AG 2 - Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Lineare Gleichungen und Ungleichungen#

BasisAG-2.1

Lineare Gleichung als Nullstelle einer Geraden

Abb. 1Die Lösung von

2x-4=0

ist die Nullstelle

x=2

der Geraden

y=2x-4

- ihr Schnittpunkt mit der

x

-Achse.

Eine lineare Gleichung

ax+b=0

enthält die Unbekannte nur in erster Potenz und besitzt - sofern

a\neq 0

- genau eine Lösung

x=-\tfrac{b}{a}

. Geometrisch ist das die einzige Nullstelle der Geraden

y=ax+b

.

Gelöst wird durch Äquivalenzumformungen: dieselbe Zahl auf beiden Seiten addieren oder subtrahieren, mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder dividieren. Jede dieser Operationen lässt die Lösungsmenge unverändert - die Waage bleibt im Gleichgewicht.

Bei Ungleichungen kommt eine zusätzliche Regel hinzu: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Das Übersehen dieses Vorzeichenwechsels ist der häufigste Punkteverlust im ganzen Kapitel.

Bruchgleichungen multipliziert man mit dem Hauptnenner; weil dabei der Nenner verschwindet, legt man vorher die Definitionsmenge fest und prüft am Ende, ob eine gefundene Lösung eine verbotene Nennernullstelle ist.

Lösungsmengen von Ungleichungen gibt man als Intervall (

(-\infty,2]

) oder in Mengenschreibweise (

\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}

) an: eckige Klammer bzw.

\le

heißt „Rand gehört dazu", runde Klammer bzw.

<

heißt „Rand ausgeschlossen".

Anschaulich beantwortet das Lösen die Frage, wo die Gerade

y=ax+b

den Wert null annimmt - dieselbe Nullstellensuche begegnet später bei jeder linearen Funktion (Thema FA) wieder.

x=-\dfrac{b}{a}

Lösung der linearen Gleichung ax+b=0, a≠0

Musterbeispiel

Lineare Ungleichung mit Vorzeichenwechsel

Löse $-2(x-3)+1\geq 5$ .

Klammer auflösen
$-2x+6+1\geq 5\Rightarrow -2x+7\geq 5$ .
7 subtrahieren
$-2x\geq -2$ .
Durch -2 dividieren
Ungleichheitszeichen umkehren: $x\leq 1$ .

Ergebnis: Lösungsmenge: $\mathbb{L}=(-\infty,\,1]$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Trenne zuerst die Variablen auf eine Seite und die Konstanten auf die andere.
2
Bei Ungleichungen denke vor jeder Multiplikation oder Division an das Vorzeichen.
3
Prüfe jede gefundene Lösung am Originalausdruck, besonders bei Bruchgleichungen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Gleichung

a\cdot x+b=c\cdot x+d

mit

a\neq c

. Drücke

x

allgemein durch

a

,

b

,

c

und

d

aus.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Vorzeichen bei Multiplikation mit negativer Zahl wird vergessen.
Lösung, die den Definitionsbereich verletzt, wird mitgeschleppt.
Bei Wurzelgleichungen wird die Probe nicht gemacht, dadurch werden Scheinwurzeln übernommen.

Aktive Wiederholung

Löse $\dfrac{2x-1}{x+2}=3$ und gib den Definitionsbereich sowie die Lösungsmenge an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik - Algebra und Geometrie (BMBWF)

Quadratische Gleichungen und Satz von Vieta#

StandardAG-2.2

Die allgemeine quadratische Gleichung

ax^{2}+bx+c=0

(mit

a\neq 0

) löst man mit der großen Lösungsformel

x_{1,2}=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

; in der Normalform

x^{2}+px+q=0

verkürzt sie sich zur kleinen Formel

x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{(\tfrac{p}{2})^{2}-q}

.

Der Term unter der Wurzel - die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

- entscheidet schon vor dem Rechnen über die Anzahl reeller Lösungen:

D>0

liefert zwei,

D=0

genau eine (Berührpunkt),

D<0

keine reelle Lösung. zeigt diese drei Lagen der Parabel zur

x

-Achse.

Diskriminante und Lösungsanzahl

Abb. 2D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Berührpunkt, D < 0 keine reelle Lösung.

Die faktorisierte Form

a(x-x_{1})(x-x_{2})=0

macht die Nullstellen unmittelbar sichtbar, denn ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt).

