Apuntes · Matemáticas Aplicadas a las CCSS IIES · Selectividad

Derivadas y optimización

Apunte de repaso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre la derivada como razón de cambio y los problemas de optimización. La derivada mide la rapidez con la que una magnitud varía respecto de otra —el coste marginal, la velocidad de crecimiento de una población, la elasticidad— y geométricamente es la pendiente de la recta tangente; con ella se determinan la monotonía, los extremos relativos, la curvatura y los puntos de inflexión de una función, y se resuelven los problemas de optimización (maximizar un beneficio o un ingreso, minimizar un coste) tan característicos del análisis económico. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU): cálculo de derivadas con las reglas habituales y la regla de la cadena, estudio completo de funciones que modelizan magnitudes socioeconómicas y, sobre todo, problemas de optimización con interpretación del resultado en su contexto.

5seccionesca. 32min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0666 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de optimización de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando la derivada: plantear la función objetivo (coste, ingreso, beneficio), hallar sus extremos mediante la derivada y elegir la solución que tenga sentido en el contexto.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: justificar que un punto crítico es máximo o mínimo mediante el signo de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, descartando soluciones sin sentido en el dominio del modelo.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento interpretando la derivada como razón de cambio: coste e ingreso marginal, elasticidad y velocidad de crecimiento de una magnitud social o económica.

Operadores:calculaderivaanalizaestudiajustificainterpretarazonarepresentaoptimizarelacionacomenta

nivel básico

Como contenido del bloque de Análisis de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II, se exige calcular derivadas de las funciones usuales (polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas) aplicando las reglas de derivación —suma, producto, cociente y regla de la cadena—, determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión, y resolver problemas de optimización.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad de ciencias sociales consiste en INTERPRETAR la derivada como razón de cambio en su contexto (coste marginal, ingreso marginal, beneficio marginal, velocidad de crecimiento), en realizar el estudio completo de una función para representarla y, sobre todo, en plantear con rigor problemas de optimización a partir de un enunciado real, comprobar la naturaleza del extremo y validar la solución dentro del dominio del modelo.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Derivadas y optimización

La derivada como razón de cambio: definición e interpretación#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (la derivada como razón de cambio y su aplicación a la modelización de fenómenos de las ciencias sociales)

La derivada nace de una pregunta muy concreta: ¿con qué rapidez cambia una magnitud cuando cambia otra? Si una función y = f(x) relaciona dos magnitudes, la «tasa de variación media» en un intervalo [a, a+h] es el cociente entre lo que varía la salida y lo que varía la entrada, es decir, [f(a+h) − f(a)] / h. Este cociente incremental es la pendiente de la recta SECANTE que une dos puntos de la gráfica. La derivada se obtiene haciendo que el segundo punto se acerque al primero: es el límite de ese cociente cuando h → 0. Cuando ese límite existe y es finito, decimos que la función es DERIVABLE en a y lo escribimos f'(a) (Fig. 1).

Interpretación marginal de la derivada en economía

Geométricamente, al hacer h → 0 la recta secante gira y se convierte en la recta TANGENTE a la curva en el punto (a, f(a)): por eso f'(a) es la pendiente de esa tangente. Esta interpretación es la que da sentido a todo el tema. Si f'(a) > 0 la tangente sube y la función crece en torno a a; si f'(a) < 0 la tangente baja y la función decrece; y si f'(a) = 0 la tangente es horizontal, lo que señala un posible máximo, mínimo o punto de inflexión. La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa a es y = f(a) + f'(a)·(x − a), una recta de pendiente f'(a) que pasa por el punto de tangencia.

En las ciencias sociales y la economía la derivada se lee como «razón de cambio» o «valor marginal»: es lo que aporta aproximadamente la siguiente unidad. Si C(x) es el coste de producir x unidades, C'(x) es el COSTE MARGINAL (el coste aproximado de la unidad x+1); si I(x) es el ingreso, I'(x) es el INGRESO MARGINAL; y si B(x) = I(x) − C(x) es el beneficio, B'(x) es el beneficio marginal. La derivada también mide velocidades de crecimiento: si P(t) es una población, P'(t) es su velocidad de crecimiento instantánea. Esta lectura marginal es la que conecta el cálculo con la economía y la que la PAU pide interpretar.

