Apuntes · Matemáticas Aplicadas a las CCSS IIES · Selectividad

Límites y continuidad

Apunte de repaso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre el cálculo de límites de funciones —en un punto y en el infinito—, la continuidad y su aplicación a la modelización de situaciones socioeconómicas. El límite es la herramienta que pone bajo control el «acercarse a» y el «a largo plazo» de un modelo: con él describimos a qué tiende el coste medio, la población o la demanda, definimos la continuidad de una función y leemos su comportamiento asintótico. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU): cálculo de límites con indeterminaciones (0/0, ∞/∞, ∞−∞), estudio de continuidad de funciones definidas a trozos (tarifas, impuestos por tramos) e interpretación de asíntotas como tendencias de un modelo.

5seccionesca. 30min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0555 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando el concepto de límite para describir tendencias y comportamientos a largo plazo o en un punto crítico de un modelo socioeconómico.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: justificar la existencia de un límite mediante los límites laterales y la continuidad de una función a trozos mediante su definición.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, empleando el límite y las asíntotas en el análisis de funciones económicas (coste medio, saturación de mercado, capacidad de carga de una población).

Operadores:calculaanalizaestudiajustificainterpretarazonaclasificarelacionacomentalocaliza

nivel básico

Como contenido del bloque de Análisis de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II, se exige calcular límites de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas resolviendo las indeterminaciones habituales (0/0, ∞/∞, ∞−∞, 1^∞), estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, clasificar sus discontinuidades y determinar sus asíntotas verticales y horizontales.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad de ciencias sociales consiste en INTERPRETAR cada resultado en su contexto: leer un límite en el infinito como la tendencia a largo plazo de un modelo (saturación, capacidad de carga, coste medio que se estabiliza), determinar parámetros para que un modelo definido a trozos (tarifa, impuesto, fianza) sea continuo y argumentar con rigor mediante límites laterales.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Límites y continuidad

Concepto de límite: en un punto, lateral y en el infinito#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (límite de una función en un punto y en el infinito, y límites laterales)

El límite formaliza la idea de «acercarse». Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a es L cuando, al tomar valores de x cada vez más próximos a a (sin llegar a ser a), las imágenes f(x) se aproximan tanto como queramos a L; lo escribimos «límite cuando x → a de f(x) = L». Lo decisivo es que el límite describe el COMPORTAMIENTO de la función en un entorno del punto, no el valor f(a): la función puede no estar definida en a y, aun así, tener límite. En las ciencias sociales esa distinción es muy natural: podemos preguntar a qué tiende el coste por unidad cuando la producción se acerca a un valor, aunque ese valor exacto no se haya alcanzado nunca (Fig. 1).

Límite en un punto frente al valor de la función

Como a un punto a se puede llegar desde dos lados, se definen los «límites laterales». El límite por la izquierda (x → a⁻) considera solo valores menores que a; el límite por la derecha (x → a⁺), solo valores mayores. El resultado fundamental es el «criterio de existencia del límite»: existe el límite de f en a, y vale L, si y solo si existen ambos límites laterales y coinciden con ese valor L. Si los laterales son distintos, el límite no existe; por eso, ante una función definida a trozos —omnipresente en modelos de tarifas e impuestos— lo primero es calcular los dos laterales por separado en cada punto de empalme.

El límite puede ser «infinito». Decimos que el límite cuando x → a es +∞ cuando f(x) crece sin tope al acercarnos a a (y −∞ si decrece sin tope). No significa que la función «valga infinito» en a —infinito no es un número—, sino que su crecimiento no está acotado. Este caso es el que produce una «asíntota vertical» en x = a, idea que desarrollaremos más adelante: aparece, por ejemplo, en el coste medio (100 + 5x)/x cuando la producción x se acerca a cero, donde el reparto del coste fijo entre poquísimas unidades dispara el coste por unidad.

El límite «en el infinito» estudia qué le ocurre a f(x) cuando la variable se hace arbitrariamente grande, x → +∞ (o muy negativa, x → −∞). Es el límite ESTRELLA de las ciencias sociales, porque describe la tendencia a largo plazo de un modelo. El resultado puede ser un número finito L —la función se estabiliza y aparece una «asíntota horizontal» y = L, lo que se interpreta como saturación, techo de mercado o capacidad de carga—, puede ser ±∞ (crecimiento sin tope) o puede no existir (oscilación). Distinguir el límite en un punto del límite en el infinito es esencial: el primero describe un comportamiento local; el segundo, una tendencia global.

