Notizen · MathematikDE · Abitur

Grundbegriffe und Rechentechniken

Voraussetzungswissen aus Sekundarstufe I: Zahlbereiche, Termumformungen, Potenz- und Logarithmusgesetze, lineare und quadratische Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme. Diese Techniken werden in praktisch jeder Abituraufgabe vorausgesetzt; Lücken hier wirken sich auf Analysis, Stochastik und analytische Geometrie aus.

7Abschnitteca. 11Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 2 · Standard 5Stand 05/2026

T·0111 / 10

Prüfungsprofil

L1 · Leitidee Algorithmus und ZahlK2 · Probleme mathematisch lösenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen

Operatoren:berechnenumformenbegründenüberprüfen

grundlegendes Niveau

gA: Sichere Beherrschung von Termumformungen, pq-Formel, einfachen Gleichungssystemen und Logarithmus-Anwendungen ohne ausgedehnte Beweise. Hilfsmittel und Formelsammlung dürfen genutzt werden.

erhöhtes Niveau

eA: Zusätzlich allgemeine Beweise (z. B. $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ , Eindeutigkeit von Lösungen), Polynomdivision, vollständige Diskussion linearer 3×3-Systeme und sichere Umformung gemischter Wurzel-, Potenz- und Logarithmusterme.

Tiefe

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Inhalt · 7 Abschnitte

Grundbegriffe und Rechentechniken

Zahlmengen N, Z, Q, R, C#

BasisL1KMK-Inhalt-Algebra

Zahlbereichserweiterungen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Abb. 1Jede Erweiterung schließt eine Operationslücke der vorigen Zahlmenge.

Die natürlichen Zahlen

\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\,\dots\}

bilden die Grundlage des Zählens; ganze Zahlen

\mathbb{Z}

ergänzen die negativen ganzen Zahlen.

Rationale Zahlen

\mathbb{Q}

sind die Menge aller Brüche

\tfrac{p}{q}

mit

p\in\mathbb{Z}

q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}

; jede rationale Zahl besitzt eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.

Reelle Zahlen

\mathbb{R}

füllen die Zahlengerade lückenlos und enthalten zusätzlich die irrationalen Zahlen wie

\sqrt{2}

\pi

\mathrm{e}

Komplexe Zahlen

\mathbb{C}

erweitern

\mathbb{R}

um die imaginäre Einheit

\mathrm{i}

mit

\mathrm{i}^{2}=-1

; im Abitur AHR-Standard nicht prüfungsrelevant, aber Hintergrund für Sonderaufgaben.

Strenge Inklusionskette

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

; jede Erweiterung schließt die Operationslücke der vorigen.

Bei Modellierungen muss der Zahlbereich zum Kontext passen: Personenanzahl in

\mathbb{N}

, Kontostand in

\mathbb{Q}

, Längen in

\mathbb{R}^{+}

Irrationalität von

\sqrt{2}

beweist man klassisch indirekt; dieser Beweis ist Standardbeispiel für die Beweistechnik „Widerspruch".

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

Inklusionskette der Zahlmengen

Musterlösung

Zahlmengen zuordnen

Begründen Sie, in welcher kleinsten der Mengen $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ die Zahlen $a=-4$ , $b=\tfrac{22}{7}$ , $c=\sqrt{49}$ und $d=\sqrt{5}$ liegen.

Schritt 1 — Negative ganze Zahl
$-4$ ist nicht in $\mathbb{N}$ , aber in $\mathbb{Z}$ (kleinste Menge).
Schritt 2 — Bruch zweier ganzer Zahlen
$\tfrac{22}{7}$ ist als Bruch darstellbar und damit in $\mathbb{Q}$ ; nicht in $\mathbb{Z}$ .
Schritt 3 — Wurzel aus Quadratzahl
$\sqrt{49}=7\in\mathbb{N}$ (kleinste Menge); die Wurzeloperation ist hier nur Schreibweise.
Schritt 4 — Irrationale Wurzel
$\sqrt{5}$ ist keine periodische Dezimalzahl und nicht als Bruch darstellbar; $\sqrt{5}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Ergebnis: Zuordnung: $a\in\mathbb{Z}$ , $b\in\mathbb{Q}$ , $c\in\mathbb{N}$ , $d\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Typische Fehler