No toda función es derivable en todos sus puntos. Para que exista f'(a) el límite del cociente incremental debe existir y coincidir por la izquierda y por la derecha; donde la gráfica tiene un «pico» (un punto anguloso, como en y = |x| en x = 0) las pendientes laterales difieren y la función no es derivable, aunque sí sea continua. Hay un resultado clave que conviene tener presente: si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él; el recíproco es FALSO (continuidad no implica derivabilidad). Esto importa en los modelos definidos a trozos, donde primero se garantiza la continuidad y después se estudia si hay derivabilidad en el punto de empalme.

Conviene fijar la notación, porque en los exámenes aparece de varias formas. La derivada de y = f(x) se escribe f'(x), y' o dy/dx; las tres significan lo mismo. La notación dy/dx, debida a Leibniz, recuerda su origen como cociente de incrementos infinitesimales; la notación f'(x), debida a Lagrange, es la más cómoda para encadenar derivadas. El cálculo diferencial fue desarrollado de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII, y fundamentado con rigor mediante el concepto de límite en el siglo XIX. En este curso usamos las reglas de derivación de forma operativa, pero conviene recordar que detrás de f'(x) hay siempre el límite de un cociente incremental.

f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Definición de derivada en un punto (límite del cociente incremental)

Es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento h tiende a cero: la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa a.

y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

Ecuación de la recta tangente en x = a

Recta de pendiente f'(a) que pasa por el punto de tangencia (a, f(a)). Es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese punto.

Ejemplo resuelto

Coste marginal y recta tangente de una función de coste

El coste total de producir x unidades es C(x) = 0,5x² + 20x + 200 euros (x ≥ 0). Calcula el coste marginal C'(x), su valor en x = 30 e interprétalo, y escribe la recta tangente a la curva de coste en x = 30.

1. Función de coste marginal
Derivamos C(x) término a término: la derivada de 0,5x² es x, la de 20x es 20 y la de la constante 200 es 0.
2. Coste marginal en x = 30
Sustituimos x = 30 en la derivada para obtener el coste aproximado de la unidad número 31.
3. Interpretación económica
El coste marginal en x = 30 es 50 €: producir una unidad más a partir de 30 cuesta aproximadamente 50 €. Como C'(x) = x + 20 crece con x, cada unidad adicional resulta más cara (costes marginales crecientes).
4. Punto de tangencia
Calculamos el coste real en x = 30 para tener el punto por el que pasa la tangente.
5. Recta tangente en x = 30
Usamos y = C(30) + C'(30)·(x − 30), con pendiente 50 y punto (30, 1250).

Resultado: El coste marginal es C'(x) = x + 20; en x = 30 vale 50 €/unidad (la unidad 31 cuesta aproximadamente 50 €) y, como crece con x, los costes marginales son crecientes. La recta tangente en x = 30 es y = 50x − 250.

Errores frecuentes

Confundir la tasa de variación MEDIA (pendiente de la secante en un intervalo) con la derivada o tasa de variación INSTANTÁNEA (pendiente de la tangente en un punto), que es el límite de la primera cuando el intervalo se reduce a cero.
Creer que toda función continua es derivable: en un punto anguloso (como y = |x| en x = 0) la función es continua pero NO derivable porque las pendientes laterales no coinciden.
Escribir mal la recta tangente, olvidando el punto de tangencia: la fórmula es y = f(a) + f'(a)·(x − a), con la pendiente f'(a) y pasando por (a, f(a)), no y = f'(a)·x sin más.