Rigor histórico: durante más de un siglo el cálculo funcionó con infinitésimos manejados de forma intuitiva. Fue Augustin-Louis Cauchy quien, en el siglo XIX, fundó el análisis sobre la noción de límite, y Karl Weierstrass quien le dio la definición precisa con épsilon y delta: el límite es L cuando, para cada margen de error ε > 0 que fijemos en el eje vertical, existe un entorno (un δ > 0) en el eje horizontal tal que, si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε. Esa «definición épsilon-delta» garantiza que «acercarse tanto como se quiera» tiene un significado matemático exacto; en este curso la usamos de forma intuitiva, pero conviene saber que detrás del símbolo hay una definición rigurosa.

Ejemplo resuelto

Límites de un coste medio: en x → 0⁺ y en el infinito

El coste medio de fabricar x unidades es C(x) = (100 + 5x)/x euros por unidad (x > 0). Calcula el límite de C(x) cuando x → 0⁺ y cuando x → +∞ e interpreta cada resultado.

1. Reescribir el coste medio
Separando la fracción, C(x) = 100/x + 5: un término fijo repartido (100/x) más el coste variable por unidad (5).
2. Límite cuando x → 0⁺
Al producir poquísimas unidades, el término 100/x se dispara hacia +∞; el coste por unidad crece sin tope.
3. Límite cuando x → +∞
Al producir muchísimas unidades, 100/x → 0 y queda solo el coste variable 5.
4. Interpretación
x = 0 es una asíntota vertical (producir muy poco es carísimo por unidad) e y = 5 es una asíntota horizontal (a la larga el coste por unidad tiende a los 5 € del coste variable).

Resultado: El límite cuando x → 0⁺ es +∞ (coste por unidad disparado al producir muy poco) y el límite cuando x → +∞ es 5 €/unidad (a largo plazo el coste fijo se diluye y el coste medio tiende al coste variable).

Errores frecuentes

Confundir el límite de f en a con el valor f(a): el límite existe si los laterales coinciden, aunque la función no esté definida en a o tome allí otro valor.
Escribir «el límite es ∞» como si infinito fuera un número o un resultado «definido»; lo correcto es decir que la función no está acotada y que el límite es infinito (no finito).
Olvidar comprobar los dos límites laterales y dar por existente un límite que en realidad no existe porque los laterales difieren (error muy frecuente en funciones a trozos).

Repaso activo

El coste medio de fabricar x unidades de un producto es C(x) = (100 + 5x)/x euros por unidad, con x > 0. Interpreta y calcula el límite de C(x) cuando x → 0⁺ y el límite cuando x → +∞, y explica qué significa cada uno en términos económicos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Cálculo de límites e indeterminaciones en funciones usuales#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida y Sentido algebraico (resolución de las principales indeterminaciones en funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas)

Mapa de las indeterminaciones y sus técnicas

Cuando la función es continua donde la evaluamos, el cálculo del límite es inmediato: basta SUSTITUIR. El «álgebra de límites» garantiza que el límite de una suma, un producto, un cociente o una potencia es la suma, el producto, el cociente o la potencia de los límites, siempre que las operaciones tengan sentido (por ejemplo, que el denominador no se anule). El problema empieza cuando, al sustituir, aparece una «indeterminación»: una expresión cuyo valor no queda decidido por las reglas usuales y que exige un trabajo previo para resolverla. En el currículo de ciencias sociales se trabajan las indeterminaciones en funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas usuales (Fig. 3).

La indeterminación «cociente cero entre cero» (0/0) aparece típicamente en cocientes de polinomios con un factor común. La técnica estándar es FACTORIZAR numerador y denominador y simplificar el factor que se anula; si hay raíces, ayuda multiplicar por el «conjugado». Tras simplificar, se vuelve a sustituir. Es la indeterminación detrás de las discontinuidades evitables que veremos en la siguiente sección: un factor que se cancela deja un «hueco» reparable en la gráfica.

La indeterminación «infinito entre infinito» (∞/∞) es la más frecuente en los límites en el infinito de funciones racionales, y la más útil en modelización porque describe la tendencia a largo plazo. La regla práctica compara los grados: si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞; si es menor, el límite es 0; y si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Equivale a dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x. Una demanda o una cuota de mercado que sigue un modelo racional de grados iguales se estabiliza así en un techo.

