Astrophysik und Kosmologie — Physik · Matura-Zusammenfassung

Sonnensystem und Kepler-Gesetze#

StandardPHY-Astro-9.1

Johannes Kepler fasste die Planetenbewegung in drei empirischen Gesetzen zusammen. Das 1. Kepler-Gesetz besagt: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht - nicht auf perfekten Kreisen, wie man jahrhundertelang angenommen hatte.

Das 2. Kepler-Gesetz (Flächensatz): Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Folglich ist ein Planet nahe der Sonne (im Perihel) schneller als in Sonnenferne (Aphel) - eine direkte Folge der Drehimpulserhaltung.

Das 3. Kepler-Gesetz verknüpft verschiedene Planeten miteinander:

T^{2}/a^{3}=\text{const}=4\pi^{2}/(G M)

. Trägt man die Umlaufzeit über der großen Halbachse

a

auf, ergibt sich die Kurve

T=a^{3/2}

() - fernere Planeten brauchen überproportional länger für einen Umlauf.

Drittes Kepler-Gesetz - Umlaufzeit und Bahnradius

Abb. 1Aus

T^{2}\propto a^{3}

folgt

T=a^{3/2}

(in AE bzw. Jahren); fernere Planeten brauchen überproportional länger.

Newton zeigte, dass alle drei Kepler-Gesetze aus seinem Gravitationsgesetz

F=G m_{1}m_{2}/r^{2}

folgen. Damit waren die himmlische und die irdische Mechanik vereinheitlicht: Derselbe fallende Apfel und der die Erde umkreisende Mond gehorchen demselben Gesetz.

Erdsatelliten nutzen je nach Aufgabe verschiedene Bahnhöhen: niedrige Umlaufbahnen (LEO, etwa das Hubble-Teleskop und die ISS), mittlere (MEO, etwa die GPS-Satelliten) und die geostationäre Bahn (GEO), auf der ein Satellit synchron zur Erddrehung über demselben Punkt steht (Wetter- und Fernsehsatelliten).

Um das Schwerefeld der Erde dauerhaft zu verlassen, ist die Fluchtgeschwindigkeit

v_{F}=\sqrt{2 g R_{E}}\approx 11{,}2

km/s nötig. Sie ist sorgfältig von der ersten kosmischen Geschwindigkeit (Kreisbahn,

\approx 7{,}9

km/s) zu unterscheiden - der Unterschied beträgt genau den Faktor

\sqrt 2

.

\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}

3. Keplersches Gesetz

F=G\,\dfrac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

Newtonsches Gravitationsgesetz

Musterbeispiel

Geostationäre Satellitenbahn

Berechne die Bahnhöhe eines geostationären Satelliten ( $T=24$ h) über der Erdoberfläche. ( $M_{E}=5{,}972\cdot 10^{24}$ kg, $R_{E}=6371$ km).

Kepler 3
$a^{3}=\dfrac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}$ .
Einsetzen
$T=86400$ s; $G M=6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}\approx 3{,}986\cdot 10^{14}$ m $^{3}$ /s $^{2}$ .
Bahnradius
$a=(3{,}986\cdot 10^{14}\cdot 86400^{2}/4\pi^{2})^{1/3}\approx 4{,}22\cdot 10^{7}$ m $= 42\,200$ km.
Höhe
$h=a-R_{E}\approx 35\,800$ km.

Ergebnis: Geostationärer Satellit kreist in ca. $35\,800$ km Höhe.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Kepler beschrieb empirisch die Planetenbahnen, Newton lieferte mit dem Gravitationsgesetz die theoretische Begründung.
2
Aus dem 3. Kepler-Gesetz kann man Massen zentraler Körper bestimmen.
3
Satellitenbahnen folgen denselben Gesetzen wie Planeten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die drei Keplerschen Gesetze und ihre Begründung durch Newtons Gravitationsgesetz. Bestimme aus dem 3. Kepler-Gesetz die Umlaufzeit der Erde um die Sonne, wenn die mittlere Entfernung

1

AE

=1{,}496\cdot 10^{11}

m beträgt (

M_{\odot}=1{,}989\cdot 10^{30}

kg).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

3. Kepler ohne Quadrat oder Kubik geschrieben.
Fluchtgeschwindigkeit mit erster kosmischer Geschwindigkeit verwechselt.
Gravitationskonstante $G$ mit Erdbeschleunigung $g$ verwechselt.

