Thermodynamik - Temperatur, Wärme, Hauptsätze — Physik · Matura-Zusammenfassung

Temperatur, ideales Gas und kinetische Gastheorie#

BasisPHY-Therm-3.1

Temperatur ist makroskopisch ein Maß für die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Teilchenbewegung: Je heißer ein Körper, desto schneller zappeln seine Atome. Diese mikroskopische Deutung verbindet die Alltagsgröße Temperatur mit der Mechanik der einzelnen Teilchen und ist der Schlüssel der gesamten Wärmelehre.

Die SI-Einheit ist das Kelvin (K), gezählt vom absoluten Nullpunkt bei

-273{,}15\,^{\circ}

C, an dem die Teilchenbewegung minimal wird. Die Umrechnung lautet

T[\text{K}]=\vartheta[^{\circ}\text{C}]+273{,}15

. Temperaturdifferenzen sind in beiden Skalen gleich groß, Absolutwerte aber nicht - in allen Gasgesetzen muss Kelvin eingesetzt werden.

Das ideale Gas ist ein Modell mit punktförmigen Teilchen ohne gegenseitige Wechselwirkung außer elastischen Stößen. Reale Gase verhalten sich bei nicht zu hohem Druck und nicht zu tiefer Temperatur sehr gut wie ein ideales Gas - genau dann sind die Annahmen gerechtfertigt.

Den Zusammenhang aller Zustandsgrößen beschreibt die ideale Gasgleichung

pV=nRT

mit der universellen Gaskonstante

R=8{,}314

J/(mol K). Dabei ist die Stoffmenge

n

(in mol) von der Teilchenzahl

N=n N_{A}

zu unterscheiden (

N_{A}=6{,}022\cdot 10^{23}

/mol).

Die kinetische Gastheorie verknüpft die Temperatur direkt mit der Teilchenbewegung: Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist

\bar E_{\text{kin}}=\tfrac{3}{2}k_{B}T

mit der Boltzmann-Konstante

k_{B}=1{,}38\cdot 10^{-23}

J/K. Temperatur ist damit nichts anderes als ein Maß für diese mittlere Energie.

Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit, sondern eine breite, nach rechts schiefe Maxwell-Boltzmann-Verteilung () mit der mittleren Geschwindigkeit

\bar v=\sqrt{\tfrac{8 k_{B}T}{\pi m}}

. Mit steigender Temperatur verschiebt sich die Verteilung zu höheren Geschwindigkeiten und wird flacher - leichte Teilchen sind im Mittel schneller als schwere.

Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung

Abb. 1Die Geschwindigkeiten der Gasteilchen streuen breit; die Verteilung ist nach rechts schief mit einer wahrscheinlichsten Geschwindigkeit.

p\,V = n\,R\,T

Ideale Gasgleichung

\bar E_{\text{kin}}=\tfrac{3}{2}k_{B} T

Mittlere Translationsenergie eines Gasteilchens

Musterbeispiel

Druckanstieg im Reifen

Reifen $20^{\circ}$ C, $p_{abs}=3{,}5$ bar; Temperatur steigt auf $60^{\circ}$ C bei konstantem Volumen.

Kelvin
$T_{1}=293{,}15$ K, $T_{2}=333{,}15$ K.
Isochor
$p_{1}/T_{1}=p_{2}/T_{2}\Rightarrow p_{2}=p_{1}\cdot T_{2}/T_{1}$ .
Einsetzen
$p_{2}=3{,}5\cdot 333{,}15/293{,}15\approx 3{,}98$ bar.
Relativdruck
$p_{2,rel}\approx 2{,}98$ bar.

Ergebnis: Reifeninnendruck steigt auf rund $4{,}0$ bar absolut, also rund $3{,}0$ bar Reifenanzeige.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Temperatur ist makroskopisch ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Teilchen.
2
Das ideale Gas ist ein einfaches Modell, in dem nur elastische Stöße zählen.
3
Aus der kinetischen Theorie folgen Bewegungsenergie und Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre das Modell des idealen Gases und die Bedeutung der kinetischen Gastheorie. Bestimme die mittlere kinetische Energie und die mittlere Geschwindigkeit eines Stickstoffmoleküls (

m\approx 4{,}65\cdot 10^{-26}

kg) bei Raumtemperatur (

T=293

K).

