Apuntes · Dibujo Técnico IIES · Selectividad

Curvas cónicas

Las curvas cónicas —elipse, hipérbola y parábola— son las secciones planas de una superficie cónica de revolución y, a la vez, lugares geométricos definidos por sus focos y directrices. Este tema, perteneciente al bloque de Geometría métrica de Dibujo Técnico II, te enseña a definir cada cónica por sus propiedades (focos, directrices, ejes, vértices, excentricidad y radios vectores), a construirla por puntos y a trazar sus rectas tangentes con regla y compás (y, como apoyo, con herramientas digitales). Es un contenido nuclear y muy rentable en la Selectividad/PAU, porque combina razonamiento geométrico, precisión en el trazado y conexión con los sistemas de representación, donde las cónicas reaparecen como secciones de conos y cilindros y como proyección de circunferencias.

5seccionesca. 29min de lectura3competenciasNivelEstándar 3 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0333 / 10

Perfil de examen

CE2 · Resolver gráficamente construcciones y transformaciones de las curvas cónicas utilizando los fundamentos de la geometría métrica, mediante razonamientos inductivos, deductivos y lógicos.5.2.4 · Trazar las curvas cónicas (elipse, hipérbola y parábola) y sus rectas tangentes aplicando sus propiedades y los métodos de construcción, con y sin herramientas digitales, valorando la precisión del trazado.CE1 · Identificar y recrear construcciones geométricas basadas en cónicas presentes en piezas industriales, en la arquitectura y en referentes técnicos.

Operadores:defineexplicaconstruyetrazacalculajustificademuestrarelacionainterpretarazonalocaliza

nivel básico

Las cónicas no forman parte de las materias comunes; pertenecen a la geometría métrica de Dibujo Técnico II, materia de modalidad. El nivel básico exigible es reconocer cada cónica por su definición como lugar geométrico y por su excentricidad.

nivel avanzado

Como materia de modalidad orientada a estudios técnicos, se profundiza en la construcción rigurosa por puntos, en el trazado de rectas tangentes mediante las circunferencias focales y en la generación de las cónicas por homología/afinidad respecto a la circunferencia, con limpieza y precisión gráfica.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Curvas cónicas

La elipse: definición, propiedades y construcción por puntos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas (tangencias y curvas)

La elipse es la curva cónica de mayor presencia en el dibujo técnico: aparece como proyección de toda circunferencia vista en escorzo, como sección de un cilindro o de un cono por un plano oblicuo, y en multitud de piezas y elementos arquitectónicos (arcos rebajados, óvalos). Su definición fundamental es la bifocal: la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos F y F', es constante e igual a la longitud del eje mayor, 2a. La Fig. 1 muestra sus elementos esenciales: los focos, el eje mayor AB (de longitud 2a), el eje menor CD (de longitud 2b) y el centro O, donde ambos ejes se cortan perpendicularmente.

Elipse: ejes, focos y semiejes

De la definición bifocal se deducen todas las relaciones métricas. Cada distancia de un punto P de la curva a un foco se llama radio vector; los dos radios vectores de cualquier punto suman 2a. Llamando a al semieje mayor (OA), b al semieje menor (OC) y c a la semidistancia focal (OF), los extremos del eje menor cumplen el triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a, pues desde C ambos radios vectores miden a y la suma es 2a; de ahí la relación pitagórica a² = b² + c², verdadera columna vertebral de la elipse. Conocidos dos de los tres parámetros, el tercero queda determinado.

La excentricidad mide cuánto se aparta la elipse de la circunferencia y se define como e = c/a. En la elipse siempre se cumple 0 ≤ e < 1: cuanto más cerca de 0 (focos próximos al centro) más redonda es; cuanto más cerca de 1 (focos próximos a los vértices) más alargada o «aplastada». El caso límite e = 0 corresponde a la circunferencia (c = 0, los dos focos coinciden con el centro y a = b). Además de los focos, cada cónica posee directrices, rectas perpendiculares al eje situadas a distancia a/e del centro, respecto de las cuales la razón distancia-al-foco / distancia-a-la-directriz es constante e igual a e (definición foco-directriz, común a las tres cónicas).

