Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Toepassingen van statistische verwerkingsmethoden (toetsen, correlatie en regressie)

Statistische verwerkingsmethoden horen bij domein B (Kansrekening en statistiek) van wiskunde D — het profielkeuzevak van Natuur & Techniek, naast wiskunde B — en bouwen voort op de kansverdelingen. Je leert de samenhang tussen twee variabelen beschrijven met een spreidingsdiagram, de correlatiecoëfficiënt en de regressielijn, en je leert beslissingen onderbouwen met hypothesetoetsen: eerst met de binomiale verdeling, daarna met de normale benadering. Omdat wiskunde D volledig met het schoolexamen (SE) wordt afgesloten, toetst het SE deze methoden in samenhang met de rest van de kansrekening en statistiek.

4 Onderdelen~31 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0666 / 13

Examenprofiel

Met een spreidingsdiagram de samenhang tussen twee variabelen beschrijven (richting en sterkte) en de correlatiecoëfficiënt r tussen -1 en 1 berekenen en interpreteren, met het besef dat correlatie geen causaliteit is.De regressielijn \hat{y}=ax+b met de kleinste-kwadratenmethode (grafische rekenmachine) bepalen, het residu-idee uitleggen en met de lijn voorspellen binnen de grenzen van de data (geen extrapolatie).Een eenzijdige hypothesetoets met de binomiale verdeling opzetten en uitvoeren: H₀ en H₁ formuleren, bij significantieniveau αhet kritieke gebied bepalen met binomcdf en H₀ wel of niet verwerpen.Een gemiddelde of proportie toetsen met de normale benadering: de toetsingsgrootheid en de p-waarde berekenen, het verwerpingsgebied bepalen en de toetsconclusie in de context correct formuleren.

Operatoren:berekenbepaaltoetsinterpreteerberedeneervoorspel

basisniveau

Voor het schoolexamen (SE): maak een spreidingsdiagram, bepaal met de grafische rekenmachine de correlatiecoëfficiënt $r$ en de regressielijn $\hat{y}=ax+b$ , en voer een eenzijdige binomiale of normale toets uit volgens het vaste stappenplan ( $H_0$ , $H_1$ , $\alpha$ , kritiek gebied of p-waarde, conclusie).

verhoogd niveau

Verdieping: beredeneer waarom de kleinste-kwadratenlijn de residuen minimaliseert, waarom een hoge correlatie geen oorzaak aantoont, en hoe het significantieniveau $\alpha$ de kans op een onterechte verwerping (vals alarm) regelt; verbind de binomiale toets met de normale benadering.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Toepassingen van statistische verwerkingsmethoden (toetsen, correlatie en regressie)

Correlatie en het spreidingsdiagram#

Standaardexamenblad-nl

Spreidingsdiagram: gamen en cijfer

Afb. 1Uren gamen per week (x) tegen het gemiddelde cijfer (y) van zes leerlingen. De puntenwolk daalt van linksboven naar rechtsonder, wat past bij een sterk negatief lineair verband (r ≈ -0,94). De lijn zelf bepalen we pas in de volgende paragraaf.

In de beschrijvende statistiek keek je vaak naar één variabele tegelijk. Bij dit onderwerp onderzoek je de samenhang tussen twéé variabelen die je bij dezelfde personen of objecten meet, bijvoorbeeld het aantal uren dat iemand gamet en zijn gemiddelde cijfer. Van elke meting heb je dan een getallenpaar

(x, y)

, en dat paar teken je als één punt in een assenstelsel. Alle punten samen vormen een spreidingsdiagram, ook wel puntenwolk genoemd. De vorm van die wolk is je eerste en belangrijkste informatie: zonder ook maar iets te rekenen zie je al of de twee variabelen samenhangen en, zo ja, hoe. Binnen domein B van wiskunde D is dit het startpunt van de hele gereedschapskist — pas als je de wolk goed kunt lezen, hebben de getallen die je er straks uit haalt (

r

en de regressielijn) betekenis. Bekijk een puntenwolk daarom altijd eerst aandachtig voordat je je rekenmachine pakt.

In de puntenwolk lees je twee dingen af: de richting en de sterkte van de samenhang. Lopen de punten van linksonder naar rechtsboven, dan is het verband positief — bij een grotere

x

hoort gemiddeld een grotere

y

. Lopen ze van linksboven naar rechtsonder, dan is het verband negatief. Liggen de punten als los hagelschot zonder richting, dan is er geen lineair verband. De sterkte zie je aan hoe dicht de punten bij een denkbeeldige rechte lijn liggen: een strakke, smalle band wijst op een sterk verband, een brede, vage wolk op een zwak verband. Belangrijk is dat woordje lineair: we kijken hier of de punten rond een rechte lijn liggen. Een verband kan heel sterk zijn en toch niet lineair — denk aan een parabool-vormige wolk die eerst stijgt en daarna daalt. Die visuele indruk van richting en sterkte maken we in de volgende stappen exact met één getal, de correlatiecoëfficiënt.

De correlatiecoëfficiënt

r

vat de richting én de sterkte van het lineaire verband samen in één getal tussen

-1

1

. De waarde

r = 1

hoort bij een perfect positief lineair verband (alle punten precies op een stijgende lijn),

r = -1

bij een perfect negatief lineair verband (alle punten op een dalende lijn) en

r = 0

bij geen enkel lineair verband. Hoe dichter

r

bij

-1

1

ligt, hoe sterker en strakker de samenhang; hoe dichter bij

0

, hoe zwakker. Het teken van

r

geeft dus de richting, de grootte

|r|

de sterkte. Achter de schermen meet

r

of hoge

x

-waarden samengaan met hoge

y

-waarden: in de formule tel je de producten van de afwijkingen

(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})

op en deel je door een maat voor de spreiding van

x

y

, zodat het resultaat altijd tussen

-1

1

uitkomt, ongeacht de eenheden waarin je meet.