Repaso activo

El coste total de producir x unidades de un artículo (en euros) viene dado por C(x) = 0,5x² + 20x + 200, con x ≥ 0. Calcula la función de coste marginal C'(x), halla el coste marginal cuando se producen 30 unidades e interpreta su significado económico. Escribe además la ecuación de la recta tangente a la curva de coste en x = 30.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Derivación de funciones usuales y regla de la cadena#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (cálculo de derivadas de las funciones usuales y aplicación de las reglas de derivación, incluida la regla de la cadena)

Salvo en la definición teórica, en la práctica nunca se deriva mediante el límite del cociente incremental: se usan las DERIVADAS ELEMENTALES y las REGLAS DE DERIVACIÓN. Las derivadas elementales que el currículo de ciencias sociales pide manejar son las de las funciones usuales: la de una constante es 0; la de x^n es n·x^(n−1) (regla de la potencia); la de la exponencial e^x es ella misma, y la de a^x es a^x·ln a; la del logaritmo neperiano ln x es 1/x, y la de log_a x es 1/(x·ln a). Conviene tenerlas memorizadas en una tabla, porque son los «ladrillos» con los que se construye cualquier derivada (Fig. 2).

Tabla de derivadas elementales y reglas de combinación

Para combinar funciones se usan cuatro reglas. La derivada de una SUMA es la suma de las derivadas, (f ± g)' = f' ± g', y una constante multiplicativa sale fuera, (k·f)' = k·f'. La regla del PRODUCTO es (f·g)' = f'·g + f·g' (la derivada del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo). La regla del COCIENTE es (f/g)' = (f'·g − f·g') / g², válida donde g no se anula; el orden del numerador importa, porque la resta no es conmutativa. Con estas tres reglas y la tabla de elementales se derivan ya todas las funciones polinómicas y racionales del temario.

La pieza más potente es la REGLA DE LA CADENA, que deriva funciones COMPUESTAS, es decir, una función dentro de otra: y = f(g(x)). Su enunciado es (f ∘ g)'(x) = f'(g(x))·g'(x): se deriva la función «de fuera» dejando la de dentro intacta y después se multiplica por la derivada de la función «de dentro». Una imagen útil es la de las capas de una cebolla: se va derivando capa a capa, de fuera hacia dentro, multiplicando todas las derivadas. Esta regla es imprescindible en ciencias sociales porque casi todos los modelos de crecimiento son compuestos: un capital a interés continuo es e^(k·t), una difusión sigue ln(1 + 2x), etc.

De la regla de la cadena salen las fórmulas «con función dentro» que conviene reconocer de un vistazo: la derivada de [g(x)]^n es n·[g(x)]^(n−1)·g'(x); la de e^(g(x)) es e^(g(x))·g'(x); la de a^(g(x)) es a^(g(x))·ln a·g'(x); y la de ln(g(x)) es g'(x)/g(x). Esa última, ln(g(x))' = g'(x)/g(x), es especialmente frecuente y se llama a veces «derivada logarítmica»: la derivada de lo de dentro dividida por lo de dentro. Reconocer la estructura compuesta antes de derivar es lo que evita la mayoría de los errores.

Un orden de trabajo seguro evita confusiones: primero se identifica la ESTRUCTURA de la función (¿es una suma, un producto, un cociente, una composición?); después se aplica la regla externa que corresponde; y, si dentro hay otra función, se aplica la regla de la cadena. Cuando se combinan reglas —por ejemplo, un producto en el que uno de los factores es una composición— se derivan por separado y se ensamblan con cuidado. Por último, conviene SIMPLIFICAR el resultado: una derivada bien simplificada facilita enormemente el estudio posterior del signo, que es para lo que casi siempre la vamos a usar.

(f \cdot g)' = f' g + f g' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^{2}}

Reglas del producto y del cociente

La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo; la del cociente, la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado (donde no se anule).

(f \circ g)'(x) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Regla de la cadena (función compuesta)

Se deriva la función exterior dejando intacta la interior y se multiplica por la derivada de la interior. De aquí salen casos como [\,\ln g(x)\,]' = g'(x)/g(x) y [\,e^{g(x)}\,]' = e^{g(x)} g'(x).

