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Cinematica del punto materiale

La cinematica descrive il moto dei corpi — posizione, spostamento, velocità e accelerazione — senza interrogarsi sulle cause che lo producono, che sono invece oggetto della dinamica. In questo capitolo costruiamo il linguaggio del moto a partire dal modello di punto materiale e dalla scelta del sistema di riferimento, per poi analizzare i moti fondamentali del triennio: il moto rettilineo (uniforme e uniformemente accelerato), la caduta dei gravi, il moto del proiettile come composizione di moti e il moto circolare uniforme con cenni al moto armonico. L'approccio è insieme grafico (diagrammi spazio-tempo e velocità-tempo), vettoriale e — dove utile — derivativo, in raccordo con la matematica.

4sezionica. 17min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·0111 / 16

Profilo d’esame

Osservare, descrivere e analizzare fenomeni di moto, costruendo e utilizzando modelli cinematiciFormalizzare il moto con grafici spazio-tempo e velocità-tempo e con il linguaggio matematico, anche vettorialeFormulare ipotesi e interpretare dati sperimentali sul moto

Operatori:calcoladeterminaanalizzaspiegadescriviinterpretarappresentagiustifica

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede di descrivere e calcolare i moti fondamentali (uniforme, uniformemente accelerato, caduta dei gravi, proiettile, circolare uniforme) e di leggere e produrre i relativi grafici s-t e v-t.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico e nell'opzione Scienze Applicate si approfondisce la lettura derivativa di velocità e accelerazione (raccordo con l'analisi) e il trattamento pienamente vettoriale della composizione dei moti e del moto circolare.

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Cinematica del punto materiale

Grandezze del moto e sistemi di riferimento#

BasisOSA-fisica-meccanica-cinematica: posizione, spostamento, traiettoria, sistemi di riferimento; velocità e accelerazione media e istantanea

Spostamento, traiettoria e spazio percorso

Studiare un moto significa stabilire come cambia nel tempo la posizione di un corpo: per farlo è indispensabile fissare prima un sistema di riferimento, cioè un'origine, degli assi orientati e un orologio. Il moto è una grandezza relativa — non ha senso assoluto, ma solo rispetto al riferimento scelto — e questa è la prima idea-chiave dell'intera cinematica.

Quando le dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto agli spostamenti in gioco, lo schematizziamo come «punto materiale»: un punto privo di estensione ma dotato di massa, di cui basta seguire la sola posizione. La curva descritta da questo punto nello spazio è la «traiettoria»; la sua misura è lo spazio percorso, una grandezza scalare sempre positiva.

Vanno distinte con cura due grandezze diverse: lo «spostamento» è il vettore che congiunge la posizione iniziale a quella finale (Δ vec{s} = vec{s}_f − vec{s}_i), mentre lo «spazio percorso» è la lunghezza effettiva della traiettoria. Lungo un tratto rettilineo senza inversioni i due valori coincidono in modulo; in un moto con cambi di direzione, invece, lo spazio percorso supera il modulo dello spostamento (in un giro completo lo spostamento è nullo, ma lo spazio percorso no).

La «velocità media» è il rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo impiegato; la «velocità istantanea» è il valore a cui tende la velocità media quando l'intervallo si fa piccolissimo, cioè la derivata della posizione rispetto al tempo, e graficamente è la pendenza della tangente al grafico spazio-tempo. In modo analogo si definiscono l'«accelerazione media» (variazione di velocità su intervallo di tempo) e l'«accelerazione istantanea» (derivata della velocità). Velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali: hanno modulo, direzione e verso.

(ripasso) Le grandezze fisiche si distinguono in scalari (massa, tempo, temperatura) e vettoriali (spostamento, velocità, accelerazione). Saper sommare vettori con la regola del parallelogramma e scomporli lungo gli assi è il prerequisito che rende possibile tutto il seguito, in particolare lo studio del moto del proiettile.

