Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Afstanden en hoeken: Pythagoras, sinus- en cosinusregel

Dit onderwerp gaat over het berekenen van afstanden en hoeken in driehoeken. Je begint met de stelling van Pythagoras en de afstandsformule in het coördinatenstelsel, gaat verder met de goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek, en breidt dat uit naar willekeurige (niet-rechthoekige) driehoeken met de sinusregel en de cosinusregel. Daarmee kun je in elke driehoek ontbrekende zijden en hoeken berekenen.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0777 / 12

Examenprofiel

De stelling van Pythagoras en de afstandsformule gebruiken om lengtes te berekenen.Met de goniometrische verhoudingen (sinus, cosinus, tangens) zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek berekenen.De sinusregel toepassen om zijden en hoeken in een willekeurige driehoek te bepalen.De cosinusregel toepassen om een zijde of hoek in een willekeurige driehoek te bepalen.

Operatoren:berekenbepaaltoon aanrond afleg uitgebruik

basisniveau

Pas Pythagoras en de goniometrische verhoudingen routineus toe in rechthoekige driehoeken.

verhoogd niveau

Kies in een willekeurige driehoek bewust tussen sinus- en cosinusregel op grond van de gegeven combinatie van zijden en hoeken.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Afstanden en hoeken: Pythagoras, sinus- en cosinusregel

De stelling van Pythagoras en de afstandsformule#

Basisexamenblad-nl

De 3-4-5-driehoek

Afb. 1In de rechthoekige 3-4-5-driehoek geldt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². De schuine zijde (5) ligt tegenover de rechte hoek bij A.

De stelling van Pythagoras is het fundament onder alle afstandsberekeningen. Ze geldt uitsluitend in een rechthoekige driehoek en zegt dat het kwadraat van de schuine zijde (de hypotenusa, de langste zijde, tegenover de rechte hoek) gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden:

a^2 + b^2 = c^2

, waarbij

c

de schuine zijde is. In de figuur zie je de bekende 3-4-5-driehoek:

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

. De stelling werkt twee kanten op: ken je de twee rechthoekszijden, dan vind je de schuine zijde, en ken je de schuine zijde plus één rechthoekszijde, dan vind je de andere — telkens door de juiste term te isoleren en de wortel te trekken.

Het is essentieel om te onthouden dat de schuine zijde altijd tegenover de rechte hoek ligt en de langste zijde is. Een veelgemaakte fout is de stelling toepassen op een driehoek die niet rechthoekig is, of de verkeerde zijde als hypotenusa nemen. Controleer dus eerst dat er een rechte hoek is en identificeer welke zijde daar tegenover ligt. Wil je een rechthoekszijde berekenen in plaats van de schuine zijde, dan herschrijf je de stelling als

a^2 = c^2 - b^2

: je trekt het kwadraat van de bekende rechthoekszijde af van het kwadraat van de schuine zijde.

In het coördinatenstelsel leidt Pythagoras direct tot de afstandsformule, waarmee je de afstand tussen twee punten

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

berekent. Teken je tussen

A

B

een horizontale en een verticale hulplijn, dan ontstaat een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden

\Delta x = x_2 - x_1

\Delta y = y_2 - y_1

, en met

AB

als schuine zijde. Pythagoras geeft dan

AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}

. In de figuur zie je dit voor

A(1, 1)

B(5, 4)

: met

\Delta x = 4

\Delta y = 3

AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

. De afstandsformule is dus niets anders dan Pythagoras, vertaald naar coördinaten.

Bij het toepassen van de afstandsformule maakt het teken van

\Delta x

\Delta y

niet uit, omdat je ze kwadrateert:

(\Delta x)^2

is hetzelfde of je nu

x_2 - x_1

x_1 - x_2

neemt. Dat is prettig, want je hoeft niet op de volgorde van de punten te letten. Reken wel netjes: bepaal eerst

\Delta x

\Delta y

, kwadrateer ze, tel op, en trek pas op het eind de wortel. Een veelgemaakte fout is om

\Delta x

\Delta y

apart te worteltrekken of de kwadraten te vergeten — de wortel hoort om de hele som heen, niet om de afzonderlijke termen.

Pythagoras en de afstandsformule zijn de bouwstenen waarop de rest van dit onderwerp voortbouwt. De afstandsformule gebruik je verderop bij de meetkunde met coördinaten — om de lengte van een lijnstuk te bepalen, of om te controleren of een punt op een cirkel ligt (de afstand tot het middelpunt gelijk aan de straal). De goniometrische verhoudingen en de sinus- en cosinusregel die nu volgen, breiden het rekenen met afstanden en hoeken uit naar driehoeken zónder rechte hoek. Maar het begint allemaal hier: een rechte hoek, twee rechthoekszijden, en de elegante betrekking

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 = c^2

stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

afstandsformule

De afstand tussen twee punten is Pythagoras toegepast op de horizontale en verticale verschillen Δx en Δy.

Afstand tussen twee punten

Afb. 2De afstand AB tussen A(1,1) en B(5,4) is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met Δx = 4 en Δy = 3, dus AB = √(4² + 3²) = 5.