La indeterminación «infinito menos infinito» (∞ − ∞) surge al restar dos expresiones que tienden ambas a infinito; se resuelve operando para transformarla en otra forma tratable: reduciendo a común denominador, sacando factor común o multiplicando por el conjugado cuando hay raíces. La indeterminación «uno elevado a infinito» (1^∞) es característica de límites con exponente —frecuentes en modelos de interés compuesto y crecimiento continuo— y se resuelve con el «número e», recordando que el límite cuando x → ∞ de (1 + 1/x)^x es e, o bien tomando logaritmos para bajar el exponente.

Conviene además recordar el comportamiento en el infinito de las funciones usuales en ciencias sociales: una exponencial creciente (a^x con a > 1, como un capital a interés compuesto) tiende a +∞ y crece MÁS DEPRISA que cualquier polinomio; una exponencial con base entre 0 y 1 (una desintegración o una depreciación) tiende a 0; y un logaritmo ln x tiende a +∞ pero crece MUY lentamente y no tiene asíntota horizontal. Un cuadro mental claro evita errores: 0/0 → factorizar/conjugado; ∞/∞ → comparar grados o dividir por la mayor potencia; ∞ − ∞ → operar/conjugado; 1^∞ → recurrir a e. Y, sobre todo, hay que distinguir las VERDADERAS indeterminaciones de las que no lo son: «número distinto de cero entre cero» NO es indeterminación, sino que da ±∞ (con el signo fijado por los laterales).

\lim_{x \to \pm\infty}\frac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \begin{cases} \pm\infty & n > m \\[2pt] \dfrac{a_n}{b_m} & n = m \\[2pt] 0 & n < m \end{cases}

Límite de un cociente de polinomios en el infinito (∞/∞)

Compara el grado n del numerador con el grado m del denominador. Si n>m el límite es infinito; si n=m es el cociente de los coeficientes principales; si n<m es 0.

\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Límite que define el número e (tipo 1^∞)

Es el límite clave para resolver la indeterminación uno elevado a infinito; aparece en modelos de interés compuesto continuo y crecimiento poblacional, y muchos límites con exponente se reducen a esta forma.

Ejemplo resuelto

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados (clientes captados)

El número de clientes que capta una campaña al cabo de x semanas se modeliza por N(x) = 200x/(x + 5). Calcula el límite cuando x → +∞ indicando la indeterminación y la técnica, e interprétalo.

1. Sustitución directa
Al hacer x → +∞, numerador y denominador tienden a +∞: aparece la indeterminación ∞/∞.
2. Comparar grados
El grado del numerador (1) es igual al del denominador (1). En ese caso el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.
3. Dividir por x (justificación)
Dividiendo numerador y denominador por x, el término 5/x tiende a 0, y queda 200/1.
4. Resultado e interpretación
El cociente de los coeficientes principales 200 y 1 confirma el límite: la campaña tiende a captar 200 clientes y no más. y = 200 es una asíntota horizontal: el techo del modelo.

Resultado: El límite vale 200: al tener numerador y denominador el mismo grado, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales (200/1 = 200). La campaña tiende a captar como máximo 200 clientes (asíntota horizontal y = 200, saturación del modelo).

Errores frecuentes

Tratar «k/0» con k ≠ 0 como una indeterminación: no lo es; da ±∞, y hay que estudiar los límites laterales para fijar el signo.
En ∞/∞, comparar mal los grados o quedarse con la indeterminación sin dividir por la mayor potencia ni comparar los coeficientes principales.
Aplicar la regla del número e a un límite que NO es del tipo 1^∞ (por ejemplo, cuando la base no tiende a 1), forzando una fórmula que no corresponde.

