Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Keuzeonderwerpen

Domein D van Wiskunde D biedt naast de vaste stof ruimte voor een of meer keuzeonderwerpen: verdiepende thema's die de school zelf kiest en in het schoolexamen toetst. Deze samenvatting behandelt drie representatieve keuzeonderwerpen — complexe getallen, grafentheorie en dynamische modellen — op hoofdlijnen, zodat je een eerlijk beeld krijgt van wat zo'n onderwerp inhoudt. Welke onderwerpen jouw school precies aanbiedt, staat in het programma van toetsing en afsluiting (PTA); raadpleeg dat en je docent voor de exacte inhoud en toetsing.

4 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·131313 / 13

Examenprofiel

Weten wat keuzeonderwerpen in Wiskunde D zijn en dat ze als verdieping in het schoolexamen worden getoetst (niet in een centraal examen — dat kent Wiskunde D niet).De hoofdbegrippen van complexe getallen kennen: de imaginaire eenheid, rekenen met a + bi, het Gauss-vlak, en modulus en argument.De basis van grafentheorie kennen: knopen, kanten, graad, en de handshake-eigenschap, met toepassingen op netwerken en routes.Een dynamisch model met een recursieve (differentie)vergelijking herkennen en het evenwicht en het gedrag op lange termijn bepalen.

Operatoren:leg uitberekentoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat je per behandeld keuzeonderwerp de kernbegrippen en de standaardberekening beheerst; welke onderwerpen jouw school toetst, staat in het PTA.

verhoogd niveau

Verdiep je in de samenhang van elk onderwerp met de rest van de wiskunde (complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen, grafen als model, recursie als dynamisch model) en pak waar mogelijk een bewijs of afleiding mee.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Keuzeonderwerpen

Wat zijn keuzeonderwerpen, en waarom?#

Basisexamenblad-nl

Het examenprogramma van Wiskunde D bestaat uit vaste domeinen — vaardigheden, kansrekening en statistiek, ruimtemeetkunde — plus een domein met toepassingen en keuzeonderwerpen. Een keuzeonderwerp is een verdiepend thema dat niet voor iedereen hetzelfde is: de school kiest, binnen de kaders van het programma, welk onderwerp (of welke onderwerpen) haar leerlingen bestuderen. Omdat Wiskunde D op de HAVO uitsluitend met een schoolexamen (SE) wordt afgesloten en geen centraal examen kent, worden ook de keuzeonderwerpen in het SE getoetst. Wat jouw school aanbiedt en hoe het wordt getoetst, staat in het programma van toetsing en afsluiting (PTA). Deze samenvatting is daarom eerlijk gekaderd als verdiepingsstof: ze geeft een representatief beeld, maar je docent en het PTA bepalen de precieze inhoud.

De keuzeruimte bestaat met een reden. Wiskunde D wil verbreden en verdiepen richting een bèta-, technische of data-gerichte vervolgstudie, en juist daar lopen de belangstelling en de vervolgrichting van leerlingen uiteen. Door een keuzeonderwerp aan te bieden kan een school aansluiten bij haar profiel, bij een samenwerkende universiteit of hogeschool, of bij de interesse van de groep. Zo krijgt de een een eerste kennismaking met complexe getallen (onmisbaar in de elektrotechniek en de natuurkunde), terwijl de ander zich in grafentheorie verdiept (de wiskunde achter netwerken en routeplanning) of in dynamische modellen (de basis van populatie- en systeemmodellen). De keuzeonderwerpen zijn zo een brug tussen de gemeenschappelijke wiskunde en de gekozen vervolgweg.

Kenmerkend voor een keuzeonderwerp is dat het voortbouwt op wat je al kunt, maar een nieuwe wereld opent. Complexe getallen breiden de vertrouwde reële getallen uit met een nieuw getal

i

waarvoor

i^2 = -1

, en maken zo vergelijkingen oplosbaar die reëel geen oplossing hebben. Grafentheorie hertekent problemen over verbindingen — steden en wegen, computers en kabels, mensen en contacten — als abstracte grafen van knopen en kanten. Dynamische modellen beschrijven hoe een grootheid zich stap voor stap ontwikkelt met een recursieve vergelijking. In Afb. 1 zie je enkele veelvoorkomende keuzeonderwerpen in samenhang; de precieze keuze verschilt per school. Elk onderwerp laat zien dat de wiskunde die je kent slechts een begin is.