Aufnahme der Null in $\mathbb{N}$ wird verneint, obwohl KMK-Standard die Null in $\mathbb{N}$ einschließt.
$\sqrt{4}=2$ wird wegen des Wurzelzeichens als irrational eingestuft; entscheidend ist der Wert, nicht die Schreibweise.
Periodische Dezimalzahl wird als irrational erklärt, weil sie „nicht aufhört".
Kleinste Menge wird mit größter verwechselt: $-3\in\mathbb{Q}$ stimmt, ist aber nicht die kleinste Menge.

LK-Vertiefung

eA: Führen Sie den indirekten Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist (Annahme $\sqrt{2}=p/q$ teilerfremd; aus $2q^{2}=p^{2}$ folgt 2|p, dann 2|q — Widerspruch).

Aktive Wiederholung

Ordnen Sie $-\tfrac{8}{4}$ , $\sqrt{12}$ , $0{,}\overline{142857}$ , $\pi-3$ den Mengen $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ zu und begründen Sie jede Zuordnung mit einem Satz.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Terme, binomische Formeln, Faktorisieren#

BasisL1

Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Kürzen und Erweitern sind Äquivalenzumformungen, sofern der Definitionsbereich beachtet wird.

Die drei binomischen Formeln

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

ermöglichen schnelles Vereinfachen und Faktorisieren.

Bei Bruchtermen ist der Definitionsbereich essentiell: Nenner darf nicht null werden; die Definitionslücken müssen explizit angegeben werden.

Polynomdivision zerlegt

P(x)=(x-x_{0})\cdot Q(x)+r

; bei bekannter Nullstelle

x_{0}

folgt

r=0

, was Faktorzerlegung erlaubt.

Faktorisieren ist Grundlage fast aller Nullstellenbestimmungen in der Analysis und Modellierung.

Bei Summe mit gemeinsamen Faktoren stets ausklammern:

6x^{3}-9x^{2}=3x^{2}(2x-3)

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\quad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\quad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Binomische Formeln

Musterlösung

Term faktorisieren mittels binomischer Formel

Faktorisieren Sie $T(x)=9x^{2}-24x+16$ und geben Sie die Nullstelle an.

Schritt 1 — Quadratstruktur erkennen
$9x^{2}=(3x)^{2}$ und $16=4^{2}$ ; mittlerer Term $24x = 2\cdot 3x\cdot 4$ .
Schritt 2 — Binomische Formel anwenden
$T(x)=(3x-4)^{2}$ (Form $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ).
$T(x)=(3x-4)^{2}$
Schritt 3 — Nullstelle bestimmen
$(3x-4)^{2}=0 \Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x = \tfrac{4}{3}$ (doppelte Nullstelle).

Ergebnis: Faktorisierung $T(x)=(3x-4)^{2}$ ; doppelte Nullstelle bei $x=\tfrac{4}{3}$ .

Typische Fehler

$(a-b)^{2}$ wird als $a^{2}-b^{2}$ geschrieben (mittlerer Term fehlt).
Im Bruch $\tfrac{a+b}{a}$ wird der Summand „gekürzt" zu $1+b$ .
Definitionslücke bei Bruchgleichung wird vergessen; eine Scheinlösung an der Lücke wird mitgenommen.
Beim Ausklammern wird ein Vorzeichen oder Faktor vergessen, was zu verkleinertem Rest führt.

LK-Vertiefung

eA: Führen Sie Polynomdivision an $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$ mit der Nullstelle $x_{0}=1$ durch und faktorisieren Sie das Restpolynom mittels pq-Formel.

