Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Kansbegrip en kansregels

Dit onderwerp legt de basis van de kansrekening: wat een kans is, hoe je hem met de regel van Laplace berekent, en hoe je met gebeurtenissen rekent via de complement-, som- en productregel. Daarna komen de voorwaardelijke kans en de kansboom aan bod, en sluit je af met onafhankelijkheid en de verwachtingswaarde, waarmee je onder meer beoordeelt of een spel eerlijk is. De kansregels van domein B bouwen rechtstreeks voort op de combinatoriek (het systematisch tellen) en vormen het fundament voor de statistiek verderop.

4 Onderdelen~25 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0444 / 13

Examenprofiel

Een kans berekenen met de regel van Laplace en met de complementregel, en empirische en theoretische kans onderscheiden.De som- en productregel toepassen en daarbij elkaar uitsluitende van overlappende, en onafhankelijke van afhankelijke gebeurtenissen onderscheiden.Voorwaardelijke kansen bepalen met een kansboom of een kruistabel en met de wet van de totale kans.Onafhankelijkheid toetsen en de verwachtingswaarde berekenen om bijvoorbeeld te beoordelen of een spel eerlijk is.

Operatoren:berekenbepaalleg uitberedeneertoon aan

basisniveau

Beheers de regel van Laplace, de complementregel en de kansboom — daarmee los je het grootste deel van de kansvraagstukken op.

verhoogd niveau

Reken vlot met voorwaardelijke kansen via de kansboom, toets onafhankelijkheid door de doorsnedekans te vergelijken met het product van de losse kansen, en gebruik de verwachtingswaarde om te beoordelen of een spel eerlijk is.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansbegrip en kansregels

Kans, uitkomstenruimte en het complement#

Basisexamenblad-nl

Uitkomstenruimte van drie muntworpen

Afb. 1Acht even waarschijnlijke uitkomsten; alleen „M, M, M” zit niet in de gebeurtenis „minstens één keer kop”.

De kansrekening bestudeert verschijnselen waarvan de uitkomst niet vooraf vaststaat, zoals een worp met een dobbelsteen of het trekken van een speelkaart. Een kans is een getal tussen

0

1

dat aangeeft hoe waarschijnlijk een gebeurtenis is: kans

0

betekent onmogelijk, kans

1

betekent zeker. Er zijn twee manieren om aan zo'n getal te komen. De empirische (of statistische) kans schat je uit waarnemingen: je voert het experiment vaak uit en berekent de relatieve frequentie, het aantal keren dat de gebeurtenis optrad gedeeld door het totale aantal pogingen. Gooi je 200 keer en valt er 34 keer een zes, dan is de geschatte kans

\frac{34}{200}=0{,}17

. De theoretische kans daarentegen leid je vooraf af uit de structuur van het experiment. Hoe vaker je het experiment herhaalt, hoe dichter de relatieve frequentie bij de theoretische kans komt te liggen — dat heet de wet van de grote aantallen, en die verbindt beide kansbegrippen met elkaar.

Wanneer alle uitkomsten van een experiment even waarschijnlijk zijn, bereken je de theoretische kans rechtstreeks met de regel van Laplace:

P(\text{gebeurtenis})=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

. Bij een eerlijke dobbelsteen zijn de zes uitkomsten even waarschijnlijk, dus de kans op een even aantal ogen is

\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

: drie gunstige uitkomsten (de ogen 2, 4 en 6) op zes mogelijke. De voorwaarde „even waarschijnlijk” is essentieel; de regel werkt niet als de uitkomsten verschillende kansen hebben. Daarmee is tellen het halve werk in de kansrekening: om de teller en de noemer te vinden, gebruik je precies de telmethodes uit de combinatoriek — de vermenigvuldigingsregel, permutaties en combinaties. Het kansbegrip op de HAVO bouwt zo rechtstreeks voort op het systematisch tellen dat je in domein B geleerd hebt.

