Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Eine Probe enthält $N_0 = 8{,}0\cdot 10^{10}$ Atome eines Isotops mit Halbwertszeit $T_{1/2} = 5{,}0\,\text{a}$. Berechne die Anzahl der Atome nach $t = 15\,\text{a}$ und die Aktivität zu diesem Zeitpunkt.

1. 01Schritt 1 — Zerfallskonstante

   $\lambda = \ln 2 / T_{1/2} = 0{,}693/5{,}0\,\text{a} = 0{,}1386\,\text{a}^{-1} \approx 4{,}40\cdot 10^{-9}\,\text{s}^{-1}$.

   $$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$$
2. 02Schritt 2 — Restmenge

   Nach drei Halbwertszeiten: $N(15\,\text{a}) = N_0 \cdot (1/2)^{3} = N_0/8 = 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome.

   $$N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$$
3. 03Schritt 3 — Aktivität

   $A(15\,\text{a}) = \lambda N = 4{,}40\cdot 10^{-9} \cdot 1{,}0\cdot 10^{10} \approx 44\,\text{Bq}$.

4. 04Schritt 4 — Interpretation

   Nach drei Halbwertszeiten ($12{,}5\%$ übrig) ist auch die Aktivität auf ein Achtel des Anfangswertes gefallen — Aktivität folgt demselben exponentiellen Gesetz wie die Atomzahl.

Ergebnis: $N \approx 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome, $A \approx 44\,\text{Bq}$.

Berechne den Massendefekt, die gesamte Bindungsenergie und die Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$ (Kernmasse $m_{\text{Kern}} = 55{,}9207\,\text{u}$, $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$, $m_n = 1{,}00867\,\text{u}$, $1\,\text{u} \hat{=} 931{,}5\,\text{MeV}/c^{2}$) und vergleiche mit $^{4}_{2}\text{He}$ ($E_B/A \approx 7{,}07\,\text{MeV}$).

1. 01Schritt 1 — Nukleonenzahlen

   $^{56}_{26}\text{Fe}$ besitzt $Z = 26$ Protonen und $N = A - Z = 56 - 26 = 30$ Neutronen.

2. 02Schritt 2 — Summe der freien Nukleonenmassen

   $Z\,m_p + N\,m_n = 26\cdot 1{,}00728 + 30\cdot 1{,}00867 = 26{,}18928 + 30{,}26010 = 56{,}44938\,\text{u}$.

3. 03Schritt 3 — Massendefekt

   $\Delta m = (Z\,m_p + N\,m_n) - m_{\text{Kern}} = 56{,}44938 - 55{,}9207 = 0{,}52868\,\text{u}$.

   $$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}}$$
4. 04Schritt 4 — Bindungsenergie

   $E_B = \Delta m\,c^{2} = 0{,}52868\cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}5\,\text{MeV}$.

   $$E_B = \Delta m\,c^{2}$$
5. 05Schritt 5 — Bindungsenergie pro Nukleon

   $E_B/A = 492{,}5\,\text{MeV}/56 \approx 8{,}79\,\text{MeV/Nukleon}$.

6. 06Schritt 6 — Interpretieren

   Mit $\approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ liegt Eisen nahe am Maximum der $E_B/A$-Kurve und ist deutlich stärker gebunden als $^{4}_{2}\text{He}$ ($7{,}07\,\text{MeV/Nukleon}$). Daher gewinnt man Energie sowohl durch Fusion leichterer als auch durch Spaltung schwererer Kerne hin zu Massenzahlen um $A \approx 56$.

Ergebnis: $\Delta m \approx 0{,}529\,\text{u}$, $E_B \approx 492{,}5\,\text{MeV}$, $E_B/A \approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ — nahe dem Maximum der Bindungsenergiekurve.

Myonen ($T_{1/2} = 1{,}52\,\mu\text{s}$) entstehen in $h \approx 15\,\text{km}$ Höhe und bewegen sich mit $v = 0{,}994\,c$. Bestimme, welcher Anteil der Myonen die Erdoberfläche erreicht, einmal klassisch und einmal mit relativistischer Zeitdilatation.

1. 01Schritt 1 — Flugzeit im Erdsystem

   $t = h/v = 15\,000/(0{,}994 \cdot 3{,}00\cdot 10^{8}) \approx 5{,}03\cdot 10^{-5}\,\text{s} = 50{,}3\,\mu\text{s}$.

2. 02Schritt 2 — Klassische Erwartung

   Halbwertszeiten während des Fluges: $n = t/T_{1/2} \approx 33$. Restanteil $(1/2)^{33} \approx 10^{-10}$ — praktisch keine Myonen sollten ankommen.

3. 03Schritt 3 — Lorentz-Faktor

   $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}994^{2}} \approx 9{,}14$.

   $$\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$$
4. 04Schritt 4 — Relativistisch verlängerte Halbwertszeit

   Im Erdsystem zerfällt das Myon mit $T_{1/2}^{*} = \gamma T_{1/2} \approx 13{,}9\,\mu\text{s}$. Anzahl Halbwertszeiten während Flug: $n = 50{,}3/13{,}9 \approx 3{,}6$. Restanteil $(1/2)^{3{,}6} \approx 8{,}3\%$.

5. 05Schritt 5 — Interpretation

   Klassisch wären Myonen unsichtbar; tatsächlich messbarer Anteil (etwa 8 Prozent) bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie quantitativ.

Ergebnis: Klassisch $\sim 10^{-10}$, relativistisch $\sim 8\%$ — Bestätigung der SRT durch Myonenzerfall.