Enkele keuzeonderwerpen bij Wiskunde D

Afb. 1Afb. 1 — Enkele veelvoorkomende keuzeonderwerpen bij Wiskunde D, met per onderwerp een paar kernbegrippen. Welke onderwerpen jouw school behandelt, staat in het PTA.

Bij een keuzeonderwerp verschuift het accent van rekenen naar begrijpen en redeneren. Je leert niet alleen nieuwe technieken, maar ook hoe wiskundigen een nieuw begrip opbouwen: door een heldere definitie te geven, eigenschappen af te leiden en die met een bewijs te onderbouwen. Dat wiskundig redeneren — precies formuleren, aannames expliciet maken, stap voor stap concluderen — is een vaardigheid op zichzelf, en veel keuzeonderwerpen oefenen die spier. Een klein voorbeeld: dat de som van twee even getallen weer even is, lijkt vanzelfsprekend, maar je kunt het ook echt bewijzen door de getallen als

2m

2n

te schrijven. Zo'n bewijsje is de kiem van de manier van denken die je in elke wiskundige of technische vervolgstudie nodig hebt.

Deze samenvatting behandelt in de volgende paragrafen drie representatieve keuzeonderwerpen — complexe getallen, grafentheorie en dynamische modellen — telkens op samenvattingsniveau: genoeg om de kern te begrijpen en een standaardberekening te maken, maar niet uitputtend. Zie het als een verkenning: je maakt kennis met de begrippen, ziet waar ze voor dienen, en krijgt een idee of dit iets voor jou is. Studeer je een onderwerp voor het schoolexamen, gebruik dan altijd het lesmateriaal en de opgaven die je school voorschrijft, want daar staat precies wat er van je verwacht wordt. De keuzeonderwerpen ronden zo niet alleen dit domein af, maar geven ook een blik vooruit op de wiskunde die na de HAVO komt.

\text{even getal} = 2m \quad (m \in \mathbb{Z})

algemene vorm van een even getal

Een even getal is een veelvoud van $2$ ; door algemeen $2m$ te schrijven bewijs je een uitspraak voor álle even getallen tegelijk.

Uitgewerkt voorbeeld

Een eerste bewijs: de som van twee even getallen is even

Toon aan dat de som van twee even getallen altijd even is.

Stap 1 — Schrijf de even getallen algemeen op
Elk even getal is een veelvoud van $2$ . Noem de twee getallen $2m$ en $2n$ , met $m$ en $n$ gehele getallen.
$a = 2m, \qquad b = 2n \quad (m, n \in \mathbb{Z})$
Stap 2 — Tel op en haal de factor 2 buiten haakjes
Bereken de som en zoek er een factor $2$ in.
$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$
Stap 3 — Concludeer
Omdat $m + n$ een geheel getal is, is $2(m+n)$ een veelvoud van $2$ , dus even.
$a + b = 2(m+n) \;\Rightarrow\; a + b \text{ is even}$

Resultaat: De som is $2(m+n)$ , een veelvoud van $2$ , dus even — voor álle even $a$ en $b$ . Door algemeen met $2m$ en $2n$ te werken bewijs je de uitspraak in één keer voor alle gevallen; een paar voorbeelden narekenen zou geen bewijs zijn. Dit is precies het soort redeneren dat keuzeonderwerpen oefenen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat elke school dezelfde keuzeonderwerpen behandelt; de keuze verschilt per school en staat in het PTA.
Verwachten dat keuzeonderwerpen in een centraal examen komen; Wiskunde D op de HAVO heeft geen CE, alles verloopt via het SE.
Een bewering wiskundig bewezen achten omdat ze in een paar gevallen klopt; een bewijs geldt voor alle gevallen, bijvoorbeeld door algemeen met $2m$ en $2n$ te werken.

Actieve herhaling

Toon aan dat het product van twee opeenvolgende gehele getallen altijd even is. (Tip: van twee opeenvolgende getallen is er precies één even.)

