Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken

In dit onderwerp onderzoek je hoe punten, lijnen en vlakken in de ruimte ten opzichte van elkaar liggen. Je leert beslissen of twee lijnen snijden, evenwijdig zijn of kruisen, hoe een lijn ten opzichte van een vlak ligt en hoe twee vlakken elkaar in een snijlijn ontmoeten. Met het inproduct bereken je ten slotte hoeken tussen lijnen en vlakken en de afstand van een punt tot een vlak. Het onderwerp hoort bij domein C (Ruimtemeetkunde) en bouwt voort op coördinaten, vectoren, de parametervoorstelling en het inproduct.

4 Onderdelen~28 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·111111 / 13

Examenprofiel

De onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken in de ruimte bepalen met richtingsvectoren, normaalvectoren en stelsels.Beslissen of twee lijnen snijden, evenwijdig zijn of kruisen, en bij snijdende lijnen het snijpunt berekenen.De ligging van een lijn ten opzichte van een vlak en van twee vlakken onderling bepalen met het inproduct \vec{r}·\vec{n}.Hoeken tussen lijnen en vlakken en de afstand van een punt tot een vlak berekenen met het inproduct.

Operatoren:bepaalberekentoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat je vlot een punt kunt invullen in een parametervoorstelling of een vlakvergelijking en zo kunt nagaan of het erop of erin ligt; dat invullen is de bouwsteen onder alle liggingsvragen.

verhoogd niveau

Werk de classificatie snijdend–evenwijdig–kruisend systematisch af met richtings- en normaalvectoren, en reken hoeken en afstanden exact door met het inproduct voordat je afrondt.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken

Punten, lijnen en vlakken: incidentie en bepaaldheid#

Basisexamenblad-nl

Een punt, een lijn en een vlak in de ruimte

Afb. 1Drie niet-collineaire punten

A

B

C

leggen het vlak

V

vast; het punt

P

en een richting bepalen de lijn

l

. Twee punten leggen een lijn vast, drie niet-collineaire punten een vlak.

In de ruimtemeetkunde beschrijf je een punt met drie coördinaten:

P = (x, y, z)

ten opzichte van een assenstelsel met drie onderling loodrechte assen

x_1

x_2

x_3

. De centrale vraag van dit onderwerp is de onderlinge ligging: hoe liggen punten, lijnen en vlakken ten opzichte van elkaar? De eenvoudigste vorm daarvan is incidentie — ligt een punt op een lijn, of in een vlak? Voordat je ingewikkelder vragen kunt beantwoorden, zoals of twee lijnen snijden of een lijn een vlak doorboort, moet je vlot kunnen nagaan of een gegeven punt op een gegeven lijn of in een gegeven vlak ligt. Dat doe je telkens op dezelfde manier: je vult de coördinaten van het punt in en controleert of aan de voorwaarde wordt voldaan. Dit hele onderwerp leunt op coördinaten, vectoren en het inproduct uit domein C, dus zorg dat je het optellen van vectoren en het inproduct paraat hebt.

Twee verschillende punten leggen samen precies één lijn vast: door

A

B

gaat één rechte lijn. Die lijn beschrijf je met een parametervoorstelling

\vec{x} = \vec{a} + \lambda\vec{r}

, waarbij

\vec{a}

de plaatsvector van een vast punt op de lijn is (bijvoorbeeld

A

) en

\vec{r}

een richtingsvector die de richting aangeeft (bijvoorbeeld

\vec{r} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

). De parameter

\lambda

loopt over alle reële getallen; elke waarde van

\lambda

levert precies één punt van de lijn. Voor een vlak heb je drie punten nodig die niet op één lijn liggen — drie niet-collineaire punten

A

B

C

leggen samen precies één vlak vast. Liggen de drie punten wél op één lijn (collineair), dan bepalen ze geen vlak maar opnieuw alleen die ene lijn. Dit verklaart waarom een kruk met drie poten nooit wiebelt: drie steunpunten leggen het draagvlak eenduidig vast, een vierde poot kan er net naast vallen.

Om na te gaan of een punt

P

op een lijn

l: \vec{x} = \vec{a} + \lambda\vec{r}

ligt, zoek je één waarde van

\lambda

die alle drie de coördinaten van

P

tegelijk oplevert. Je stelt dus per coördinaat een vergelijking op. Neem

l: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)

P = (5, 0, 6)

. Uit de eerste coördinaat volgt

1 + 2\lambda = 5

, dus

\lambda = 2

. Die waarde moet óók kloppen voor de andere twee:

2 - \lambda = 2 - 2 = 0

3\lambda = 6

, en dat klopt allebei. Omdat dezelfde

\lambda = 2

alle drie de coördinaten geeft, ligt

P

l

. Vind je verschillende waarden van

\lambda

— bijvoorbeeld

\lambda = 2

uit de

x

-coördinaat maar

\lambda = 1

uit de

z

-coördinaat — dan is er geen enkele

\lambda

die alles tegelijk laat kloppen en ligt het punt niet op de lijn. Het is dus niet genoeg dat één coördinaat klopt; alle drie moeten bij dezelfde

\lambda

horen.