Aktive Wiederholung

Berechne die Umlaufdauer eines Satelliten in $400$ km Höhe (typisch ISS) und vergleiche sie mit der ISS-Beobachtung ( $T\approx 92$ min).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Gravitation (OpenStax)

Sterne, Sternentwicklung, HR-Diagramm#

StandardPHY-Astro-9.2

Sterne sind selbstleuchtende Plasmakugeln, in deren Kern durch den enormen Druck Wasserstoff zu Helium fusioniert. Diese Kernfusion ist ihre Energiequelle und hält sie über Milliarden Jahre im Gleichgewicht zwischen der nach innen ziehenden Gravitation und dem nach außen drückenden Strahlungs- und Gasdruck.

Das Hertzsprung-Russell-Diagramm ordnet Sterne nach Leuchtkraft (senkrecht) und Oberflächentemperatur bzw. Spektraltyp (waagrecht - Achtung: heiß links) (). Die meisten Sterne liegen auf der diagonalen Hauptreihe; abseits davon stehen die kühlen, hellen Riesen und die heißen, leuchtschwachen Weißen Zwerge.

Hertzsprung-Russell-Diagramm

Abb. 2Leuchtkraft gegen Spektraltyp/Temperatur; Hauptreihe, Riesen und Weisse Zwerge.

Die Entwicklung eines Sterns hängt entscheidend von seiner Masse ab. Ein sonnenähnlicher Stern durchläuft die Folge Hauptreihe → Roter Riese → Abstoßung eines Planetarischen Nebels → Weißer Zwerg, der dann über sehr lange Zeit auskühlt.

Massereiche Sterne enden dagegen dramatisch in einer Supernova-Explosion; zurück bleibt - je nach Masse - ein extrem dichter Neutronenstern oder ein Schwarzes Loch. In solchen Explosionen entstehen die schweren Elemente, aus denen später Planeten und Lebewesen aufgebaut sind.

Die Energie stammt aus der Kernfusion: in sonnenähnlichen Sternen über die Proton-Proton-Kette, in massereicheren über den CNO-Zyklus, jeweils mit einigen MeV pro Reaktion. Das verknüpft die Astrophysik unmittelbar mit der Kernphysik.

Über das Stefan-Boltzmann-Gesetz hängt die Leuchtkraft mit Radius und Temperatur zusammen:

L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}

. So lässt sich aus messbaren Größen die Leuchtkraft berechnen; die Sonne hat

L_{\odot}=3{,}828\cdot 10^{26}

W und eine Lebensdauer von rund

10^{10}

Jahren.

L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}

Leuchtkraft eines Schwarzen Strahlers

Musterbeispiel

Leuchtkraft eines Sterns

$R=1{,}5 R_{\odot}$ , $T=7000$ K; $L$ in Sonneneinheiten.

Verhältnis
$L/L_{\odot}=(R/R_{\odot})^{2}(T/T_{\odot})^{4}=1{,}5^{2}\cdot(7000/5800)^{4}$ .
Auswertung
$=2{,}25\cdot 2{,}12\approx 4{,}77$ .

Ergebnis: Stern ist ca. $4{,}8$ mal so hell wie die Sonne.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das HR-Diagramm sortiert Sterne nach Temperatur und Leuchtkraft.
Hertzsprung-Russell-Diagramm
Abb.Leuchtkraft gegen Spektraltyp/Temperatur; Hauptreihe, Riesen und Weisse Zwerge.
2
Die meisten Sterne liegen auf der Hauptreihe und fusionieren Wasserstoff.
3
Massereiche Sterne enden spektakulär in Supernovae, leichte als Weisse Zwerge.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere das Hertzsprung-Russell-Diagramm und skizziere die Entwicklung eines sonnenähnlichen Sterns. Welche Energiequelle hält die Sonne stabil?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

HR-Diagramm-Temperaturachse falsch (warm links!).
Sternentwicklung massearmer und massereicher Sterne vermischt.
Sonnenmasse mit Erdmasse verwechselt.