In de praktijk laat je

r

door de grafische rekenmachine berekenen: voer de

x

-waarden in lijst L1 in en de

y

-waarden in L2, kies de lineaire regressie (vaak „LinReg”) en lees

r

af. Op sommige toestellen moet je daarvoor eerst de „diagnostics” aanzetten, anders verschijnt

r

niet. Voor de interpretatie hanteer je vuistregels: ligt

|r|

boven ongeveer

0{,}8

, dan spreek je van een sterk verband, tussen

0{,}5

0{,}8

van een matig verband en daaronder van een zwak verband. In het gaming-voorbeeld hieronder vindt de rekenmachine

r \approx -0{,}94

: een sterk negatief lineair verband. Onthoud goed dat

r

uitsluitend het lineaire verband meet. Bij een duidelijk krom verband — een waarde die bijvoorbeeld eerst stijgt en daarna weer daalt — kan

r

dicht bij

0

liggen terwijl er wél een sterke, maar niet-rechte samenhang is. Een lage

r

betekent dus „weinig lineair verband”, niet automatisch „geen verband”.

De belangrijkste waarschuwing van dit onderwerp luidt: correlatie is geen causaliteit. Een sterke correlatie laat zien dát twee variabelen samen veranderen, maar niet dat de ene de andere veroorzaakt. Juist omdat de rekenmachine zo gemakkelijk een mooie

r

oplevert, is hier een kritisch oordeel onmisbaar. Een hoge

|r|

kan ontstaan doordat een derde, meespelende variabele beide grootheden tegelijk beïnvloedt. In het gaming-voorbeeld gaan veel game-uren samen met lagere cijfers, maar het is goed denkbaar dat een onderliggende factor — bijvoorbeeld motivatie of tijdsindeling — zowel het gamen als de cijfers bepaalt; dan veroorzaakt het gamen de lage cijfers niet rechtstreeks. Op het schoolexamen wordt verwacht dat je dit onderscheid scherp maakt: je beschrijft de gevonden samenhang en de sterkte ervan, maar trekt geen oorzakelijke conclusie zonder aanvullend bewijs, zoals een gecontroleerd experiment. Het rekenwerk doet de machine; het voorzichtige oordeel blijft aan jou. In de volgende paragraaf leggen we door deze lineaire samenhang een voorspellende lijn.

r = \frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x})^2}\,\sqrt{\sum (y_i-\overline{y})^2}}

correlatiecoëfficiënt

De correlatiecoëfficiënt $r$ meet richting en sterkte van het lineaire verband. De teller telt de producten van de afwijkingen van $x$ en $y$ tot hun gemiddelde; door de noemer (de spreiding van $x$ en $y$ ) komt $r$ altijd tussen $-1$ en $1$ uit. In de praktijk bereken je $r$ met de grafische rekenmachine.

-1 \le r \le 1

bereik van r

Dicht bij $1$ is er een sterk positief lineair verband, dicht bij $-1$ een sterk negatief verband en rond $0$ geen lineair verband. Het teken geeft de richting, de grootte $|r|$ de sterkte.

Uitgewerkt voorbeeld

Een spreidingsdiagram en de correlatiecoëfficiënt interpreteren

Van zes leerlingen zijn het aantal uren gamen per week ( $x$ ) en het gemiddelde rapportcijfer ( $y$ ) genoteerd: $(1; 7{,}5)$ , $(3; 7{,}6)$ , $(5; 6{,}5)$ , $(7; 6{,}8)$ , $(9; 5{,}8)$ , $(11; 5{,}4)$ . Maak een spreidingsdiagram, bepaal de correlatiecoëfficiënt $r$ en beschrijf de samenhang. Mag je concluderen dat gamen de lagere cijfers veroorzaakt?

Stap 1 — Puntenwolk maken en bekijken
Voer de uren in lijst L1 in en de cijfers in lijst L2 en kies de spreidingsdiagram-plot. De puntenwolk loopt van linksboven naar rechtsonder: meer game-uren gaan samen met lagere cijfers, dus de richting is negatief, en de punten liggen vrij strak om een dalende lijn.
Stap 2 — De correlatiecoëfficiënt berekenen
Kies de lineaire regressie (zet zo nodig eerst de „diagnostics” aan). Ter controle reken je de teller en noemer van $r$ na: de gemiddelden zijn $\overline{x} = 6$ en $\overline{y} = 6{,}6$ , de som van de producten van de afwijkingen is $-15{,}6$ , en de spreidingssommen zijn $\sum (x-\overline{x})^2 = 70$ en $\sum (y-\overline{y})^2 = 3{,}94$ .
$r = \frac{-15{,}6}{\sqrt{70}\,\sqrt{3{,}94}} = \frac{-15{,}6}{\sqrt{275{,}8}} \approx -0{,}94$
Stap 3 — De samenhang beschrijven
Omdat $r \approx -0{,}94$ dicht bij $-1$ ligt, is er een sterk negatief lineair verband: hoe meer uren gamen, hoe lager gemiddeld het cijfer, en de punten liggen strak om een dalende lijn.
Stap 4 — Oorzaak of samenhang?
Nee, je mag niet concluderen dat gamen de lagere cijfers veroorzaakt. Een sterke correlatie toont alleen samenhang. Een meespelende variabele, zoals motivatie of tijdsindeling, kan zowel de game-uren als de cijfers beïnvloeden. Voor een oorzakelijke uitspraak is aanvullend onderzoek nodig, bijvoorbeeld een gecontroleerd experiment.