Ejemplo resuelto

Combinar producto, cociente y regla de la cadena

Deriva, simplificando, las funciones f(x) = (3x² − 5)·e^x, g(x) = ln(x² + 1) y h(x) = (2x + 1)/(x − 3), indicando las reglas empleadas.

1. f con la regla del producto
f es un producto de u = 3x² − 5 (derivada 6x) y v = e^x (derivada e^x). Aplicamos (u·v)' = u'·v + u·v'.
2. Simplificar f'
Sacamos factor común e^x.
3. g con la regla de la cadena
g = ln(de algo), con función interior x²+1 (derivada 2x). La derivada de ln(u) es u'/u.
4. h con la regla del cociente
h = (2x+1)/(x−3), con numerador derivada 2 y denominador derivada 1. Aplicamos (f'g − fg')/g².
5. Simplificar h'
Desarrollamos el numerador: 2x − 6 − 2x − 1 = −7.

Resultado: f'(x) = e^x·(3x² + 6x − 5) (regla del producto); g'(x) = 2x/(x² + 1) (regla de la cadena sobre el logaritmo); h'(x) = −7/(x − 3)² (regla del cociente). Como −7/(x−3)² es siempre negativa, h es decreciente en todo su dominio.

Errores frecuentes

Olvidar la regla de la cadena: derivar e^(2x) como e^(2x) en vez de 2·e^(2x), o ln(3x) como 1/x en vez de 3/(3x) = 1/x, es decir, no multiplicar por la derivada de lo de dentro.
Equivocar el orden o el signo en la regla del cociente: la fórmula es (f'·g − f·g')/g², con la resta en ese orden y el denominador al cuadrado; invertirlo cambia el resultado.
Aplicar la regla de la potencia a una exponencial: la derivada de a^x NO es x·a^(x−1) (eso vale para x^n), sino a^x·ln a; confundir la base variable con la base constante es un error muy habitual.

Repaso activo

Deriva, simplificando el resultado, las siguientes funciones e indica en cada caso qué reglas has usado: (a) f(x) = (3x² − 5)·e^x; (b) g(x) = ln(x² + 1); (c) h(x) = (2x + 1)/(x − 3).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Monotonía y extremos relativos a partir de la primera derivada#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (determinación, usando la derivación, de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y de los extremos relativos de una función)

La primera derivada es el termómetro del crecimiento. El resultado fundamental es: si f'(x) > 0 en un intervalo, la función es CRECIENTE en él; si f'(x) < 0, es DECRECIENTE. La razón es geométrica: una derivada positiva significa tangente con pendiente positiva (la curva sube) y una derivada negativa, tangente con pendiente negativa (la curva baja). Por tanto, para estudiar la monotonía de una función basta con estudiar el SIGNO de su primera derivada a lo largo del dominio, sin necesidad de evaluar la función misma (Fig. 3).

Tabla de signos de f' y monotonía

Los puntos donde la función puede cambiar de crecer a decrecer (o al revés) son los «puntos críticos» o puntos singulares: aquellos donde f'(x) = 0 (tangente horizontal) o donde f' no existe. Para localizarlos se resuelve la ecuación f'(x) = 0. Estos valores, junto con los puntos donde la función no está definida, dividen la recta real en intervalos; dentro de cada intervalo la derivada mantiene un signo constante, así que basta tomar un valor de prueba en cada uno y mirar el signo de f' allí para saber si la función crece o decrece en todo el intervalo.

Un «extremo relativo» (máximo o mínimo local) es un punto donde la función deja de crecer para empezar a decrecer —máximo— o deja de decrecer para empezar a crecer —mínimo—. El CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA lo decide por el cambio de signo: si f' pasa de positiva a negativa en un punto crítico, hay un MÁXIMO relativo; si pasa de negativa a positiva, hay un MÍNIMO relativo; y si NO cambia de signo (mismo signo a ambos lados), no hay extremo, sino normalmente un punto de inflexión con tangente horizontal. La condición f'(x) = 0 es NECESARIA pero no suficiente: hay que comprobar el cambio de signo.