Aktive Wiederholung

Faktorisieren Sie den Term $T(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 9x$ und bestimmen Sie alle Nullstellen mit Vielfachheit.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Potenzen, Wurzeln und rationale Exponenten#

StandardL1L4

Eine Potenz

a^{n}

mit

n\in\mathbb{N}

bedeutet

n

-fache Multiplikation der Basis; per Konvention

a^{0}=1

für

a\neq 0

Negative Exponenten beschreiben Kehrwerte:

a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}

Eine

n

-te Wurzel lässt sich als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken:

\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}

für

a>0

Potenzgesetze gelten nur bei gleicher Basis oder gleichem Exponenten; häufiger Fehler ist

a^{m}+a^{n}=a^{m+n}

Wachstumsfaktoren in Anwendungen sind Potenzen: 5 % Zinsen pro Jahr über 8 Jahre liefern den Faktor

1{,}05^{8}

Bei negativer Basis und rationalem Exponenten ist Vorsicht geboten:

(-8)^{1/2}

ist in

\mathbb{R}

nicht definiert.

a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n},\quad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\quad (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}

Potenzgesetze (gleiche Basis a > 0)

\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}\quad (a>0,\; n\in\mathbb{N}^{*})

Wurzel als rationale Potenz

Musterlösung

Potenzterm vereinfachen

Vereinfachen Sie $\dfrac{\sqrt{a^{3}}\cdot a^{-1/2}}{a^{2}}$ für $a>0$ und geben Sie das Ergebnis als Potenz von $a$ an.

Schritt 1 — Wurzel umschreiben
$\sqrt{a^{3}} = a^{3/2}$ .
Schritt 2 — Zähler zusammenfassen
$a^{3/2}\cdot a^{-1/2}=a^{3/2-1/2}=a^{1}=a$ .
Schritt 3 — Nenner kürzen
$\dfrac{a}{a^{2}} = a^{1-2}=a^{-1}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $a^{-1}=\tfrac{1}{a}$ für $a>0$ .

Typische Fehler

$a^{m}\cdot b^{n}\neq (ab)^{m+n}$ — Gesetze gelten nur bei gleicher Basis.
$\sqrt{a^{2}}=a$ für alle $a$ ist falsch; korrekt ist $|a|$ .
Negative Basis mit rationalem Exponent: $(-2)^{1/2}$ wird als reelle Zahl angegeben.
$a^{-n}$ wird als $-a^{n}$ geschrieben (Vorzeichen statt Kehrwert).

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, für welche $x\in\mathbb{R}$ der Term $\sqrt[3]{x^{2}}\cdot x^{-2/3}$ definiert ist und vereinfachen Sie auf eine einzige Potenz oder Wurzel.

Aktive Wiederholung

Schreiben Sie $\sqrt[4]{a^{6}}\cdot \tfrac{1}{a^{1/2}}$ als einzelne Potenz von $a$ (mit $a>0$ ) und überprüfen Sie das Ergebnis durch Einsetzen von $a=4$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Logarithmen und Exponentialgleichungen#

StandardL4

Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus

Abb. 2f(x) = eˣ wächst streng monoton; g(x) = ln(x) ist die Umkehrung mit Definitionsbereich (0, ∞).

Der Logarithmus

\log_{a}(x)

ist der Exponent, mit dem die Basis

a

potenziert werden muss, um

x

zu erhalten:

a^{\log_{a}(x)}=x

Der natürliche Logarithmus

\ln(x)=\log_{\mathrm{e}}(x)

ist Standard in Differentialrechnung, Wachstumsmodellen und Modellierung.

Logarithmusgesetze entstehen aus den Potenzgesetzen: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor.

Basiswechsel:

\log_{a}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}

; jede Basis ist auf

\ln

oder

\log_{10}

zurückführbar.

Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert; das schränkt den Definitionsbereich oft ein.