Resultaat: Er is een sterk negatief lineair verband: $r \approx -0{,}94$ . Meer game-uren gaan samen met lagere cijfers, maar uit deze correlatie volgt geen oorzakelijk verband — dat zou alleen met aanvullend (experimenteel) onderzoek mogen worden geconcludeerd.

Veelgemaakte fouten

Uit een sterke correlatie concluderen dat de ene variabele de andere veroorzaakt; een hoge $|r|$ toont alleen samenhang — een meespelende derde variabele kan beide grootheden tegelijk beïnvloeden.
Denken dat een lage $r$ betekent dat er geen verband is; $r$ meet uitsluitend het lineaire verband, dus bij een duidelijk krom verband kan $r$ klein zijn terwijl de variabelen wel sterk samenhangen.
De $x$ - en $y$ -lijst verwisselen of vergeten de „diagnostics” aan te zetten, zodat de rekenmachine $r$ niet toont.

Actieve herhaling

Van tien leerlingen zijn het aantal uren beeldschermtijd per dag ( $x$ ) en hun gemiddelde cijfer ( $y$ ) genoteerd. Maak een spreidingsdiagram, bepaal met je grafische rekenmachine de correlatiecoëfficiënt $r$ en beschrijf de samenhang (richting en sterkte). Leg uit waarom je hieruit niet mag concluderen dat beeldschermtijd een laag cijfer veroorzaakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De regressielijn en de kleinste-kwadratenmethode#

Standaardexamenblad-nl

Regressielijn: water en planthoogte

Afb. 2Water per dag (x, in dL) tegen de hoogte na vier weken (y, in cm) van zes planten, met de door de rekenmachine berekende kleinste-kwadratenlijn y-dak = 1,5x + 4. De punten liggen strak om de lijn (r ≈ 0,99), maar de lijn geldt alleen binnen het gemeten bereik van 1 tot 6 dL.

In de vorige paragraaf stelde je vast óf er een lineair verband is en hoe sterk dat is. Nu zetten we de volgende stap: we leggen de best passende rechte lijn door de puntenwolk, zodat we ermee kunnen voorspellen. Die lijn heet de regressielijn en heeft de vorm

\hat{y} = ax + b

. Het dakje op

\hat{y}

(spreek uit: „y-dak”) is belangrijk:

\hat{y}

is de dóór de lijn voorspelde waarde van

y

bij een gegeven

x

, en die is meestal nét niet gelijk aan de werkelijk gemeten

y

. Het getal

a

is het hellingsgetal: het vertelt hoeveel

\hat{y}

gemiddeld verandert als

x

met

1

toeneemt. Het getal

b

is het snijpunt met de verticale as, de voorspelde

y

bij

x = 0

. Samen vatten

a

b

de hele lineaire trend in de data samen in twee getallen, waarmee de regressielijn het rekenkundige vervolg is op de puntenwolk uit de vorige paragraaf.

Om te begrijpen wat „best passend” betekent, heb je het begrip residu nodig. Voor elk gemeten punt

(x_i, y_i)

geeft de lijn een voorspelling

\hat{y}_i = a x_i + b

. Het residu is het verschil tussen de werkelijke en de voorspelde waarde:

y_i - \hat{y}_i

. Meetkundig is dat de verticale afstand van het punt tot de lijn — het stukje dat je omhoog of omlaag moet om van de lijn bij het echte punt te komen. Ligt een punt boven de lijn, dan is het residu positief; ligt het eronder, dan negatief; ligt het precies op de lijn, dan is het residu nul. Een goede lijn maakt deze residuen samen zo klein mogelijk: hij loopt als het ware „door het midden” van de wolk, met ongeveer evenveel punten erboven als eronder. De residuen zijn dus de fouten die de lijn nog maakt, en het zo klein mogelijk maken daarvan is precies het criterium waarmee de beste lijn wordt gekozen.

De methode die de regressielijn bepaalt heet de kleinste-kwadratenmethode. Daarbij kies je

a

b

zó dat de som van de gekwadrateerde residuen,

\sum (y_i - \hat{y}_i)^2

, zo klein mogelijk is. Waarom de residuen kwadrateren? Ten eerste worden alle termen daardoor positief, zodat een positief en een negatief residu elkaar niet wegstrepen. Ten tweede tellen grote afwijkingen extra zwaar mee — een punt dat ver van de lijn ligt, wordt streng „afgestraft” — zodat de lijn vooral de grote missers vermijdt. Het mooie is dat er bij deze keuze precies één lijn is die de kwadratensom minimaliseert, en die lijn loopt altijd door het zwaartepunt

(\overline{x}, \overline{y})

van de data. De formules voor

a

b

volgen uit dit minimaliseren, maar in de praktijk laat je de grafische rekenmachine het werk doen met de optie „LinReg(

ax+b

)”. Je hoeft de kwadratensom dus niet met de hand te minimaliseren; je moet wél kunnen uitleggen dát dit het criterium is.

Met de regressielijn kun je voorspellen: vul een waarde van

x

in en bereken

\hat{y}

. Zolang die

x

binnen het bereik van je meetgegevens ligt, heet dat interpoleren en is de voorspelling redelijk betrouwbaar, want daar heb je het verband ook echt waargenomen. Vul je daarentegen een

x

ver buiten het meetbereik in, dan extrapoleer je, en dat is gevaarlijk: het gevonden lineaire verband hoeft daar helemaal niet meer te gelden. In het voorbeeld hieronder meet een bioloog de hoogte van planten bij

1

tot

6

dL water per dag en vindt

\hat{y} = 1{,}5x + 4

. Bij

3{,}5

dL voorspelt de lijn netjes

\hat{y} = 9{,}25

cm. Maar als je de lijn doortrekt naar

12

dL, „voorspelt” hij

22

cm, terwijl in werkelijkheid zoveel water de plant zou laten verzuipen — de groei daalt dan juist. De lijn weet niets van wat er buiten de data gebeurt. Wees daarom altijd voorzichtig met voorspellingen buiten het gemeten bereik.