Om netjes met kansen te kunnen rekenen, leg je eerst de uitkomstenruimte vast: de verzameling

U

van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Bij één worp met een dobbelsteen is

U=\{1,2,3,4,5,6\}

; bij het opgooien van een munt bestaat

U

uit twee uitkomsten, kop en munt. Een gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenruimte: een verzameling uitkomsten die je als „gunstig” aanmerkt. De gebeurtenis „minstens vijf ogen” hoort bij de deelverzameling

\{5,6\}

en de gebeurtenis „een even aantal” bij

\{2,4,6\}

. Door een gebeurtenis als verzameling op te schrijven, pas je de regel van Laplace heel concreet toe: het aantal gunstige uitkomsten is simpelweg het aantal elementen in die deelverzameling. Deze verzamelingstaal — uitkomstenruimte, gebeurtenis, deelverzameling — is het fundament waarop de kansregels van de volgende paragrafen rusten.

Bij elke gebeurtenis

A

hoort een tegengestelde gebeurtenis: het complement

\overline{A}

, uit te spreken als „niet

A

”. Het complement bestaat uit alle uitkomsten van

U

die níét in

A

zitten. Samen vullen

A

\overline{A}

de hele uitkomstenruimte, en ze overlappen nergens, dus hun kansen tellen op tot

1

. Daaruit volgt de complementregel:

P(\overline{A})=1-P(A)

. Gooi je met een dobbelsteen en is

A

de gebeurtenis „een zes”, met

P(A)=\frac{1}{6}

, dan is de kans op „geen zes” gelijk aan

1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

. De complementregel oogt eenvoudig, maar het is een van de krachtigste hulpmiddelen in de kansrekening — juist omdat het soms veel makkelijker is om de kans op het tegengestelde te berekenen dan de kans op de gebeurtenis zelf.

De complementregel is vooral handig bij gebeurtenissen met de woorden „minstens één”. Het tegengestelde van „minstens één keer succes” is namelijk „geen enkele keer succes”, en dat laatste is meestal in één keer uit te rekenen. Stel dat je drie keer met een eerlijke munt gooit en wilt weten hoe groot de kans is op minstens één keer kop. Rechtstreeks zou je zeven verschillende gunstige uitkomsten moeten optellen. Via het complement gaat het in twee stappen: de enige ongunstige uitkomst is „driemaal munt” (zie de tabel hiernaast), met kans

\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}

, dus de gevraagde kans is

1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

. Lees je „minstens” of „ten minste” in een opgave, vraag je dan altijd af of de berekening via het complement korter is. Deze techniek kom je in alle volgende paragrafen weer tegen.

P(\text{gebeurtenis})=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

regel van Laplace

Geldt alleen wanneer alle uitkomsten van het experiment even waarschijnlijk zijn; tel de gunstige en de mogelijke uitkomsten en deel ze.

P(\overline{A})=1-P(A)

complementregel

De kans op „niet A” is 1 min de kans op A; vooral handig bij gebeurtenissen met „minstens één”.

Uitgewerkt voorbeeld

Minstens één keer kop via het complement

Je gooit drie keer met een eerlijke munt. Bereken de kans op minstens één keer kop.

Stap 1 — Bepaal de uitkomstenruimte
Elke worp heeft 2 uitkomsten (kop of munt), dus drie worpen geven 2 · 2 · 2 = 8 even waarschijnlijke uitkomsten. De gebeurtenis „minstens één kop” hoort bij 7 van die 8 uitkomsten.
$2^{3} = 8$
Stap 2 — Kies het complement
Het tegengestelde van „minstens één kop” is „geen enkele kop”, oftewel drie keer munt. Dat is precies één van de acht uitkomsten (M, M, M).
$P(\overline{A})=\frac{1}{8}$
Stap 3 — Pas de complementregel toe
Trek de complementkans van 1 af om de gevraagde kans te krijgen.
$P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

Resultaat: De kans op minstens één keer kop is $\frac{7}{8}\approx 0{,}88$ . Rechtstreeks tellen had zeven gunstige uitkomsten gekost; via het complement was één uitkomst genoeg.