El método de construcción por puntos más habitual es el de los arcos (o de las diferencias de radios vectores) y se apoya directamente en la definición bifocal. Sobre el eje mayor AB se toman puntos auxiliares 1, 2, 3… entre los focos; cada uno divide la longitud 2a en dos segmentos. Con centro en F y radio A1 (uno de los segmentos) se traza un arco, y con centro en F' y radio B1 (el segmento complementario, de modo que la suma sea 2a) otro arco; su intersección es un punto de la elipse, pues sus radios vectores suman A1 + B1 = AB = 2a. Repitiendo con cada punto auxiliar y por simetría respecto de ambos ejes se obtienen suficientes puntos para trazar la curva con plantilla. La Fig. 2 detalla este procedimiento. Otra herramienta clásica es la circunferencia principal (la de centro O y radio a), lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes.

Construcción de la elipse por arcos (método de los radios vectores)

PF + PF' = 2a

Definición bifocal de la elipse

La suma de los radios vectores de cualquier punto P de la elipse es constante e igual a la longitud del eje mayor.

a^2 = b^2 + c^2

Relación entre semiejes y distancia focal

En la elipse el semieje mayor a es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos b (semieje menor) y c (semidistancia focal).

e = \dfrac{c}{a}, \qquad 0 \le e < 1

Excentricidad de la elipse

Cociente entre la semidistancia focal y el semieje mayor; siempre menor que 1. Si e = 0 la elipse es una circunferencia.

Ejemplo resuelto

Cálculo de parámetros y focos de una elipse

Una elipse tiene el eje mayor AB = 100 mm y la semidistancia focal c = 30 mm. Calcula el semieje mayor a, el semieje menor b y la excentricidad e, e indica a qué distancia del centro se sitúan los focos.

Semieje mayor
El semieje mayor es la mitad del eje mayor: a = AB/2 = 100/2 = 50 mm.
Semieje menor
De la relación a² = b² + c² se despeja b = √(a² − c²) = √(50² − 30²) = √(2500 − 900) = √1600.
Excentricidad
Se aplica e = c/a = 30/50 = 0,6; al ser menor que 1 confirma que la curva es una elipse.
Posición de los focos
Los focos están sobre el eje mayor, simétricos respecto del centro, a una distancia c = 30 mm de O a cada lado.

Resultado: a = 50 mm, b = 40 mm, c = 30 mm y e = 0,6. Los focos F y F' se sitúan sobre el eje mayor a 30 mm del centro a cada lado; los radios vectores de cualquier punto suman 2a = 100 mm.

Errores frecuentes

Confundir la relación pitagórica de la elipse con la de la hipérbola: en la elipse es a² = b² + c² (a es la mayor), mientras que en la hipérbola es c² = a² + b² (c es la mayor). Aplicar la fórmula equivocada coloca mal los focos.
Olvidar que la suma de los dos radios vectores de cualquier punto de la elipse es 2a (la longitud del eje mayor, no del semieje), lo que lleva a trazar arcos con radios que no suman correctamente.

Repaso activo

Una elipse tiene el eje mayor AB = 80 mm y el eje menor CD = 48 mm. Calcula los semiejes a y b, la semidistancia focal c y la excentricidad e; sitúa los focos sobre el eje mayor y construye la curva por el método de los arcos tomando al menos tres puntos auxiliares entre los focos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La hipérbola: definición, asíntotas y construcción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas (tangencias y curvas)

La hipérbola es la cónica abierta de dos ramas. Su definición bifocal es el reverso de la de la elipse: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos focos fijos F y F' es constante (en valor absoluto) e igual a 2a, la longitud del eje real (o transverso). Mientras en la elipse se suman los radios vectores, en la hipérbola se restan; por eso la curva no se cierra y se aleja indefinidamente. La Fig. 3 muestra sus elementos: los focos, los vértices A y B sobre el eje real, el centro O y, sobre todo, las asíntotas, las rectas a las que cada rama se aproxima sin tocarlas en el infinito.