Een vlak beschrijf je in de ruimte het handigst met een vergelijking van de vorm

ax + by + cz = d

. De getallen

a

b

c

vormen samen de normaalvector

\vec{n} = (a, b, c)

: de vector die loodrecht op het vlak staat. Die normaalvector is de sleutel tot bijna alle latere berekeningen — hij legt de stand van het vlak vast, en met het inproduct vergelijk je hem straks met richtingsvectoren en met andere normaalvectoren. Een punt

P = (x_P, y_P, z_P)

ligt in het vlak precies wanneer zijn coördinaten aan de vergelijking voldoen, dus wanneer

a x_P + b y_P + c z_P = d

. Voor het vlak

V: 2x + y - z = 4

en het punt

P = (5, 0, 6)

reken je na:

2\cdot 5 + 0 - 6 = 4

, wat klopt, dus

P

ligt in

V

. Het getal

d

vind je door de coördinaten van één bekend punt in te vullen; de normaalvector mag je met elk getal ongelijk aan

0

vermenigvuldigen zonder dat het vlak verandert, want

2x + y - z = 4

4x + 2y - 2z = 8

stellen hetzelfde vlak voor.

De rode draad onder dit onderwerp is steeds dezelfde controle: invullen en kijken of het klopt. Bij een lijn vul je de coördinaten in de parametervoorstelling in en zoek je één passende

\lambda

; bij een vlak vul je ze in de vergelijking

ax + by + cz = d

in. Dit eenvoudige gereedschap draagt alle vervolgvragen. Snijden twee lijnen elkaar? Dan zoek je een punt dat op beide ligt. Snijdt een lijn een vlak? Dan zoek je het punt van de lijn dat aan de vlakvergelijking voldoet. Ligt een lijn helemaal in een vlak? Dan moet élk punt van de lijn aan de vergelijking voldoen. Door incidentie goed te beheersen, herken je deze problemen straks als variaties op één thema en kun je je concentreren op het opstellen en oplossen van de bijbehorende stelsels, in plaats van op de techniek van het invullen zelf.

\vec{x} = \vec{a} + \lambda\vec{r}

parametervoorstelling van een lijn

Een lijn door het punt met plaatsvector $\vec{a}$ en richtingsvector $\vec{r}$ ; elke waarde van de parameter $\lambda$ geeft precies één punt van de lijn.

ax + by + cz = d \quad\text{met}\quad \vec{n} = (a, b, c)

vergelijking van een vlak

De coëfficiënten $a$ , $b$ en $c$ vormen de normaalvector $\vec{n}$ , die loodrecht op het vlak staat; $d$ volgt door een punt van het vlak in te vullen.

Uitgewerkt voorbeeld

Ligt een punt op een lijn én in een vlak?

Gegeven zijn de lijn $l: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$ en het vlak $V: 2x + y - z = 4$ . Onderzoek of het punt $P = (5, 0, 6)$ op $l$ ligt en of het in $V$ ligt.

Stap 1 — Zoek de parameter uit de eerste coördinaat
Stel de x-coördinaat van de lijn gelijk aan die van P en los λ op.
$1 + 2\lambda = 5 \ \Rightarrow\ \lambda = 2$
Stap 2 — Controleer de andere twee coördinaten
Vul λ = 2 in bij de y- en z-coördinaat. Je vindt 0 en 6, precies de y- en z-coördinaat van P, dus P ligt op l.
$y:\ 2 - 2 = 0 \qquad z:\ 3 \cdot 2 = 6$
Stap 3 — Vul P in de vlakvergelijking in
Een punt ligt in V als zijn coördinaten aan 2x + y − z = 4 voldoen.
$2 \cdot 5 + 0 - 6 = 10 - 6 = 4$

Resultaat: Omdat dezelfde $\lambda = 2$ alle drie de coördinaten van $P$ oplevert, ligt $P$ op $l$ ; en omdat $2 \cdot 5 + 0 - 6 = 4$ klopt, ligt $P$ ook in $V$ . Het punt $P = (5, 0, 6)$ ligt dus zowel op de lijn als in het vlak — het is precies het snijpunt van $l$ en $V$ .

Veelgemaakte fouten

Concluderen dat een punt op een lijn ligt omdat één coördinaat klopt; alle drie de coördinaten moeten bij dezelfde waarde van $\lambda$ horen.
De normaalvector verwarren met een richtingsvector van het vlak: $\vec{n} = (a, b, c)$ staat juist loodrecht op het vlak, niet erin.
Bij het opstellen van de vlakvergelijking vergeten $d$ te berekenen en $d = 0$ aannemen, terwijl het vlak niet door de oorsprong gaat.