Veelgemaakte fouten

De regel van Laplace toepassen terwijl de uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn; dan klopt de breuk gunstig gedeeld door mogelijk niet en moet je met de afzonderlijke kansen rekenen.
Empirische en theoretische kans verwarren: een relatieve frequentie uit een steekproef is een schatting van de kans, niet de exacte kans zelf — pas bij heel veel herhalingen liggen ze dicht bij elkaar.
Bij „minstens één” alle losse gevallen optellen en er daarbij één vergeten, terwijl het complement „geen enkele” veel sneller en betrouwbaarder is.

Actieve herhaling

Je trekt één kaart uit een goed geschud spel van 52 kaarten. Bereken met de regel van Laplace de kans dat het een ruitenkaart is, en bereken vervolgens met de complementregel de kans dat het géén ruitenkaart is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De somregel en de productregel#

Standaardexamenblad-nl

Venndiagram: harten of plaatje

Afb. 2De doorsnede (de drie hartenplaatjes) zit in beide cirkels en wordt in de somregel daarom één keer afgetrokken.

Vaak vraag je niet naar de kans op één enkele gebeurtenis, maar naar de kans dat

A

óf

B

optreedt, of dat

A

én

B

allebei optreden. Daarvoor heb je twee begrippen nodig. De vereniging

A\cup B

(uit te spreken als „

A

B

”) bestaat uit alle uitkomsten die in

A

, in

B

, of in allebei zitten; in gewone taal: minstens één van de twee treedt op. De doorsnede

A\cap B

(„

A

B

”) bestaat uit de uitkomsten die in

A

én in

B

zitten: ze treden tegelijk op. Met deze twee bewerkingen schrijf je samengestelde gebeurtenissen netjes op. De somregel rekent met de vereniging en de productregel met de doorsnede; samen vormen ze het gereedschap om de kans van een samengestelde gebeurtenis uit te rekenen.

De somregel geeft de kans op de vereniging:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

. Je begrijpt hem het best met een venndiagram (zie de figuur). Wil je de kans op

A\cup B

, dan zou je

P(A)

P(B)

kunnen optellen — maar dan tel je het overlappende gebied

A\cap B

dubbel: één keer als deel van

A

en één keer als deel van

B

. Door

P(A\cap B)

er één keer weer van af te trekken, herstel je die dubbeltelling en houd je precies de vereniging over. Gooi je met een dobbelsteen, met

A=\{2,4,6\}

(een even aantal) en

B=\{5,6\}

(minstens vijf ogen), dan is

P(A)=\frac{3}{6}

P(B)=\frac{2}{6}

P(A\cap B)=P(\{6\})=\frac{1}{6}

, dus

P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Een bijzonder geval ontstaat wanneer

A

B

niet tegelijk kunnen optreden: dan is de doorsnede leeg,

A\cap B=\varnothing

, en zegt men dat

A

B

elkaar uitsluiten (of disjunct zijn). Omdat er geen overlap is om dubbel te tellen, vervalt de aftrekterm en wordt de somregel simpelweg

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Bij één worp met een dobbelsteen sluiten „een twee gooien” en „een vijf gooien” elkaar uit — beide tegelijk kan niet — dus de kans op „een twee of een vijf” is

\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

. Let goed op: of je de aftrekterm nodig hebt, hangt er volledig van af of de gebeurtenissen elkaar kunnen overlappen. Kunnen ze dat, dan moet

P(A\cap B)

eraf; sluiten ze elkaar uit, dan niet.

Waar de somregel bij „of” hoort, hoort de productregel bij „en”. Voor twee onafhankelijke gebeurtenissen — gebeurtenissen waarbij het optreden van de ene de kans op de andere niet verandert — geldt:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

. Je vermenigvuldigt dus de afzonderlijke kansen. Gooi je twee keer met een dobbelsteen, dan beïnvloedt de eerste worp de tweede niet, dus de kans op twee keer een zes is

\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}

. Dezelfde redenering verklaart de kans

\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}

op drie keer munt uit de vorige paragraaf. De voorwaarde „onafhankelijk” is cruciaal: alleen dan mag je de kansen zomaar vermenigvuldigen. Zijn de gebeurtenissen afhankelijk — zoals bij trekken zonder terugleggen — dan heb je de algemene productregel met een voorwaardelijke kans nodig, het onderwerp van de volgende paragraaf.

