rutherford interpretò il risultato concludendo che la carica positiva e quasi tutta la massa sono concentrate in un nucleo piccolissimo (circa 10^-15 m), mentre gli elettroni occupano il volume restante: nasce il modello planetario.

Il modello planetario di Rutherford ha però un difetto fatale per la fisica classica: un elettrone in orbita è una carica accelerata e, secondo l'elettromagnetismo di Maxwell, dovrebbe irraggiare onde elettromagnetiche, perdere energia e collassare sul nucleo in una frazione di secondo. L'atomo, invece, è stabile. Inoltre l'irraggiamento classico produrrebbe uno spettro continuo, mentre i gas rarefatti emettono ed assorbono solo righe ben definite. È la crisi che apre la porta ai quanti.

Niels Bohr (1913) risolve la contraddizione con tre postulati. Primo: l'elettrone può percorrere solo orbite stazionarie, su cui — contro la fisica classica — non irraggia; queste orbite sono quelle in cui il momento angolare è un multiplo intero di h/(2π) (quantizzazione del momento angolare). Secondo: l'atomo emette o assorbe energia solo quando l'elettrone salta da un livello all'altro, e l'energia del fotone scambiato è esattamente la differenza fra i due livelli, hf = E_iniziale − E_finale. Terzo, conseguenza: i livelli energetici dell'idrogeno sono quantizzati, con E_n = −13.6 eV / n^2.

Da questo schema discendono direttamente gli spettri a righe. Quando l'elettrone cade verso il livello n = 2 si ottengono le righe visibili della serie di Balmer; verso n = 1 le righe ultraviolette di Lyman; verso n = 3 le righe infrarosse di Paschen. Ogni transizione corrisponde a una riga di colore (cioè di frequenza) ben preciso: lo spettro a righe diventa la « firma » dell'elemento. Il modello di Bohr funziona benissimo per l'idrogeno e gli idrogenoidi, ma resta un modello semiclassico: la meccanica quantistica completa lo sostituirà con gli orbitali e la funzione d'onda (ripasso e raccordo con [[fisica-quantistica]]).

E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Livelli di Bohr

Energia dei livelli stazionari dell'atomo di idrogeno; il segno negativo indica che l'elettrone è legato. Lo stato fondamentale (n = 1) vale -13.6 eV.

h f = E_i - E_f, \qquad \lambda = \frac{h c}{E_i - E_f}

Transizione e fotone

L'energia del fotone emesso (o assorbito) è la differenza fra i due livelli; da essa si ricava la lunghezza d'onda con hc ≈ 1240 eV·nm.

Esempio svolto

Riga rossa dell'idrogeno (transizione 3 → 2)

Calcola l'energia del fotone emesso da un atomo di idrogeno nella transizione da n = 3 a n = 2 e la corrispondente lunghezza d'onda. A quale regione dello spettro appartiene?

Energia del livello n = 3
Applico la formula di Bohr con n = 3.
Energia del livello n = 2
Applico la formula di Bohr con n = 2.
Energia del fotone emesso
Il fotone porta via la differenza E_i - E_f (l'elettrone scende, quindi emette).
Lunghezza d'onda
Uso lambda = hc / E con hc = 1240 eV·nm.

Risultato: Il fotone ha energia di circa 1.89 eV e lunghezza d'onda di circa 656 nm: è la riga rossa H-alfa della serie di Balmer, nello spettro visibile.

Errori frequenti

Confondere il numero quantico n con un « raggio crescente proporzionale a n » in modo lineare: in realtà il raggio cresce come n^2 e l'energia (negativa) come −1/n^2, avvicinandosi a zero al crescere di n.
Sbagliare il verso dell'energia: nell'emissione l'elettrone scende a un livello più basso (E più negativa) e il fotone porta via energia positiva pari a E_i − E_f; nell'assorbimento accade il contrario. Scrivere differenze con il segno sbagliato è l'errore più frequente.