Aktive Wiederholung

Schätze die Leuchtkraft eines Sterns mit Radius $1{,}5 R_{\odot}$ und Oberflächentemperatur $7000$ K. Vergleiche mit der Sonne ( $T_{\odot}=5800$ K, $L_{\odot}=1$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax Astronomy - Stars (OpenStax)

Urknall, Hubble-Lemaitre und kosmische Hintergrundstrahlung#

VertiefungPHY-Astro-9.3

Edwin Hubble entdeckte 1929, dass sich praktisch alle Galaxien von uns entfernen, und zwar umso schneller, je weiter sie weg sind: das Hubble-Lemaitre-Gesetz

v=H_{0}\,d

mit

H_{0}\approx 70

km/(s·Mpc) (). Das ist die Schlüsselbeobachtung für ein expandierendes Universum.

Hubble-Lemaitre-Gesetz

Abb. 3Die Fluchtgeschwindigkeit der Galaxien wächst linear mit der Entfernung:

v=H_{0}\,d

.

Wichtig ist die richtige Deutung: Der Urknall war keine Explosion an einem Ort im Raum, sondern die Expansion des Raumes selbst. Es gibt keinen Mittelpunkt - von jeder Galaxie aus sieht es so aus, als würden sich alle anderen entfernen.

Rückwärts gerechnet begann das Universum vor etwa

13{,}8

Milliarden Jahren in einem heißen, dichten Zustand. Zu den frühen Phasen zählen die Inflation (eine extrem schnelle Ausdehnung) und die primordiale Nukleosynthese, in der die leichten Kerne Wasserstoff, Helium und Spuren von Lithium entstanden.

Den direktesten Beleg liefert die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMB): eine nahezu isotrope Schwarzkörperstrahlung bei

T\approx 2{,}7

K, das „Nachglühen" aus der Zeit rund

380\,000

Jahre nach dem Urknall, als das Universum durchsichtig wurde.

Überraschend ist die Energiebilanz: Sichtbare Materie macht nur etwa

5\%

aus. Rund

27\%

entfallen auf Dunkle Materie (gravitativ wirksam, aber unsichtbar - erkennbar an den Rotationskurven der Galaxien) und etwa

68\%

auf die Dunkle Energie.

Die Dunkle Energie treibt eine seit einigen Milliarden Jahren beschleunigte Expansion an (1998 an fernen Supernovae entdeckt). Das heutige Standardmodell der Kosmologie (

\Lambda

CDM) beschreibt all diese Beobachtungen mit bemerkenswerter Präzision, lässt die Natur von Dunkler Materie und Energie aber offen.

v=H_{0}\,d

Hubble-Lemaitre-Gesetz

z=\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}\approx \dfrac{v}{c}\;\;(v\ll c)

Rotverschiebung (klein)

Musterbeispiel

Galaxiendistanz aus Rotverschiebung

Eine Galaxie zeigt eine Rotverschiebung $z=0{,}01$ . Welche Entfernung folgt mit $H_{0}=70$ km/(s Mpc)?

Fluchtgeschwindigkeit
$v\approx z c\approx 0{,}01\cdot 3\cdot 10^{5}$ km/s $= 3000$ km/s.
Hubble
$d=v/H_{0}=3000/70\approx 42{,}9$ Mpc.
Umrechnung
$1$ Mpc $\approx 3{,}26$ Mio. Lichtjahre, also ca. $140$ Mio. Lj.

Ergebnis: Galaxie ca. $43$ Mpc bzw. $140$ Millionen Lichtjahre entfernt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Galaxien entfernen sich proportional zu ihrer Distanz - Hubbles Entdeckung von 1929.
2
Das Urknall-Modell beschreibt nicht eine Explosion, sondern die Expansion des Raumes selbst.
3
Die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung ist das Echo der Rekombinationsphase nach 380 000 Jahren.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe die wichtigsten Beobachtungen, die das Urknall-Modell stützen, und erläutere die Bedeutung der Hubble-Konstanten. Was unterscheidet dunkle Materie von dunkler Energie?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Urknall als Explosion im Raum statt Expansion des Raumes verstanden.
CMB-Temperatur in Celsius angegeben.
Dunkle Materie mit Dunkler Energie verwechselt.

Aktive Wiederholung

Berechne die Entfernung einer Galaxie mit Rotverschiebung $z=0{,}05$ mithilfe des Hubble-Gesetzes.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax Astronomy - Cosmology (OpenStax)

Gravitation, Bahnen und kosmische Geschwindigkeiten#

StandardPHY-Astro-9.4

Die Newtonsche Gravitation

F=G m_{1}m_{2}/r^{2}

hält Planeten, Monde und Satelliten auf ihren Bahnen: Die Anziehung zum Zentralkörper liefert genau die Zentripetalkraft, die für die Kreis- oder Ellipsenbahn nötig ist ().