Het herkennen van het juiste sleutelwoord is de kern van dit onderwerp. „Of” (minstens één van beide) wijst op de vereniging en dus op de somregel; „en” (allebei) wijst op de doorsnede en dus op de productregel. Een veelgemaakte denkfout is om bij „of” altijd op te tellen zonder te controleren of de gebeurtenissen elkaar kunnen overlappen — vergeet je dan de aftrekterm

-P(A\cap B)

, dan komt je kans te hoog uit. Een tweede valkuil is de productregel gebruiken voor afhankelijke gebeurtenissen. Pak een opgave daarom systematisch aan: benoem de gebeurtenissen, bepaal of het om „of” of om „en” gaat, en controleer bij „of” de overlap en bij „en” de onafhankelijkheid. Zo kies je telkens bewust de juiste regel in plaats van op de gok.

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

somregel

De kans op „A of B”; de doorsnede wordt één keer afgetrokken omdat ze anders dubbel zou worden geteld.

P(A \cup B)=P(A)+P(B) \quad (A \cap B=\varnothing)

somregel bij elkaar uitsluitende gebeurtenissen

Geldt alleen als A en B disjunct zijn, dus als de doorsnede leeg is; dan vervalt de aftrekterm.

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

productregel (onafhankelijke gebeurtenissen)

De kans op „A en B” voor onafhankelijke gebeurtenissen; alleen dan mag je de losse kansen vermenigvuldigen.

Uitgewerkt voorbeeld

Hartenkaart of plaatje — de somregel

Je trekt één kaart uit een spel van 52 kaarten. Een „plaatje” is een boer, vrouw of heer. Bereken de kans dat de getrokken kaart een hartenkaart óf een plaatje is.

Stap 1 — Bepaal de losse kansen
Er zijn 13 hartenkaarten en 12 plaatjes (drie per kleur: boer, vrouw, heer). Dus de kans op een hartenkaart en de kans op een plaatje zijn:
$P(H)=\frac{13}{52}, \quad P(P)=\frac{12}{52}$
Stap 2 — Bepaal de doorsnede
De kaarten die hartenkaart én plaatje zijn, zijn de harten boer, de harten vrouw en de harten heer: drie kaarten.
$P(H \cap P)=\frac{3}{52}$
Stap 3 — Pas de somregel toe
Tel $P(H)$ en $P(P)$ op en trek de dubbel getelde doorsnede er één keer af.
$P(H \cup P)=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}$

Resultaat: De kans is $\frac{11}{26}\approx 0{,}42$ . Zou je de aftrekterm weglaten, dan kreeg je $\frac{25}{52}$ en zou je de drie hartenplaatjes dubbel tellen.

Veelgemaakte fouten

Bij de somregel de aftrekterm $-P(A\cap B)$ vergeten terwijl de gebeurtenissen elkaar overlappen; alleen bij elkaar uitsluitende (disjuncte) gebeurtenissen mag je gewoon optellen.
De productregel $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gebruiken voor afhankelijke gebeurtenissen; vermenigvuldigen mag alleen als de gebeurtenissen onafhankelijk zijn.

Actieve herhaling

Je trekt één kaart uit een spel van 52 kaarten. Bereken de kans dat de kaart klaveren is óf een aas is. Bepaal eerst $P(\text{klaveren})$ , $P(\text{aas})$ en $P(\text{klaveren} \cap \text{aas})$ , en pas dan de somregel toe.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Voorwaardelijke kans en de kansboom#

Standaardexamenblad-nl

Kansboom: twee knikkers zonder terugleggen

Afb. 3Langs elke tak vermenigvuldig je de kansen; de vier padkansen 0,30 + 0,30 + 0,30 + 0,10 tellen samen op tot 1.