Ripasso attivo

Un atomo di idrogeno compie la transizione dal livello n = 3 al livello n = 2. Calcola l'energia del fotone emesso e la corrispondente lunghezza d'onda, usando E_n = −13.6 eV / n^2 e il prodotto hc ≈ 1240 eV·nm. A quale regione dello spettro appartiene questa riga?

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Struttura del nucleo, difetto di massa ed energia di legame#

VertiefungOSA-fisica-fisica-moderna-atomo-nucleo: struttura del nucleo, isotopi, difetto di massa ed energia di legame

Il nucleo è costituito da nucleoni: i protoni, di carica positiva, e i neutroni, privi di carica. Il numero atomico Z conta i protoni e identifica l'elemento; il numero di massa A conta i nucleoni totali (A = Z + N, dove N è il numero di neutroni). Un nuclide si indica con la notazione che mette A in alto e Z in basso a sinistra del simbolo chimico.

Atomi con lo stesso Z ma diverso A sono isotopi dello stesso elemento: hanno identico comportamento chimico (stesso Z, stessi elettroni) ma massa e proprietà nucleari diverse. Esempi: l'idrogeno con i suoi isotopi prozio, deuterio e trizio; il carbonio-12 (stabile) e il carbonio-14 (radioattivo, usato nelle datazioni). La forza che tiene insieme i nucleoni, vincendo la repulsione elettrostatica fra i protoni, è l'interazione nucleare forte: intensissima ma a cortissimo raggio.

Qui entra in gioco l'equivalenza massa-energia. Misurando con precisione la massa di un nucleo, si trova che essa è sempre minore della somma delle masse dei singoli nucleoni liberi: questa differenza si chiama difetto di massa, Delta m. La massa « mancante » si è trasformata in energia di legame, l'energia che bisognerebbe fornire per smontare il nucleo nei suoi nucleoni: E_legame = Delta m · c^2. È l'applicazione più spettacolare della relazione E = mc^2 (raccordo con [[relativita-ristretta]]).

Per confrontare la stabilità di nuclei diversi non si usa l'energia di legame totale, ma l'energia di legame per nucleone, cioè E_legame / A. Il grafico di questa grandezza in funzione di A (Fig. 2) ha una forma caratteristica: cresce rapidamente per i nuclei leggeri, raggiunge un massimo intorno al ferro-56 (circa 8.8 MeV per nucleone) e poi decresce lentamente per i nuclei pesanti. I nuclei attorno al ferro sono i più stabili dell'universo.

Energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa A

Questa curva spiega da sola perché esistano due modi opposti di liberare energia nucleare. A sinistra del massimo, unire due nuclei leggeri (fusione) porta a un nucleo più legato e libera energia; a destra del massimo, spezzare un nucleo pesante (fissione) porta a frammenti più legati e libera energia. In entrambi i casi il sistema si sposta verso valori più alti di energia di legame per nucleone, cioè verso una maggiore stabilità. Le unità comode sono l'unità di massa atomica u (1 u corrisponde a 931.5 MeV) e l'elettronvolt.

\Delta m = \left(Z\,m_p + N\,m_n\right) - m_{\text{nucleo}}

Difetto di massa

Differenza fra la somma delle masse dei nucleoni liberi e la massa effettiva del nucleo: è sempre positiva per un nucleo legato.

E_{\text{legame}} = \Delta m \, c^2, \qquad 1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}/c^2

Energia di legame

Energia equivalente al difetto di massa, secondo E = mc^2; la conversione pratica usa 1 u = 931.5 MeV.

Esempio svolto

Energia di legame del nucleo di elio-4

Il nucleo di elio-4 ha 2 protoni e 2 neutroni. Con m_p = 1.007276 u, m_n = 1.008665 u e massa del nucleo = 4.001506 u, calcola il difetto di massa, l'energia di legame e l'energia di legame per nucleone (1 u = 931.5 MeV).

Massa dei nucleoni liberi
Sommo le masse di 2 protoni e 2 neutroni.
Difetto di massa
Sottraggo la massa effettiva del nucleo.
Energia di legame totale
Converto il difetto di massa in energia con 1 u = 931.5 MeV.
Energia per nucleone
Divido per il numero di nucleoni A = 4.