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Typische Fehler

Temperatur in Celsius statt Kelvin in der Gasgleichung verwendet.
Druck in bar statt Pa eingesetzt ( $1$ bar $= 10^{5}$ Pa).
Stoffmenge und Teilchenzahl verwechselt.

Aktive Wiederholung

Ein Reifen wird bei $20^{\circ}$ C auf $2{,}5$ bar (relativ) gepumpt. Welcher Druck stellt sich nach starker Sonneneinstrahlung bei $60^{\circ}$ C ein, wenn das Volumen konstant bleibt? (Vergiss Luftdruck nicht.)

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Kinetic Theory (OpenStax)

Hauptsätze der Thermodynamik#

StandardPHY-Therm-3.2

Die Hauptsätze der Thermodynamik regeln, wie Energie und Wärme in jedem System umgewandelt werden können - und welche Umwandlungen prinzipiell unmöglich sind. Sie gehören zu den am besten bestätigten Naturgesetzen überhaupt.

Der 0. Hauptsatz stellt fest, dass thermisches Gleichgewicht transitiv ist: Sind zwei Körper je mit einem dritten im Gleichgewicht, dann auch untereinander. Erst das macht die Temperatur zu einer eindeutigen Messgröße und das Thermometer überhaupt möglich.

Der 1. Hauptsatz ist die Energieerhaltung in Wärmeprozessen:

\Delta U=Q+W

- die innere Energie eines Systems ändert sich durch zugeführte Wärme

Q

und am System verrichtete Arbeit

W

. Auf die Vorzeichenkonvention ist zu achten (

Q>0

: Wärme zugeführt,

W>0

: Arbeit am System geleistet).

Der 2. Hauptsatz gibt den Prozessen eine Richtung: In einem abgeschlossenen System kann die Entropie nur zunehmen oder gleich bleiben, und Wärme fließt von selbst stets von warm nach kalt, nie umgekehrt. In der Formulierung von Kelvin und Planck heißt das: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art - Wärme lässt sich nie vollständig in Arbeit umwandeln.

Der 3. Hauptsatz besagt, dass der absolute Nullpunkt nicht in endlich vielen Schritten erreichbar ist und die Entropie eines idealen Kristalls für

T\to 0

verschwindet. Er fixiert den Nullpunkt der Entropieskala.

Technisch werden diese Sätze in Kreisprozessen umgesetzt - Carnot, Stirling, Otto und Diesel (). Jeder reale Wirkungsgrad bleibt unter dem nur von den Temperaturen abhängigen Carnot-Limit

\eta_{C}=1-T_{\text{kalt}}/T_{\text{warm}}

, das die prinzipielle Obergrenze markiert.

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 2Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

\Delta U = Q + W

1. Hauptsatz (Energieerhaltung)

\eta_{C}=1-\dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

COP_{Kühl}=\dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}-T_{kalt}}

Carnot-Leistungsziffer (Kühlmaschine)

Musterbeispiel

Maximalwirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine

Eine Dampfturbine arbeitet zwischen $T_{warm}=550$ K und $T_{kalt}=300$ K. Welchen maximalen Wirkungsgrad kann sie erreichen?

Carnot-Formel
Der obere Grenzwert hängt nur von den beiden absoluten Temperaturen ab: $\eta_{C}=1-T_{kalt}/T_{warm}$ . Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden.
Einsetzen
$\eta_{C}=1-300/550=1-0{,}545=0{,}455$ .
Interpretation
Der Carnot-Wirkungsgrad ist eine prinzipielle Obergrenze für jede zwischen diesen Reservoirs arbeitende Maschine. Reale Turbinen liegen wegen Reibung, Wärmeleitung und endlicher Prozessgeschwindigkeit darunter; eine größere Temperaturdifferenz hebt die Grenze an.