Repaso activo

Calcula los dos límites siguientes indicando, en cada caso, qué indeterminación aparece y cómo la resuelves: (a) el límite cuando x → +∞ de (200x)/(x + 5), que modeliza el número de clientes captados a largo plazo por una campaña; (b) el límite cuando x → 3 de (x² − 9)/(x² − 4x + 3).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Continuidad de una función y tipos de discontinuidad#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (continuidad en un punto y en un intervalo; tipos de discontinuidad: evitable y no evitable de salto finito o infinito)

Tipos de discontinuidad

Una función f es «continua en un punto a» cuando se cumplen tres condiciones a la vez: (1) f está definida en a, es decir, existe f(a); (2) existe el límite de f cuando x → a (lo que exige que los dos límites laterales existan y coincidan); y (3) ese límite vale exactamente f(a). De forma compacta, f es continua en a si el límite de f cuando x → a es igual a f(a). Intuitivamente, una función es continua si su gráfica «se traza sin levantar el lápiz»: si falla cualquiera de las tres condiciones, hay una discontinuidad en a (Fig. 4).

Una función es «continua en un intervalo» si lo es en cada uno de sus puntos. Las funciones elementales son continuas en su dominio: los polinomios son continuos en todo R; las funciones racionales, exponenciales y logarítmicas son continuas allí donde están definidas. Por eso, en la práctica, los únicos puntos sospechosos de discontinuidad son los que NO pertenecen al dominio (denominadores que se anulan, logaritmos de cero o de negativos) y los puntos de empalme de las funciones definidas a trozos, que son las protagonistas de los modelos sociales (tarifas, impuestos, fianzas por tramos).

Cuando una función tiene un punto problemático, se «clasifica» la discontinuidad. La discontinuidad es «evitable» cuando el límite en a existe (los laterales coinciden y son finitos) pero o bien la función no está definida en a, o bien f(a) toma un valor distinto de ese límite. Se llama evitable porque bastaría redefinir f(a) igual al límite para «coser» la función y hacerla continua: es el caso del 0/0 que se simplifica, como (x² − 9)/(x − 3) en x = 3.

La discontinuidad es «no evitable» cuando el límite no existe como un número finito único, y se distinguen dos clases. Es «de salto finito» cuando los dos límites laterales existen y son finitos pero DISTINTOS: la gráfica «pega un salto» de altura igual a la diferencia de los laterales. Es exactamente lo que ocurre en un impuesto por tramos mal ajustado o en una tarifa con cambio brusco de precio. Es «de salto infinito» cuando al menos uno de los límites laterales es ±∞: la función se dispara y, en ese punto, aparece una asíntota vertical.

En los modelos socioeconómicos la continuidad tiene una lectura concreta: un modelo continuo describe un fenómeno «sin saltos bruscos» (un precio que cambia de forma gradual), mientras que una discontinuidad de salto finito representa un cambio repentino legítimo (entrar en un nuevo tramo de IRPF, superar el umbral de un descuento). El problema típico de la PAU es ajustar un parámetro para que el modelo a trozos sea continuo: se impone que los límites laterales coincidan con el valor de la función en el punto de empalme, lo que en el contexto significa diseñar la tarifa para que no haya un escalón injusto.

f \text{ es continua en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Definición de continuidad en un punto

Resume las tres condiciones: existe f(a), existe el límite en a (los laterales coinciden) y ambos son iguales.

\text{Salto en } a = \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)

Salto de una discontinuidad

Si los límites laterales son finitos pero distintos, la discontinuidad es de salto finito y su tamaño es la diferencia de los laterales; si la diferencia es 0, la función no salta en a.

Ejemplo resuelto

Discontinuidad evitable: factorizar y simplificar

Estudia la continuidad de g(x) = (x² − 9)/(x − 3) en x = 3 y clasifica la discontinuidad si la hubiera.

1. Valor en x = 3
Al sustituir aparece (9 − 9)/(3 − 3) = 0/0: la función NO está definida en x = 3 (la primera condición de continuidad falla).
2. Calcular el límite (factorizar)
Como x² − 9 = (x − 3)(x + 3), para x ≠ 3 se cancela el factor (x − 3) y queda x + 3.
3. Límite en x = 3
El límite cuando x → 3 de x + 3 es 3 + 3 = 6; los dos laterales coinciden, luego el límite existe y es finito.
4. Clasificar
El límite existe (6) pero la función no está definida en x = 3: la discontinuidad es EVITABLE. Bastaría definir g(3) = 6 para hacerla continua.

Resultado: g tiene una discontinuidad EVITABLE en x = 3: el límite existe y vale 6, pero g(3) no está definida; redefiniendo g(3) = 6 la función se vuelve continua.