\vec{v}_{m} = \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t} = \frac{\vec{s}_f - \vec{s}_i}{t_f - t_i}

Velocità media

Rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo: ha la stessa direzione e verso dello spostamento.

v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}

Velocità istantanea

Limite della velocità media per intervalli di tempo che tendono a zero: è la derivata della posizione rispetto al tempo e la pendenza della tangente al grafico s-t.

\vec{a}_{m} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}, \qquad a = \frac{dv}{dt}

Accelerazione media e istantanea

L'accelerazione misura quanto rapidamente cambia la velocità; è non nulla anche quando cambia solo la direzione del moto, non solo il modulo.

Esempio svolto

Spostamento e velocità media su un percorso a L

Un'automobile percorre 3.0 km verso est e poi 4.0 km verso nord in un tempo totale di 10 minuti. Determina lo spazio percorso, il modulo dello spostamento e il modulo della velocità media.

Spazio percorso
Si sommano le due lunghezze effettivamente percorse lungo la traiettoria: 3.0 km + 4.0 km.
Modulo dello spostamento
Lo spostamento congiunge partenza e arrivo: i due tratti sono perpendicolari, quindi si applica il teorema di Pitagora.
Velocità media
La velocità media usa lo SPOSTAMENTO, non lo spazio percorso. Converto il tempo: 10 min = 600 s; oppure in km/h con t = 1/6 h.

Risultato: Spazio percorso 7.0 km; modulo dello spostamento 5.0 km; velocità media in modulo 30 km/h (circa 8.3 m/s). I moduli differiscono perché la traiettoria non è rettilinea.

Errori frequenti

Confondere lo spazio percorso (sempre positivo, lunghezza della traiettoria) con il modulo dello spostamento: in un moto di andata e ritorno lo spostamento è nullo, ma lo spazio percorso non lo è.
Ritenere che a velocità nulla l'accelerazione sia necessariamente nulla: nel punto più alto di un lancio verticale la velocità è zero ma l'accelerazione vale g.

Ripasso attivo

Un'automobile percorre 3.0 km verso est e poi 4.0 km verso nord in un tempo totale di 10 minuti. Determina lo spazio percorso, il modulo dello spostamento e il modulo della velocità media; spiega perché i due moduli sono diversi.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Moto rettilineo: uniforme e uniformemente accelerato#

StandardOSA-fisica-meccanica-cinematica: moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato; grafici spazio-tempo e velocità-tempo

Grafico velocità-tempo: moto uniforme e uniformemente accelerato

Il moto rettilineo è il moto lungo una retta: una sola coordinata basta a individuarne la posizione, e i vettori si riducono a numeri con segno. È il banco di prova ideale per imparare a leggere e a costruire i grafici del moto, che restano lo strumento privilegiato della cinematica liceale.

Nel «moto rettilineo uniforme» la velocità è costante, quindi l'accelerazione è nulla. La legge oraria è lineare nel tempo: il grafico spazio-tempo è una retta la cui pendenza è proprio la velocità, mentre il grafico velocità-tempo è una retta orizzontale. Un risultato generale e potentissimo emerge già qui: lo spazio percorso è l'area sottesa al grafico velocità-tempo.

Nel «moto rettilineo uniformemente accelerato» è costante l'accelerazione: la velocità cresce (o decresce) linearmente nel tempo e la posizione varia in modo quadratico. Il grafico v-t è una retta inclinata la cui pendenza è l'accelerazione, e l'area sotto questa retta (un trapezio) fornisce lo spostamento; il grafico s-t è un arco di parabola. È fondamentale rispettare i segni: se accelerazione e velocità hanno segni opposti il moto è decelerato.

Dalle due leggi (della velocità e della posizione) si ricava, eliminando il tempo, la relazione che lega direttamente velocità, accelerazione e spostamento. Questa formula «senza tempo» è preziosa quando l'intervallo temporale non è noto o non interessa, come nei problemi di frenata o di rincorsa su una pista.