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Keuzeonderwerp: complexe getallen#

Standaardexamenblad-nl

Complexe getallen ontstaan uit een eenvoudige wens: dat elke vierkantsvergelijking een oplossing heeft. De vergelijking

x^2 = -1

heeft reëel geen oplossing, want een kwadraat is nooit negatief. Wiskundigen voeren daarom een nieuw getal in, de imaginaire eenheid

i

, met de definiërende eigenschap

i^2 = -1

. Daarmee is

i

per definitie een wortel van

-1

\sqrt{-1} = i

. Dit is geen truc maar een uitbreiding van het getalbegrip, net zoals eerder de negatieve getallen en de breuken werden toegevoegd om aftrekken en delen altijd mogelijk te maken. Met

i

erbij wordt de wereld van de getallen groter en kun je vergelijkingen oplossen die voorheen onoplosbaar leken — een eerste kennismaking met een idee dat in de elektrotechniek, de natuurkunde en de wiskunde onmisbaar is.

Een complex getal heeft de standaardvorm

z = a + bi

, met

a

b

reële getallen. Het getal

a

heet het reële deel en

b

het imaginaire deel (let op: het imaginaire deel

b

is zelf een gewoon reëel getal, het is het deel dat bij

i

hoort). Zo is bij

z = 3 + 2i

het reële deel

3

en het imaginaire deel

2

. Reële getallen zijn het bijzondere geval

b = 0

, en zuiver imaginaire getallen het geval

a = 0

. Rekenen met complexe getallen gaat als met gewone getallen, met de extra regel dat je

i^2

telkens door

-1

vervangt. Optellen doe je per deel:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

. Bij vermenigvuldigen werk je de haakjes uit en gebruik je

i^2 = -1

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

. Zo blijft elk resultaat weer netjes van de vorm

a + bi

De meetkundige kant van de complexe getallen maakt ze pas echt aanschouwelijk. Je stelt een complex getal

z = a + bi

voor als het punt

(a, b)

in een vlak: de horizontale as is de reële as, de verticale as de imaginaire as. Dat vlak heet het complexe vlak of Gauss-vlak (naar Carl Friedrich Gauss). In Afb. 2 zie je het getal

z = 3 + 2i

als het punt

(3, 2)

, met de pijl vanuit de oorsprong ernaartoe. In deze voorstelling wordt een complex getal een soort vector, en krijgen optellen en vermenigvuldigen een meetkundige betekenis: optellen is kop-staart samenstellen (net als bij vectoren), en vermenigvuldigen blijkt met draaien en schalen samen te hangen. De complexe getallen slaan zo een brug tussen algebra en meetkunde.

Een complex getal in het Gauss-vlak

Afb. 2Afb. 2 — Het complexe getal z = 3 + 2i als punt (3, 2) in het Gauss-vlak. De lengte van de pijl is de modulus |z| = √13; de hoek met de reële as is het argument arg z ≈ 33,7°.

Bij de meetkundige voorstelling horen twee kengetallen: de modulus en het argument. De modulus

|z|

is de afstand van het punt tot de oorsprong, en die bereken je met Pythagoras net als de lengte van een vector:

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

. Voor

z = 3 + 2i

|z| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61

. Het argument

\arg z

is de hoek die de pijl met de positieve reële as maakt, en die vind je met de tangens:

\tan(\arg z) = \dfrac{b}{a}

, dus voor

z = 3 + 2i

\arg z = \arctan\!\left(\tfrac{2}{3}\right) \approx 33{,}7^\circ

. Modulus en argument leggen een complex getal net zo goed vast als

a

b

: samen vormen ze de poolvorm, waarin de meetkundige betekenis van vermenigvuldigen (moduli vermenigvuldigen, argumenten optellen) helder wordt.

Complexe getallen zijn niet zomaar een curiositeit. In de elektrotechniek beschrijf je wisselstromen en -spanningen met complexe getallen, omdat het optellen van fasen dan neerkomt op het optellen van argumenten; ingenieurs rekenen daar dagelijks mee. In de natuurkunde duiken ze op in de trillings- en golfleer en in de kwantummechanica, en in de wiskunde maken ze de hoofdstelling van de algebra waar: elke veeltermvergelijking van graad

n

heeft, complex geteld, precies

n

oplossingen. Voor de HAVO blijft het bij een kennismaking — de vorm

a + bi

, het rekenen ermee, het Gauss-vlak, en modulus en argument — maar juist die kennismaking laat zien dat de reële getallen niet het eindpunt zijn. Wie hiermee verder gaat, ontdekt een van de mooiste en nuttigste uitbreidingen van de wiskunde.

i^2 = -1, \qquad (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

de imaginaire eenheid en vermenigvuldigen

De regel $i^2 = -1$ maakt van elk product weer een getal van de vorm $a + bi$ .