Actieve herhaling

Gegeven zijn de lijn $l: (x, y, z) = (2, -1, 1) + \lambda(1, 3, -2)$ en het vlak $V: x + y + z = 4$ . Ga na of het punt $P = (4, 5, -3)$ op $l$ ligt en of het in $V$ ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Onderlinge ligging van twee lijnen#

Standaardexamenblad-nl

Twee kruisende lijnen

Afb. 2De lijnen

l

m

hebben verschillende richtingen en liggen op verschillende hoogtes (

z = 0

z = 3

): ze snijden elkaar niet en lopen niet evenwijdig — ze kruisen.

Twee lijnen in de ruimte kunnen op drie manieren ten opzichte van elkaar liggen, en dat is er één meer dan in het platte vlak. Snijdend: de lijnen hebben precies één punt gemeen, het snijpunt. Evenwijdig: de lijnen hebben dezelfde richting; ze hebben dan ofwel geen enkel punt gemeen (echt evenwijdig), ofwel ze vallen helemaal samen. Kruisend: de lijnen hebben geen punt gemeen én lopen ook niet evenwijdig — ze schieten in de ruimte langs elkaar heen zonder elkaar te raken, zoals twee vliegtuigsporen op verschillende hoogtes. Dit kruisende geval bestaat alleen in de ruimte; in het platte vlak snijden twee niet-evenwijdige lijnen elkaar altijd. Om te beslissen welk geval zich voordoet, kijk je eerst naar de richtingsvectoren en daarna, als die niet evenwijdig zijn, naar het stelsel dat ontstaat als je de lijnen aan elkaar gelijkstelt. Die twee stappen vormen samen een vast beslisschema.

De eerste stap is altijd: zijn de richtingsvectoren

\vec{r_1}

\vec{r_2}

van de twee lijnen evenwijdig? Dat is zo wanneer de één een veelvoud van de ander is, dus als er een getal

k

bestaat met

\vec{r_1} = k\,\vec{r_2}

. Voor

\vec{r_1} = (2, 4, -2)

\vec{r_2} = (1, 2, -1)

geldt

\vec{r_1} = 2\,\vec{r_2}

, dus die richtingen zijn evenwijdig. Zijn de richtingen evenwijdig, dan zijn de lijnen ofwel echt evenwijdig ofwel samenvallend; daartussen beslis je door één punt van de ene lijn te toetsen aan de andere. Ligt dat punt op de andere lijn, dan vallen ze samen; ligt het er niet op, dan zijn ze echt evenwijdig. Zijn de richtingen niet evenwijdig — er is geen enkel getal

k

met

\vec{r_1} = k\,\vec{r_2}

— dan vallen evenwijdig en samenvallend af en blijven alleen snijdend en kruisend over. Welke van die twee het is, beslis je in de tweede stap met het stelsel.

Hebben de lijnen verschillende richtingen, dan stel je hun parametervoorstellingen aan elkaar gelijk. Met

l: \vec{a_1} + \lambda\vec{r_1}

m: \vec{a_2} + \mu\vec{r_2}

— let op: gebruik verschillende parameters

\lambda

\mu

— krijg je per coördinaat een vergelijking, samen een stelsel van drie vergelijkingen met twee onbekenden. Je lost twee van die vergelijkingen op naar

\lambda

\mu

en controleert daarna of die waarden óók aan de derde vergelijking voldoen. Past de gevonden oplossing in alle drie de vergelijkingen, dan is het stelsel oplosbaar en snijden de lijnen elkaar. Geeft de derde vergelijking een tegenspraak, bijvoorbeeld

3 = -3

, dan is er geen gemeenschappelijk punt en kruisen de lijnen. Het feit dat drie vergelijkingen met maar twee onbekenden meestal géén oplossing hebben, is precies waarom kruisende lijnen in de ruimte de regel zijn en snijdende lijnen het bijzondere geval.

Blijkt uit het stelsel dat de lijnen snijden, dan vind je het snijpunt door de gevonden parameterwaarde in te vullen. Vul

\lambda

in de parametervoorstelling van

l

in, of — als controle —

\mu

in die van

m

; beide moeten hetzelfde punt opleveren. Stel dat je

\lambda = 1

\mu = 1

hebt gevonden voor

l: (1, 1, 0) + \lambda(1, 2, 1)

, dan is het snijpunt

S = (1 + 1,\ 1 + 2,\ 0 + 1) = (2, 3, 1)

. Dat je het punt langs beide lijnen kunt uitrekenen, geeft een gratis controle: komt

m

bij

\mu = 1

óók op

(2, 3, 1)

uit, dan weet je zeker dat je geen rekenfout hebt gemaakt. Vergeet bij dit alles niet om beide parameters apart te benoemen: gebruik je per ongeluk voor beide lijnen dezelfde letter

\lambda

, dan dwing je de lijnen op hetzelfde 'tijdstip' op hetzelfde punt te zijn en mis je snijpunten die bij verschillende parameterwaarden liggen.