Ergebnis: Maximalwirkungsgrad $\approx 45{,}5\%$ . Reale Turbinen erreichen ca. $35-40\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der 1. Hauptsatz ist die Energieerhaltung in der Thermodynamik.
2
Der 2. Hauptsatz beschränkt die Richtung spontaner Prozesse - Entropie nimmt zu.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
3
Der Carnot-Wirkungsgrad ist die theoretische Obergrenze für jede Wärmekraftmaschine.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Formuliere die ersten beiden Hauptsätze der Thermodynamik und erläutere ihre Bedeutung am Beispiel eines Verbrennungsmotors. Berechne den Carnot-Wirkungsgrad für einen Motor mit

T_{warm}=900

K und

T_{kalt}=350

K und diskutiere, warum reale Wirkungsgrade deutlich darunter liegen.

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Typische Fehler

Falsche Vorzeichenkonvention bei $W$ .
Carnot-Wirkungsgrad überschritten (verstößt gegen 2. Hauptsatz).
Entropie als Energie statt als Zustandsgröße $S$ beschrieben.

Aktive Wiederholung

Eine Kühlmaschine entzieht einem Innenraum bei $5^{\circ}$ C während einer Stunde $3{,}6$ MJ Wärme und gibt diese an die Umgebung bei $25^{\circ}$ C ab. Berechne die maximale Leistungsziffer und vergleiche mit dem Carnot-Idealwert.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.044 - Statistical Physics (MIT OpenCourseWare)

Wärmekapazität und Phasenübergänge#

StandardPHY-Therm-3.3

Um einen Stoff zu erwärmen, muss man Wärme zuführen:

Q=c\,m\,\Delta T

. Die spezifische Wärmekapazität

c

gibt an, wie viel Energie ein Kilogramm pro Kelvin Temperaturanstieg aufnimmt. Verschiedene Stoffe brauchen sehr unterschiedlich viel - Metalle wenig, Wasser außergewöhnlich viel.

Wasser hat mit

c\approx 4{,}18

kJ/(kg K) eine der höchsten Wärmekapazitäten überhaupt und ist deshalb ein hervorragender Wärmespeicher. Das erklärt das milde Klima an Küsten und den Einsatz von Wasser als Kühl- und Heizmittel: Es nimmt viel Energie auf, ohne sich stark zu erwärmen.

Bei einem Phasenübergang bleibt die Temperatur trotz Wärmezufuhr konstant, weil die Energie das Aufbrechen der Bindungen leistet (latente Wärme):

Q=L_{s}\,m

beim Schmelzen,

Q=L_{v}\,m

beim Verdampfen. Im

T

-

Q

-Diagramm erscheinen diese Übergänge als waagrechte Plateaus ().

Erwärmungskurve von Wasser mit Schmelz- und Siedeplateau

Abb. 3Während eines Phasenübergangs bleibt die Temperatur trotz Wärmezufuhr konstant (latente Wärme).

Für Wasser ist die Schmelzwärme

L_{\text{Schmelz}}=334

kJ/kg, die Verdampfungswärme sogar

L_{\text{Verdampf}}=2257

kJ/kg - Verdampfen kostet also rund siebenmal mehr Energie als Schmelzen. Deshalb kühlt verdunstender Schweiß so wirksam und dauert das Verdampfen viel länger als das Schmelzen gleicher Massen.

Bei Mischungsaufgaben gilt die Energieerhaltung: Die abgegebene Wärme des wärmeren Körpers ist gleich der aufgenommenen des kälteren, also

\sum m_{i}c_{i}(T_{i}-T_{m})=0

. Wichtig ist, mögliche Phasenübergänge (schmelzendes Eis) als eigene Energieposten mitzudenken.