Hipérbola: vértices, focos y asíntotas

La relación métrica de la hipérbola invierte el papel de los parámetros respecto de la elipse. Llamando a al semieje real (distancia OA del centro a un vértice), c a la semidistancia focal (OF) y b al semieje imaginario, la relación pitagórica es c² = a² + b²; aquí c es la hipotenusa y, por tanto, c > a siempre. El semieje imaginario b no corta a la curva, pero gobierna la inclinación de las asíntotas: estas pasan por el centro con pendiente ±b/a. Geométricamente, b se obtiene como el cateto que, junto a a, da c, y queda determinado por la circunferencia de radio c centrada en un vértice.

La excentricidad de la hipérbola es de nuevo e = c/a, pero ahora, como c > a, se cumple e > 1 en toda hipérbola: cuanto mayor es e, más abiertas (más separadas del eje real) están las ramas. Un caso notable es la hipérbola equilátera, en la que a = b: entonces las asíntotas son perpendiculares entre sí (pendientes +1 y −1, es decir, a 45°) y la excentricidad vale exactamente √2. Las asíntotas son una herramienta de trazado de primer orden: se construyen levantando en el vértice A una perpendicular al eje de longitud b; la recta que une el centro con ese extremo es una asíntota, y la otra es su simétrica.

Para construir la hipérbola por puntos se emplea el método de los arcos análogo al de la elipse, pero con diferencias de radios. Sobre el eje real, fuera del segmento entre los focos, se toman puntos auxiliares 1, 2, 3…; para cada uno se trazan dos arcos, uno con centro en F y otro con centro en F', cuyos radios difieren exactamente en 2a (por ejemplo, radios A1 y B1 con A1 − B1 = 2a). Su intersección es un punto de la hipérbola. Las asíntotas sirven de guía para cerrar el trazado, ya que delimitan la región hacia la que se curvan las ramas; la Fig. 4 resume tanto el trazado de las asíntotas como la obtención de puntos por arcos.

Trazado de las asíntotas a partir del rectángulo de semiejes

\left| PF - PF' \right| = 2a

Definición bifocal de la hipérbola

El valor absoluto de la diferencia de los radios vectores de cualquier punto es constante e igual a la longitud del eje real.

c^2 = a^2 + b^2

Relación entre semiejes y distancia focal

En la hipérbola la semidistancia focal c es la hipotenusa; por eso c > a siempre.

y = \pm \dfrac{b}{a}\,x \qquad (\text{asíntotas}); \qquad e = \dfrac{c}{a} > 1

Asíntotas y excentricidad

Las asíntotas pasan por el centro con pendiente ±b/a; la excentricidad es siempre mayor que 1. Si a = b (hipérbola equilátera) las asíntotas son perpendiculares y e = √2.

Ejemplo resuelto

Parámetros y asíntotas de una hipérbola

Una hipérbola tiene los focos en F'(−13, 0) y F(13, 0) y los vértices en A(5, 0) y B(−5, 0). Determina los semiejes a y b, la excentricidad e y la pendiente de las asíntotas.

Semieje real
El vértice A está a 5 unidades del centro O, luego a = OA = 5.
Semidistancia focal
El foco F está a 13 unidades de O, luego c = OF = 13.
Semieje imaginario
De c² = a² + b² se despeja b = √(c² − a²) = √(169 − 25) = √144 = 12.
Excentricidad
e = c/a = 13/5 = 2,6; al ser mayor que 1 confirma que es una hipérbola.
Asíntotas
Pasan por el centro con pendiente ±b/a = ±12/5.

Resultado: a = 5, b = 12, c = 13, e = 2,6. Las asíntotas son las rectas y = ±(12/5)x. Como a ≠ b, no es equilátera; las ramas se abren bastante (excentricidad elevada).

Errores frecuentes

Aplicar a la hipérbola la relación a² = b² + c² de la elipse: en la hipérbola es c² = a² + b² y la hipotenusa es c, no a; el error sitúa mal focos y asíntotas.
Sumar los radios vectores en lugar de restarlos al construir por arcos: en la hipérbola se busca |PF − PF'| = 2a, no la suma.