Uitgewerkt voorbeeld

Een afstand berekenen met de afstandsformule

Bereken de afstand tussen $A(-2, 1)$ en $B(3, 13)$ .

Stap 1 — Bereken Δx en Δy
Trek de coördinaten van elkaar af. Het teken doet er niet toe, want je kwadrateert straks.
$\Delta x = 3 - (-2) = 5, \qquad \Delta y = 13 - 1 = 12$
Stap 2 — Kwadrateer en tel op
Vul Δx en Δy in onder de wortel van de afstandsformule.
$AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$
Stap 3 — Trek de wortel
Reken de wortel exact uit.
$AB = \sqrt{169} = 13$

Resultaat: Resultaat: de afstand $AB = 13$ . De afstandsformule is Pythagoras op de verschillen $\Delta x = 5$ en $\Delta y = 12$ , een bekend Pythagoras-drietal $(5, 12, 13)$ .

Veelgemaakte fouten

Pythagoras toepassen op een driehoek zonder rechte hoek, of de verkeerde zijde als schuine zijde nemen.
Bij de afstandsformule $\Delta x$ en $\Delta y$ apart worteltrekken in plaats van de wortel om de hele som te zetten.
Vergeten te kwadrateren of de kwadraten optellen met het verkeerde teken (kwadrateren maakt het teken juist onbelangrijk).

Actieve herhaling

Bereken de afstand tussen $A(-2, 1)$ en $B(3, 13)$ , en bepaal in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 6 en 8 de lengte van de schuine zijde.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek#

Standaardexamenblad-nl

Goniometrische verhoudingen

Afb. 3Ten opzichte van hoek α: de schuine zijde (AB) ligt tegenover de rechte hoek, de overstaande zijde (CB) tegenover α, en de aanliggende zijde (AC) grenst aan α. Daarmee gelden sin, cos en tan als SOS-CAS-TOA.

In een rechthoekige driehoek koppelen de goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens een hoek aan de verhouding van twee zijden. Ten opzichte van een scherpe hoek

\alpha

onderscheid je drie zijden: de schuine zijde (tegenover de rechte hoek), de overstaande rechthoekszijde (tegenover

\alpha

) en de aanliggende rechthoekszijde (grenzend aan

\alpha

). De drie verhoudingen zijn dan

\sin(\alpha) = \dfrac{\text{overstaande}}{\text{schuine}}

\cos(\alpha) = \dfrac{\text{aanliggende}}{\text{schuine}}

\tan(\alpha) = \dfrac{\text{overstaande}}{\text{aanliggende}}

. Het ezelsbruggetje SOS-CAS-TOA (of „soscastoa”) vat dit samen: Sinus = Overstaande/Schuine, Cosinus = Aanliggende/Schuine, Tangens = Overstaande/Aanliggende.

Deze verhoudingen zijn de brug tussen hoeken en zijden, en je gebruikt ze in twee richtingen. Ken je een hoek en een zijde en zoek je een andere zijde, dan kies je de verhouding die de bekende en de gezochte zijde bevat, vult de hoek in en lost de onbekende zijde op. Zoek je bijvoorbeeld de overstaande zijde bij een bekende schuine zijde en hoek, dan gebruik je de sinus: overstaande

= \text{schuine} \cdot \sin(\alpha)

. In de figuur zie je een rechthoekige driehoek met hoek

\alpha

bij

A

, de aanliggende zijde langs

A

, de overstaande zijde tegenover

\alpha

en de schuine zijde

AB

; welke verhouding je kiest, hangt af van welke twee zijden in het spel zijn.

Andersom, als je twee zijden kent en de hoek zoekt, gebruik je de inverse goniometrische functies. Ken je de overstaande en de schuine zijde, dan is

\alpha = \arcsin\!\left(\dfrac{\text{overstaande}}{\text{schuine}}\right)

; bij aanliggende en schuine gebruik je

\arccos

, en bij overstaande en aanliggende

\arctan

. Op de rekenmachine zijn dat de toetsen

\sin^{-1}

\cos^{-1}

\tan^{-1}

. Zet de rekenmachine wel in de juiste hoekstand — graden of radialen, afhankelijk van wat de opgave vraagt; voor meetkundige hoeken in een driehoek werk je meestal in graden.

De kunst zit in het kiezen van de júiste verhouding, en dat doe je door te kijken welke twee zijden (of welke zijde en hoek) gegeven en gevraagd zijn. Maak het jezelf gemakkelijk door bij elke driehoek eerst de drie zijden te benoemen ten opzichte van de hoek waar het om draait: welke is de schuine, welke de overstaande, welke de aanliggende? Match dan de gegeven en gevraagde zijde met de verhouding die precies díé twee bevat. Een veelgemaakte fout is overstaande en aanliggende verwisselen, of de schuine zijde verwarren met een rechthoekszijde — een zorgvuldige benoeming vooraf voorkomt dat.