Tot slot moet je

a

b

in de context van de opgave kunnen uitleggen, mét eenheid. In het plantenvoorbeeld betekent

a = 1{,}5

dat elke extra deciliter water per dag samengaat met gemiddeld

1{,}5

cm meer hoogte, en

b = 4

dat de lijn de hoogte op

4

cm voorspelt bij

0

dL — een waarde die buiten het meetbereik ligt en die je dus voorzichtig interpreteert. Houd ook in gedachten dat de regressielijn een model is, geen exacte beschrijving: de residuen blijven bestaan, en hoe goed de lijn past lees je af aan de correlatiecoëfficiënt

r

uit de vorige paragraaf — ligt

|r|

dicht bij

1

, dan liggen de punten strak om de lijn. Correlatie en regressie horen zo bij elkaar:

r

zegt hoe sterk het lineaire verband is, de regressielijn legt dat verband vast in een formule. Met deze beschrijvende gereedschappen op zak gaan we in de volgende paragrafen over op het trekken van onderbouwde conclusies: het toetsen van hypothesen.

\hat{y} = ax + b

regressielijn

De regressielijn voorspelt $\hat{y}$ uit $x$ : $a$ is het hellingsgetal (de verandering in $\hat{y}$ per eenheid $x$ ) en $b$ het snijpunt met de verticale as. De rekenmachine bepaalt $a$ en $b$ met de kleinste-kwadratenmethode.

\sum_{i=1}^{n} \left(y_i - \hat{y}_i\right)^2 \text{ is minimaal}

kleinste-kwadratenmethode

Het residu $y_i - \hat{y}_i$ is de verticale afstand van een meetpunt tot de lijn. De regressielijn is de lijn waarvoor de som van de gekwadrateerde residuen het kleinst is; kwadrateren maakt alle bijdragen positief en bestraft grote afwijkingen extra.

a = \frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x})^2}, \qquad b = \overline{y} - a\,\overline{x}

hellingsgetal en snijpunt

Uit het minimaliseren van de kwadratensom volgen deze formules. De lijn loopt altijd door het zwaartepunt $(\overline{x}, \overline{y})$ van de data; in de praktijk laat je de rekenmachine $a$ en $b$ uitrekenen.

Uitgewerkt voorbeeld

Met de grafische rekenmachine een regressielijn bepalen en voorspellen

Een bioloog geeft zes planten verschillende hoeveelheden water per dag ( $x$ , in dL) en meet na vier weken de hoogte ( $y$ , in cm): $(1; 5{,}8)$ , $(2; 6{,}6)$ , $(3; 8{,}6)$ , $(4; 10{,}1)$ , $(5; 11{,}1)$ , $(6; 13{,}3)$ . Bepaal met de rekenmachine de regressielijn $\hat{y} = ax + b$ , voorspel de hoogte bij $3{,}5$ dL en leg uit waarom je niet zomaar de hoogte bij $12$ dL mag voorspellen.

Stap 1 — Data invoeren
Voer de waterhoeveelheden in lijst L1 in en de hoogtes in lijst L2. Maak eventueel eerst de spreidingsdiagram-plot: de punten stijgen van linksonder naar rechtsboven, dus een positief verband.
Stap 2 — De regressielijn bepalen
Kies de lineaire regressie „LinReg( $ax+b$ )”. De rekenmachine bepaalt $a$ en $b$ met de kleinste-kwadratenmethode. Ter controle: $\overline{x} = 3{,}5$ , $\overline{y} = 9{,}25$ , $\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y}) = 26{,}25$ en $\sum (x-\overline{x})^2 = 17{,}5$ .
$a = \frac{26{,}25}{17{,}5} = 1{,}5 \qquad b = \overline{y} - a\,\overline{x} = 9{,}25 - 1{,}5 \cdot 3{,}5 = 4{,}0$
Stap 3 — Voorspellen binnen het bereik
De regressielijn is $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ . Vul $x = 3{,}5$ in (dat ligt tussen $1$ en $6$ dL, dus binnen het meetbereik): de voorspelde hoogte is $9{,}25$ cm. Dit interpoleren is betrouwbaar.
$\hat{y} = 1{,}5 \cdot 3{,}5 + 4 = 9{,}25 \text{ cm}$
Stap 4 — Waarom niet bij 12 dL?
Bij $x = 12$ dL geeft de lijn $\hat{y} = 22$ cm, maar $12$ dL ligt ver buiten het gemeten bereik van $1$ tot $6$ dL. Zoveel water zou de plant juist laten verzuipen, zodat het lineaire verband daar niet meer geldt. Deze extrapolatie is dus onbetrouwbaar.
$\hat{y} = 1{,}5 \cdot 12 + 4 = 22 \text{ cm} \quad (\text{buiten het meetbereik})$

Resultaat: De regressielijn is $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ . Binnen het bereik voorspelt hij bij $3{,}5$ dL een hoogte van $9{,}25$ cm. Bij $12$ dL geeft de formule $22$ cm, maar dat is onbetrouwbare extrapolatie buiten het meetbereik.