Satellit auf Kreisbahn

Abb. 4Die Gravitation

F_{G}

wirkt zum Zentralkörper und liefert die Zentripetalkraft; die Bahngeschwindigkeit

v

steht senkrecht dazu.

Die erste kosmische Geschwindigkeit ist die Bahngeschwindigkeit für eine Kreisbahn knapp über der Oberfläche:

v_{1}=\sqrt{g R}\approx 7{,}9

km/s für die Erde. Mit ihr fällt ein Körper gerade so schnell „um die Erde herum", dass er nie auf dem Boden ankommt.

Um das Gravitationsfeld dauerhaft zu verlassen, braucht es die um den Faktor

\sqrt 2

größere Fluchtgeschwindigkeit

v_{F}=\sqrt{2 g R}\approx 11{,}2

km/s. Der Unterschied - auf der Kreisbahn bleiben oder entkommen - ist eine klassische Verwechslungsfalle.

Die Gravitationsfeldstärke

g=G M/r^{2}

nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab. In

400

km Höhe (ISS) beträgt sie deshalb noch rund

90\%

des Oberflächenwertes - die Erdanziehung ist dort fast unvermindert vorhanden.

Die Bahnenergie eines Satelliten ist

E=-\dfrac{G M m}{2 r}

. Das negative Vorzeichen kennzeichnet einen gebundenen Zustand; bemerkenswert ist, dass ein Satellit auf einer engeren Bahn zwar schneller fliegt, aber eine kleinere (negativere) Gesamtenergie besitzt.

Daraus erklärt sich die Schwerelosigkeit im Orbit: Astronauten sind nicht der Gravitation entzogen, sondern befinden sich mit ihrer Station im freien Fall um die Erde. Weil alles gleich schnell fällt, spüren sie kein Gewicht - genau wie in einem frei fallenden Aufzug.

v_{1}=\sqrt{\dfrac{G M}{R}}=\sqrt{g R}

Erste kosmische Geschwindigkeit

v_{F}=\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}=\sqrt{2 g R}

Fluchtgeschwindigkeit

Musterbeispiel

Kosmische Geschwindigkeiten der Erde

$g=9{,}81$ m/s $^{2}$ , $R_{E}=6{,}371\cdot 10^{6}$ m.

Erste kosmische
$v_{1}=\sqrt{g R}=\sqrt{9{,}81\cdot 6{,}371\cdot 10^{6}}\approx 7{,}9\cdot 10^{3}$ m/s.
Fluchtgeschwindigkeit
$v_{F}=\sqrt{2}\cdot v_{1}\approx 1{,}414\cdot 7{,}9\approx 11{,}2$ km/s.
Deutung
$v_{1}$ hält einen Satelliten auf Kreisbahn, $v_{F}$ ist nötig, um das Gravitationsfeld dauerhaft zu verlassen.

Ergebnis: $v_{1}\approx 7{,}9$ km/s, $v_{F}\approx 11{,}2$ km/s - die Fluchtgeschwindigkeit ist um den Faktor $\sqrt 2$ größer.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die erste kosmische Geschwindigkeit hält einen Körper auf einer Kreisbahn knapp über der Oberfläche.
2
Die Fluchtgeschwindigkeit ist um den Faktor Wurzel zwei größer und erlaubt das Entkommen.
3
Schwerelosigkeit im Orbit ist freier Fall - die Erdanziehung ist dort fast unvermindert vorhanden.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre den Unterschied zwischen erster kosmischer Geschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit. Warum sind Astronauten in der ISS schwerelos, obwohl die Erdanziehung dort fast genauso gross ist wie an der Oberfläche?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Fluchtgeschwindigkeit mit erster kosmischer Geschwindigkeit verwechselt (Faktor $\sqrt 2$ ).
Gravitation im Orbit als "null" angenommen.
Gravitationskonstante $G$ und Ortsfaktor $g$ verwechselt.

Aktive Wiederholung

Berechne die erste kosmische Geschwindigkeit und die Fluchtgeschwindigkeit für die Erde ( $g=9{,}81$ m/s $^{2}$ , $R_{E}=6371$ km) und erläutere den Unterschied physikalisch.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Satellites and Kepler Laws (OpenStax)

Entfernungsbestimmung und Beobachtungsmethoden#

VertiefungPHY-Astro-9.5

Kosmische Entfernungen lassen sich nicht direkt messen; man baut eine Entfernungsleiter aus mehreren Methoden, von denen jede die nächste eicht und größere Reichweiten erschließt. Keine einzelne Methode deckt alle Distanzen ab.