Halbwerts- und Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum:

t_{1/2}=-\tfrac{\ln 2}{k}

bzw.

t_{2}=\tfrac{\ln 2}{k}

\log(xy)=\log x + \log y,\quad \log\!\frac{x}{y}=\log x - \log y,\quad \log(x^{r})=r\log x

Logarithmusgesetze (x, y > 0)

\log_{a}(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}

Basiswechselformel

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|k|}

Halbwertszeit bei stetigem Zerfall

Musterlösung

Exponentialgleichung mittels Logarithmus lösen

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung $250\cdot 1{,}04^{t} = 600$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext einer Verzinsung von 4 % pro Jahr.

Schritt 1 — Faktor isolieren
Division durch 250 ergibt $1{,}04^{t} = \tfrac{600}{250}=2{,}4$ .
Schritt 2 — Logarithmieren
$t \cdot \ln(1{,}04) = \ln(2{,}4)$ .
$t = \dfrac{\ln(2{,}4)}{\ln(1{,}04)}$
Schritt 3 — Numerisch berechnen
$t \approx \dfrac{0{,}8755}{0{,}0392} \approx 22{,}33$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Nach rund 22,3 Jahren hat sich das Anfangskapital auf 600 € erhöht; nach 22 vollen Jahren wäre der Wert knapp unter 600 €.

Ergebnis: Lösung $t\approx 22{,}33$ Jahre — Interpretation im Sachkontext: Verzinsung führt nach gut 22 Jahren zur Ver-2,4-fachung.

Typische Fehler

$\ln(a+b)$ wird zu $\ln a + \ln b$ verfälscht — Summen-Logarithmus existiert nicht in dieser Form.
Lösung mit negativem Argument im Logarithmus wird nicht ausgeschlossen.
Basiswechsel mit Bruch falsch herum: $\tfrac{\ln a}{\ln x}$ statt $\tfrac{\ln x}{\ln a}$ .
Logarithmieren ohne vorherige Isolierung der Exponentialfunktion ergibt sperrige Terme.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie die Basiswechselformel $\log_{a}(x)=\tfrac{\ln x}{\ln a}$ aus der Definition des Logarithmus her, indem Sie $\mathrm{e}^{\ln x}=x=a^{\log_{a}(x)}$ benutzen und beide Seiten logarithmieren.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Lösung von $4\cdot \mathrm{e}^{0{,}08\,t} = 25$ auf zwei Nachkommastellen und interpretieren Sie das Ergebnis als Zeitspanne in einem Wachstumsmodell mit Wachstumsrate 8 %.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quadratische und biquadratische Gleichungen#

StandardL1L4

Diskriminante und Anzahl reeller Lösungen

Abb. 3D > 0 zwei Nullstellen, D = 0 doppelte Nullstelle, D < 0 keine reelle Lösung.

Die Normalform

x^{2}+px+q=0

lässt sich mit der pq-Formel lösen; die allgemeine Form

ax^{2}+bx+c=0

mit der abc-Formel.

Die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

entscheidet über die Lösungsanzahl:

D>0

zwei reelle,

D=0

doppelte,

D<0

keine reelle Lösung.

Biquadratische Gleichungen

ax^{4}+bx^{2}+c=0

werden durch Substitution

u=x^{2}

auf quadratische Form gebracht.

Satz von Vieta:

x_{1}+x_{2}=-\tfrac{b}{a}

und

x_{1}\cdot x_{2}=\tfrac{c}{a}

— hilfreich bei Plausibilitätsprüfungen.

Quadratische Ergänzung gewinnt die Scheitelpunktform

a(x-d)^{2}+e

; sie ist gleichzeitig ein Beweis der pq-Formel.

Wurzeln dürfen niemals aus negativen Diskriminanten reell gezogen werden;

\sqrt{-3}\notin\mathbb{R}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} - q}

pq-Formel (Normalform x² + px + q = 0)

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

abc-Formel (Mitternachtsformel) ax² + bx + c = 0

D=b^{2}-4ac

Diskriminante

Typische Fehler

pq-Formel wird auf abc-Form angewendet ohne vorherige Division durch a.
Vorzeichen im Term $-\tfrac{p}{2}$ wird vergessen oder doppelt gerechnet.
Negative Diskriminante wird ohne Kommentar als „Wurzel aus negativer Zahl" gezogen.
Substitution $u=x^{2}$ ohne Rückführung — am Ende fehlt die Bestimmung der x-Werte.