Veelgemaakte fouten

De regressielijn ver buiten het bereik van de data gebruiken (extrapoleren) en die voorspelling als betrouwbaar presenteren.
Het residu opvatten als de afstand loodrecht op de lijn; bij de kleinste-kwadratenmethode gaat het om de verticale afstand $y_i-\hat{y}_i$ tussen de waarneming en de lijn.
De rol van $a$ en $b$ omdraaien, of de voorspelde waarde $\hat{y}$ verwarren met de werkelijk gemeten $y$ .

Actieve herhaling

Bij een veer hangt de uitrekking (cm) af van de opgehangen massa (g). Bepaal met je grafische rekenmachine de regressielijn $\hat{y}=ax+b$ , geef de betekenis van $a$ in de context, voorspel de uitrekking bij een massa binnen het meetbereik, en leg uit waarom je niet zomaar de uitrekking bij een veel grotere massa mag voorspellen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Hypothesetoetsen met de binomiale verdeling#

Standaardexamenblad-nl

Binomiale toetsverdeling en kritiek gebied

Afb. 3De kansverdeling van X ~ Bin(20; 0,10) onder H0 (k = 0 t/m 10; grotere k zijn verwaarloosbaar klein). Het kritieke gebied is X ≥ 5; de gemarkeerde staaf k = 5 is de kleinste uitkomst die H0 op 5%-niveau verwerpt, want P(X ≥ 5) ≈ 0,043.

Tot nu toe beschreven we data; nu gebruiken we data om een beslissing te onderbouwen, en dat is wat een hypothesetoets doet. Vaak gaat een bewering over een kans of een proportie — „deze munt is eerlijk”, „hoogstens 10% van de producten is defect”, „dit medicijn werkt beter dan een placebo”. Bij een toets formuleer je eerst twee hypothesen. De nulhypothese

H_0

is de neutrale aanname die je voorlopig aanneemt en die je wilt toetsen; meestal is dat „er is niets bijzonders aan de hand” of de waarde die een fabrikant claimt, bijvoorbeeld

p = 0{,}10

. De alternatieve hypothese

H_1

is wat je vermoedt of wilt aantonen, bijvoorbeeld dat de werkelijke proportie hoger is dan geclaimd. De toets weegt vervolgens of de waargenomen data nog goed bij

H_0

passen of zó onwaarschijnlijk zijn onder

H_0

dat je die aanname laat vallen. De hele redenering draait dus om de vraag: zijn mijn data nog te verklaren als toeval onder

H_0

, of niet?

In deze paragraaf toetsen we eenzijdig met de binomiale verdeling. Eenzijdig betekent dat

H_1

een richting heeft: je vermoedt dat de proportie groter is (bovenstaart) óf kleiner is (onderstaart) dan de waarde in

H_0

, niet allebei. De binomiale verdeling past hier omdat je een vast aantal

n

onafhankelijke pogingen doet die elk „lukken” of „mislukken”, met onder

H_0

een vaste succeskans

p_0

. De toetsgrootheid is dan

X

, het aantal successen, en onder

H_0

geldt

X \sim \text{Bin}(n,\,p_0)

. In het voorbeeld hieronder controleert een afnemer of méér dan

10\%

van een partij defect is; hij test

n = 20

items, zodat

X \sim \text{Bin}(20;\,0{,}10)

onder

H_0

. Je weet dan precies welke uitkomsten waarschijnlijk en welke onwaarschijnlijk zijn als

H_0

klopt. Die kennis gebruik je om een grens te trekken tussen „dit past nog bij

H_0

” en „dit is te extreem”. Hoe extreem „te extreem” is, leg je vooraf vast met het significantieniveau.

Het significantieniveau

\alpha

is de drempel die je vóór het toetsen kiest, meestal

\alpha = 0{,}05

(5%). Het is de kans die je accepteert om

H_0

ten onrechte te verwerpen — een soort „vals alarm”, waarbij je concludeert dat er iets bijzonders is terwijl het in werkelijkheid toeval was. Bij die drempel hoort het kritieke gebied (ook wel verwerpingsgebied): de verzameling uitkomsten die zó extreem in de richting van

H_1

liggen dat je bij het waarnemen ervan

H_0

verwerpt. Voor een bovenstaarttoets is dat een gebied

X \ge g

, en de grenswaarde

g

kies je als de kleinste waarde waarvoor de kans op zo'n extreme uitkomst onder

H_0

niet groter is dan

\alpha

, dus waarvoor

P(X \ge g) \le \alpha

. Het kritieke gebied bevat samen dus ten hoogste

5\%

kans onder

H_0

. Valt je waarneming erin, dan was die uitkomst onder

H_0

erg onwaarschijnlijk, en dat vat je op als bewijs tégen

H_0

Het kritieke gebied bepaal je met de cumulatieve binomiale kans, op de rekenmachine binomcdf genoemd: binomcdf

(n, p, k)

geeft

P(X \le k)

. Voor een bovenstaarttoets reken je de overschrijdingskans uit als

P(X \ge g) = 1 - P(X \le g-1) = 1 - \text{binomcdf}(n, p_0, g-1)

. Je zoekt nu de kleinste

g

waarvoor deze kans onder

\alpha

zakt. In het defect-voorbeeld met

\text{Bin}(20;\,0{,}10)

\alpha = 0{,}05

vind je

P(X \ge 5) \approx 0{,}043

(kleiner dan

0{,}05

) terwijl

P(X \ge 4) \approx 0{,}133

(groter dan

0{,}05

). De grenswaarde is dus

g = 5

en het kritieke gebied is

X \ge 5

: vanaf vijf defecte items verwerp je

H_0

. Let goed op het verschil tussen

\ge

>

en tussen

P(X \le k)

P(X \ge g)