(ripasso) La pendenza di una retta in un grafico cartesiano è il rapporto tra la variazione dell'ordinata e quella dell'ascissa: applicata al grafico s-t dà la velocità, applicata al grafico v-t dà l'accelerazione. Per chi affronta la lettura derivativa, velocità e accelerazione sono rispettivamente derivata prima e derivata seconda della legge oraria.

s(t) = s_0 + v\,t

Legge oraria (moto uniforme)

La posizione cresce linearmente nel tempo con pendenza pari alla velocità costante v.

v(t) = v_0 + a\,t

Legge della velocità (moto unif. accelerato)

La velocità varia linearmente nel tempo; a è l'accelerazione costante (pendenza del grafico v-t).

s(t) = s_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Legge oraria (moto unif. accelerato)

La posizione varia quadraticamente: il grafico s-t è una parabola. Il termine quadratico è il contributo dell'accelerazione.

v^2 = v_0^2 + 2\,a\,(s - s_0)

Relazione senza il tempo

Ottenuta eliminando t fra le due leggi: lega velocità, accelerazione e spostamento quando il tempo non è noto.

Legge oraria del moto uniformemente accelerato

Esempio svolto

Spazio e tempo di frenata

Un'automobile viaggia a 20 m/s e frena con accelerazione costante di modulo 5.0 m/s^2 fino a fermarsi. Determina il tempo di arresto e lo spazio di frenata.

Imposto i dati e i segni
Velocità iniziale v0 = 20 m/s; frenata, quindi a = -5.0 m/s^2 (verso opposto al moto); velocità finale v = 0.
Tempo di arresto
Dalla legge della velocità impongo v = 0 e ricavo t.
Spazio di frenata
Uso la relazione senza il tempo (più diretta): da v^2 = v0^2 + 2a·s con v = 0.
Verifica con l'area
L'area del triangolo nel grafico v-t (base t = 4.0 s, altezza v0 = 20 m/s) è (1/2)·4.0·20 = 40 m: conferma lo spazio di frenata.

Risultato: Il tempo di arresto è 4.0 s e lo spazio di frenata è 40 m; il calcolo dell'area del grafico v-t conferma il risultato.

Errori frequenti

Applicare le formule del moto uniformemente accelerato a un moto in cui l'accelerazione non è costante: quelle leggi valgono solo se a è costante.
Confondere la pendenza con il valore: in un grafico s-t un valore alto della posizione non significa velocità alta; conta l'inclinazione della curva, non la sua altezza.

Ripasso attivo

Un'automobile viaggia a 20 m/s e frena con accelerazione costante di modulo 5.0 m/s^2 fino a fermarsi. Determina il tempo di arresto e lo spazio di frenata, sia con le leggi del moto sia interpretando l'area del grafico velocità-tempo.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Caduta libera e moto del proiettile#

StandardOSA-fisica-meccanica-cinematica: caduta dei gravi; composizione di moti; moto del proiettile e moto parabolico; lo studio galileiano del moto

Traiettoria parabolica del proiettile

La caduta libera è il caso di moto uniformemente accelerato più importante della fisica: in assenza di resistenza dell'aria tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione g, diretta verso il basso e di modulo circa 9.8 m/s^2. Fu Galileo, attraverso lo studio del piano inclinato, a mostrare che l'accelerazione di gravità è la stessa per tutti i corpi, indipendentemente dalla loro massa — una conquista concettuale alla base di tutta la meccanica.

Applicando le leggi del moto uniformemente accelerato con a = g si descrivono il lancio verticale e la caduta. Nel punto più alto di un lancio verso l'alto la velocità si annulla, ma l'accelerazione resta g: il corpo continua ad accelerare verso il basso. Per simmetria, il tempo di salita uguaglia il tempo di discesa e il modulo della velocità a una data quota in salita uguaglia quello in discesa.

Il moto del proiettile è l'esempio cardine di «composizione di moti», cioè dell'idea galileiana di indipendenza dei movimenti: il moto bidimensionale si scompone in due moti rettilinei simultanei e indipendenti — uno orizzontale uniforme (velocità costante, nessuna forza orizzontale) e uno verticale uniformemente accelerato (caduta con g). La traiettoria risultante è un arco di parabola.