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \tan(\arg z) = \frac{b}{a}

modulus en argument

De modulus is de afstand tot de oorsprong (Pythagoras), het argument de hoek met de positieve reële as.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met een complex getal en de modulus en het argument bepalen

Gegeven $z = 3 + 2i$ . Bereken $z \cdot (1 + 2i)$ en bepaal de modulus $|z|$ en het argument $\arg z$ (in graden, afgerond op één decimaal).

Stap 1 — Vermenigvuldig en gebruik i² = −1
Werk de haakjes uit en vervang $i^2$ door $-1$ .
$(3 + 2i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 2i + 4i^2 = 3 + 8i - 4 = -1 + 8i$
Stap 2 — Bereken de modulus met Pythagoras
De modulus van $z = 3 + 2i$ is de afstand van $(3, 2)$ tot de oorsprong.
$|z| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$
Stap 3 — Bepaal het argument met de tangens
Het argument is de hoek met de positieve reële as; $z$ ligt in het eerste kwadrant, dus de arctangens geeft de hoek direct.
$\arg z = \arctan\!\left(\tfrac{2}{3}\right) \approx 33{,}7^\circ$

Resultaat: Het product is $z \cdot (1 + 2i) = -1 + 8i$ , de modulus is $|z| = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ en het argument $\arg z \approx 33{,}7^\circ$ . Let bij het vermenigvuldigen op de stap $4i^2 = -4$ (want $i^2 = -1$ ); die zorgt dat het reële deel van $3$ naar $-1$ verschuift.

Veelgemaakte fouten

Vergeten dat $i^2 = -1$ (en niet $+1$ ) bij het vermenigvuldigen, waardoor het reële en imaginaire deel verkeerd uitkomen.
De modulus als $a + b$ berekenen in plaats van $\sqrt{a^2 + b^2}$ ; de modulus is de afstand tot de oorsprong, dus een wortel van kwadraten.
Het imaginaire deel van $z = a + bi$ als $bi$ opgeven; het imaginaire deel is het reële getal $b$ .

Actieve herhaling

Gegeven $z = 4 + 3i$ . Bereken $z + (1 - i)$ , het product $z \cdot (2 + i)$ , en de modulus $|z|$ en het argument $\arg z$ (in graden, afgerond op één decimaal).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Keuzeonderwerp: grafentheorie#

Standaardexamenblad-nl

Grafentheorie is de wiskunde van verbindingen. Een graaf is een verzameling knopen (of punten) met daartussen kanten (of lijnen) die aangeven welke knopen met elkaar verbonden zijn. Wat de knopen en kanten precies voorstellen, doet er niet toe: het kunnen steden en wegen zijn, computers en kabels, mensen en vriendschappen, of stations en spoorlijnen. Door zulke situaties tot een graaf te abstraheren, wordt een probleem over verbindingen een zuiver wiskundig probleem dat je kunt analyseren. In Afb. 3 zie je een graaf met vijf knopen en zes kanten. Grafentheorie is jong maar enorm invloedrijk: ze vormt de wiskundige basis van het internet, van routeplanners, van sociale netwerken en van logistiek.

Een graaf met vijf knopen

Afb. 3Afb. 3 — Een graaf met vijf knopen (A tot en met E) en zes kanten. De som van de graden is 2·6 = 12; controleer dit door de graden op te tellen (handshake-eigenschap).

De belangrijkste maat van een knoop is zijn graad: het aantal kanten dat op die knoop uitkomt. Een knoop met graad

3

is dus met drie andere knopen verbonden. De graad meet hoe sterk een knoop in het netwerk verankerd is — in een sociaal netwerk is de graad het aantal contacten van een persoon, in een wegennet het aantal wegen dat op een kruispunt samenkomt. Tel je de graden van alle knopen op, dan tel je elke kant precies twee keer mee, want elke kant heeft twee uiteinden. Daaruit volgt een fraaie en algemeen geldige eigenschap: de som van alle graden is gelijk aan twee keer het aantal kanten, oftewel

\sum \text{graad} = 2 \cdot (\text{aantal kanten})

. Deze zogeheten handshake-eigenschap (de handdruk-lemma) klopt voor elke graaf en is een handige controle bij het tekenen of tellen.