Repaso activo

Una hipérbola tiene los vértices separados una distancia AB = 60 mm y los focos separados FF' = 100 mm. Calcula a, c, b y la excentricidad e; traza las asíntotas y construye una rama de la curva por el método de las diferencias de radios vectores con al menos tres puntos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La parábola: foco, directriz y construcción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas (tangencias y curvas)

La parábola es la cónica de una sola rama y un único foco. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco F, y de una recta fija, la directriz d. Es decir, para todo punto P de la parábola se cumple PF = distancia de P a la directriz. Esta propiedad de equidistancia es la clave de toda su construcción y la diferencia esencial respecto de elipse e hipérbola, que se definen por dos focos. La Fig. 5 muestra el foco, la directriz, el eje (recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco) y el vértice V, que es el punto de la curva más próximo a la directriz.

Parábola: foco, directriz, eje y vértice

El parámetro fundamental de la parábola es la distancia del foco a la directriz, que se denota p. El vértice V está justo en el punto medio del segmento que une el foco con la directriz, de modo que la distancia del vértice al foco y la del vértice a la directriz valen ambas p/2. La parábola no tiene centro ni segundo foco, y carece de asíntotas: sus ramas se abren indefinidamente pero sin tender a ninguna recta. Conocidos el foco y la directriz —o, equivalentemente, el vértice, el eje y p— la parábola queda completamente determinada.

La excentricidad de la parábola vale exactamente e = 1, y este valor la sitúa como caso frontera entre la elipse (e < 1) y la hipérbola (e > 1). De hecho, la definición foco-directriz unifica las tres cónicas: en todas, la razón entre la distancia de un punto al foco y su distancia a la directriz es la excentricidad e; en la parábola esa razón es 1 precisamente porque foco y directriz se usan en pie de igualdad (equidistancia). Así, las tres cónicas son una misma familia leída a distintos valores de e.

Para construir la parábola por puntos se explota directamente la equidistancia. Trazado el eje, marcados el foco F y la directriz d, se dibujan rectas paralelas a la directriz a distancias crecientes (rectas r₁, r₂, r₃…); cada paralela está a una distancia conocida de la directriz. Para cada paralela rᵢ, se traza un arco con centro en el foco F y radio igual a esa misma distancia: la intersección del arco con la paralela da dos puntos (simétricos respecto del eje) que pertenecen a la parábola, pues equidistan del foco y de la directriz. Repitiendo se obtiene la curva. La Fig. 6 detalla este método de las paralelas y los arcos.

Construcción de la parábola por equidistancia (paralelas y arcos)

PF = d(P, \text{directriz})

Definición de la parábola (equidistancia)

Todo punto P de la parábola está a la misma distancia del foco F que de la recta directriz.

VF = \dfrac{p}{2}, \qquad d(V, \text{directriz}) = \dfrac{p}{2}

Posición del vértice

El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz; p es la distancia foco-directriz.

e = 1

Excentricidad de la parábola

La parábola es la cónica de excentricidad uno, frontera entre la elipse (e<1) y la hipérbola (e>1).

Ejemplo resuelto

Equidistancia de un punto de la parábola

En una parábola, el foco F y la directriz d están separados una distancia p = 30 mm. Determina la distancia del vértice al foco, y comprueba si el punto P, situado a 50 mm del foco, está sobre la parábola, indicando a qué distancia debe estar entonces de la directriz.

Distancia vértice-foco
El vértice es el punto medio entre foco y directriz, luego VF = p/2 = 30/2 = 15 mm.
Condición de la parábola
Por definición, todo punto P de la parábola cumple PF = distancia de P a la directriz.
Distancia a la directriz
Si PF = 50 mm y P está en la parábola, su distancia a la directriz debe valer también 50 mm.
Conclusión
El punto P es válido siempre que esté simultáneamente a 50 mm del foco y a 50 mm de la directriz; ese punto se obtiene cortando el arco de radio 50 desde F con la paralela a la directriz situada a 50 mm de ella.

Resultado: VF = 15 mm. Para que P pertenezca a la parábola con PF = 50 mm, debe estar a 50 mm de la directriz; geométricamente se localiza en la intersección del arco de radio 50 desde F con la paralela a la directriz a 50 mm de esta.