Errores frecuentes

Comprobar solo que existe el límite y olvidar las otras dos condiciones (que exista f(a) y que coincida con el límite), o al revés.
Confundir discontinuidad evitable con de salto: si los laterales son finitos pero DISTINTOS, el salto es finito (no evitable); solo es evitable cuando coinciden.
Al ajustar el parámetro de una función a trozos, igualar mal los trozos (usar el trozo equivocado en cada lado del punto de empalme) o no comprobar después que el valor hallado realmente da continuidad.

Repaso activo

El precio (en euros) de aparcar x horas en un parking se modeliza por f(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ 3, y f(x) = a + x si x > 3. Determina el valor del parámetro a para que la tarifa sea continua en x = 3, calculando los límites laterales y f(3), e interpreta el resultado.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Asíntotas y comportamiento asintótico de los modelos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (interpretación del comportamiento asintótico de una función: asíntotas verticales, horizontales y oblicuas en modelos de ciencias sociales)

Los tres tipos de asíntota según los límites

Una «asíntota» es una recta a la que la gráfica de la función se acerca indefinidamente. Las asíntotas describen el comportamiento de la función en sus «extremos»: junto a los puntos donde se dispara y muy lejos, en el infinito. En ciencias sociales son la traducción matemática del «a largo plazo»: una asíntota horizontal es un techo de mercado o una capacidad de carga; una vertical es un punto crítico donde una magnitud se descontrola. Todo el estudio de asíntotas se hace con límites, de modo que esta sección es la aplicación directa de las dos anteriores. Hay tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas.

Las «asíntotas verticales» son rectas de la forma x = a. Aparecen donde el límite de la función cuando x → a es ±∞, es decir, en los puntos que anulan el denominador de una función racional (sin anular a la vez el numerador) o donde un logaritmo tiende a su frontera. Para describirlas con precisión se calculan los DOS límites laterales en a, porque la función puede tender a +∞ por un lado y a −∞ por el otro; esa información da la forma de la curva junto a la asíntota. En el coste medio (100 + 5x)/x, x = 0 es una asíntota vertical.

Las «asíntotas horizontales» son rectas de la forma y = L. Aparecen cuando el límite de la función cuando x → +∞ (o x → −∞) es un número finito L: la función se estabiliza en torno a ese valor. Es el caso más interpretable en ciencias sociales: en un modelo de demanda o de difusión, y = L es el nivel de saturación. En las funciones racionales hay asíntota horizontal cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. En las exponenciales decrecientes (a^x con 0 < a < 1, o e^(−x)), y = 0 es una asíntota horizontal natural.

Las «asíntotas oblicuas» son rectas de la forma y = mx + n con m ≠ 0. Aparecen cuando la función crece como una recta inclinada en el infinito: su pendiente es m, límite cuando x → ∞ de f(x)/x, y su ordenada en el origen es n, límite cuando x → ∞ de (f(x) − mx). En las funciones racionales hay asíntota oblicua exactamente cuando el grado del numerador supera EN UNA UNIDAD al del denominador; la división polinómica da entonces el cociente mx + n (la recta) más un resto que tiende a 0. (En la modalidad de ciencias sociales lo habitual es centrarse en las verticales y las horizontales; la oblicua aparece de forma más puntual.)

Dos avisos importantes. Primero: en una misma dirección (hacia +∞ o hacia −∞), una función NO puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua, porque son comportamientos incompatibles; pero sí puede tener horizontal por un lado y oblicua por el otro. Segundo: el nombre «asíntota» no impide el cruce; una función puede CORTAR su asíntota horizontal u oblicua (lo que no hace es cruzar una vertical, porque ahí no está definida). Lo esencial de una asíntota es la TENDENCIA en el infinito, no la imposibilidad de tocarla; por eso, al comentar un modelo, lo que importa es hacia dónde tiende, no si llega a alcanzar el techo.

\text{A. vertical en } x=a \iff \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

Asíntota vertical

La recta x = a es asíntota vertical si la función tiende a ±∞ al acercarse a a; se estudian los dos límites laterales para conocer el signo por cada lado.

\text{A. horizontal } y=L \iff \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \;(\text{finito})

Asíntota horizontal

La recta y = L es asíntota horizontal si la función tiende a un valor finito L cuando x crece (o decrece) sin tope; en modelización es el nivel de saturación o el techo a largo plazo.

Ejemplo resuelto

Asíntotas de un modelo de difusión

Halla las asíntotas de P(t) = 80t/(t + 4) para t ≥ 0 e interpreta la asíntota horizontal.