Mehrstufige Aufgaben zerlegt man konsequent in Heizphasen (

Q=cm\Delta T

) und Phasenübergänge (

Q=Lm

) und addiert die Teilenergien. Ein Einheitencheck (kJ gegen J) verhindert Größenordnungsfehler, die hier besonders häufig sind.

Q=c\,m\,\Delta T,\quad Q=L_{s}\,m \;\text{(Phasenübergang)}

Wärme und latente Wärme

\dot Q = \lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

Wärmeleitung (Fourier)

Musterbeispiel

Mischungstemperatur

$200$ g Wasser von $80^{\circ}$ C werden mit $300$ g Wasser von $20^{\circ}$ C vermischt. Welche Mischungstemperatur stellt sich ein? $c_{W}=4{,}18$ kJ/(kg K).

Energiebilanz
$m_{1} c (T_{1}-T_{m}) = m_{2} c (T_{m}-T_{2})$ .
Auflösen
$T_{m}=\dfrac{m_{1} T_{1}+m_{2} T_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ .
Einsetzen
$T_{m}=\dfrac{0{,}2\cdot 80+0{,}3\cdot 20}{0{,}5}=\dfrac{16+6}{0{,}5}=44^{\circ}$ C.

Ergebnis: Mischungstemperatur $44^{\circ}$ C.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Wärmekapazität gibt an, wie viel Energie ein Stoff pro Kelvin Temperaturänderung aufnimmt.
2
Bei Phasenübergängen bleibt die Temperatur konstant, obwohl Energie zugeführt wird - das ist latente Wärme.
3
Energiebilanzen helfen, Mischungstemperaturen oder Heizdauern zu berechnen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Begriff der spezifischen Wärmekapazität und beschreibe, warum Wasser ein besonders guter Wärmespeicher ist. Bestimme die Endtemperatur, wenn

50

g Aluminium (

c=897

J/(kg K)) der Temperatur

150^{\circ}

C in

200

g Wasser von

20^{\circ}

C gelegt werden.

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Typische Fehler

Latente Wärme beim Schmelzen/Verdampfen vergessen.
Spezifische Wärmekapazität von Wasser auf andere Stoffe übertragen.
Verwendung von $\Delta T$ in Celsius statt Kelvin - identisch, aber Abstand!.

Aktive Wiederholung

Wie viel Energie ist nötig, um $250$ g Eis von $-10^{\circ}$ C in Wasserdampf von $100^{\circ}$ C zu verwandeln? ( $c_{Eis}=2{,}1$ kJ/(kg K), $L_{S}=334$ kJ/kg, $c_{W}=4{,}18$ kJ/(kg K), $L_{V}=2257$ kJ/kg.)

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Heat and Heat Transfer (OpenStax)

Zustandsänderungen idealer Gase#

VertiefungPHY-Therm-3.4

Eine Zustandsänderung eines Gases analysiert man, indem man eine Zustandsgröße konstant hält und den 1. Hauptsatz

\Delta U=Q+W

darauf anwendet. Die vier Standardfälle - isotherm, isobar, isochor, adiabatisch - decken die meisten Maturaaufgaben ab und lassen sich im

p

-

V

-Diagramm unterscheiden ().

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 4Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

Isotherm (

T=\text{const}

): Es gilt

pV=\text{const}

, die innere Energie ändert sich nicht (

\Delta U=0

), und die gesamte Volumenarbeit

W=nRT\ln(V_{1}/V_{2})

wird als Wärme ausgetauscht. Im Diagramm ist die Isotherme eine Hyperbel.

Isobar (

p=\text{const}

): Hier gilt

V/T=\text{const}

, und das Gas verrichtet die Volumenarbeit

W=p\,\Delta V=nR\,\Delta T

. Die zugeführte Wärme verteilt sich auf innere Energie und diese Arbeit.

Isochor (

V=\text{const}

): Wegen

p/T=\text{const}

und unveränderlichem Volumen wird keine Arbeit verrichtet (

W=0

); die gesamte zugeführte Wärme erhöht allein die innere Energie und damit die Temperatur.