Uit de handshake-eigenschap volgt meteen een verrassende conclusie: in elke graaf is het aantal knopen met een oneven graad even. Immers, de som van alle graden is

2 \times

het aantal kanten en dus even; de knopen met een even graad dragen samen een even som bij; dan moet de rest — de knopen met oneven graad — ook een even som opleveren, en dat kan alleen als hun aantal even is. Dit is het klassieke handdrukargument: op een feest is het aantal mensen dat een oneven aantal handen heeft geschud altijd even. Zo'n gevolgtrekking laat de kracht van grafentheorie zien: een eenvoudige telredenering levert een uitspraak op die voor élk netwerk geldt, hoe groot of grillig ook.

Naast losse knopen bekijk je in een graaf ook paden en samenhang. Een pad is een route langs kanten van de ene knoop naar de andere; een graaf is samenhangend als je vanuit elke knoop elke andere via een pad kunt bereiken. Twee beroemde vraagstukken kleuren het vak. Het eerste is de Königsberger-bruggenkwestie, waarmee Euler in

1736

de grafentheorie begon: kun je een wandeling maken die elke brug precies één keer gebruikt? Euler bewees dat dit alleen kan onder een voorwaarde op de graden van de knopen. Het tweede is het handelsreizigersprobleem: wat is de kortste route die een aantal steden bezoekt en weer thuiskomt? Dat probleem is berucht moeilijk en speelt een grote rol in de logistiek en de informatica. Beide laten zien hoe een concrete vraag over routes een diepe wiskundige kern heeft.

De toepassingen van grafentheorie zijn overal om je heen. Een routeplanner zoekt het kortste pad in een graaf waarvan de kanten wegen met afstanden of reistijden zijn. Een zoekmachine ordent webpagina's met een graaf van links. Sociale media analyseren netwerken van vriendschappen. Logistieke bedrijven plannen ritten met varianten op het handelsreizigersprobleem, en telecombedrijven leggen netwerken aan met zo min mogelijk kabel (een minimale opspannende boom). Voor de HAVO blijft het bij de basis — knopen, kanten, graad, de handshake-eigenschap en het idee van paden en samenhang — maar die basis opent de deur naar de wiskunde achter de digitale en logistieke wereld. Grafentheorie laat zien hoe abstractie kracht geeft: door de details weg te laten en alleen de verbindingen te houden, wordt een probleem oplosbaar.

\sum_{\text{knopen}} \text{graad} = 2 \cdot (\text{aantal kanten})

handshake-eigenschap

Omdat elke kant twee uiteinden heeft, telt de som van alle graden elke kant twee keer.

Uitgewerkt voorbeeld

De handshake-eigenschap toepassen

Bekijk de graaf uit Afb. 3 met knopen $A, B, C, D, E$ en kanten $AB, BC, CD, DE, EA, AC$ . Bepaal de graad van elke knoop, controleer de handshake-eigenschap en tel de knopen met een oneven graad.

Stap 1 — Bepaal de graad van elke knoop
Tel per knoop het aantal kanten dat erop uitkomt: $A$ ligt aan $AB, EA, AC$ ; $C$ aan $BC, CD, AC$ ; de rest aan twee kanten.
$\deg A = 3,\ \deg B = 2,\ \deg C = 3,\ \deg D = 2,\ \deg E = 2$
Stap 2 — Tel de graden op en controleer
Tel alle graden op; dit moet twee keer het aantal kanten ( $6$ ) zijn.
$3 + 2 + 3 + 2 + 2 = 12 = 2 \cdot 6 \ \checkmark$
Stap 3 — Tel de knopen met oneven graad
Zoek de knopen met een oneven graad ( $A$ en $C$ hebben graad $3$ ).
$\text{oneven graad: } A, C \;\Rightarrow\; \text{aantal} = 2 \text{ (even)}$

Resultaat: De graden zijn $3, 2, 3, 2, 2$ met som $12 = 2 \cdot 6$ , wat de handshake-eigenschap bevestigt. Er zijn precies twee knopen met een oneven graad ( $A$ en $C$ ) — een even aantal, zoals de theorie voorspelt. De handshake-eigenschap is zo een handige rekencontrole én een bron van algemene conclusies.