Es imprescindible distinguir los extremos RELATIVOS (locales: el punto es el más alto o más bajo en su entorno cercano) de los extremos ABSOLUTOS (globales: el más alto o más bajo de toda la función en un dominio dado). En un intervalo cerrado [a, b], los extremos absolutos se buscan comparando el valor de la función en los puntos críticos interiores Y en los extremos del intervalo a y b. Esta distinción es decisiva en optimización: el dueño de una fábrica no quiere un beneficio que sea máximo «en su entorno», sino el mayor posible dentro de su capacidad de producción.

Una forma ordenada y muy fiable de presentar el estudio es la TABLA DE SIGNOS de f': se colocan en una recta los puntos críticos en orden, se anota el signo de f' en cada intervalo y se traza una flecha hacia arriba (creciente) o hacia abajo (decreciente). La tabla deja a la vista, de un golpe, los intervalos de monotonía y la naturaleza de cada extremo. Conviene siempre terminar calculando las COORDENADAS del extremo: la x se obtiene de f'(x) = 0 y la y, sustituyendo esa x en la función ORIGINAL f, no en la derivada; el extremo es el punto (x, f(x)).

f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ creciente} \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ decreciente}

Criterio de monotonía (signo de la primera derivada)

El signo de la primera derivada determina el crecimiento: positiva implica que la función crece; negativa, que decrece. Los puntos donde f' cambia de signo son extremos relativos.

f'(c) = 0 \;\text{ y } f' \text{ pasa de } (+)\text{ a }(-) \Rightarrow \text{máximo en } c

Criterio de la primera derivada para un máximo

Si en un punto crítico c la derivada pasa de positiva a negativa, la función deja de crecer para decrecer: hay un máximo relativo. Si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo.

Ejemplo resuelto

Estudio de la monotonía y los extremos de una cúbica

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 y halla y clasifica sus extremos relativos.

1. Calcular la primera derivada
Derivamos término a término.
2. Puntos críticos: f'(x) = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado, que se simplifica dividiendo entre 3: x² − 4x + 3 = 0, de raíces 1 y 3.
3. Signo de f' en cada intervalo
Tomamos valores de prueba: f'(0) = 9 > 0 (crece en (−∞, 1)); f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3 < 0 (decrece en (1, 3)); f'(4) = 48 − 48 + 9 = 9 > 0 (crece en (3, +∞)).
4. Clasificar los extremos
En x = 1, f' pasa de + a − → máximo; en x = 3, f' pasa de − a + → mínimo.
5. Coordenadas (sustituir en f)
f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 y f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1.

Resultado: La función crece en (−∞, 1) y en (3, +∞) y decrece en (1, 3). Tiene un máximo relativo en el punto (1, 5) y un mínimo relativo en el punto (3, 1).

Errores frecuentes

Dar por hecho que todo punto con f'(x) = 0 es un extremo: la condición es necesaria pero no suficiente; hay que comprobar el cambio de signo de f' (si no cambia, puede ser un punto de inflexión de tangente horizontal).
Calcular la coordenada y del extremo sustituyendo en la DERIVADA f' (donde por definición da 0) en vez de en la función original f, perdiendo así la ordenada real del punto.
Olvidar los puntos donde la función no está definida (por ejemplo, donde se anula un denominador) al construir la tabla de signos, lo que falsea los intervalos de monotonía.

Repaso activo

Dada la función f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, halla y clasifica sus extremos relativos (con sus coordenadas) y construye la tabla de signos de la primera derivada.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Curvatura y puntos de inflexión a partir de la segunda derivada#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (estudio de la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión a partir de la segunda derivada)

La segunda derivada f'' (la derivada de f') informa de cómo se CURVA la gráfica. El criterio es: si f''(x) > 0 en un intervalo, la función es CÓNCAVA HACIA ARRIBA (su gráfica tiene forma de valle ∪, como una taza que recoge agua); si f''(x) < 0, es CÓNCAVA HACIA ABAJO (forma de loma ∩). La razón es que f'' mide la variación de la pendiente: si f'' > 0 la pendiente crece (la curva «abre hacia arriba») y si f'' < 0 la pendiente decrece (la curva «abre hacia abajo»). Por la doble terminología que circula en los libros, conviene fijar la convención clara: ∪ con f'' > 0 y ∩ con f'' < 0 (Fig. 4).