Adiabatisch (

Q=0

): Ohne Wärmeaustausch - etwa bei sehr schnellen Vorgängen - gilt

pV^{\kappa}=\text{const}

mit dem Adiabatenexponenten

\kappa=c_{p}/c_{V}

. Die Adiabate verläuft im

p

-

V

-Diagramm steiler als die Isotherme, weil sich das Gas beim Komprimieren zusätzlich erwärmt.

Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab:

\Delta U=nC_{V}\Delta T

, unabhängig vom Weg. Im

p

-

V

-Diagramm ist die von einem Kreisprozess eingeschlossene Fläche gleich der pro Umlauf gewonnenen Nutzarbeit - die Grundlage jeder Wärmekraftmaschine.

W_{isobar}=p\,\Delta V=nR\,\Delta T

Isobare Volumenarbeit

p\,V^{\kappa}=\text{const},\quad \kappa=\dfrac{c_{p}}{c_{V}}

Adiabatengleichung

Musterbeispiel

Isobare Erwärmung von einem Mol Gas

$n=1$ mol, $p=$ const, $T:300\to 400$ K, $C_{p}=\tfrac{5}{2}R$ , $C_{V}=\tfrac{3}{2}R$ .

Volumenarbeit
$W=nR\,\Delta T=1\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 831$ J.
Zugeführte Wärme
$Q=nC_{p}\Delta T=1\cdot\tfrac{5}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 2079$ J.
Innere Energie
$\Delta U=nC_{V}\Delta T=1\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 1247$ J.
Kontrolle
$\Delta U=Q-W=2079-831=1248$ J - konsistent.

Ergebnis: Volumenarbeit $\approx 831$ J, Wärme $\approx 2079$ J, davon $\approx 1247$ J als innere Energie.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Jede Zustandsänderung hält eine Größe konstant - Temperatur, Druck, Volumen oder den Wärmeaustausch.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
2
Der 1. Hauptsatz verbindet für jeden Prozess innere Energie, Wärme und Arbeit.
3
Im p-V-Diagramm ist die eingeschlossene Fläche eines Kreisprozesses die Nutzarbeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe isotherme, isobare, isochore und adiabatische Zustandsänderungen eines idealen Gases und ordne sie im p-V-Diagramm ein. Wie wendet man jeweils den 1. Hauptsatz an?

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Typische Fehler

Bei isochorer Änderung fälschlich Volumenarbeit angesetzt.
Adiabatengleichung mit der Isothermengleichung verwechselt (Exponent $\kappa$ vergessen).
Bei isothermer Änderung $\Delta U\neq 0$ angenommen.

Aktive Wiederholung

$1$ mol ideales Gas wird bei konstantem Druck $p=1{,}0$ bar von $300$ K auf $400$ K erwärmt. Berechne die Volumenarbeit und die zugeführte Wärme ( $C_{p}=\tfrac{5}{2}R$ , $C_{V}=\tfrac{3}{2}R$ , $R=8{,}314$ J/(mol K)).

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Thermodynamic Processes (OpenStax)

Wärmetransport - Leitung, Konvektion, Strahlung#

StandardPHY-Therm-3.5

Wärme kann auf drei grundverschiedene Arten transportiert werden: durch Leitung (vor allem in Festkörpern), durch Konvektion (in strömenden Fluiden) und durch Strahlung (sogar im Vakuum). In realen Situationen wirken meist mehrere Mechanismen zugleich.

Bei der Wärmeleitung wandert Energie durch Stöße von Teilchen zu Teilchen, ohne dass Materie transportiert wird. Das Fourier-Gesetz

\dot Q=\lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

() zeigt: Der Wärmestrom wächst mit Fläche und Temperaturdifferenz und sinkt mit der Schichtdicke. Metalle haben ein großes

\lambda

(gute Leiter), Dämmstoffe und Luft ein kleines.