Risultato: Il difetto di massa è di circa 0.0304 u, l'energia di legame totale di circa 28.3 MeV e quella per nucleone di circa 7.07 MeV: un valore elevato che conferma la grande stabilità del nucleo di elio (la particella alfa).

Errori frequenti

Usare l'energia di legame totale invece di quella per nucleone per confrontare la stabilità: un nucleo pesante ha energia totale enorme ma può essere meno stabile, per nucleone, di un nucleo medio.
Dimenticare la conversione delle unità: il difetto di massa in u va moltiplicato per 931.5 MeV/u (oppure la massa in kg per c^2 in unità SI); mescolare unità diverse porta a risultati assurdi di ordini di grandezza.

Ripasso attivo

Il nucleo di elio-4 è formato da 2 protoni e 2 neutroni. Sapendo che m_p = 1.007276 u, m_n = 1.008665 u e che la massa del nucleo di elio-4 è 4.001506 u, calcola il difetto di massa, l'energia di legame totale e l'energia di legame per nucleone (1 u = 931.5 MeV).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Radioattività e legge del decadimento#

StandardOSA-fisica-fisica-moderna-atomo-nucleo: radioattività naturale (alfa, beta, gamma) e legge del decadimento

La radioattività, scoperta da Becquerel (1896) e studiata da Marie e Pierre Curie, è la trasformazione spontanea di nuclei instabili che emettono radiazioni e si trasformano in nuclei diversi. È un fenomeno nucleare, non chimico: non dipende dalla temperatura, dalla pressione o dai legami chimici, ma solo dalla natura del nucleo. Esistono tre tipi fondamentali di decadimento, distinti storicamente dal loro potere di penetrazione e dalla deviazione in un campo elettrico o magnetico.

Nel decadimento alfa il nucleo emette una particella alfa, cioè un nucleo di elio-4 (2 protoni e 2 neutroni): Z diminuisce di 2 e A di 4. È tipico dei nuclei pesanti (ad esempio l'uranio-238 che decade in torio-234). Le particelle alfa sono molto ionizzanti ma poco penetranti: un foglio di carta le ferma. Nel decadimento beta-meno un neutrone si trasforma in protone emettendo un elettrone (e un antineutrino): Z aumenta di 1, A resta invariato. Le particelle beta penetrano più delle alfa ma sono fermate da una lamina di alluminio.

Il decadimento gamma non cambia né Z né A: il nucleo, dopo un decadimento alfa o beta, resta spesso in uno stato eccitato e si diseccita emettendo un fotone gamma di altissima energia. La radiazione gamma è la più penetrante: servono spessori di piombo o di calcestruzzo per attenuarla. In tutti i decadimenti valgono le leggi di conservazione: il numero di massa A e la carica (numero atomico Z) si conservano sempre nelle reazioni nucleari, e questo consente di bilanciare le equazioni di decadimento.

Il decadimento del singolo nucleo è imprevedibile (è un evento casuale), ma su un grande numero di nuclei vale una legge statistica precisa: in ogni intervallo di tempo una frazione costante dei nuclei presenti decade. Ne segue la legge esponenziale del decadimento, N(t) = N_0 e^(−λt), dove λ è la costante di decadimento. Il numero di nuclei ancora presenti diminuisce in modo esponenziale, mai linearmente (Fig. 3).

Curva del decadimento radioattivo: N in funzione del tempo

La grandezza più usata è il tempo di dimezzamento T, l'intervallo dopo il quale rimane metà dei nuclei iniziali; è legato a λ da T = ln 2 / λ. Dopo un tempo di dimezzamento resta 1/2, dopo due ne resta 1/4, dopo tre 1/8, e così via. Questa regolarità è alla base della datazione radiometrica: dal rapporto fra l'isotopo radioattivo residuo e quello stabile si risale all'età di un reperto (datazione al carbonio-14, T ≈ 5730 anni) o di una roccia.