Dalla composizione si ricavano le grandezze caratteristiche: la gittata (distanza orizzontale percorsa), l'altezza massima e il tempo di volo. La velocità in ogni istante è la somma vettoriale della componente orizzontale (costante) e di quella verticale (variabile), e la sua direzione è sempre tangente alla traiettoria. Per un dato modulo della velocità iniziale la gittata è massima con angolo di lancio di 45 gradi.

(ripasso) La scomposizione di un vettore velocità lungo gli assi orizzontale e verticale tramite seno e coseno dell'angolo di lancio è il passaggio chiave: v0x = v0 cos(theta), v0y = v0 sin(theta). Da qui in poi i due assi si trattano separatamente, ciascuno con le sue leggi del moto.

y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2

Moto verticale (caduta)

Lungo l'asse verticale il corpo è uniformemente accelerato con accelerazione g diretta verso il basso (segno meno con l'asse rivolto verso l'alto).

x(t) = v_{0x}\,t, \qquad v_{0x} = v_0\cos\theta

Moto orizzontale (uniforme)

Lungo l'orizzontale non agiscono forze: la velocità resta costante e lo spostamento è proporzionale al tempo.

G = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

Gittata su terreno orizzontale

Distanza orizzontale fra lancio e ricaduta alla stessa quota; massima per theta = 45 gradi, quando sin(2theta) = 1.

h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}

Altezza massima

Quota massima raggiunta, ottenuta annullando la componente verticale della velocità.

Composizione delle velocità nel moto del proiettile

Esempio svolto

Tempo di volo, altezza massima e gittata di un pallone

Un pallone è lanciato da terra con velocità iniziale di 20 m/s a 30 gradi sull'orizzontale (g = 9.8 m/s^2, attrito trascurabile). Determina tempo di volo, altezza massima e gittata.

Scompongo la velocità iniziale
Calcolo le componenti con cos(30) ≈ 0.866 e sin(30) = 0.5.
Tempo di volo
Il tempo di salita annulla v0y; il tempo totale è il doppio (ricaduta alla stessa quota).
Altezza massima
Uso la formula dell'altezza massima con la sola componente verticale.
Gittata
La distanza orizzontale è la velocità orizzontale (costante) per il tempo di volo.

Risultato: Tempo di volo circa 2.0 s, altezza massima circa 5.1 m e gittata circa 35 m. (La gittata si ritrova anche dalla formula G = v0^2 sin(2·30)/g = 400·0.866/9.8 ≈ 35 m.)

Errori frequenti

Pensare che nel punto più alto del moto del proiettile la velocità sia nulla: si annulla solo la componente verticale, mentre quella orizzontale resta costante.
Trascurare la scomposizione: usare v0 al posto delle sue componenti v0 cos(theta) e v0 sin(theta) porta a risultati errati per gittata e altezza.

Ripasso attivo

Un pallone è lanciato da terra con velocità iniziale di 20 m/s a un angolo di 30 gradi rispetto all'orizzontale. Assumendo g = 9.8 m/s^2 e trascurando l'attrito dell'aria, determina il tempo di volo, l'altezza massima e la gittata.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Moto circolare uniforme e moto armonico#

VertiefungOSA-fisica-meccanica-cinematica: moto circolare uniforme; velocità angolare; accelerazione centripeta; cenni al moto armonico

Moto circolare uniforme: velocità tangenziale e accelerazione centripeta

Il moto circolare uniforme è il moto lungo una circonferenza percorsa con velocità di modulo costante. È «uniforme» nel modulo della velocità, ma non è affatto un moto a velocità costante: il vettore velocità cambia continuamente direzione, restando tangente alla traiettoria. Per questo il moto circolare uniforme è un moto accelerato.