Soms verandert de kans op een gebeurtenis zodra je extra informatie krijgt. De voorwaardelijke kans

P(A\mid B)

is de kans op

A

gegeven dat

B

al is opgetreden — je leest de verticale streep als „gegeven dat”. Door te weten dat

B

gebeurd is, beperk je de uitkomstenruimte tot alleen die uitkomsten waarin

B

optreedt; binnen die kleinere ruimte kijk je welk deel óók bij

A

hoort. Dat leidt tot de definitie

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

: de kans op „beide” gedeeld door de kans op de voorwaarde. Trek je een kaart en is gegeven dat het een plaatje is, dan is de kans dat het óók een hartenkaart is

\frac{P(\text{harten} \cap \text{plaatje})}{P(\text{plaatje})}=\frac{3/52}{12/52}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}

. De voorwaarde maakt de noemer kleiner en verandert zo de kans.

De definitie van de voorwaardelijke kans kun je omschrijven tot de algemene productregel. Vermenigvuldig beide kanten van

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

met

P(B)

, en je krijgt

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

. In woorden: de kans dat

A

én

B

optreden is de kans op

B

, maal de kans op

A

gegeven

B

. Dit is de algemene versie van de productregel uit de vorige paragraaf. Zijn

A

B

onafhankelijk, dan verandert het weten van

B

niets aan de kans op

A

, dus

P(A\mid B)=P(A)

, en de algemene regel valt terug op

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A)

— precies de productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen. De algemene productregel is dus de overkoepelende regel; het onafhankelijke geval is daar een eenvoudiger bijzonder voorbeeld van.

Een kansboom brengt een experiment dat uit meerdere stappen bestaat overzichtelijk in beeld, en is hét gereedschap voor voorwaardelijke kansen. Net als bij het boomdiagram uit de combinatoriek splitst elke stap zich in takken, maar nu schrijf je bij elke tak de bijbehorende kans. Bij de eerste stap zijn dat gewone kansen; bij elke volgende stap zijn het voorwaardelijke kansen, gegeven wat er in de takken daarvóór gebeurde. Een belangrijke controle: de kansen van alle takken die uit hetzelfde punt vertrekken, tellen altijd op tot

1

— er moet immers íéts gebeuren. De kans op een volledig pad, van de start tot een blad, vind je door de kansen langs dat pad te vermenigvuldigen. Dat is niets anders dan de algemene productregel, stap voor stap toegepast:

P(\text{eerste} \cap \text{tweede})=P(\text{eerste})\cdot P(\text{tweede}\mid\text{eerste})

Wil je de kans op een gebeurtenis die langs meerdere paden bereikt kan worden, dan tel je de padkansen van al die paden bij elkaar op. De vuistregel luidt dus: langs een tak vermenigvuldigen, over de takken optellen. Bekijk de kansboom hiernaast voor het trekken van twee knikkers, zónder terugleggen, uit een zak met drie rode en twee blauwe knikkers. Bij de eerste trek is

P(\text{rood})=\frac{3}{5}

P(\text{blauw})=\frac{2}{5}

. Heb je een rode getrokken, dan blijven er twee rode en twee blauwe over, dus

P(\text{rood}\mid\text{rood})=\frac{2}{4}

; heb je een blauwe getrokken, dan blijven drie rode en één blauwe over, dus

P(\text{rood}\mid\text{blauw})=\frac{3}{4}

. Omdat de samenstelling van de zak verandert, hangt de tweede trek af van de eerste — de takken dragen daarom verschillende kansen.

Het optellen van padkansen heeft een eigen naam: de wet van de totale kans. Om de kans op een gebeurtenis te vinden, splits je de uitkomstenruimte op in alle mogelijke eerste stappen en tel je per stap de bijdrage op. In het knikkervoorbeeld is de kans dat de tweede knikker rood is gelijk aan de som over de twee mogelijkheden voor de eerste trek:

P(\text{2e rood})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}

. Je rekent dus elk pad uit met de productregel en telt de paden die in de gebeurtenis eindigen bij elkaar op. De wet van de totale kans is de brug tussen de losse takken van de boom en de kans op een samengestelde gebeurtenis.