LK-Vertiefung

eA: Beweisen Sie die pq-Formel mittels quadratischer Ergänzung und diskutieren Sie, warum $D<0$ keine reelle Lösung erlaubt.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie sämtliche reellen Lösungen der Gleichung $x^{4}-13x^{2}+36=0$ mittels Substitution und überprüfen Sie das Ergebnis durch Einsetzen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Lineare Gleichungssysteme#

StandardL1L3

Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit zwei oder drei Unbekannten lassen sich durch Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.

Das Gauß-Verfahren ist die systematische Methode: Zeilen werden zur Stufenform reduziert, dann rückwärts aufgelöst.

Drei Lösungsfälle: eindeutige Lösung, Mehrdeutigkeit (unendlich viele Lösungen), Widerspruch (keine Lösung).

Geometrische Interpretation in 3D: Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, einer Geraden, einer Ebene oder gar nicht.

Die Determinante einer Koeffizientenmatrix entscheidet bei quadratischem System über Eindeutigkeit der Lösung.

Parameter im LGS führen zu Fallunterscheidungen — Parameter-LGS sind klassische LK-Aufgaben.

\det\!\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Determinante einer 2×2-Matrix

Typische Fehler

Rechenfehler bei Zeilenoperationen — Vorzeichenfehler dominieren.
Mehrdeutige Lösung wird als „falsch" interpretiert statt als Lösungsschar geschrieben.
Widerspruch (z. B. 0 = 1) wird als 0-Lösung statt als „keine Lösung" notiert.
Bei Parameter-LGS wird der Spezialfall (Parameter macht Spalte abhängig) übersehen.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie das LGS auf seine Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter und interpretieren Sie die Lösung geometrisch als Lage dreier Ebenen.

Aktive Wiederholung

Lösen Sie das LGS $\begin{cases} x+y-z=2\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-2z=t \end{cases}$ in Abhängigkeit vom Parameter $t\in\mathbb{R}$ und beurteilen Sie, für welche $t$ das System lösbar ist.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Ungleichungen und Beträge#

StandardL1

Lineare Ungleichungen werden wie Gleichungen umgeformt; bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.

Quadratische Ungleichungen werden über die Nullstellen und das Vorzeichen der Parabel gelöst — Skizze hilfreich.

Bruchungleichungen verlangen Fallunterscheidung nach Vorzeichen des Nenners; Multiplikation mit einer Variablen ist nur erlaubt, wenn deren Vorzeichen bekannt ist.

Betragsungleichungen:

|x|<a

entspricht

-a<x<a

;

|x|>a

entspricht

x<-a

oder

x>a

(für

a>0

Lösungsmengen werden als Intervalle oder Mengen geschrieben — saubere Notation ist beurteilungsrelevant.

Geometrische Interpretation:

|x-a|<r

beschreibt offenes Intervall der Länge

2r

a

|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a,\quad |x|>a \Leftrightarrow x<-a \;\lor\; x>a

Betragsungleichungen für a > 0

Typische Fehler

Vorzeichenwechsel beim Multiplizieren mit negativer Zahl wird vergessen.
Bei Bruchungleichung wird mit dem Nenner multipliziert, ohne Vorzeichen zu prüfen — Lösungsmenge wird falsch.
Betragsungleichung wird einseitig aufgelöst (nur einer der beiden Fälle).
Intervallschreibweise wird gemischt mit Schreibweise $\{x\mid \dots\}$ , was verwirrt; lieber konsistent.

LK-Vertiefung

eA: Lösen Sie $|2x-3| + |x+1| < 5$ durch Fallunterscheidung nach den Nullstellen der Betragsausdrücke und stellen Sie die Lösungsmenge graphisch dar.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung $\dfrac{2x-1}{x+3} \leq 1$ und stellen Sie diese als Intervallvereinigung dar.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.