Samengevat doorloop je dus altijd hetzelfde beslisschema. Stap 1: zijn de richtingsvectoren veelvouden van elkaar? Zo ja, toets één punt en kies tussen samenvallend en echt evenwijdig. Zo nee, ga naar stap 2. Stap 2: stel het stelsel op met twee parameters, los twee vergelijkingen op en controleer de derde — klopt die, dan snijdend (bereken het snijpunt), anders kruisend. Dit schema gebruik je niet alleen bij kale lijnvergelijkingen, maar ook in toepassingen: of twee ribben van een ruimtelijk figuur in elkaars verlengde liggen, of de banen van twee bewegende punten elkaar treffen. In de volgende paragraaf breid je dezelfde denkwijze uit naar een lijn en een vlak, waar je in plaats van twee richtingsvectoren een richtingsvector en een normaalvector met elkaar vergelijkt via het inproduct.

\vec{r_1} = k\,\vec{r_2} \quad\Longleftrightarrow\quad l \parallel m

evenwijdige lijnen

Twee lijnen zijn evenwijdig (of samenvallend) precies wanneer hun richtingsvectoren veelvouden van elkaar zijn.

\vec{a_1} + \lambda\vec{r_1} = \vec{a_2} + \mu\vec{r_2}

lijnen aan elkaar gelijkstellen

Gebruik verschillende parameters $\lambda$ en $\mu$ ; dit levert per coördinaat een vergelijking — samen een stelsel van drie vergelijkingen met twee onbekenden.

Uitgewerkt voorbeeld

De onderlinge ligging van twee lijnen bepalen

Bepaal de onderlinge ligging van $l: (x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(1, 2, 1)$ en $m: (x, y, z) = (0, 4, 0) + \mu(2, -1, 1)$ . Bereken een eventueel snijpunt.

Stap 1 — Vergelijk de richtingsvectoren
Is (1, 2, 1) een veelvoud van (2, −1, 1)? Uit het eerste kental zou k = ½ volgen, maar dan klopt het tweede niet (2 is niet gelijk aan −½). De richtingen zijn dus niet evenwijdig: de lijnen snijden of kruisen.
$(1, 2, 1) \neq k\,(2, -1, 1)$
Stap 2 — Stel het stelsel op
Stel de coördinaten van l en m per as aan elkaar gelijk. Dat geeft drie vergelijkingen met de twee onbekenden λ en μ.
$\begin{cases} 1 + \lambda = 2\mu \\ 1 + 2\lambda = 4 - \mu \\ \lambda = \mu \end{cases}$
Stap 3 — Los twee vergelijkingen op
Uit de derde vergelijking volgt λ = μ. Vul dit in de eerste in: 1 + λ = 2λ, dus λ = 1 en μ = 1.
$1 + \lambda = 2\lambda \ \Rightarrow\ \lambda = 1, \ \mu = 1$
Stap 4 — Controleer de overgebleven vergelijking
De tweede vergelijking is nog niet gebruikt. Vul λ = 1 en μ = 1 in: links 1 + 2 = 3, rechts 4 − 1 = 3. Dat klopt, dus de lijnen snijden elkaar.
$1 + 2 \cdot 1 = 3 \qquad 4 - 1 = 3$
Stap 5 — Bereken het snijpunt
Vul λ = 1 in de parametervoorstelling van l in.
$S = (1 + 1,\ 1 + 2 \cdot 1,\ 0 + 1) = (2, 3, 1)$

Resultaat: De richtingsvectoren zijn niet evenwijdig en het stelsel heeft de oplossing $\lambda = \mu = 1$ , die aan alle drie de vergelijkingen voldoet. De lijnen $l$ en $m$ snijden elkaar dus in het punt $S = (2, 3, 1)$ . Ter controle: $m$ bij $\mu = 1$ geeft $(2 \cdot 1,\ 4 - 1,\ 1) = (2, 3, 1)$ , hetzelfde punt.

Veelgemaakte fouten

Voor beide lijnen dezelfde parameter $\lambda$ gebruiken in plaats van $\lambda$ en $\mu$ ; daardoor mis je snijpunten die bij verschillende parameterwaarden horen.
Na het oplossen van twee vergelijkingen vergeten de derde te controleren, zodat je kruisende lijnen ten onrechte snijdend noemt.
Denken dat lijnen met verschillende richtingsvectoren elkaar altijd snijden; in de ruimte kunnen ze ook kruisen.

Actieve herhaling

Onderzoek de onderlinge ligging van $l: (x, y, z) = (0, 1, 2) + \lambda(1, 1, 1)$ en $m: (x, y, z) = (3, 0, 1) + \mu(1, -1, 2)$ . Snijden ze elkaar, en zo ja, in welk punt?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Lijn en vlak, en twee vlakken onderling#

Standaardexamenblad-nl

Een lijn die een vlak snijdt

Afb. 3De lijn

l

heeft richtingsvector

(0, 0, 1)

en het vlak

V

normaalvector

(1, 1, 1)

. Omdat

\vec{r} \cdot \vec{n} = 1 \neq 0

, doorboort de lijn het vlak in precies één punt.