— daar gaat het vaak mis. Een alternatief voor het kritieke gebied is de p-waarde: de kans onder

H_0

op een uitkomst minstens zo extreem als de waargenomene; is die kleiner dan

\alpha

, dan verwerp je

H_0

De conclusie trek je zorgvuldig en in twee stappen. Eerst de statistische beslissing: valt de waargenomen uitkomst in het kritieke gebied (of is de p-waarde kleiner dan

\alpha

), dan verwerp je

H_0

; zo niet, dan verwerp je

H_0

niet. Daarna vertaal je die beslissing naar de context. Verwerp je

H_0

, dan zeg je: „er is op

5\%

-niveau voldoende bewijs dat …”. Verwerp je

H_0

niet, dan zeg je: „er is onvoldoende bewijs dat …” — en uitdrukkelijk níét „

H_0

is dus waar”. Een toets levert immers nooit zekerheid: je kunt

H_0

ten onrechte verwerpen (de

5\%

vals alarm) of een echt effect missen. Daarom is de taal van een toets altijd voorzichtig: voldoende of onvoldoende bewijs, niet bewezen of weerlegd. Deze binomiale toets werkt prima zolang

n

niet te groot is; bij grote

n

of bij het toetsen van een gemiddelde wordt het rekenen met losse binomiale kansen onpraktisch en stap je over op de normale benadering, het onderwerp van de laatste paragraaf.

X \sim \text{Bin}(n,\,p_0)

binomiale toetsverdeling

Onder de nulhypothese is het aantal successen $X$ in $n$ onafhankelijke pogingen binomiaal verdeeld met succeskans $p_0$ . Met deze verdeling reken je uit hoe waarschijnlijk elke uitkomst is als $H_0$ klopt.

P(X \ge g) = 1 - P(X \le g-1) \le \alpha

kritiek gebied (bovenstaart)

De grenswaarde $g$ is de kleinste waarde waarvoor de overschrijdingskans onder $H_0$ niet groter is dan het significantieniveau $\alpha$ . Het kritieke gebied $X \ge g$ bepaal je met binomcdf: $P(X \le g-1) = \text{binomcdf}(n, p_0, g-1)$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een eenzijdige binomiale toets volledig uitvoeren

Een leverancier beweert dat hoogstens $10\%$ van zijn items defect is. Een afnemer vermoedt dat het er meer zijn en controleert een aselecte steekproef van $n = 20$ items. Toets op significantieniveau $\alpha = 0{,}05$ . Bepaal het kritieke gebied en beslis, als er $6$ defecte items in de steekproef zitten, of de bewering wordt verworpen.

Stap 1 — Hypothesen en model
Noem $X$ het aantal defecte items in de steekproef. Onder de bewering geldt $H_0: p = 0{,}10$ en de afnemer vermoedt $H_1: p > 0{,}10$ (eenzijdig, bovenstaart). Onder $H_0$ is $X \sim \text{Bin}(20;\,0{,}10)$ .
$H_0: p = 0{,}10 \qquad H_1: p > 0{,}10$
Stap 2 — Het kritieke gebied bepalen
Zoek de kleinste grenswaarde $g$ met $P(X \ge g) \le 0{,}05$ , waarbij $P(X \ge g) = 1 - \text{binomcdf}(20;\,0{,}10;\,g-1)$ . Probeer $g = 5$ en $g = 4$ :
$P(X \ge 5) = 1 - 0{,}9568 \approx 0{,}043 \le 0{,}05, \qquad P(X \ge 4) = 1 - 0{,}8670 \approx 0{,}133 > 0{,}05$
Stap 3 — Conclusie over het kritieke gebied
Bij $g = 5$ zakt de overschrijdingskans net onder $0{,}05$ , bij $g = 4$ niet. De grenswaarde is dus $g = 5$ en het kritieke gebied is $X \ge 5$ : vanaf vijf defecte items verwerp je $H_0$ .
Stap 4 — Beslissen met de waarneming
Er zijn $6$ defecte items waargenomen. Omdat $6 \ge 5$ , valt de uitkomst in het kritieke gebied, dus verwerp je $H_0$ . Ter controle de p-waarde: $P(X \ge 6) = 1 - \text{binomcdf}(20;\,0{,}10;\,5) = 1 - 0{,}9887 \approx 0{,}011$ , en $0{,}011 < 0{,}05$ .
$6 \ge 5 \;\Rightarrow\; \text{verwerp } H_0; \qquad P(X \ge 6) \approx 0{,}011 < 0{,}05$

Resultaat: Het kritieke gebied is $X \ge 5$ . Met $6$ waargenomen defecte items (p-waarde $\approx 0{,}011$ ) verwerp je $H_0$ : op $5\%$ -niveau is er voldoende bewijs dat méér dan $10\%$ van de items defect is.

Veelgemaakte fouten

Bij het verwerpen van $H_0$ concluderen dat $H_1$ bewezen is, of bij het niet-verwerpen concluderen dat $H_0$ waar is; een toets levert nooit zekerheid, alleen voldoende of onvoldoende bewijs op $\alpha$ -niveau.
$P(X \ge g)$ verwarren met $P(X \le g)$ of $P(X > g)$ ; de rekenmachine geeft binomcdf $= P(X \le k)$ , dus voor de bovenstaart gebruik je $P(X \ge g) = 1 - P(X \le g-1)$ .
De grenswaarde $g$ niet meetellen in het kritieke gebied, of een verkeerde $g$ kiezen door de eis $P(X \ge g) \le \alpha$ verkeerd toe te passen.