Errores frecuentes

Buscar un segundo foco o asíntotas en la parábola: solo tiene un foco y una directriz, no tiene centro ni asíntotas.
Situar el vértice sobre el foco o sobre la directriz, en lugar de en el punto medio entre ambos (a distancia p/2 de cada uno).

Repaso activo

Una parábola tiene el foco F y la directriz d separados una distancia p = 40 mm. Sitúa el eje, el vértice V y construye la curva por puntos trazando al menos cuatro paralelas a la directriz y los arcos correspondientes desde el foco.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Rectas tangentes a las cónicas (circunferencias focales)#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas (tangencias y curvas)

El trazado de rectas tangentes a las cónicas es uno de los contenidos más exigentes y característicos del tema. La herramienta clave es la circunferencia focal: la circunferencia de centro un foco y radio 2a (en la elipse y la hipérbola) o, en la parábola, la propia directriz, que actúa como «circunferencia focal de radio infinito». La propiedad fundamental es que el simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la cónica está siempre sobre la circunferencia focal del otro foco. La Fig. 7 ilustra esta propiedad sobre una elipse, mostrando cómo el foco F' se refleja en la tangente para caer sobre la circunferencia focal de F.

Tangente a una elipse desde un punto exterior por la circunferencia focal

Esa propiedad permite resolver el problema de la tangente desde un punto exterior P a una elipse. Se traza la circunferencia focal de uno de los focos (por ejemplo, la de F, de radio 2a). Después, con centro en P y radio PF' (la distancia de P al otro foco), se traza un arco que corta a la circunferencia focal en uno o dos puntos. La mediatriz del segmento que une cada uno de esos puntos con F' es una recta tangente a la elipse que pasa por P; el punto de tangencia se obtiene uniendo el foco F con el punto de corte sobre la circunferencia focal y prolongando hasta la curva. Según la posición de P se obtienen dos, una o ninguna tangente.

El mismo razonamiento se adapta a la hipérbola (circunferencia focal de radio 2a centrada en un foco) y a la parábola, en la que la «circunferencia focal» degenera en la directriz: para trazar la tangente desde un punto exterior P a una parábola, se traza con centro en P y radio PF un arco que corta a la directriz; la mediatriz del segmento que une el foco con cada punto de corte es la tangente buscada, y el punto de tangencia se halla bajando una perpendicular a la directriz desde ese punto de corte. Por su elegancia y generalidad, el método de las circunferencias focales unifica el trazado de tangentes en las tres cónicas.

Conviene recordar también la propiedad de la tangente en un punto de la curva (sin punto exterior): en la elipse y la hipérbola, la tangente en un punto P es la bisectriz exterior (elipse) o interior (hipérbola) del ángulo que forman los dos radios vectores PF y PF'; en la parábola, la tangente en P bisecta el ángulo entre el radio PF y la perpendicular a la directriz trazada desde P (de ahí la propiedad reflectora de la parábola, que envía al foco todo rayo paralelo al eje). Estas propiedades de bisectriz dan un método directo para la tangente cuando se conoce el punto de contacto. La Fig. 7 esquematiza la construcción de la tangente desde un punto exterior por la circunferencia focal.

\text{Circunferencia focal de } F: \quad \text{centro } F, \ \text{radio } 2a

Circunferencia focal (elipse e hipérbola)

Cada foco tiene asociada una circunferencia focal de radio 2a; en la parábola la directriz hace su papel.

\text{Simétrico de } F' \text{ respecto de la tangente} \in \text{circunferencia focal de } F

Propiedad de la tangente

El reflejo de un foco respecto de una tangente cae siempre sobre la circunferencia focal del otro foco; en ello se basa la construcción.

\text{Tangente en } P: \ \text{bisectriz de } \angle(PF, PF') \quad (\text{ext. elipse / int. hipérbola})

Tangente por las propiedades de bisectriz

La tangente en un punto de la elipse o hipérbola es bisectriz del ángulo de los radios vectores (exterior en la elipse, interior en la hipérbola).

Ejemplo resuelto

Radio de la circunferencia focal de una elipse

Una elipse tiene semieje mayor a = 45 mm y semidistancia focal c = 27 mm. Indica el radio de su circunferencia focal y comprueba, mediante la suma de radios vectores, que el simétrico de F' respecto de una tangente cae sobre dicha circunferencia.