Net als twee lijnen kan een lijn op verschillende manieren ten opzichte van een vlak liggen, en de normaalvector van het vlak is daarbij je belangrijkste gereedschap. Een lijn

l

met richtingsvector

\vec{r}

en een vlak

V

met normaalvector

\vec{n}

kunnen snijdend zijn (de lijn doorboort het vlak in precies één punt), de lijn kan evenwijdig aan het vlak lopen (zonder het te raken), of de lijn kan helemaal in het vlak liggen. Welk geval het is, lees je af aan het inproduct

\vec{r} \cdot \vec{n}

. Staat de richtingsvector niet loodrecht op de normaalvector, dus

\vec{r} \cdot \vec{n} \neq 0

, dan snijdt de lijn het vlak. Is

\vec{r} \cdot \vec{n} = 0

, dan staat

\vec{r}

loodrecht op

\vec{n}

en dus evenwijdig aan het vlak — de lijn ligt er dan langs of helemaal in. Dit ene inproduct vervangt het hele stelsel uit de vorige paragraaf.

Waarom betekent

\vec{r} \cdot \vec{n} = 0

dat de lijn evenwijdig aan het vlak loopt? De normaalvector

\vec{n}

staat loodrecht op het hele vlak. Een richting die loodrecht op

\vec{n}

staat, ligt dus 'plat met het vlak mee': ze wijst nergens het vlak in of uit. Een lijn met zo'n richting houdt overal dezelfde afstand tot het vlak en kan het dus nooit doorboren. Of die afstand nul is (lijn ligt in het vlak) of niet (lijn loopt echt evenwijdig), beslis je met één punt: vul de coördinaten van een willekeurig punt van de lijn in de vlakvergelijking

ax + by + cz = d

in. Klopt de vergelijking, dan ligt dat punt — en daarmee de hele lijn — in het vlak. Klopt ze niet, dan ligt de lijn er volledig buiten en is ze echt evenwijdig. Deze tweedeling spiegelt precies het onderscheid tussen samenvallende en echt evenwijdige lijnen uit de vorige paragraaf.

Snijdt de lijn het vlak (

\vec{r} \cdot \vec{n} \neq 0

), dan bereken je het snijpunt door de parametervoorstelling in de vlakvergelijking te substitueren. Een willekeurig punt van de lijn heeft coördinaten die van

\lambda

afhangen; die vul je in

ax + by + cz = d

in, waardoor één vergelijking met alleen

\lambda

ontstaat. Die los je op, en de gevonden

\lambda

vul je terug in de lijn om het snijpunt te krijgen. Neem

l: (1, 0, 1) + \lambda(1, 1, -1)

V: x + 2y + z = 6

. Het algemene lijnpunt is

(1 + \lambda,\ \lambda,\ 1 - \lambda)

; invullen geeft

(1 + \lambda) + 2\lambda + (1 - \lambda) = 6

, dus

2 + 2\lambda = 6

\lambda = 2

. Het snijpunt is dan

(1 + 2,\ 2,\ 1 - 2) = (3, 2, -1)

. Deze substitutiemethode is dezelfde techniek waarmee je in het platte vlak een lijn met een parabool snijdt: vul de ene beschrijving in de andere in en los op.

Twee vlakken in de ruimte liggen ofwel evenwijdig (eventueel samenvallend), ofwel ze snijden elkaar in een hele lijn — de snijlijn. Welk geval het is, lees je af aan de normaalvectoren. Zijn

\vec{n_1}

\vec{n_2}

veelvouden van elkaar,

\vec{n_1} = k\,\vec{n_2}

, dan staan de vlakken in dezelfde stand en zijn ze evenwijdig; passen bovendien hun vergelijkingen op een factor na samen, dan zijn het hetzelfde vlak. Zo zijn

V_1: 2x - y + z = 3

V_2: 4x - 2y + 2z = 1

evenwijdig, want

\vec{n_2} = 2\,\vec{n_1}

, maar niet samenvallend: bij die factor zou rechts

2 \cdot 3 = 6

moeten staan, niet

1

. Zijn de normaalvectoren geen veelvoud van elkaar, dan snijden de vlakken elkaar in een lijn. Anders dan bij een lijn en een vlak is de doorsnede van twee vlakken dus geen punt maar een lijn — twee 'platte' richtingen delen een hele rechte.