Naast de kansboom is de kruistabel een handige weergave, vooral wanneer de gegevens als aantallen of percentages over twee kenmerken zijn verdeeld. In de cellen staan dan de kansen (of de frequenties) van de doorsneden, met de totalen in de marges. Een voorwaardelijke kans lees je uit zo'n tabel af door een celwaarde te delen door het bijbehorende randtotaal — precies de definitie

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Of je nu een boom of een tabel gebruikt, de onderliggende regels blijven hetzelfde: vermenigvuldigen langs een pad, delen voor een voorwaardelijke kans, optellen voor de totale kans. Voorwaardelijke kansen vormen de kern van vrijwel elk samengesteld kansvraagstuk op het schoolexamen, en ze bereiden bovendien het begrip onafhankelijkheid uit de volgende paragraaf voor.

P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

voorwaardelijke kans

De kans op A gegeven dat B is opgetreden: de doorsnedekans gedeeld door de kans op de voorwaarde B.

P(A \cap B)=P(B) \cdot P(A \mid B)

algemene productregel

Volgt uit de definitie; langs een tak in de kansboom vermenigvuldig je zo de kansen.

P(A)=P(B)\cdot P(A \mid B)+P(\overline{B})\cdot P(A \mid \overline{B})

wet van de totale kans

Tel de bijdragen van alle eerste stappen (B en niet-B) op om de totale kans op A te vinden.

Uitgewerkt voorbeeld

Een voorwaardelijke kans uit de kansboom

Je trekt twee knikkers zonder terugleggen uit de zak met drie rode en twee blauwe knikkers. Gegeven dat de tweede knikker blauw is, bereken de kans dat de eerste knikker rood was.

Stap 1 — Lees de padkansen af
Uit de kansboom volgt voor de twee paden die op blauw eindigen: rood-blauw heeft padkans $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=0{,}30$ en blauw-blauw heeft padkans $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=0{,}10$ .
$P(\text{R, B})=0{,}30, \quad P(\text{B, B})=0{,}10$
Stap 2 — Bereken de kans op de voorwaarde
De tweede knikker is blauw langs twee paden (rood-blauw en blauw-blauw). Tel die padkansen op — dat is de wet van de totale kans.
$P(\text{2e blauw})=0{,}30+0{,}10=0{,}40$
Stap 3 — Pas de definitie van de voorwaardelijke kans toe
Deel de kans op „eerste rood én tweede blauw” (de padkans van rood-blauw) door de kans op „tweede blauw”.
$P(\text{1e rood}\mid\text{2e blauw})=\frac{0{,}30}{0{,}40}=\frac{3}{4}$

Resultaat: De gevraagde kans is $\frac{3}{4}=0{,}75$ . Dat is groter dan de kans dat de eerste knikker rood is zónder die informatie ( $\frac{3}{5}=0{,}60$ ): weten dat de tweede blauw is, maakt „eerste rood” juist waarschijnlijker.

Veelgemaakte fouten

Teller en noemer van de voorwaardelijke kans verwisselen: $P(A\mid B)$ heeft $P(B)$ in de noemer (de gegeven voorwaarde), niet $P(A)$ .
In een kansboom de padkansen optellen waar je moet vermenigvuldigen, of andersom: langs één tak vermenigvuldig je, over verschillende takken tel je op.
Bij trekken zónder terugleggen toch met dezelfde kansen blijven rekenen; na de eerste trek verandert de samenstelling, dus de tweede tak draagt een andere, voorwaardelijke kans.

Actieve herhaling

Uit de zak met drie rode en twee blauwe knikkers trek je twee knikkers zonder terugleggen. Teken de kansboom en bereken de kans dat beide knikkers dezelfde kleur hebben.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Onafhankelijkheid en verwachtingswaarde#

Standaardexamenblad-nl

Kansverdeling van de netto winst

Afb. 4De kansen tellen op tot 1 en de verwachte winst is 0, dus dit spel is eerlijk.