Radio de la circunferencia focal
La circunferencia focal de un foco tiene radio 2a = 2·45 = 90 mm.
Punto de tangencia y radios vectores
Para un punto T de la elipse, sus radios vectores cumplen TF + TF' = 2a = 90 mm.
Reflexión del foco
La tangente en T es la bisectriz exterior del ángulo F-T-F'; el simétrico F'' de F' respecto de esa tangente está alineado con F y T, y cumple TF'' = TF'.
Distancia de F al simétrico
Entonces FF'' = FT + TF'' = FT + TF' = TF + TF' = 2a = 90 mm: F'' está sobre la circunferencia focal de F.

Resultado: La circunferencia focal tiene radio 2a = 90 mm. El simétrico de F' respecto de la tangente dista del foco F exactamente 2a = 90 mm, es decir, está sobre la circunferencia focal de F, lo que justifica el método de trazado de tangentes.

Errores frecuentes

Tomar la circunferencia focal con radio a en lugar de 2a (en elipse e hipérbola): el radio correcto es 2a, la longitud del eje mayor o real, no el semieje.
Olvidar que el punto de tangencia no es el corte con la circunferencia focal, sino el punto de la propia cónica que se obtiene al unir el foco con ese corte y llevarlo sobre la curva.

Repaso activo

Dada una elipse de la que conoces los focos F y F' y la longitud del eje mayor 2a, y un punto P exterior a ella, traza las rectas tangentes a la elipse desde P empleando la circunferencia focal de F y determina los puntos de tangencia.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Trazado de cónicas por homología y afinidad respecto a la circunferencia#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas (transformaciones y curvas)

Clasificación de las cónicas como sección del cono

Las cónicas pueden generarse no solo por puntos a partir de sus focos, sino como transformadas proyectivas de la circunferencia: la elipse, la parábola y la hipérbola son las imágenes de una circunferencia mediante una homología adecuada, y la elipse, en particular, se obtiene por afinidad (caso de homología con centro impropio). Este enfoque conecta el tema con las transformaciones geométricas y con los sistemas de representación, donde una circunferencia situada en un plano se proyecta como una cónica. La Fig. 8 esquematiza la idea: dos circunferencias concéntricas y una afinidad de eje el eje mayor generan la elipse.

Elipse por afinidad: las dos circunferencias concéntricas

El método de afinidad para trazar la elipse a partir de las circunferencias principal y secundaria es el más usado en la práctica. Se dibujan dos circunferencias concéntricas: la principal, de diámetro el eje mayor (radio a), y la secundaria, de diámetro el eje menor (radio b). Para obtener un punto de la elipse se traza un radio cualquiera desde el centro que corta a ambas circunferencias; por el corte con la circunferencia mayor se baja una recta vertical (paralela al eje menor) y por el corte con la menor una recta horizontal (paralela al eje mayor); la intersección de ambas es un punto de la elipse. Repitiendo con varios radios y por simetría se traza la curva completa. Es una afinidad ortogonal de eje el eje mayor y razón b/a.

Este procedimiento es, en esencia, una afinidad: la elipse es la figura afín de la circunferencia principal, con eje de afinidad el eje mayor y dirección de afinidad perpendicular a él; cada punto de la circunferencia se «contrae» en la proporción b/a hacia el eje mayor. La afinidad conserva el paralelismo, la razón simple y la incidencia, por lo que tangentes y diámetros conjugados de la circunferencia se transforman en tangentes y diámetros conjugados de la elipse, lo que permite trasladar construcciones de la circunferencia a la elipse con gran economía. La Fig. 8 detalla la obtención de un punto por este método de las dos circunferencias.