Actieve herhaling

Een fabrikant beweert dat hoogstens 15% van zijn lampen binnen 1000 branduren kapotgaat. Een testlab onderzoekt een aselecte steekproef van 25 lampen. Stel $H_0$ en $H_1$ op, bepaal bij $\alpha = 0{,}05$ het kritieke gebied met binomcdf en geef aan vanaf hoeveel kapotte lampen je de bewering verwerpt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Toetsen met de normale verdeling#

Verdiepingexamenblad-nl

Verwerpingsgebied bij een linkszijdige toets

Afb. 4Standaardnormale verdeling van z onder H0. Bij significantieniveau 0,05 ligt het verwerpingsgebied links van de grens z = -1,645 (gearceerd). De waargenomen waarde z = -2,25 valt in dat gebied, dus H0 wordt verworpen.

Bij grote steekproeven of bij het toetsen van een gemiddelde gebruik je niet de binomiale verdeling, maar de normale verdeling. De reden is de centrale limietstelling: het gemiddelde

\overline{x}

van een steekproef is bij voldoende grote

n

bij benadering normaal verdeeld, ook als de afzonderlijke metingen dat niet zijn. Toets je een gemiddelde, dan is onder

H_0

het steekproefgemiddelde

\overline{x}

normaal verdeeld met als verwachting de waarde

\mu_0

uit

H_0

en met standaardafwijking

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

— let op, dat is de spreiding van het gemiddelde, niet van de losse metingen, en die is door het delen door

\sqrt{n}

kleiner. Toets je een proportie, dan is de steekproefproportie

\hat{p}

bij grote

n

ook bij benadering normaal verdeeld rond

p_0

. In beide gevallen reken je de toetsbeslissing uit met de oppervlakte onder de normaalkromme, precies zoals je bij de kansverdelingen hebt geleerd. De normale toets is dus de doorlopende tegenhanger van de binomiale toets uit de vorige paragraaf.

Om de waarneming te beoordelen, herleid je haar tot een standaardscore, de toetsingsgrootheid

z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

. In woorden: hoeveel standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt het waargenomen steekproefgemiddelde van de waarde af die

H_0

voorspelt? Een

z

dicht bij

0

betekent dat je waarneming goed bij

H_0

past; een sterk negatieve of sterk positieve

z

betekent dat ze er ver vanaf ligt en dus verdacht is. Door te standaardiseren reken je elk probleem om naar de standaardnormale verdeling met gemiddelde

0

en standaardafwijking

1

, zodat je steeds dezelfde grenswaarden en dezelfde rekenmachinefunctie kunt gebruiken. In het voorbeeld hieronder zijn zakken afgesteld op

\mu_0 = 500

g met

\sigma = 12

g; een steekproef van

n = 36

heeft gemiddelde

495{,}5

g, en dan is

z = \frac{495{,}5 - 500}{12/\sqrt{36}} = -2{,}25

. Het waargenomen gemiddelde ligt dus

2{,}25

standaardafwijkingen ónder de afstelwaarde — flink aan de lage kant.

De p-waarde maakt „flink aan de lage kant” precies. De p-waarde is de kans, berekend ónder

H_0

, op een uitkomst die minstens zo extreem is als de waargenomene, in de richting van

H_1

. Bij de linkszijdige zakkentoets (

H_1: \mu < 500

) is dat de oppervlakte links van

z = -2{,}25

onder de standaardnormale kromme:

P(Z \le -2{,}25) \approx 0{,}012

. Je leest dit af met normalcdf op de rekenmachine — direct als

P(\overline{x} \le 495{,}5)

met normalcdf

(-10^{99};\,495{,}5;\,500;\,2)

, of na standaardiseren als

P(Z \le -2{,}25)

. Een kleine p-waarde betekent: als

H_0

écht klopte, zou je zo'n extreme uitkomst maar zelden zien; dat de uitkomst er tóch is, pleit dus tégen

H_0

. Je vergelijkt de p-waarde met het significantieniveau: is

p < \alpha

, dan verwerp je

H_0

. Hier is

0{,}012 < 0{,}05

, dus verwerp je

H_0

. De p-waarde is daarmee het scharnierpunt van de toets: één getal dat zegt hoe goed of slecht de data bij de nulhypothese passen.

Naast de p-waarde kun je dezelfde beslissing nemen met het verwerpingsgebied. Daarvoor bepaal je vóóraf, uit het significantieniveau, een grenswaarde op de

z

-as. Bij een linkszijdige toets met

\alpha = 0{,}05

is die grens

z^{*} = -1{,}645

, te vinden met invNorm

(0{,}05)

; je verwerpt

H_0

als de toetsingsgrootheid links van die grens valt, dus als

z \le -1{,}645

. De figuur hieronder toont dit: de gearceerde linkerstaart onder de normaalkromme is het verwerpingsgebied, en de grenslijn ligt bij

-1{,}645

. De waargenomen

z = -2{,}25

ligt nog verder naar links en valt dus binnen het gearceerde gebied, zodat je

H_0

verwerpt. Het verwerpingsgebied en de p-waarde geven altijd dezelfde uitkomst: ligt

z

in het gebied, dan is de p-waarde automatisch kleiner dan

\alpha

, en omgekeerd. Het zijn twee manieren om naar dezelfde grens te kijken — de één vanuit de oppervlakte (

\alpha

), de ander vanuit de waargenomen kans (

p

). Je mag op het SE met beide methoden werken, als je maar één keuze consequent uitwerkt.