Concavidad, convexidad y punto de inflexión

Un «punto de inflexión» es donde la gráfica CAMBIA de curvatura: pasa de ∪ a ∩ o de ∩ a ∪. Como el cambio de curvatura exige un cambio de signo de f'', los candidatos a punto de inflexión son los valores donde f''(x) = 0 (o donde f'' no existe). Igual que con los extremos, la condición f''(x) = 0 es NECESARIA pero no suficiente: hay que comprobar que f'' realmente CAMBIA de signo a ambos lados del punto. Si f'' = 0 pero no cambia de signo, no hay inflexión.

La segunda derivada ofrece un atajo para clasificar extremos: el CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Si c es un punto crítico (f'(c) = 0) y además f''(c) < 0, entonces en c hay un MÁXIMO (la curva abre hacia abajo, forma de loma); si f''(c) > 0, hay un MÍNIMO (forma de valle). Es a menudo más rápido que estudiar el cambio de signo de f', pero tiene un límite: si f''(c) = 0 el criterio NO decide nada y hay que volver al estudio del signo de la primera derivada. Ambos criterios son válidos; conviene dominar los dos y elegir el más cómodo en cada caso.

En economía, la curvatura tiene una lectura muy elocuente. En una función de coste, f'' > 0 (convexa hacia arriba) significa COSTES MARGINALES CRECIENTES —cada unidad adicional cuesta más que la anterior, situación típica con rendimientos decrecientes—; en una curva de beneficio, un punto de inflexión puede marcar el cambio de ritmo del crecimiento. En modelos de difusión o adopción (una innovación, un rumor), el punto de inflexión señala el instante de MÁXIMA VELOCIDAD de crecimiento: el momento en que la magnitud crece más deprisa, aunque siga creciendo después más despacio.

El estudio completo de una función reúne las dos derivadas: con f' se obtienen monotonía y extremos; con f'', curvatura y puntos de inflexión. Para representar gráficamente una función que modeliza una magnitud social o económica se combinan dominio, cortes con los ejes, asíntotas (del tema de límites), el estudio de f' y el de f''. La coordenada y de un punto de inflexión, como la de un extremo, se calcula sustituyendo su x en la función ORIGINAL f. Tener a la vista las dos tablas de signos —la de f' y la de f''— permite dibujar la curva con todos sus rasgos correctamente situados.

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{cóncava hacia arriba } (\cup) \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{cóncava hacia abajo } (\cap)

Criterio de curvatura (signo de la segunda derivada)

El signo de la segunda derivada determina la curvatura: positiva, forma de valle ∪; negativa, forma de loma ∩. Donde f'' cambia de signo hay un punto de inflexión.

f'(c) = 0,\; f''(c) > 0 \Rightarrow \text{mínimo} \qquad f'(c) = 0,\; f''(c) < 0 \Rightarrow \text{máximo}

Criterio de la segunda derivada para clasificar extremos

En un punto crítico, si la segunda derivada es positiva hay un mínimo (∪) y si es negativa, un máximo (∩). Si f''(c) = 0 el criterio no decide y se recurre al signo de f'.

Ejemplo resuelto

Curvatura, inflexión y clasificación de extremos con f''

Para f(x) = x³ − 3x² + 2, estudia la concavidad y convexidad, halla el punto de inflexión y clasifica los extremos relativos con el criterio de la segunda derivada.