La generación por homología es más general y cubre las tres cónicas: según la posición de la recta límite respecto de la circunferencia se obtiene una elipse (la recta límite no corta a la circunferencia), una parábola (la recta límite es tangente a la circunferencia) o una hipérbola (la recta límite es secante, y los dos puntos de corte generan las direcciones asintóticas, es decir, los puntos del infinito de las dos ramas). Esta clasificación homológica refleja exactamente la sección del cono: el plano de corte paralelo a una, ninguna o dos generatrices produce parábola, elipse o hipérbola, respectivamente. Así, el trazado por transformaciones explica geométricamente por qué las tres curvas son una misma familia. Conviene apoyar estos trazados con herramientas digitales (GeoGebra), que permiten visualizar cómo varía la cónica al mover la recta límite.

\text{Afinidad: eje } = \text{eje mayor}, \quad \text{razón } k = \dfrac{b}{a}

Afinidad circunferencia → elipse

La elipse es la figura afín de la circunferencia principal: afinidad ortogonal de eje el eje mayor y razón b/a (contracción hacia el eje).

x = a\cos t, \qquad y = b\sin t

Punto de la elipse por el ángulo del radio

El método de las dos circunferencias equivale a estas ecuaciones paramétricas: la x viene de la circunferencia de radio a y la y de la de radio b, para un mismo ángulo t.

\text{Recta límite}: \ \text{exterior} \Rightarrow \text{elipse}, \ \text{tangente} \Rightarrow \text{parábola}, \ \text{secante} \Rightarrow \text{hipérbola}

Tipo de cónica por homología

La posición de la recta límite respecto de la circunferencia determina la cónica obtenida, en paralelo con la sección del cono.

Ejemplo resuelto

Coordenadas de un punto de la elipse por afinidad

Una elipse tiene semieje mayor a = 50 mm y semieje menor b = 30 mm. Usando el método de las dos circunferencias, halla las coordenadas (x, y) del punto de la elipse correspondiente a un radio que forma 60° con el eje mayor.

Corte con la circunferencia mayor
La abscisa la fija la circunferencia principal de radio a: x = a·cos 60° = 50·0,5 = 25 mm.
Corte con la circunferencia menor
La ordenada la fija la circunferencia secundaria de radio b: y = b·sen 60° = 30·(√3/2) ≈ 30·0,866 = 25,98 mm.
Comprobación con la afinidad
La y obtenida es la y de la circunferencia mayor (a·sen 60° ≈ 43,30) contraída en razón b/a = 30/50 = 0,6: 43,30·0,6 ≈ 25,98 mm, lo que confirma la afinidad.
Verificación en la ecuación
x²/a² + y²/b² = 25²/50² + 25,98²/30² = 0,25 + 0,75 = 1, luego el punto está sobre la elipse.

Resultado: El punto de la elipse a 60° del eje mayor es aproximadamente P(25 ; 25,98) mm. La construcción equivale a contraer en razón b/a = 0,6 el punto homólogo de la circunferencia principal, y se verifica que cumple x²/a² + y²/b² = 1.

Errores frecuentes

Cruzar las perpendiculares en el método de las dos circunferencias: por el corte con la circunferencia mayor (radio a) se traza la paralela al eje menor, y por el corte con la menor (radio b) la paralela al eje mayor; invertirlas deforma la elipse.
Pensar que la afinidad genera una elipse cualquiera: la razón de afinidad es exactamente b/a y el eje es el eje mayor; con otra razón o eje el resultado no es la elipse de semiejes a y b.

Repaso activo

Dada una elipse de semiejes a = 50 mm y b = 30 mm, traza las circunferencias principal y secundaria concéntricas y obtén, por el método de afinidad de las dos circunferencias, al menos seis puntos de la elipse (uno por cada radio a 30°), completando la curva por simetría.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Curvas cónicas

Puntos clave

Cálculo de parámetros y focos de una elipse

Puntos clave

Parámetros y asíntotas de una hipérbola

Puntos clave

Equidistancia de un punto de la parábola

Puntos clave

Radio de la circunferencia focal de una elipse

Puntos clave

Coordenadas de un punto de la elipse por afinidad

Fuentes

Curvas cónicas

Puntos clave

Cálculo de parámetros y focos de una elipse

Puntos clave

Parámetros y asíntotas de una hipérbola

Puntos clave

Equidistancia de un punto de la parábola

Puntos clave

Radio de la circunferencia focal de una elipse

Puntos clave

Coordenadas de un punto de la elipse por afinidad

Fuentes