Een toets is pas af als de conclusie correct is geformuleerd, en daar gaan veel punten verloren. Noem eerst de statistische beslissing —

H_0

verworpen of niet, op niveau

\alpha

— en vertaal die daarna naar de context van de opgave. Bij de zakken luidt de conclusie: „op

5\%

-niveau is er voldoende bewijs dat de zakken gemiddeld te licht zijn (minder dan

500

g)”. Vermijd drie valkuilen. Ten eerste: een verworpen

H_0

betekent niet dat

H_1

bewézen is, alleen dat de data er sterk op wijzen — en een niet-verworpen

H_0

is geen bewijs dat

H_0

klopt. Ten tweede: statistische significantie is niet hetzelfde als praktische betekenis; een piepklein, onbelangrijk verschil kan bij een grote steekproef toch significant uitvallen. Ten derde: gebruik de juiste staart — bij

H_1: \mu < \mu_0

kijk je naar de linkerstaart, niet de rechter. De normale toets volgt verder exact dezelfde logica als de binomiale toets: hypothesen, een significantieniveau, een grens en een onderbouwde, voorzichtige conclusie.

z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

toetsingsgrootheid (gemiddelde)

De toetsingsgrootheid $z$ zegt hoeveel standaardafwijkingen het steekproefgemiddelde $\overline{x}$ van de nulwaarde $\mu_0$ af ligt. De noemer is de standaardafwijking van het gemiddelde, $\sigma/\sqrt{n}$ , niet die van de losse metingen.

\text{verwerp } H_0 \text{ als } z \le -1{,}645 \;\text{ of } p < \alpha

verwerpingsregel (linkszijdig, α= 0,05)

Bij een linkszijdige toets met $\alpha = 0{,}05$ ligt de grens van het verwerpingsgebied bij $z^{*} = -1{,}645$ (via invNorm $(0{,}05)$ ). Verwerpingsgebied en p-waarde geven dezelfde beslissing: ligt $z$ in het gebied, dan is $p < \alpha$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een gemiddelde toetsen met de normale verdeling (p-waarde en conclusie)

Een machine vult zakken met een afstelwaarde $\mu_0 = 500$ g; de standaardafwijking is bekend, $\sigma = 12$ g. Een consumentenorganisatie vermoedt dat de zakken te licht zijn en meet een aselecte steekproef van $n = 36$ zakken met gemiddelde $\overline{x} = 495{,}5$ g. Toets op significantieniveau $\alpha = 0{,}05$ .

Stap 1 — Hypothesen
De organisatie vermoedt te lichte zakken, dus toets je linkszijdig: $H_0: \mu = 500$ tegen $H_1: \mu < 500$ . Het significantieniveau is $\alpha = 0{,}05$ .
$H_0: \mu = 500 \qquad H_1: \mu < 500$
Stap 2 — Verdeling van het steekproefgemiddelde
Onder $H_0$ is $\overline{x}$ normaal verdeeld rond $500$ met standaardafwijking $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Reken die eerst uit:
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2$
Stap 3 — Toetsingsgrootheid en p-waarde
Standaardiseer de waarneming en bepaal de linkerstaartkans met normalcdf. Direct met de rekenmachine: $P(\overline{x} \le 495{,}5) = \text{normalcdf}(-10^{99};\,495{,}5;\,500;\,2)$ .
$z = \frac{495{,}5 - 500}{2} = -2{,}25, \qquad P(Z \le -2{,}25) \approx 0{,}012$
Stap 4 — Beslissing en conclusie
De p-waarde $0{,}012$ is kleiner dan $\alpha = 0{,}05$ , dus verwerp je $H_0$ . Hetzelfde volgt uit het verwerpingsgebied: de grens is $z^{*} = -1{,}645$ (via invNorm $(0{,}05)$ ) en $z = -2{,}25 \le -1{,}645$ . Conclusie in context: op $5\%$ -niveau is er voldoende bewijs dat de zakken gemiddeld te licht zijn.
$0{,}012 < 0{,}05 \;\Rightarrow\; \text{verwerp } H_0$

Resultaat: De toetsingsgrootheid is $z = -2{,}25$ met p-waarde $\approx 0{,}012$ . Omdat $0{,}012 < 0{,}05$ (en $z \le -1{,}645$ ), wordt $H_0$ verworpen: op $5\%$ -niveau is er voldoende bewijs dat de zakken gemiddeld minder dan $500$ g bevatten.

Veelgemaakte fouten

De standaardafwijking van de losse waarnemingen ( $\sigma$ ) gebruiken waar de standaardafwijking van het gemiddelde ( $\sigma/\sqrt{n}$ ) hoort; vergeten te delen door $\sqrt{n}$ .
De p-waarde aan de verkeerde kant berekenen: bij $H_1: \mu < \mu_0$ hoort de linkerstaart $P(Z \le z)$ , niet de rechterstaart.
De conclusie alleen in z- of p-termen laten staan („ $p < 0{,}05$ ”) zonder hem te vertalen naar de context van de opgave.

Actieve herhaling

De vulmachine van een frisdrankfabriek is afgesteld op $\mu_0 = 330$ ml met $\sigma = 3$ ml. Een aselecte steekproef van $n = 25$ blikjes heeft een gemiddelde van $328{,}8$ ml. Toets op significantieniveau $0{,}05$ of de blikjes gemiddeld te weinig bevatten: stel $H_0$ en $H_1$ op, bereken $z$ en de p-waarde en formuleer de conclusie in de context.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Toepassingen van statistische verwerkingsmethoden (toetsen, correlatie en regressie)

Kernpunten

Een spreidingsdiagram en de correlatiecoëfficiënt interpreteren

Kernpunten

Met de grafische rekenmachine een regressielijn bepalen en voorspellen

Kernpunten

Een eenzijdige binomiale toets volledig uitvoeren

Kernpunten

Een gemiddelde toetsen met de normale verdeling (p-waarde en conclusie)

Bronnen