1. Asíntota vertical
El denominador se anula en t = −4, pero el modelo solo tiene sentido para t ≥ 0; en el dominio del problema no hay asíntota vertical.
2. Límite en el infinito (∞/∞)
Numerador y denominador tienen el mismo grado (1); el límite es el cociente de los coeficientes principales 80 y 1.
3. Asíntota horizontal
Como el límite en el infinito es 80 (finito), la recta y = 80 es asíntota horizontal del modelo.
4. Interpretación
A largo plazo el porcentaje de hogares con el servicio tiende a 80 %, pero nunca lo alcanza del todo: 80 % es el techo de difusión (saturación) del modelo.

Resultado: El modelo P(t) = 80t/(t + 4) tiene la asíntota horizontal y = 80 y, en su dominio t ≥ 0, ninguna asíntota vertical: la difusión del servicio tiende al 80 % de los hogares a largo plazo sin llegar a superarlo.

Errores frecuentes

Dar como asíntota vertical todo punto que anula el denominador sin comprobar que el numerador no se anula también allí (si ambos se anulan, puede haber discontinuidad evitable, no asíntota).
Calcular la asíntota horizontal solo por un lado y suponer que es la misma por el otro, cuando pueden diferir (especialmente con radicales o con valores absolutos).
Confundir la asíntota horizontal con un valor que la función «alcanza»; es solo la tendencia a largo plazo, y la función puede acercarse a ella sin llegar nunca a igualarla.

Repaso activo

El porcentaje de hogares con un cierto servicio digital, t años después de su lanzamiento, se modeliza por P(t) = 80t/(t + 4) (con t ≥ 0). Determina la asíntota horizontal mediante el límite cuando t → +∞ e interpreta qué representa ese valor para la difusión del servicio.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Continuidad de funciones definidas a trozos en contextos sociales#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida y Sentido algebraico (continuidad de funciones definidas a trozos, frecuentes en modelos de tarifas e impuestos por tramos; comparación de clases de funciones)

Estrategia para la continuidad de una función a trozos

Las funciones «definidas a trozos» asignan una expresión distinta a cada intervalo de la variable, y son el modelo natural de muchísimas situaciones sociales: una tarifa eléctrica con un precio para el consumo básico y otro para el exceso, un impuesto sobre la renta con tramos, el coste de un envío según el peso, una fianza según la duración del contrato. La continuidad de estos modelos en los «puntos de empalme» (las fronteras entre tramos) es la pregunta central: una tarifa continua sube de forma gradual; una con salto cobra un escalón brusco al cruzar el umbral.

Para estudiar la continuidad de una función a trozos solo hay que vigilar dos cosas. En el INTERIOR de cada tramo la función coincide con una función elemental (polinómica, racional, exponencial, logarítmica), continua en su dominio, así que no da problemas. Toda la atención va a los PUNTOS DE EMPALME: en cada uno se calcula el límite por la izquierda (con la expresión del tramo de la izquierda), el límite por la derecha (con la del tramo de la derecha) y el valor de la función en el punto (usando el trozo cuya condición incluye ese punto). La función es continua en el empalme si las tres cantidades coinciden.

El problema más característico de la PAU es de tipo «inverso»: el modelo depende de un PARÁMETRO y se pide su valor para que la función sea continua. La estrategia es imponer la condición de continuidad en el punto de empalme —límite por la izquierda = límite por la derecha = valor de la función— y despejar el parámetro de la ecuación resultante. A veces hay dos parámetros y dos puntos de empalme, lo que conduce a un sistema; otras veces se pide, además, que el modelo cumpla alguna condición de contexto (un precio inicial, un tope).

Cuando NO existe un valor del parámetro que dé continuidad, o cuando el modelo está fijado de antemano, la función presenta una discontinuidad de salto finito en el empalme: el salto es la diferencia de los límites laterales y tiene una lectura directa (cuánto sube de golpe el recibo al pasar de tramo, cuántos euros más paga quien cruza el umbral del impuesto). Interpretar ese salto —si es deseable, si crea una «trampa» en el umbral donde conviene quedarse justo por debajo— es exactamente la clase de razonamiento que conecta el análisis con las ciencias sociales y que el currículo persigue.