Der Satz von Vieta verknüpft Koeffizienten und Lösungen direkt:

x_{1}+x_{2}=-\tfrac{b}{a}

und

x_{1}\cdot x_{2}=\tfrac{c}{a}

. Damit rät man ganzzahlige Lösungen oft schneller, als die Formel sie liefert, und kontrolliert jedes Ergebnis im Kopf.

Die quadratische Ergänzung formt

ax^{2}+bx+c

in die Scheitelform

a(x-d)^{2}+e

um und liefert direkt den Scheitel

S(d\mid e)

- die Brücke zur quadratischen Funktion (Thema FA). zeigt eine konkrete Parabel mit ihren beiden Nullstellen und dem tiefsten Punkt.

Parabel f(x)=x²-x-2 mit Nullstellen

Abb. 3Nullstellen bei

x=-1

und

x=2

; Scheitel bei

(0{,}5\,|\,-2{,}25)

.

Anschaulich ist jede Lösung der Gleichung ein Schnittpunkt der Parabel

y=ax^{2}+bx+c

mit der

x

-Achse: Die Diskriminante misst gewissermaßen, ob und wie weit die Parabel diese Achse erreicht.

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Lösungsformel quadratische Gleichung ax²+bx+c=0

D=b^{2}-4ac

Diskriminante - bestimmt Anzahl reeller Lösungen

x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},\quad x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}

Satz von Vieta

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Quadratische Gleichung mit ABC-Formel

Löse $2x^{2}-3x-5=0$ und gib den größeren Lösungswert an.

Koeffizienten
$a=2$ , $b=-3$ , $c=-5$ .
Diskriminante
$D=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$ .
$D=49$
Lösungen
$x_{1,2}=\dfrac{3\pm 7}{4}$ .
Auswertung
$x_{1}=\tfrac{10}{4}=2{,}5$ , $x_{2}=\tfrac{-4}{4}=-1$ .

Ergebnis: Größere Lösung: $x_{1}=2{,}5$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne zuerst, ob du die Gleichung in der Normalform vor dir hast.
2
Die Diskriminante verrät schon vor der Rechnung, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Diskriminante - bestimmt Anzahl reeller Lösungen
$D=b^{2}-4ac$
3
Vieta hilft, das Ergebnis schnell zu kontrollieren - Produkt und Summe der Lösungen müssen passen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die quadratische Gleichung

x^{2}+px+q=0

hat die Lösungen

x_{1}=2

und

x_{2}=-5

. Bestimme

p

und

q

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Vorzeichenfehler bei $-b$ in der Lösungsformel.
Diskriminante wird beim Wurzelziehen vergessen ( $\pm$ übersehen).
Negative Lösungen werden in einem realen Kontext nicht ausgeschlossen.

Aktive Wiederholung

Löse $x^{2}+6x+5=0$ über den Satz von Vieta (ohne Lösungsformel).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS SRDP Grundkompetenzen Algebra (IQS)

Lineare Gleichungssysteme#

StandardAG-2.3

Lineares Gleichungssystem als Schnitt zweier Geraden

Abb. 4Jede Gleichung ist eine Gerade; die eindeutige Lösung

S(2\mid 1)

ist ihr Schnittpunkt. Parallele Geraden bedeuten keine, identische unendlich viele Lösungen.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) sucht Werte, die mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen. In zwei Variablen ist jede Gleichung eine Gerade, und die Lösung ist ihr Schnittpunkt - in der Abbildung der Punkt

S(2\mid 1)

des Systems

3x+2y=8

,

x-y=1

.

Genau die Lage der Geraden bestimmt die Lösungsanzahl: Schneiden sie sich, gibt es eine Lösung; sind sie parallel, keine; sind sie identisch, unendlich viele. Algebraisch zeigt sich das beim Eliminieren als falsche Aussage (

0=5

) bzw. als wahre Aussage (

0=0

).

Zum Lösen stehen Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren bereit; sie sind gleichwertig, und man wählt das, das die wenigsten Brüche erzeugt. Das Additionsverfahren eliminiert eine Variable, indem man die Gleichungen passend skaliert und addiert.

Systeme mit drei Unbekannten löst der Gauss-Algorithmus systematisch: Man bringt das System in obere Dreiecksform und liest die Variablen von unten nach oben zurück (Rückwärtseinsetzen).