Die unterste Sprosse ist die trigonometrische Parallaxe: Ein naher Stern verschiebt sich im Lauf eines Jahres scheinbar vor dem Hintergrund, weil die Erde die Sonne umkreist (). Aus dem Parallaxenwinkel

p

folgt direkt die Entfernung

d[\text{pc}]=1/p[\text{arcsec}]

.

Trigonometrische Parallaxe

Abb. 5Ein naher Stern verschiebt sich im Lauf eines Jahres scheinbar; aus dem Parallaxenwinkel

p

folgt

d[\text{pc}]=1/p[\text{arcsec}]

.

Für größere Distanzen nutzt man Standardkerzen - Objekte bekannter Leuchtkraft. Aus dem Vergleich der bekannten absoluten mit der gemessenen scheinbaren Helligkeit folgt die Entfernung. Cepheiden (pulsierende Sterne mit Perioden-Leuchtkraft-Beziehung) und Supernovae vom Typ Ia reichen bis in ferne Galaxien.

Spektroskopische Methoden ordnen einem Stern über seinen Spektraltyp die absolute Helligkeit zu (Hauptreihen-Fitting) und liefern so ebenfalls Entfernungen. Sie verbinden die Sternphysik des HR-Diagramms direkt mit der Distanzbestimmung.

Die größten Distanzen erschließt schließlich die Rotverschiebung über das Hubble-Lemaitre-Gesetz: Je stärker das Licht einer Galaxie rotverschoben ist, desto weiter ist sie entfernt. So reicht die Leiter von Nachbarsternen bis an den Rand des beobachtbaren Universums.

Wichtig ist die saubere Einheitenführung:

1

pc

\approx 3{,}26

Lichtjahre

\approx 3{,}086\cdot 10^{16}

m,

1

AE

=1{,}496\cdot 10^{11}

m. Auch scheinbare (gemessene) und absolute (entfernungsbereinigte) Helligkeit sind streng zu unterscheiden.

d[\text{pc}]=\dfrac{1}{p[\text{arcsec}]}

Entfernung aus Parallaxe

Musterbeispiel

Entfernung aus der Parallaxe

Parallaxe $p=0{,}1$ Bogensekunden.

Parsec
$d=1/p=1/0{,}1=10$ pc.
Lichtjahre
$d=10\cdot 3{,}26\approx 32{,}6$ Lj.
Grenze
Für sehr ferne Sterne wird $p$ winzig und nicht mehr messbar; dann braucht man Standardkerzen oder die Rotverschiebung.

Ergebnis: Der Stern ist $10$ pc $\approx 32{,}6$ Lichtjahre entfernt; die Parallaxenmethode versagt bei zu kleinen Parallaxen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die kosmische Entfernungsleiter staffelt Messmethoden von nahen Sternen bis zu fernen Galaxien.
2
Die Parallaxe nutzt die scheinbare Sternbewegung übers Jahr; je kleiner der Winkel, desto weiter der Stern.
3
Standardkerzen mit bekannter Leuchtkraft und die Rotverschiebung erschliessen die ganz grossen Distanzen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe die kosmische Entfernungsleiter mit mindestens drei Methoden. Erkläre die trigonometrische Parallaxe und das Prinzip der Standardkerzen. Wie misst man die Entfernung sehr ferner Galaxien?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Parallaxe und Entfernung nicht reziprok behandelt.
Scheinbare und absolute Helligkeit verwechselt.
Einheiten pc, Lj und AE durcheinandergebracht.

Aktive Wiederholung

Ein Stern zeigt eine jährliche Parallaxe von $0{,}1$ Bogensekunden. Berechne seine Entfernung in Parsec und in Lichtjahren und nenne, für welche Distanzen diese Methode versagt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax Astronomy - Celestial Distances (OpenStax)

Strahlungshaushalt der Erde und Treibhauseffekt#

VertiefungPHY-Astro-9.6

Planck-Spektrum (qualitativ) bei T = 5800 K

Abb. 6Maximum bei

\lambda_{\max}

gemäß Wien.