De snijlijn van twee snijdende vlakken bepaal je door hun vergelijkingen als stelsel samen te nemen. Twee vergelijkingen met drie onbekenden

x

y

z

laten één vrijheidsgraad over, en die vrijheid is precies de parameter langs de snijlijn. In de praktijk kies je daarom één variabele als parameter — zeg

z = \lambda

— los je de twee vlakvergelijkingen op naar de andere twee variabelen, en schrijf je het resultaat als een parametervoorstelling

\vec{x} = \vec{a} + \lambda\vec{r}

. De richtingsvector

\vec{r}

die je zo vindt, ligt in beide vlakken tegelijk en staat dus loodrecht op beide normaalvectoren; dat kun je achteraf controleren met

\vec{r} \cdot \vec{n_1} = 0

\vec{r} \cdot \vec{n_2} = 0

. Daarmee is de cirkel rond: een lijn beschrijf je met een parametervoorstelling, een vlak met een vergelijking, en alle liggingsvragen los je op door die twee vormen op de juiste manier te combineren. In de slotparagraaf gebruik je dezelfde richtings- en normaalvectoren om hoeken en afstanden te berekenen.

\vec{r} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow l \parallel V, \qquad \vec{r} \cdot \vec{n} \neq 0 \Rightarrow l \text{ snijdt } V

ligging van lijn en vlak

Bij $\vec{r} \cdot \vec{n} = 0$ staat de richting loodrecht op de normaal en loopt de lijn evenwijdig aan het vlak (erlangs of erin); anders is er precies één snijpunt.

\vec{n_1} = k\,\vec{n_2} \quad\Longleftrightarrow\quad V_1 \parallel V_2

evenwijdige vlakken

Twee vlakken zijn evenwijdig (of samenvallend) precies wanneer hun normaalvectoren veelvouden van elkaar zijn; anders snijden ze elkaar in een lijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Het snijpunt van een lijn en een vlak berekenen

Bepaal of de lijn $l: (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(1, 1, -1)$ het vlak $V: x + 2y + z = 6$ snijdt, en bereken het snijpunt.

Stap 1 — Toets met het inproduct
De richtingsvector is r = (1, 1, −1) en de normaalvector n = (1, 2, 1). Bereken het inproduct.
$\vec{r} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 2 \neq 0$
Stap 2 — Schrijf het algemene lijnpunt
Elk punt van l heeft coördinaten die van λ afhangen.
$(x, y, z) = (1 + \lambda,\ \lambda,\ 1 - \lambda)$
Stap 3 — Substitueer in de vlakvergelijking
Vul deze coördinaten in x + 2y + z = 6 in en vereenvoudig tot één vergelijking in λ.
$(1 + \lambda) + 2\lambda + (1 - \lambda) = 6 \ \Rightarrow\ 2 + 2\lambda = 6$
Stap 4 — Los λ op en bereken het snijpunt
Uit 2 + 2λ = 6 volgt λ = 2. Vul dit terug in het algemene lijnpunt.
$\lambda = 2 \ \Rightarrow\ (1 + 2,\ 2,\ 1 - 2) = (3, 2, -1)$

Resultaat: Omdat $\vec{r} \cdot \vec{n} = 2 \neq 0$ snijdt $l$ het vlak $V$ in precies één punt. Substitueren geeft $\lambda = 2$ en daarmee het snijpunt $S = (3, 2, -1)$ . Controle: $3 + 2 \cdot 2 + (-1) = 6$ , dus $S$ ligt inderdaad in $V$ .

Veelgemaakte fouten

Bij $\vec{r} \cdot \vec{n} = 0$ meteen 'echt evenwijdig' concluderen zonder met een punt te controleren of de lijn juist in het vlak ligt.
De normaalvector $\vec{n}$ van het vlak verwarren met een richtingsvector ervan, waardoor het criterium $\vec{r} \cdot \vec{n}$ omgekeerd wordt uitgelegd.
Twee vlakken evenwijdig noemen zodra hun normaalvectoren toevallig één gelijk kental hebben; ze moeten écht veelvouden van elkaar zijn.

Actieve herhaling

Gegeven zijn de lijn $l: (x, y, z) = (2, 1, 0) + \lambda(1, -1, 2)$ en het vlak $V: x + y + z = 5$ . Ga met het inproduct na of $l$ het vlak $V$ snijdt, en bereken zo ja het snijpunt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Afstanden en hoeken in de ruimte#

Verdiepingexamenblad-nl

Hoek tussen lichaamsdiagonaal en ribbe

Afb. 4In een kubus met ribbe

4

maken de lichaamsdiagonaal

AG = (4, 4, 4)

en de ribbe

AB = (4, 0, 0)

samen een hoek. Met het inproduct vind je

\cos\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{3}}

, dus

\varphi \approx 54{,}7^\circ

In de slotparagraaf gebruik je het inproduct om hoeken te berekenen. De basis is de inproductformule: voor twee vectoren

\vec{a}

\vec{b}

geldt

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

, waarin

\varphi

de hoek tussen de vectoren is en

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

de lengte. Hieruit volgt de werkformule

\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Bij hoeken tussen lijnen, vlakken en ribben wil je echter altijd de scherpe hoek, tussen

0^\circ

90^\circ

, want een lijn heeft geen 'voorkant'. Daarom neem je de absolute waarde in de teller:

\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Het minteken dat zou ontstaan als de vectoren tegengesteld wijzen, verdwijnt zo, en je vindt altijd de hoek die je op een tekening zou meten. Met welke vectoren

\vec{a}

\vec{b}

je rekent, hangt af van welke hoek je zoekt — dat is de kern van deze paragraaf.