Para comparar y elegir bien las clases de funciones modelizadoras conviene tener presente su comportamiento típico, apoyándose si hace falta en herramientas tecnológicas (GeoGebra, Desmos, hoja de cálculo): las lineales modelizan tarifas planas o costes proporcionales; las racionales, costes medios y modelos de saturación; las exponenciales, crecimientos o decrecimientos rápidos (interés compuesto, depreciación); y las logarítmicas, fenómenos que crecen cada vez más despacio (rendimientos decrecientes, percepción). Saber qué clase encaja con cada fenómeno y leer su continuidad y sus asíntotas es la destreza que cierra el bloque de análisis de funciones.

f(x) = \begin{cases} g(x) & x \le a \\[2pt] h(x) & x > a \end{cases}

Función definida a trozos con un punto de empalme en x = a

Cada tramo usa una expresión elemental; toda la atención se concentra en el punto de empalme x = a, donde puede romperse la continuidad.

\text{Continua en } a \iff \lim_{x \to a^-} g(x) = \lim_{x \to a^+} h(x) = f(a)

Condición de continuidad en el empalme

Se impone que el límite por la izquierda (con g), el límite por la derecha (con h) y el valor de la función en a sean iguales; de esta ecuación se despeja el parámetro buscado.

Ejemplo resuelto

Parámetro para que una tarifa por tramos sea continua

El recibo del agua según el consumo x (en m³) es f(x) = 0,5x si 0 ≤ x ≤ 20, y f(x) = b + 0,9(x − 20) si x > 20. Halla b para que la tarifa sea continua en x = 20 e interpreta el resultado.

1. Límite por la izquierda en x = 20
Por la izquierda usamos el primer tramo 0,5x: el límite cuando x → 20⁻ es 0,5 · 20 = 10. Este valor coincide con f(20), pues x = 20 cumple x ≤ 20.
2. Límite por la derecha en x = 20
Por la derecha usamos el segundo tramo b + 0,9(x − 20): al hacer x → 20⁺, el término 0,9(x − 20) → 0 y queda b.
3. Imponer la continuidad
Para que sea continua, el límite por la derecha debe igualar al de la izquierda (y a f(20) = 10).
4. Comprobar e interpretar
Con b = 10 las tres cantidades valen 10: la tarifa es continua en x = 20. No hay escalón al pasar de tramo; el precio del m³ pasa de 0,5 € a 0,9 € de forma gradual, sin un salto brusco en el importe.

Resultado: Con b = 10 la tarifa es continua en x = 20 (límite por la izquierda = límite por la derecha = f(20) = 10 €): al cruzar el umbral de 20 m³ el recibo no da ningún salto, solo cambia la pendiente (el precio por m³ sube de 0,5 € a 0,9 €).

Errores frecuentes

Usar el trozo equivocado a cada lado del punto de empalme al calcular los límites laterales (intercambiar la expresión de la izquierda y la de la derecha).
Imponer continuidad igualando solo los dos trozos y olvidar que el valor de la función en el punto, f(a), debe coincidir también (o evaluar f(a) con el trozo que no incluye ese punto).
Hallar el parámetro y no comprobar después que con ese valor el empalme es realmente continuo (verificar las tres cantidades), ni interpretar el resultado en el contexto del problema.

Repaso activo

El importe (en euros) del recibo del agua según el consumo x (en m³) de un mes se modeliza por f(x) = 0,5x si 0 ≤ x ≤ 20, y f(x) = b + 0,9(x − 20) si x > 20. Determina el valor de b para que la tarifa sea continua en x = 20, calculando los límites laterales y f(20), e interpreta qué significa esa continuidad.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Límites y continuidad

Puntos clave

Límites de un coste medio: en x → 0⁺ y en el infinito

Puntos clave

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados (clientes captados)

Puntos clave

Discontinuidad evitable: factorizar y simplificar

Puntos clave

Asíntotas de un modelo de difusión

Puntos clave

Parámetro para que una tarifa por tramos sea continua

Fuentes

Límites y continuidad

Puntos clave

Límites de un coste medio: en x → 0⁺ y en el infinito

Puntos clave

Indeterminación ∞/∞ por comparación de grados (clientes captados)

Puntos clave

Discontinuidad evitable: factorizar y simplificar

Puntos clave

Asíntotas de un modelo de difusión

Puntos clave

Parámetro para que una tarifa por tramos sea continua

Fuentes