Wärmeleitung durch eine Wand (Fourier)

Abb. 5Der Wärmestrom

\dot Q=\lambda A\,\Delta T/d

wächst mit Fläche und Temperaturdifferenz, sinkt mit der Wanddicke.

Bei der Konvektion transportiert das strömende Fluid die Wärme selbst mit: Warmes, weniger dichtes Material steigt auf, kühleres sinkt ab. Das treibt Heizkörper im Raum, den Golfstrom im Ozean und das gesamte Wettergeschehen an.

Jeder Körper sendet allein aufgrund seiner Temperatur Wärmestrahlung aus; nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die Strahlungsleistung

P=\varepsilon\sigma A T^{4}

. Die vierte Potenz ist entscheidend: Verdoppelt sich die absolute Temperatur, steigt die Abstrahlung auf das Sechzehnfache. Strahlung benötigt kein Medium - so erreicht uns die Sonnenenergie durch das Vakuum.

Wärmedämmung nutzt diese Gesetze gezielt: dicke Schichten mit kleiner Leitfähigkeit, mehrfache ruhende Luftschichten (Doppelverglasung) gegen Leitung und Konvektion sowie reflektierende, blanke Oberflächen gegen Strahlung.

Beim Treibhauseffekt dringt die kurzwellige Sonnenstrahlung weitgehend ungehindert bis zum Boden, während die von der erwärmten Erde ausgehende langwellige Wärmestrahlung von Treibhausgasen absorbiert und teilweise zurückgestrahlt wird. Diese Rückstrahlung erhöht die Oberflächentemperatur - ohne sie wäre die Erde global vereist.

\dot Q=\lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

Wärmeleitung (Fourier)

P=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}

Wärmestrahlung (Stefan-Boltzmann)

Musterbeispiel

Wärmeverlust durch ein Einfachglasfenster

$A=2{,}0$ m $^{2}$ , $d=4{,}0$ mm, $\lambda=0{,}80$ W/(m K), $\Delta T=20$ K.

Fourier
$\dot Q=\lambda A\Delta T/d$ .
Einsetzen
$\dot Q=0{,}80\cdot 2{,}0\cdot 20/0{,}004=8000$ W.
Vergleich
Doppelverglasung mit Luftschicht (kleines $\lambda$ , grosses $d$ ) senkt den Verlust um etwa eine Größenordnung.

Ergebnis: Der idealisierte Wärmestrom beträgt $8$ kW; reale Fenster sind durch Grenzschichten und Mehrfachverglasung deutlich besser.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wärme wird durch Leitung, Konvektion und Strahlung transportiert - nur Strahlung braucht kein Medium.
2
Das Fourier-Gesetz beschreibt, wie schnell Wärme durch eine Wand fliesst.
3
Die Strahlungsleistung wächst mit der vierten Potenz der Temperatur - zentral für Sterne und den Treibhauseffekt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe die drei Arten des Wärmetransports mit je einem Alltagsbeispiel. Erläutere, wie Gebäudedämmung physikalisch wirkt, und welche Rolle die Stefan-Boltzmann-Strahlung beim Treibhauseffekt spielt.

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Typische Fehler

Konvektion in Festkörpern angenommen (dort dominiert Leitung).
Temperatur bei Stefan-Boltzmann in Celsius statt Kelvin eingesetzt.
Schichtdicke und Fläche in der Fourier-Formel vertauscht.

Aktive Wiederholung

Ein Einfachglasfenster (Fläche $2{,}0$ m $^{2}$ , Dicke $4{,}0$ mm, $\lambda=0{,}80$ W/(m K)) trennt $21^{\circ}$ C innen von $1^{\circ}$ C aussen. Berechne den Wärmestrom und vergleiche qualitativ mit Doppelverglasung.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Heat Transfer Methods (OpenStax)

Entropie und Irreversibilität#

VertiefungPHY-Therm-3.6

Die Entropie

S

ist die Zustandsgröße, die festlegt, in welche Richtung Prozesse von selbst ablaufen. Bei reversibler Wärmezufuhr ändert sie sich um

\Delta S=\dfrac{Q_{rev}}{T}

- dieselbe Wärmemenge erzeugt bei tiefer Temperatur mehr Entropie als bei hoher.