Die Determinante

\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

ist der Schnelltest eines

2\times 2

-Systems: Ist sie ungleich null, gibt es genau eine Lösung; ist sie null, liegen die Sonderfälle „keine" oder „unendlich viele" vor.

In Kontextaufgaben (Mischungen, Preise, Bewegung) lautet der Ablauf stets: Variablen benennen, je eine Gleichung pro Bedingung aufstellen, lösen, Probe machen und das Ergebnis als vollständigen Satz interpretieren.

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

Determinante einer 2x2-Matrix

Musterbeispiel

Lineares Gleichungssystem - Eliminationsverfahren

Löse das System $\begin{cases}3x+2y=8\\ x-y=1\end{cases}$ .

Aus zweiter Gleichung umformen
$x=y+1$ .
Einsetzen
$3(y+1)+2y=8\Rightarrow 5y+3=8\Rightarrow y=1$ .
Rückeinsetzen
$x=1+1=2$ .
Probe
$3\cdot 2+2\cdot 1=8$ und $2-1=1$ stimmen.

Ergebnis: Lösungspaar: $(x\,|\,y)=(2\,|\,1)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Schreib das System zunächst in eine übersichtliche Form mit gleich ausgerichteten Variablen.
2
Eliminiere eine Variable durch geschicktes Addieren oder Einsetzen.
3
Setze den gefundenen Wert in die einfachere Gleichung ein und kontrolliere am Schluss mit beiden Originalgleichungen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Schüler*innengruppe kauft 4 Bleistifte und 3 Hefte um

7{,}50

Euro; eine zweite Gruppe kauft 2 Bleistifte und 5 Hefte um

9{,}00

Euro. Bestimme den Stückpreis für einen Bleistift bzw. ein Heft.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Lösung wird nur in einer Variablen gegeben, ohne die andere zu berechnen.
Vorzeichenfehler beim Addieren der Gleichungen.
Bei drei Gleichungen wird eine Variable nicht konsequent eliminiert.

Aktive Wiederholung

Löse das System $\begin{cases}2x+3y=12\\ x+y=5\end{cases}$ mit dem Additionsverfahren.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Lernpfad lineare Gleichungssysteme (Mathago)

Bruch-, Wurzel- und Betragsgleichungen#

VertiefungAG-2.1AG-2.2

Wurzelgleichung als Schnittpunkt zweier Graphen

Abb. 5Die Lösung von

\sqrt{2x+3}=x

ist der einzige Schnittpunkt von

y=\sqrt{2x+3}

und

y=x

bei

x=3

; der beim Quadrieren entstehende Wert

x=-1

ist eine Scheinlösung.

Diese Gleichungstypen teilen ein gemeinsames Problem: Beim Umformen kann sich der Lösungsumfang ändern. Deshalb steht am Anfang stets die Definitionsmenge und am Ende stets die Probe - beides ist beurteilungsrelevant.

Bruchgleichungen multipliziert man mit dem Hauptnenner und löst die entstehende polynomiale Gleichung; jede Nullstelle eines Nenners ist aus der Lösungsmenge auszuschließen, weil dort der ursprüngliche Term gar nicht definiert ist.

Wurzelgleichungen löst man, indem man die Wurzel isoliert und quadriert. Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung - es kann Scheinlösungen erzeugen -, daher muss jede gefundene Lösung durch Einsetzen in die Originalgleichung bestätigt werden.

Betragsgleichungen

|x-a|=b

(mit

b\ge 0

) zerfallen in die zwei Fälle

x-a=b

und

x-a=-b

; die Lösungsmenge ist die Vereinigung beider. Für

b<0

gibt es keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ wird.

Quadratische Ungleichungen löst man über die Nullstellen und eine Vorzeichentabelle: Zwischen den Nullstellen wechselt

ax^{2}+bx+c

das Vorzeichen, und man liest ab, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt ist.

In Sachkontexten ist nach dem Rechnen immer die Zulässigkeit zu prüfen - negative Strecken, gebrochene Stückzahlen oder Zeiten vor dem Start scheiden aus, auch wenn sie die Gleichung formal erfüllen.

|x-a|=b\;\Leftrightarrow\;x=a+b\;\lor\;x=a-b\;\text{für}\;b\geq 0

Betragsgleichung

Musterbeispiel

Wurzelgleichung mit Probe

Löse $\sqrt{2x+3}=x$ .