1. Primera y segunda derivada
Derivamos dos veces.
2. Puntos críticos (f' = 0)
3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0, luego x = 0 y x = 2.
3. Clasificar con f''
f''(0) = −6 < 0 → máximo en x = 0; f''(2) = 12 − 6 = 6 > 0 → mínimo en x = 2.
4. Curvatura y punto de inflexión
f''(x) = 6x − 6 = 0 da x = 1. A la izquierda (x = 0) f'' < 0 (∩) y a la derecha (x = 2) f'' > 0 (∪): hay cambio de curvatura, luego x = 1 es punto de inflexión.
5. Coordenadas (sustituir en f)
f(0) = 2 (máx.), f(2) = 8 − 12 + 2 = −2 (mín.), f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 (inflexión).

Resultado: La función es cóncava hacia abajo (∩) en (−∞, 1) y cóncava hacia arriba (∪) en (1, +∞), con punto de inflexión en (1, 0). Tiene un máximo relativo en (0, 2) y un mínimo relativo en (2, −2).

Errores frecuentes

Confundir la convención de concavidad/convexidad: con f'' > 0 la gráfica tiene forma de valle ∪ (cóncava hacia arriba), no de loma; conviene fijar y mantener una única convención durante todo el ejercicio.
Afirmar que hay punto de inflexión solo porque f''(x) = 0, sin comprobar que f'' cambia de signo a ambos lados (si no cambia, no hay inflexión).
Aplicar el criterio de la segunda derivada cuando f''(c) = 0 y dar una respuesta: en ese caso el criterio NO decide y hay que recurrir al signo de la primera derivada.

Repaso activo

Dada la función f(x) = x³ − 3x² + 2, estudia su concavidad y convexidad, halla su punto de inflexión (con coordenadas) y, usando el criterio de la segunda derivada, clasifica sus extremos relativos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Problemas de optimización en contextos económicos y sociales#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido de la medida (resolución de problemas de optimización en contextos económicos y sociales —coste, ingreso, beneficio— e interpretación del resultado en su contexto)

Optimizar es encontrar el valor de una variable que hace MÁXIMA o MÍNIMA una magnitud: el nivel de producción que maximiza el beneficio, las dimensiones que minimizan el coste de un envase, el precio que maximiza el ingreso. Es la aplicación estrella de la derivada en ciencias sociales y la que casi siempre aparece en la Selectividad. La idea de fondo es directa: la magnitud que se quiere optimizar se expresa como una FUNCIÓN, la «función objetivo», y su máximo o mínimo se busca con las herramientas de las secciones anteriores —puntos críticos donde la derivada se anula y comprobación de su naturaleza— (Fig. 5).

Procedimiento para resolver un problema de optimización

El éxito de un problema de optimización está en el PLANTEAMIENTO, y conviene seguir siempre los mismos pasos. Primero, identificar la magnitud a optimizar y nombrar las variables. Segundo, escribir la función objetivo; si depende de DOS variables, usar la «condición» o «ligadura» del enunciado (un perímetro fijo, un presupuesto, una relación entre cantidades) para despejar una variable en función de la otra y dejar la función objetivo con UNA SOLA variable. Tercero, fijar el DOMINIO con sentido (las cantidades suelen ser positivas: x ≥ 0, una longitud no puede ser negativa). Solo después se deriva.

Una vez se tiene la función objetivo de una variable, se aplica el procedimiento conocido: se calcula la derivada, se resuelve f'(x) = 0 para hallar los puntos críticos y se COMPRUEBA su naturaleza (máximo o mínimo) por el signo de f' o, más rápido, por el signo de f''. Este paso de comprobación es OBLIGATORIO: anular la derivada no garantiza que el punto sea el extremo buscado, y un examen exige justificar que se trata efectivamente de un máximo (si se maximiza) o de un mínimo (si se minimiza). Es un error grave dar por bueno un punto crítico sin verificar de qué tipo es.

El último paso, y el que distingue la modalidad de ciencias sociales, es la INTERPRETACIÓN en el contexto. Hay que responder a la pregunta del enunciado con sus unidades y comprobar que la solución tiene sentido: descartar las soluciones de f'(x) = 0 que caigan fuera del dominio (una cantidad negativa, por ejemplo) y, si el dominio es un intervalo cerrado, no olvidar comparar también los EXTREMOS del intervalo, porque el óptimo absoluto puede estar en una frontera. Una solución matemáticamente correcta pero sin sentido económico (producir −5 unidades) está mal: el contexto manda.