Statistisch gedeutet (Boltzmann) ist

S=k_{B}\ln W

, wobei

W

die Zahl der mikroskopischen Anordnungen zählt, die denselben makroskopischen Zustand ergeben. Ein „unordentlicher", wahrscheinlicherer Zustand hat mehr Mikrozustände und damit höhere Entropie - Entropiezunahme ist der Lauf zum Wahrscheinlicheren.

Der 2. Hauptsatz lautet in dieser Sprache: In einem abgeschlossenen System nimmt die Gesamtentropie nie ab (

\Delta S\geq 0

). Reversible (ideale) Prozesse halten

\Delta S=0

, alle realen, irreversiblen Prozesse erzeugen Entropie.

Daraus folgt die Alltagsbeobachtung, dass Wärme von selbst nur von warm nach kalt fließt: Dabei sinkt zwar die Entropie des warmen Reservoirs, die des kalten steigt aber stärker, sodass die Gesamtbilanz positiv ist. Der umgekehrte Vorgang würde die Gesamtentropie senken und ist ohne äußeren Aufwand (Kühlmaschine) unmöglich.

Wichtig: Die Entropie eines Teilsystems darf durchaus abnehmen (etwa Wasser, das zu Eis gefriert) - der 2. Hauptsatz verlangt nur, dass die Summe aus System und Umgebung nicht abnimmt. Lokale Ordnung wird stets durch größere Unordnung anderswo „erkauft".

Die Entropie gibt der Zeit eine Richtung (den thermodynamischen Zeitpfeil) und begrenzt zugleich die Umwandelbarkeit von Wärme in Arbeit. Genau deshalb kann keine Maschine den Carnot-Wirkungsgrad überschreiten, wie er sich aus den Kreisprozessen ergibt ().

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 6Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

\Delta S=\dfrac{Q_{rev}}{T},\quad S=k_{B}\ln W

Entropie - thermodynamisch und statistisch

Musterbeispiel

Entropiebilanz bei Wärmeleitung

$Q=1000$ J von $T_{w}=400$ K zu $T_{k}=300$ K.

Warmes Reservoir
$\Delta S_{w}=-Q/T_{w}=-1000/400=-2{,}50$ J/K.
Kaltes Reservoir
$\Delta S_{k}=+Q/T_{k}=+1000/300\approx +3{,}33$ J/K.
Gesamt
$\Delta S_{ges}=-2{,}50+3{,}33=+0{,}83$ J/K $>0$ .

Ergebnis: Die Gesamtentropie steigt um $\approx 0{,}83$ J/K - der Prozess ist irreversibel und läuft spontan nur in dieser Richtung.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Entropie ist eine Zustandsgröße und ein Mass für die Unordnung eines Systems.
2
Im abgeschlossenen System kann die Gesamtentropie nie abnehmen - das ist der 2. Hauptsatz.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
3
Die Entropie gibt der Zeit eine Richtung und begrenzt die Umwandlung von Wärme in Arbeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Begriff der Entropie thermodynamisch und statistisch. Begründe mit der Entropie, warum Wärme spontan nur von warm nach kalt fliesst und warum kein perpetuum mobile 2. Art möglich ist.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Entropie als Energie statt als Zustandsgröße behandelt.
Entropieabnahme eines Teilsystems als Verstoss gegen den 2. Hauptsatz gedeutet (nur die Gesamtbilanz zählt).
Temperatur bei $\Delta S=Q/T$ in Celsius eingesetzt.

Aktive Wiederholung

Eine Wärmemenge $Q=1000$ J fliesst von einem Reservoir bei $400$ K zu einem bei $300$ K. Berechne die Entropieänderung beider Reservoire und der Gesamtanordnung und interpretiere das Vorzeichen.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.044 - Statistical Physics (MIT OpenCourseWare)