Veelgemaakte fouten

De graad van een knoop verwarren met het aantal knopen; de graad telt de kanten op één knoop.
Bij de graden-som elke kant maar één keer tellen; elke kant telt bij twee knopen mee, dus de som is $2 \times$ het aantal kanten.
Denken dat elke graaf een rondwandeling over alle kanten toelaat; dat kan alleen onder een voorwaarde op de graden (Euler).

Actieve herhaling

Een graaf heeft vijf knopen met graden $2, 2, 3, 3$ en $4$ . Bereken met de handshake-eigenschap het aantal kanten, en ga na of het aantal knopen met een oneven graad even is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Keuzeonderwerp: dynamische modellen en recursie#

Verdiepingexamenblad-nl

Een dynamisch model beschrijft hoe een grootheid zich in de tijd, stap voor stap, ontwikkelt. In plaats van een formule die de waarde direct uit de tijd berekent, geef je een recursieve vergelijking (een differentievergelijking): een regel die de volgende waarde uitdrukt in de vorige. De algemene vorm is

u_{n+1} = f(u_n)

, samen met een startwaarde

u_0

. Uit de startwaarde bereken je stap voor stap

u_1, u_2, u_3, \ldots

, en zo ontrolt het model zich als een rij getallen. Deze aanpak is de natuurlijke taal voor processen die zich per periode herhalen: het saldo van een spaarrekening dat jaarlijks met rente groeit, een populatie die per generatie verandert, of een medicijnconcentratie die per dosis stijgt en tussendoor afneemt. Recursie maakt zulke herhalende processen precies beschrijfbaar.

Neem als voorbeeld een model met een vaste toename en een vaste afname per stap:

u_{n+1} = 0{,}5 \cdot u_n + 50

, met startwaarde

u_0 = 20

. Elke stap wordt de vorige waarde gehalveerd en er komt

50

bij. Reken je de rij uit, dan krijg je

u_0 = 20

u_1 = 0{,}5 \cdot 20 + 50 = 60

u_2 = 0{,}5 \cdot 60 + 50 = 80

u_3 = 90

u_4 = 95

, en zo verder. De waarden stijgen, maar met steeds kleinere stappen — ze kruipen naar een grens toe. Zo'n rij die naar een vaste waarde toe loopt, vertoont hetzelfde verzadigingsgedrag als het oplaadmodel uit het onderwerp technologie, maar nu discreet (stap voor stap) in plaats van continu. De grafische rekenmachine kan zulke rijen snel uitrekenen en in beeld brengen.

De grens waar de rij naartoe kruipt, heet het evenwicht (of de evenwichtswaarde). In het evenwicht verandert er van stap tot stap niets meer: de volgende waarde is gelijk aan de vorige. Je vindt het evenwicht

E

dus door in de recursie

u_{n+1} = u_n = E

te stellen en de vergelijking op te lossen. Voor

u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 50

geeft dat

E = 0{,}5 E + 50

, dus

0{,}5 E = 50

E = 100

. Inderdaad naderen de eerder berekende waarden (

20, 60, 80, 90, 95, \ldots

) de

100

. In Afb. 4 zie je dit gedrag als een continue kromme die naar de evenwichtslijn

E = 100

toe buigt. Het evenwicht bepalen is de kernvraag bij een dynamisch model: het vertelt waar het proces op de lange termijn heen gaat, zonder dat je oneindig veel stappen hoeft uit te rekenen.

Een dynamisch model dat naar een evenwicht loopt

Afb. 4Afb. 4 — Een dynamisch model dat met steeds kleinere stappen naar het evenwicht E = 100 toe kruipt. Het evenwicht vind je door u(n+1) = u(n) te stellen; hier trekt het evenwicht de rij aan (stabiel).

Niet elk evenwicht wordt bereikt, en dat maakt dynamische modellen rijk. In het voorbeeld hierboven trekt het evenwicht

100

de rij naar zich toe: het is een stabiel (aantrekkend) evenwicht, want de factor

0{,}5

voor

u_n

ligt tussen

-1

1

en dempt de afwijking elke stap. Was de factor groter dan

1

geweest, dan zou een afwijking juist versterkt worden en zou de rij van het evenwicht weglopen: een instabiel (afstotend) evenwicht. Zo bepaalt de vorm van de recursie het gedrag op lange termijn: naderen, weglopen, of zelfs op-en-neer schommelen. Deze vraag naar stabiliteit — trekt het evenwicht aan of stoot het af? — is de brug naar de echte dynamische-systeemtheorie, waarin met dezelfde ideeën verrassend ingewikkeld gedrag (zoals chaos) wordt bestudeerd.