N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}

Legge del decadimento

Numero di nuclei non ancora decaduti al tempo t; lambda è la costante di decadimento, caratteristica dell'isotopo.

T = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}

Tempo di dimezzamento

Tempo dopo il quale resta metà dei nuclei iniziali; dopo k tempi di dimezzamento resta la frazione (1/2)^k.

Esempio svolto

Datazione al carbonio-14 ed equazione del decadimento

In un reperto resta il 25% del carbonio-14 atteso per un organismo vivente; il tempo di dimezzamento del C-14 è circa 5730 anni. Stima l'età del reperto e scrivi l'equazione del decadimento beta-meno del C-14.

Esprimo la frazione residua come potenza di 1/2
Il 25% è un quarto, cioè (1/2)^2: corrisponde a due tempi di dimezzamento.
Calcolo l'età
Due tempi di dimezzamento moltiplicati per T.
Scrivo l'equazione del decadimento beta-meno
Un neutrone diventa protone: Z passa da 6 (C) a 7 (N), A resta 14; si emettono un elettrone e un antineutrino.

Risultato: Il reperto ha un'età di circa 11460 anni; il carbonio-14 decade in azoto-14 per emissione beta-meno, con A conservato (14) e Z che aumenta da 6 a 7.

Errori frequenti

Trattare il decadimento come lineare (« dopo due tempi di dimezzamento non resta nulla »): è esponenziale, dopo due T resta un quarto, non zero, e la quantità non si annulla mai esattamente.
Sbagliare il bilancio di A e Z: nel beta-meno A NON cambia (un neutrone diventa protone) mentre Z aumenta di 1; confondere questo con l'alfa (dove cambiano entrambi) è un errore tipico.

Ripasso attivo

Un campione contiene inizialmente N_0 nuclei radioattivi di carbonio-14, il cui tempo di dimezzamento è di circa 5730 anni. In un reperto archeologico si misura che resta il 25% del carbonio-14 atteso per un organismo vivente. Stima l'età del reperto e scrivi inoltre l'equazione del decadimento beta-meno del carbonio-14 (che produce azoto).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Fissione, fusione e applicazioni nucleari#

StandardOSA-fisica-fisica-moderna-atomo-nucleo: fissione e fusione nucleare; applicazioni, energia nucleare e radioprotezione (cenni)

Schema della reazione a catena nella fissione

Fissione e fusione sono i due processi che liberano l'enorme energia nascosta nel nucleo, e sono entrambi spiegati dalla curva dell'energia di legame per nucleone (ripasso della sezione precedente, Fig. 2): un processo libera energia ogni volta che porta il sistema verso nuclei più legati, cioè verso il massimo della curva presso il ferro. È lo stesso principio letto in due direzioni opposte, a seconda che si parta da nuclei pesanti o da nuclei leggeri.

La fissione nucleare è la scissione di un nucleo pesante (tipicamente uranio-235 o plutonio-239) in due nuclei più leggeri, accompagnata dall'emissione di alcuni neutroni e di una grande quantità di energia. Un neutrone lento assorbito dall'uranio-235 lo rende instabile e lo spezza; i neutroni liberati possono colpire altri nuclei, innescando una reazione a catena. Se la catena è controllata (barre di controllo che assorbono i neutroni in eccesso, moderatore che li rallenta) si ha un reattore nucleare; se è incontrollata, un'esplosione.

La fusione nucleare è il processo inverso: due nuclei leggeri si uniscono in un nucleo più pesante e più legato, liberando energia. È la sorgente di energia delle stelle: nel Sole quattro nuclei di idrogeno si fondono, attraverso una catena di reazioni, in un nucleo di elio. La fusione libera, a parità di massa, ancora più energia della fissione e produce scorie meno problematiche, ma richiede temperature e pressioni altissime per vincere la repulsione elettrostatica fra i nuclei: realizzarla in modo controllato sulla Terra è ancora una sfida tecnologica aperta.