Definitionsbereich
Argument der Wurzel: $2x+3\geq 0\Rightarrow x\geq -1{,}5$ ; rechte Seite verlangt $x\geq 0$ .
Quadrieren
$2x+3=x^{2}\Rightarrow x^{2}-2x-3=0$ .
Lösungsformel
$x_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}$ , also $x_{1}=3$ oder $x_{2}=-1$ .
Probe
$x=3$ : $\sqrt{9}=3$ , $\checkmark$ . $x=-1$ : $\sqrt{1}=1\neq -1$ , unzulässig.

Ergebnis: Einzige Lösung: $x=3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Schreib zuerst den Definitionsbereich auf und merke ihn dir bis zum Schluss.
2
Isoliere die Wurzel oder den Bruch, bevor du quadrierst oder mit dem Nenner multiplizierst.
3
Setze jede potenzielle Lösung zurück in die Originalgleichung ein - Quadrieren erzeugt Scheinwurzeln.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung

x^{2}-x-6\le 0

in

\mathbb{R}

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Quadrieren wird ohne Probe durchgeführt.
Definitionsbereich wird nicht eingeschränkt, Lösung enthält dadurch unzulässige Werte.
Bei Beträgen wird nur ein Fall behandelt.

Aktive Wiederholung

Löse $\sqrt{x+5}=x-1$ und gib die zulässigen Lösungen an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzkatalog (IQS)

Exponentialgleichungen lösen#

StandardAG-2.1

Exponentialgleichung grafisch lösen

Abb. 6Die Lösung von

2^{x}=8

ist die

x

-Koordinate des Schnittpunkts der Kurve

y=2^{x}

mit der Ziellinie

y=8

- hier

x=3

.

Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten, etwa

a\cdot b^{x}=c

. Grafisch sucht man den Schnittpunkt der Exponentialkurve

y=a\cdot b^{x}

mit der waagrechten Ziellinie

y=c

- die Abbildung zeigt das am einfachen Fall

2^{x}=8

mit der Lösung

x=3

.

Rechnerisch isoliert man zuerst die reine Potenz und logarithmiert dann, denn der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion: Aus

a\cdot b^{x}=c

wird

x=\tfrac{\ln(c/a)}{\ln b}

.

Stehen beide Seiten als Potenz derselben Basis, geht es noch direkter über den Exponentenvergleich

b^{x}=b^{y}\Rightarrow x=y

- so löst man

2^{x}=8=2^{3}

sofort zu

x=3

.

In Wachstums- und Zerfallsmodellen ist das Logarithmieren der Schlüssel zur gesuchten Zeit: Verdopplungszeit

t=\tfrac{\ln 2}{\ln b}

(bzw.

\tfrac{\ln 2}{k}

bei stetigem Wachstum), Halbwertszeit analog mit

\ln\tfrac{1}{2}

.

Eine Exponentialfunktion

b^{x}

mit

b>0

ist immer positiv; eine Gleichung wie

b^{x}=-5

hat also keine Lösung. Im Sachkontext verwirft man außerdem Ergebnisse, die etwa eine negative Zeit bedeuten würden.

Anschaulich macht der Logarithmus aus der sperrigen Frage „mit welchem Exponenten?" eine einfache Division zweier Logarithmen - dieselbe Idee trägt später die Logarithmusfunktion und die Ableitung von

\mathrm{e}^{x}

(Themen FA, AN).

a\cdot b^{x}=c\;\Leftrightarrow\;x=\dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}

Lösung der Exponentialgleichung

Musterbeispiel

Verdopplungszeit bestimmen

Ein Kapital wächst mit Faktor $1{,}05$ pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt?

Ansatz
Verdopplung bedeutet $1{,}05^{x}=2$ .
Logarithmieren
$x\cdot\ln(1{,}05)=\ln 2$ , also $x=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$ .
Numerisch
$x\approx 14{,}21$ Jahre.