De hoek tussen twee lijnen bereken je rechtstreeks met hun richtingsvectoren. Zijn

\vec{r_1}

\vec{r_2}

de richtingsvectoren, dan is

\cos\varphi = \dfrac{|\vec{r_1} \cdot \vec{r_2}|}{|\vec{r_1}|\,|\vec{r_2}|}

. Merk op dat de lijnen elkaar hiervoor niet eens hoeven te snijden: ook bij kruisende lijnen is de hoek gedefinieerd als de hoek die je zou meten wanneer je één van de lijnen evenwijdig naar de ander toe schuift tot ze elkaar snijden. De richtingsvectoren veranderen daar niet bij, dus de formule blijft gewoon gelden. Een voorbeeld: voor

\vec{r_1} = (1, 0, 1)

\vec{r_2} = (0, 1, 1)

\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = 0 + 0 + 1 = 1

|\vec{r_1}| = |\vec{r_2}| = \sqrt{2}

, dus

\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}

\varphi = 60^\circ

. Staan de richtingsvectoren loodrecht op elkaar (

\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = 0

), dan is de hoek

90^\circ

en snijden of kruisen de lijnen loodrecht.

Bij de hoek tussen een lijn en een vlak moet je oppassen, want hier komt een

\sin

in plaats van een

\cos

om de hoek. Je hebt namelijk de richtingsvector

\vec{r}

van de lijn en de normaalvector

\vec{n}

van het vlak, maar

\vec{n}

staat loodrecht op het vlak. De hoek tussen

\vec{r}

\vec{n}

is daarom de complementaire hoek (samen

90^\circ

) van de hoek tussen de lijn en het vlak zelf. Omdat

\cos(90^\circ - \varphi) = \sin\varphi

, krijg je

\sin\varphi = \dfrac{|\vec{r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{r}|\,|\vec{n}|}

, waarbij

\varphi

de gezochte hoek tussen lijn en vlak is. Je rekent dus met dezelfde breuk als bij twee lijnen, maar het inproduct van richting en normaal levert nu de sinus van de hoek. Vergeet je dat en lees je de uitkomst als een cosinus, dan vind je systematisch de verkeerde (complementaire) hoek. Een handige controle: ligt de lijn bijna in het vlak, dan is

\varphi

klein en moet

\sin\varphi

dus klein zijn — en inderdaad is

\vec{r} \cdot \vec{n}

dan bijna nul.

De hoek tussen twee vlakken meet je via hun normaalvectoren. De vlakken

V_1

V_2

maken dezelfde hoek met elkaar als hun normaalvectoren

\vec{n_1}

\vec{n_2}

, dus

\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}

. Dat de hoek tussen de vlakken gelijk is aan de hoek tussen hun normalen, zie je in door je de twee vlakken voor te stellen als twee bladzijden van een opengeslagen boek: draai je beide bladzijden

90^\circ

naar hun normalen, dan blijft de openingshoek hetzelfde. Ook hier zorgt de absolute waarde ervoor dat je de scherpe hoek krijgt. Drie formules, één idee: je kiest telkens de twee vectoren die de stand van de lijnen of vlakken vastleggen — twee richtingsvectoren (lijn–lijn), een richting en een normaal (lijn–vlak, met sinus), of twee normaalvectoren (vlak–vlak) — en stopt ze in dezelfde inproductbreuk. Het herkennen van wélke vectoren je nodig hebt, is op het schoolexamen (SE) belangrijker dan het rekenwerk zelf.

Naast hoeken vraagt het schoolexamen (SE) ook de afstand van een punt tot een vlak: de kortste afstand, gemeten loodrecht op het vlak. Voor een punt

P = (x_P, y_P, z_P)

en een vlak

V: ax + by + cz = d

geldt

\text{afstand}(P, V) = \dfrac{|a x_P + b y_P + c z_P - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

. In de teller staat hoever de coördinaten van

P

de vlakvergelijking 'missen' (vandaar de absolute waarde), en in de noemer staat de lengte

|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

van de normaalvector, die de schaal corrigeert. Vul je een punt in dat in het vlak ligt, dan wordt de teller nul en is de afstand terecht

0

. Een voorbeeld: de afstand van

P = (2, 2, 2)

tot

V: x + y + z = 3

\dfrac{|2 + 2 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73

. Deze formule is in de ruimte de directe tegenhanger van de afstandsformule van een punt tot een lijn in het platte vlak; herken je die overeenkomst, dan hoef je maar één idee te onthouden.

\cos\varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

hoek tussen twee richtingen

De scherpe hoek tussen twee lijnen (met $\vec{a}, \vec{b}$ de richtingsvectoren) of tussen twee vlakken (met de normaalvectoren); de absolute waarde zorgt dat $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ .

\sin\varphi = \frac{|\vec{r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{r}|\,|\vec{n}|}

hoek tussen lijn en vlak

Omdat $\vec{n}$ loodrecht op het vlak staat, levert het inproduct van richting en normaal de sinus van de hoek tussen lijn en vlak.

\text{afstand}(P, V) = \frac{|a x_P + b y_P + c z_P - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

afstand van een punt tot een vlak

Vul de coördinaten van $P$ in de vlakvergelijking in, neem de absolute waarde en deel door de lengte $|\vec{n}|$ van de normaalvector.

Uitgewerkt voorbeeld

Een hoek in een kubus berekenen met het inproduct

Gegeven is kubus $ABCD.EFGH$ met ribbe $4$ , waarbij $A = (0, 0, 0)$ , $B = (4, 0, 0)$ en $G = (4, 4, 4)$ . Bereken de hoek $\varphi$ tussen de lichaamsdiagonaal $AG$ en de ribbe $AB$ in graden.

Stap 1 — Stel de twee richtingsvectoren op
Bepaal de vectoren langs AG en AB uit de coördinaten van de hoekpunten.
$\vec{AG} = (4, 4, 4), \qquad \vec{AB} = (4, 0, 0)$
Stap 2 — Bereken het inproduct
Vermenigvuldig de kentallen paarsgewijs en tel op.
$\vec{AG} \cdot \vec{AB} = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 16$
Stap 3 — Bereken de lengtes
Gebruik de lengteformule |v| = √(v1² + v2² + v3²).
$|\vec{AG}| = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \qquad |\vec{AB}| = \sqrt{16} = 4$
Stap 4 — Pas de inproductformule toe
Vul in en vereenvoudig; de absolute waarde is hier overbodig, want het inproduct is al positief.
$\cos\varphi = \frac{16}{4\sqrt{3} \cdot 4} = \frac{16}{16\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Stap 5 — Bereken de hoek
Neem de inverse cosinus en reken in graden.
$\varphi = \arccos\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}7^\circ$

Resultaat: De hoek tussen de lichaamsdiagonaal $AG$ en de ribbe $AB$ is $\varphi = \arccos\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}7^\circ$ . Dit is een vaste hoek in elke kubus: de lichaamsdiagonaal maakt met elke ribbe die eraan grenst dezelfde hoek van ongeveer $54{,}7^\circ$ .

Uitgewerkt voorbeeld

De afstand van een punt tot een vlak berekenen

Bereken de afstand van het punt $P = (3, 1, 4)$ tot het vlak $V: 2x - y + 2z = 5$ .

Stap 1 — Lees de normaalvector af
De coëfficiënten van x, y en z vormen de normaalvector; d is het rechterlid.
$\vec{n} = (2, -1, 2), \qquad d = 5$
Stap 2 — Vul P in de teller in
Bereken a·xP + b·yP + c·zP − d en neem daarvan de absolute waarde.
$|2 \cdot 3 - 1 + 2 \cdot 4 - 5| = |8| = 8$
Stap 3 — Bereken de lengte van de normaalvector
De noemer is |n| = √(a² + b² + c²).
$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
Stap 4 — Deel teller door noemer
De afstand is de teller gedeeld door de lengte van de normaalvector.
$\text{afstand}(P, V) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$

Resultaat: De afstand van $P = (3, 1, 4)$ tot het vlak $V$ is $\dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ . Omdat de teller niet nul is, ligt $P$ niet in het vlak; de waarde $\tfrac{8}{3}$ is de kortste, loodrecht gemeten afstand van $P$ tot $V$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de hoek tussen een lijn en een vlak met de cosinus rekenen in plaats van de sinus; het inproduct van richting en normaal geeft $\sin\varphi$ , niet $\cos\varphi$ .
De absolute waarde in de teller vergeten, waardoor je bij tegengesteld wijzende vectoren een stompe hoek vindt in plaats van de bedoelde scherpe hoek.
In de afstandsformule vergeten $d$ af te trekken of de noemer $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ weglaten, zodat de afstand niet meer loodrecht gemeten wordt.

Actieve herhaling

In kubus $ABCD.EFGH$ met ribbe $6$ horen bij $A = (0, 0, 0)$ de punten $B = (6, 0, 0)$ , $D = (0, 6, 0)$ en $E = (0, 0, 6)$ . Bereken de hoek tussen de lichaamsdiagonaal $AG$ en de zijvlaksdiagonaal $AC$ in graden, op één decimaal nauwkeurig.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken

Kernpunten

Ligt een punt op een lijn én in een vlak?

Kernpunten

De onderlinge ligging van twee lijnen bepalen

Kernpunten

Het snijpunt van een lijn en een vlak berekenen

Kernpunten

Een hoek in een kubus berekenen met het inproduct

De afstand van een punt tot een vlak berekenen

Bronnen