En economía, muchos problemas de optimización se traducen al lenguaje marginal. El BENEFICIO B(x) = I(x) − C(x) es máximo donde B'(x) = 0, es decir, donde I'(x) = C'(x): el INGRESO MARGINAL IGUALA AL COSTE MARGINAL, una de las reglas más conocidas de la microeconomía. El COSTE MEDIO C(x)/x es mínimo donde su derivada se anula, que resulta ser donde el coste marginal iguala al coste medio. Reconocer estas estructuras ayuda a plantear el problema, pero la herramienta es siempre la misma: derivar la función objetivo, anular la derivada, comprobar la naturaleza del extremo e interpretar el resultado con unidades.

B(x) = I(x) - C(x) \;\text{ máximo cuando }\; B'(x) = 0 \iff I'(x) = C'(x)

Maximización del beneficio: ingreso marginal = coste marginal

El beneficio es la diferencia entre ingreso y coste; se maximiza donde su derivada se anula, lo que equivale a igualar el ingreso marginal y el coste marginal. Hay que comprobar que el punto es máximo (por ejemplo, con B'' < 0).

\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x},\qquad \overline{C}\,'(x) = 0

Coste medio y su minimización

El coste medio o coste por unidad es el coste total dividido entre el número de unidades; se minimiza anulando su derivada, que ocurre donde el coste marginal iguala al coste medio.

Ejemplo resuelto

Maximizar el beneficio de una empresa

El beneficio (en miles de euros) de fabricar y vender x cientos de unidades es B(x) = −x² + 40x − 100, con 0 ≤ x ≤ 40. Halla el nivel de producción que maximiza el beneficio, el beneficio máximo y justifica que es un máximo.

1. Función objetivo y dominio
La magnitud a optimizar ya viene dada: B(x) = −x² + 40x − 100, definida en el intervalo cerrado [0, 40].
2. Derivar y anular
Calculamos B'(x) y resolvemos B'(x) = 0.
3. Comprobar la naturaleza del extremo
La segunda derivada es constante y negativa, luego en x = 20 hay un máximo.
4. Comparar con los extremos del intervalo
B(0) = −100, B(40) = −1600 + 1600 − 100 = −100 y B(20) = −400 + 800 − 100 = 300. El mayor es B(20) = 300.
5. Interpretar con unidades
x = 20 cientos de unidades = 2000 unidades; el beneficio máximo es 300 miles de euros = 300 000 €.

Resultado: El beneficio se maximiza fabricando y vendiendo x = 20 cientos de unidades (2000 unidades), con un beneficio máximo de 300 miles de euros, es decir, 300 000 €. Es un máximo porque B''(x) = −2 < 0, y supera al valor del beneficio en los extremos del intervalo (−100 en x = 0 y en x = 40).

Errores frecuentes

Resolver f'(x) = 0 y dar el resultado sin comprobar si el punto crítico es máximo o mínimo: la justificación de la naturaleza del extremo (por f' o por f'') es obligatoria.
No usar la condición o ligadura del enunciado y quedarse con una función objetivo de dos variables que no se puede derivar; o despejar mal la variable secundaria.
Aceptar soluciones sin sentido en el contexto (una longitud o una cantidad negativa) o salir del dominio del modelo; y olvidar comparar con los extremos del intervalo cuando el dominio es cerrado.

Repaso activo

Una empresa estima que el beneficio (en miles de euros) obtenido al fabricar y vender x cientos de unidades de un producto es B(x) = −x² + 40x − 100, con 0 ≤ x ≤ 40. Determina cuántos cientos de unidades debe fabricar y vender para maximizar el beneficio, calcula ese beneficio máximo y justifica que efectivamente se trata de un máximo.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Derivadas y optimización

Puntos clave

Coste marginal y recta tangente de una función de coste

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Combinar producto, cociente y regla de la cadena

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Fuentes

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