Twee gebeurtenissen

A

B

zijn onafhankelijk als het optreden van de ene de kans op de andere niet verandert. Formeel:

P(A\mid B)=P(A)

— weten dat

B

gebeurd is, laat de kans op

A

ongemoeid. Vul je dit in de algemene productregel

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

in, dan ontstaat het handige toetscriterium

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

. Om te bepalen óf twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn, reken je dus beide kanten apart uit en kijk je of ze gelijk zijn: bereken

P(A\cap B)

rechtstreeks, bereken

P(A)\cdot P(B)

, en vergelijk. Zijn ze gelijk, dan zijn de gebeurtenissen onafhankelijk; verschillen ze, dan zijn ze afhankelijk. Deze toets kun je met een kruistabel of een kansboom altijd uitvoeren.

Een voorbeeld maakt de toets concreet. Gooi één keer met een dobbelsteen, met

A=\{2,4,6\}

(een even aantal) en

B=\{5,6\}

(minstens vijf ogen). Dan is

P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

P(A\cap B)=P(\{6\})=\frac{1}{6}

. Het product

P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

is precies gelijk aan

P(A\cap B)

, dus

A

B

zijn onafhankelijk. Vergelijk dat met het trekken van twee knikkers zónder terugleggen uit de vorige paragraaf: daar was

P(\text{2e rood}\mid\text{1e rood})=\frac{2}{4}=0{,}5

, terwijl

P(\text{2e rood})=\frac{3}{5}=0{,}6

. Omdat die ongelijk zijn, zijn de twee trekkingen afhankelijk. Trekken mét terugleggen zou ze juist onafhankelijk maken, want dan herstelt de zak zich na elke trek.

Bij veel kansexperimenten ben je niet in een losse gebeurtenis geïnteresseerd, maar in een getal dat van de uitkomst afhangt: het aantal ogen, de winst in een spel, het aantal defecte producten. Zo'n getal heet een toevals- of kansvariabele, meestal aangeduid met een hoofdletter zoals

X

. Bij elke waarde die

X

kan aannemen hoort een kans, en het overzicht van alle waarden met hun kansen heet de kansverdeling van

X

. Omdat

X

altijd één van zijn waarden aanneemt, tellen de kansen in de verdeling op tot

1

— een nuttige controle. Gooi je met een dobbelsteen en is

X

het aantal ogen, dan is de kansverdeling eenvoudig: elke waarde 1 tot en met 6 heeft kans

\frac{1}{6}

. De kansverdeling is het startpunt voor het berekenen van een verwachte waarde.

De verwachtingswaarde

E(X)

vat een hele kansverdeling samen in één getal: het gemiddelde dat je op de lange termijn verwacht. Je berekent hem door elke waarde te vermenigvuldigen met haar kans en die producten op te tellen:

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

. Het is dus een gewogen gemiddelde, met de kansen als gewichten. Voor het aantal ogen van een eerlijke dobbelsteen is

E(X)=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\cdots+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5

. Merk op dat de verwachtingswaarde zélf geen mogelijke uitkomst hoeft te zijn — je gooit nooit

3{,}5

ogen — maar gooi je heel vaak, dan ligt het gemiddelde van al je worpen dicht bij

3{,}5

. Zo verbindt de verwachtingswaarde de theoretische kansverdeling met het langetermijngemiddelde dat je in de praktijk waarneemt.