Dynamische modellen met recursie zijn een van de nuttigste keuzeonderwerpen, want ze modelleren de veranderende wereld. In de biologie beschrijven ze populaties die per generatie groeien of krimpen, met een begrensde (logistische) groei richting een draagkracht. In de economie modelleren ze sparen, aflossen en investeren van periode tot periode. In de geneeskunde voorspellen ze hoe een medicijnconcentratie zich onder herhaalde doses gedraagt. En in de informatica zijn recursieve definities alomtegenwoordig. Voor de HAVO blijft het bij de kern — een recursieve vergelijking opstellen en gebruiken, de rij uitrekenen, en het evenwicht bepalen en interpreteren — maar dat is precies het gereedschap om te begrijpen hoe systemen zich in de tijd ontwikkelen. Zo sluiten de keuzeonderwerpen af met een thema dat de wiskunde verbindt met bijna elke wetenschap die verandering bestudeert.

u_{n+1} = f(u_n), \qquad u_0 \text{ gegeven}

recursieve (differentie)vergelijking

De volgende waarde volgt uit de vorige; met de startwaarde $u_0$ rol je de hele rij uit.

u_{n+1} = u_n = E \;\Rightarrow\; E = f(E)

evenwichtsvoorwaarde

In het evenwicht verandert er niets meer; los $E = f(E)$ op om de evenwichtswaarde te vinden.

Uitgewerkt voorbeeld

Een rij uitrekenen en het evenwicht bepalen

Gegeven het dynamische model $u_{n+1} = 0{,}5 \cdot u_n + 50$ met startwaarde $u_0 = 20$ . Bereken $u_1$ , $u_2$ en $u_3$ , en bepaal het evenwicht.

Stap 1 — Reken de eerste termen uit
Vul telkens de vorige waarde in de recursie in: halveer en tel $50$ op.
$u_1 = 0{,}5 \cdot 20 + 50 = 60,\quad u_2 = 0{,}5 \cdot 60 + 50 = 80,\quad u_3 = 0{,}5 \cdot 80 + 50 = 90$
Stap 2 — Stel de evenwichtsvoorwaarde op
In het evenwicht is $u_{n+1} = u_n = E$ ; vul dit in de recursie in.
$E = 0{,}5 E + 50$
Stap 3 — Los E op
Breng de $E$ -termen bij elkaar en deel.
$E - 0{,}5 E = 50 \;\Rightarrow\; 0{,}5 E = 50 \;\Rightarrow\; E = 100$

Resultaat: De rij begint met $20, 60, 80, 90, \ldots$ en kruipt met steeds kleinere stappen omhoog; het evenwicht is $E = 100$ . Omdat de factor $0{,}5$ tussen $-1$ en $1$ ligt, trekt het evenwicht de rij aan (stabiel), zodat de waarden de $100$ naderen zonder die precies te bereiken.

Veelgemaakte fouten

Het evenwicht zoeken zonder $u_{n+1} = u_n$ te stellen; in het evenwicht is de volgende waarde gelijk aan de vorige.
Bij het uitrekenen van de rij de startwaarde $u_0$ of een tussenstap vergeten, waardoor de hele rij verschuift.
Aannemen dat een rij altijd naar het evenwicht toe loopt; of het evenwicht aantrekt of afstoot, hangt af van de factor in de recursie.

Actieve herhaling

Een dynamisch model is $u_{n+1} = 0{,}8 \cdot u_n + 30$ met $u_0 = 10$ . Bereken $u_1$ , $u_2$ en $u_3$ , en bepaal het evenwicht van dit model.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Keuzeonderwerpen

Kernpunten

Een eerste bewijs: de som van twee even getallen is even

Kernpunten

Rekenen met een complex getal en de modulus en het argument bepalen

Kernpunten

De handshake-eigenschap toepassen

Kernpunten

Een rij uitrekenen en het evenwicht bepalen

Bronnen