Le grandezze descrittive sono il periodo T (tempo di un giro completo), la frequenza f = 1/T (numero di giri al secondo) e la velocità angolare omega, che misura l'angolo spazzato nell'unità di tempo. Velocità tangenziale e velocità angolare sono legate dal raggio: v = omega·r. La velocità angolare e il periodo sono legati da omega = 2 pi / T.

Poiché la direzione della velocità cambia di continuo, esiste un'accelerazione anche se il modulo della velocità è costante: è l'«accelerazione centripeta», diretta verso il centro della circonferenza. Il suo modulo cresce con il quadrato della velocità e decresce con il raggio (a_c = v^2 / r), e può essere riscritta come a_c = omega^2 r. È l'accelerazione che «curva» continuamente la traiettoria verso il centro.

Il moto circolare uniforme è strettamente legato al «moto armonico»: la proiezione su un diametro di un punto che percorre la circonferenza con moto circolare uniforme esegue un moto armonico semplice. La posizione del punto proiettato oscilla nel tempo secondo una funzione sinusoidale, con la stessa pulsazione omega; il moto armonico descrive le piccole oscillazioni di un pendolo o di una massa attaccata a una molla.

(ripasso — Approfondimento, Liceo Scientifico) La misura degli angoli in radianti rende immediate le relazioni del moto circolare: un giro completo corrisponde a 2 pi radianti. La distinzione fra grandezze «lineari» (v, a tangenziale) e «angolari» (omega, accelerazione angolare) anticipa lo studio della dinamica rotazionale.

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

Velocità angolare

Angolo spazzato nell'unità di tempo; legata al periodo T e alla frequenza f. Si misura in rad/s.

v = \omega\,r

Velocità tangenziale

Lega la velocità lungo la traiettoria alla velocità angolare e al raggio: a parità di omega, punti più lontani dal centro vanno più veloci.

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

Accelerazione centripeta

Diretta verso il centro; è responsabile del cambiamento di direzione della velocità nel moto circolare uniforme.

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

Moto armonico semplice

Proiezione del moto circolare uniforme su un diametro: A è l'ampiezza, omega la pulsazione, phi la fase iniziale.

Moto armonico: posizione in funzione del tempo

Esempio svolto

Grandezze del moto circolare uniforme

Un punto materiale percorre una circonferenza di raggio 0.50 m compiendo un giro completo in 2.0 s. Determina velocità angolare, velocità tangenziale e accelerazione centripeta.

Velocità angolare
Un giro corrisponde a 2 pi radianti percorsi nel periodo T = 2.0 s.
Velocità tangenziale
Si ottiene moltiplicando la velocità angolare per il raggio.
Accelerazione centripeta
Uso a_c = v^2/r (oppure, in modo equivalente, omega^2 r).

Risultato: Velocità angolare circa 3.1 rad/s, velocità tangenziale circa 1.6 m/s e accelerazione centripeta circa 4.9 m/s^2, diretta verso il centro della circonferenza.

Errori frequenti

Affermare che nel moto circolare uniforme l'accelerazione è nulla perché la velocità è «costante»: è costante solo il modulo, non la direzione, quindi l'accelerazione centripeta esiste.
Confondere l'accelerazione centripeta (che cambia la direzione della velocità) con un'accelerazione tangenziale (che cambierebbe il modulo): nel moto circolare UNIFORME quest'ultima è nulla.

Ripasso attivo

Un punto materiale percorre una circonferenza di raggio 0.50 m compiendo un giro completo in 2.0 s. Determina la velocità angolare, la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Cinematica del punto materiale

Punti chiave

Spostamento e velocità media su un percorso a L

Punti chiave

Spazio e tempo di frenata

Punti chiave

Tempo di volo, altezza massima e gittata di un pallone

Punti chiave

Grandezze del moto circolare uniforme

Fonti

Cinematica del punto materiale

Punti chiave

Spostamento e velocità media su un percorso a L

Punti chiave

Spazio e tempo di frenata

Punti chiave

Tempo di volo, altezza massima e gittata di un pallone

Punti chiave

Grandezze del moto circolare uniforme

Fonti