De verwachtingswaarde is het natuurlijke gereedschap om te beoordelen of een kansspel eerlijk is. Laat

X

de netto winst van een speler per spel zijn — de uitbetaling min de inzet, waarbij verlies een negatieve waarde geeft. Een spel heet eerlijk wanneer de verwachte netto winst nul is:

E(X)=0

. Dan wint en verliest een speler op de lange termijn evenveel en heeft niemand voor- of nadeel. Is

E(X)>0

, dan is het spel voordelig voor de speler; is

E(X)<0

, dan verliest hij gemiddeld — zoals bij vrijwel alle casinospelen, die met opzet een kleine negatieve verwachtingswaarde voor de speler hebben. Om te bepalen of een spel eerlijk is, stel je de kansverdeling van de netto winst op (de tabel hiernaast doet dat voor een concreet spel), bereken je

E(X)

en kijk je of die nul is. Dezelfde verwachtingswaarde gebruik je trouwens om een redelijke inzet of een eerlijke uitbetaling te bepalen.

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

toets op onafhankelijkheid

A en B zijn onafhankelijk precies wanneer de doorsnedekans gelijk is aan het product van de losse kansen.

E(X)=\sum x \cdot P(X=x)

verwachtingswaarde

Het gewogen gemiddelde van de waarden van X, met de kansen als gewichten; het gemiddelde dat je op de lange termijn verwacht.

E(X)=0

voorwaarde voor een eerlijk spel

Een spel is eerlijk als de verwachte netto winst (uitbetaling min inzet) nul is.

Uitgewerkt voorbeeld

Is dit dobbelsteenspel eerlijk?

Je speelt een spel met één worp van een eerlijke dobbelsteen. Gooi je een 6, dan win je 4 euro; gooi je een 1 of een 2, dan verlies je 2 euro; bij een 3, 4 of 5 verandert er niets. Bepaal met de verwachtingswaarde of dit spel eerlijk is.

Stap 1 — Stel de kansverdeling van de winst op
De netto winst $X$ is 4 (bij een 6), 0 (bij een 3, 4 of 5) of $-2$ (bij een 1 of 2). De kansen volgen uit het aantal gunstige ogen op de zes zijden.
$P(X=4)=\tfrac{1}{6},\quad P(X=0)=\tfrac{3}{6},\quad P(X=-2)=\tfrac{2}{6}$
Stap 2 — Bereken de verwachtingswaarde
Vermenigvuldig elke winst met haar kans en tel de producten op. De positieve en negatieve bijdragen heffen elkaar precies op.
$E(X)=4\cdot\tfrac{1}{6}+0\cdot\tfrac{3}{6}+(-2)\cdot\tfrac{2}{6}=\tfrac{4}{6}-\tfrac{4}{6}=0$
Stap 3 — Trek de conclusie
De verwachte netto winst is 0, precies de voorwaarde voor een eerlijk spel.
$E(X)=0 \;\Rightarrow\; \text{eerlijk}$

Resultaat: Omdat $E(X)=0$ , is het spel eerlijk: op de lange termijn wint noch verliest een speler gemiddeld iets. Zou de winst bij een zes 5 euro zijn, dan werd $E(X)=\frac{5}{6}-\frac{4}{6}=\frac{1}{6}>0$ en was het spel voordelig voor de speler.

Veelgemaakte fouten

Onafhankelijkheid „aanvoelen” in plaats van toetsen; pas wanneer $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ klopt, zijn de gebeurtenissen werkelijk onafhankelijk.
Bij de verwachtingswaarde de kansen als gewichten vergeten en gewoon het gemiddelde van de waarden nemen; elke waarde moet met háár eigen kans worden vermenigvuldigd.
Bij een eerlijk-spel-vraag de inzet vergeten in de netto winst, waardoor $E(X)$ verkeerd uitkomt; reken met winst gelijk aan uitbetaling min inzet.

Actieve herhaling

Een spel kost 2 euro inzet. Je gooit één keer met een eerlijke dobbelsteen en krijgt het aantal ogen uitbetaald in euro's. Stel de kansverdeling van de netto winst op, bereken de verwachtingswaarde en bepaal of het spel eerlijk is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Kansbegrip en kansregels

Kernpunten

Minstens één keer kop via het complement

Kernpunten

Hartenkaart of plaatje — de somregel

Kernpunten

Een voorwaardelijke kans uit de kansboom

Kernpunten

Is dit dobbelsteenspel eerlijk?

Bronnen