Ergebnis: Nach rund $14{,}2$ Jahren ist das Kapital verdoppelt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten und wird durch Logarithmieren befreit.
2
Isoliere zuerst die Potenz, dann setze den Logarithmus auf beiden Seiten an.
3
Die Verdopplungszeit folgt aus dem Ansatz, dass der Wachstumsfaktor hoch der Zeit gleich zwei ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Bestand wächst gemäß

N(t)=500\cdot 1{,}04^{t}

(

t

in Jahren). Berechne, nach wie vielen Jahren der Bestand erstmals

750

überschreitet.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Logarithmieren, bevor die Potenz isoliert ist.
Bei $a\cdot b^{x}=c$ den Faktor $a$ in den Logarithmus gezogen.
Basiswechsel falsch herum angewendet.

Aktive Wiederholung

Löse $4\cdot 1{,}08^{x}=20$ nach $x$ und interpretiere das Ergebnis als Anzahl von Verzinsungsperioden.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Exponentialgleichungen AHS (IQS)

Textaufgaben und Modellierung mit Gleichungen#

StandardAG-2.1AG-2.3

Modellierung: Schnittpunkt als Break-even

Abb. 7Zwei Kostenmodelle

K_{1}(x)=20+0{,}10x

und

K_{2}(x)=0{,}30x

sind bei

x=100

Einheiten gleich teuer - der Schnittpunkt ist die gesuchte Break-even-Menge.

Modellieren heißt, eine in Worten beschriebene Situation in eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu übersetzen, sie zu lösen und das Ergebnis wieder in die Sprache der Aufgabe zurückzuübersetzen.

Der verlässliche Ablauf hat fünf Schritte: relevante Größen benennen, eine Variable festlegen, jede beschriebene Beziehung als Gleichung formulieren, lösen und schließlich im Sachkontext interpretieren.

Viele Aufgaben folgen wiederkehrenden Standardansätzen: Mischungsaufgaben über „Menge mal Anteil", Bewegungsaufgaben über

s=v\cdot t

, Zinsaufgaben über den Wachstumsfaktor. Erkennt man den Typ, ist die Gleichung halb aufgestellt.

Einheiten müssen über die gesamte Rechnung konsistent geführt werden - Stunden nicht mit Minuten, Meter nicht mit Kilometern mischen -, sonst stimmt das Ergebnis zahlenmäßig nicht.

Nicht jede mathematische Lösung ist im Sachkontext zulässig: negative Längen, gebrochene Stückzahlen oder Zeiten vor dem Start werden verworfen, auch wenn sie die Gleichung erfüllen.

Die Antwort gehört als vollständiger Satz mit Einheit formuliert; gerade in Typ-2-Aufgaben gibt es Punkte für die Interpretation, nicht nur für die Zahl - die Rückübersetzung in den Kontext ist Teil der Leistung.

\text{Beziehung}\;\Rightarrow\;\text{Gleichung}\;\Rightarrow\;\text{Lösung}\;\Rightarrow\;\text{Interpretation}

Ablauf der Modellierung

Musterbeispiel

Altersaufgabe modellieren

Der Vater ist dreimal so alt wie der Sohn; in $10$ Jahren nur doppelt so alt. Bestimme beide Alter.

Variable
Sohn heute $x$ Jahre, Vater $3x$ Jahre.
Gleichung
In $10$ Jahren: $3x+10=2(x+10)$ .
Lösen
$3x+10=2x+20\Rightarrow x=10$ .

Ergebnis: Der Sohn ist $10$ , der Vater $30$ Jahre alt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Lies den Text und benenne zuerst die gesuchte Größe als Variable.
2
Übersetze jede beschriebene Beziehung in eine Gleichung und achte auf die Einheiten.
3
Prüfe die Lösung am Sachkontext und formuliere die Antwort als vollständigen Satz.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Anbieter A verlangt 20 € Grundgebühr plus 0,10 € je Einheit, Anbieter B nur 0,30 € je Einheit. Stelle beide Kostenfunktionen auf und berechne, ab welcher Einheitenzahl Anbieter A günstiger ist.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Variable nicht definiert, dadurch unklare Gleichung.
Einheiten gemischt (Stunden und Minuten in derselben Gleichung).
Negative oder unsinnige Lösung übernommen, ohne den Kontext zu prüfen.

Aktive Wiederholung

Ein Vater ist dreimal so alt wie sein Sohn; in $10$ Jahren nur noch doppelt so alt. Stelle eine Gleichung auf und bestimme die heutigen Alter.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Modellierungsaufgaben (Mathago)