Das Klima der Erde ergibt sich aus einer Strahlungsbilanz: einfallende Sonnenstrahlung gegen abgestrahlte Wärmestrahlung. Die Solarkonstante - die Strahlungsleistung der Sonne am Ort der Erde - beträgt

S\approx 1361

W/m

^{2}

und ist die Eingangsgröße dieser Bilanz.

Entscheidend ist die Geometrie: Die Erde fängt das Sonnenlicht nur auf ihrer Querschnittsfläche

\pi R^{2}

auf, strahlt aber über die gesamte Kugeloberfläche

4\pi R^{2}

ab. Daraus stammt der berühmte Faktor

\tfrac{1}{4}

in der Energiebilanz.

Im Strahlungsgleichgewicht gilt

S(1-A)\,\pi R^{2}=4\pi R^{2}\,\sigma T^{4}

, wobei die Albedo

A\approx 0{,}3

den von Wolken, Eis und Boden direkt zurückgeworfenen Anteil erfasst. Auflösen nach

T

liefert die Gleichgewichtstemperatur der Erde.

Diese rechnerische Gleichgewichtstemperatur beträgt nur etwa

255

K

=-18^{\circ}

C - deutlich unter der real gemessenen Durchschnittstemperatur von rund

+15^{\circ}

C. Die Differenz von rund

33

K ist das Werk des natürlichen Treibhauseffekts; ohne ihn wäre die Erde global vereist.

Der Treibhauseffekt entsteht, weil Treibhausgase (vor allem CO₂, Wasserdampf und Methan) für die kurzwellige Sonnenstrahlung weitgehend durchlässig sind, die langwellige Wärmeabstrahlung der Erde aber absorbieren und teilweise zur Oberfläche zurückstrahlen. Die Atmosphäre wirkt wie eine wärmende Decke.

Der vom Menschen verursachte (anthropogene) Anstieg dieser Gase verstärkt den Effekt und hebt die Gleichgewichtstemperatur an - das ist der physikalische Kern der globalen Erwärmung und die Brücke von der Physik zur Klimawissenschaft.

T=\left(\dfrac{S\,(1-A)}{4\,\sigma}\right)^{1/4}

Gleichgewichtstemperatur der Erde

Musterbeispiel

Gleichgewichtstemperatur der Erde

$S=1361$ W/m $^{2}$ , $A=0{,}3$ , $\sigma=5{,}67\cdot 10^{-8}$ W/(m $^{2}$ K $^{4}$ ).

Bilanz
$S(1-A)\pi R^{2}=4\pi R^{2}\sigma T^{4}\Rightarrow T=\left(\dfrac{S(1-A)}{4\sigma}\right)^{1/4}$ .
Zähler
$S(1-A)=1361\cdot 0{,}7\approx 952{,}7$ W/m $^{2}$ .
Einsetzen
$T=\left(\dfrac{952{,}7}{4\cdot 5{,}67\cdot 10^{-8}}\right)^{1/4}=(4{,}20\cdot 10^{9})^{1/4}$ .
Auswertung
$T\approx 255$ K $=-18^{\circ}$ C.

Ergebnis: Die Strahlungsbilanz liefert $\approx 255$ K; die reale Mitteltemperatur ( $+15^{\circ}$ C) ist um rund $33$ K höher - das ist der natürliche Treibhauseffekt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Erde absorbiert Sonnenstrahlung auf ihrer Querschnittsfläche und strahlt über die ganze Kugel ab.
2
Aus dieser Bilanz folgt eine Gleichgewichtstemperatur von etwa minus 18 Grad - ohne Atmosphäre.
3
Treibhausgase halten langwellige Abstrahlung zurück und heben die Temperatur auf lebensfreundliche Werte.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere das Strahlungsgleichgewicht der Erde und berechne die Gleichgewichtstemperatur. Erkläre physikalisch den natürlichen und den anthropogenen Treibhauseffekt.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Absorption über die gesamte Kugelfläche statt über den Querschnitt angesetzt (Faktor $4$ ).
Albedo vernachlässigt.
Temperatur in Celsius in Stefan-Boltzmann eingesetzt.

Aktive Wiederholung

Berechne die Gleichgewichtstemperatur der Erde aus dem Strahlungsbilanz-Modell ( $S=1361$ W/m $^{2}$ , Albedo $A=0{,}3$ , $\sigma=5{,}67\cdot 10^{-8}$ W/(m $^{2}$ K $^{4}$ )) und erkläre, warum die reale Temperatur höher ist.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Heat and the Greenhouse Effect (OpenStax)