In entrambi i casi l'energia liberata si calcola con il bilancio di massa-energia: si misura la differenza fra la massa totale dei reagenti e quella dei prodotti (il Q-valore della reazione) e la si converte in energia con E = (Delta m) c^2. Poiché i prodotti sono più legati, la loro massa complessiva è minore: la massa « mancante » riappare come energia cinetica dei frammenti e dei neutroni e come radiazione. Le energie in gioco per singola reazione (MeV) sono milioni di volte maggiori di quelle delle reazioni chimiche (eV).

Le applicazioni e i rischi vanno valutati con onestà. L'energia nucleare da fissione produce elettricità senza emissioni di anidride carbonica, ma pone i problemi delle scorie radioattive a lunga vita e della sicurezza degli impianti. In medicina, isotopi radioattivi e radiazioni sono usati per la diagnostica e la radioterapia. La radioprotezione studia come limitare l'esposizione alle radiazioni ionizzanti (schermatura, distanza, tempo di esposizione), perché queste possono danneggiare le cellule e il DNA: è il prezzo da governare di una tecnologia potentissima.

Q = \Delta m \, c^2 = \left(m_{\text{reagenti}} - m_{\text{prodotti}}\right) c^2

Energia di reazione (Q-valore)

Energia liberata in una reazione nucleare: è positiva quando i prodotti hanno massa minore dei reagenti (reazione esoenergetica).

{}^{235}_{\;92}\text{U} + {}^{1}_{0}n \rightarrow {}^{141}_{\;56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}n

Esempio di fissione dell'uranio-235

Una delle possibili reazioni di fissione: i neutroni prodotti possono innescare la reazione a catena. A e Z si conservano (235+1 = 141+92+3; 92 = 56+36).

Esempio svolto

Energia liberata in una reazione di fusione

Nella reazione di fusione deuterio + trizio si formano un nucleo di elio-4 e un neutrone. La differenza di massa fra reagenti e prodotti è Delta m = 0.01888 u. Calcola l'energia liberata in MeV (1 u = 931.5 MeV) e confrontala con l'ordine di grandezza di una reazione chimica.

Scrivo la reazione
Bilancio A e Z: 2+3 = 4+1 (A), 1+1 = 2+0 (Z).
Converto il difetto di massa in energia
Uso Q = Delta m · c^2 con 1 u = 931.5 MeV.
Confronto con una reazione chimica
Una reazione chimica libera tipicamente pochi eV per atomo; qui sono milioni di eV per reazione.

Risultato: La fusione deuterio-trizio libera circa 17.6 MeV per reazione: un'energia di circa un milione di volte superiore a quella di una tipica reazione chimica, il che spiega la straordinaria densità energetica dei processi nucleari.

Errori frequenti

Pensare che la fissione « crei » energia dal nulla: l'energia proviene dalla diminuzione di massa (E = mc^2), non da una violazione della conservazione; massa ed energia insieme si conservano.
Invertire i processi nelle stelle e nelle centrali: nelle stelle e nel Sole avviene la fusione (nuclei leggeri), nelle centrali nucleari attuali avviene la fissione (nuclei pesanti); scambiarli è un errore concettuale frequente.

Ripasso attivo

Spiega, aiutandoti con la curva dell'energia di legame per nucleone, perché sia la fissione dell'uranio sia la fusione dell'idrogeno liberano energia, pur essendo processi opposti. Indica poi, per ciascuno, dove avviene in natura o nella tecnologia.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Fisica atomica e nucleare

Punti chiave

Riga rossa dell'idrogeno (transizione 3 → 2)

Punti chiave

Energia di legame del nucleo di elio-4

Punti chiave

Datazione al carbonio-14 ed equazione del decadimento

Punti chiave

Energia liberata in una reazione di fusione

Fonti

Fisica atomica e nucleare

Punti chiave

Riga rossa dell'idrogeno (transizione 3 → 2)

Punti chiave

Energia di legame del nucleo di elio-4

Punti chiave

Datazione al carbonio-14 ed equazione del decadimento

Punti chiave

Energia liberata in una reazione di fusione

Fonti