De goniometrische verhoudingen werken alleen in een rechthoekige driehoek, want ze zijn ten opzichte van de rechte hoek gedefinieerd. Heb je een driehoek zónder rechte hoek, dan kun je soms een hulplijn (een hoogtelijn) tekenen om twee rechthoekige driehoeken te maken, maar handiger is de sinus- en cosinusregel uit de volgende paragrafen, die rechtstreeks in willekeurige driehoeken werken. Toch blijven de rechthoekige verhoudingen de basis: de sinus- en cosinusregel zijn er in feite uitbreidingen van. Wie soscastoa beheerst, heeft het gereedschap om elke rechthoekige driehoek volledig door te rekenen.

\sin(\alpha) = \frac{\text{overstaande}}{\text{schuine}}, \quad \cos(\alpha) = \frac{\text{aanliggende}}{\text{schuine}}, \quad \tan(\alpha) = \frac{\text{overstaande}}{\text{aanliggende}}

SOS-CAS-TOA

De drie verhoudingen koppelen een scherpe hoek aan de verhouding van twee zijden in een rechthoekige driehoek.

\alpha = \sin^{-1}\!\left(\frac{\text{overstaande}}{\text{schuine}}\right)

hoek uit twee zijden

Met de inverse goniometrische functies bepaal je een hoek wanneer je twee zijden kent.

Uitgewerkt voorbeeld

Zijden berekenen met sinus en cosinus

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 10 en hoek $\alpha = 35°$ . Bereken de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde.

Stap 1 — Kies de verhouding voor de overstaande zijde
De overstaande en de schuine zijde horen bij de sinus. Vul de hoek en de schuine zijde in.
$\sin(35°) = \frac{\text{overstaande}}{10} \ \Rightarrow\ \text{overstaande} = 10\sin(35°)$
Stap 2 — Reken de overstaande zijde uit
Bereken met de rekenmachine (in graden) en rond af op één decimaal.
$\text{overstaande} = 10\cdot 0{,}5736 \approx 5{,}7$
Stap 3 — Bereken de aanliggende zijde met de cosinus
De aanliggende en de schuine zijde horen bij de cosinus.
$\text{aanliggende} = 10\cos(35°) = 10\cdot 0{,}8192 \approx 8{,}2$

Resultaat: Resultaat: de overstaande zijde is ongeveer $5{,}7$ en de aanliggende zijde ongeveer $8{,}2$ . De keuze sinus voor de overstaande en cosinus voor de aanliggende zijde volgt rechtstreeks uit SOS-CAS-TOA.

Veelgemaakte fouten

De overstaande en aanliggende zijde verwisselen, zodat sinus en cosinus (of tangens) door elkaar lopen.
De schuine zijde verwarren met een rechthoekszijde; de schuine zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek.
De rekenmachine in de verkeerde hoekstand (radialen versus graden) zetten.

Actieve herhaling

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 10 en hoek $\alpha = 35°$ . Bereken de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde, beide afgerond op één decimaal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De sinusregel#

Standaardexamenblad-nl

Driehoek voor de sinusregel

Afb. 4Een driehoek met A = 50°, B = 60° en zijde c = 7 (tegenover C = 70°). Met de sinusregel bereken je zijde a tegenover hoek A: a/sin 50° = 7/sin 70°.

De sinusregel breidt het rekenen met hoeken en zijden uit naar wíllekeurige driehoeken, dus ook driehoeken zonder rechte hoek. Hij zegt dat in elke driehoek de verhouding tussen een zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek voor alle drie de zijden gelijk is:

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

. Hierbij is het van groot belang dat elke zijde gekoppeld is aan de hoek díé er tegenover ligt: zijde

a

tegenover hoek

A

, zijde

b

tegenover hoek

B

, enzovoort. Deze koppeling van een zijde aan haar overstaande hoek is de kern van de sinusregel; verwar je ze, dan klopt de hele berekening niet.

De sinusregel gebruik je in twee standaardsituaties. De eerste: je kent twee hoeken en één zijde en zoekt een andere zijde. Omdat de hoeken van een driehoek samen

180°

zijn, ken je dan eigenlijk alle drie de hoeken, en met de bekende zijde en haar overstaande hoek bereken je elke andere zijde. De tweede: je kent twee zijden en één van de twee bijbehorende (overstaande) hoeken en zoekt de andere hoek. In beide gevallen zet je twee van de gelijke verhoudingen aan elkaar gelijk en los je de onbekende op. Je gebruikt dus telkens precies twee van de drie breuken.

Bij het oplossen werk je met een verhoudingsvergelijking. Wil je een zijde berekenen, zet dan de breuk met de onbekende zijde gelijk aan een breuk waarvan je beide delen kent, en kruislings vermenigvuldigen geeft de oplossing:

a = \dfrac{b\,\sin A}{\sin B}

. Wil je een hoek berekenen, isoleer dan

\sin A

en pas

\sin^{-1}

toe. In de figuur zie je een driehoek met hoeken

50°

bij

A

60°

bij

B

en zijde

c = 7

(tegenover de derde hoek

C = 70°

); daarmee bereken je bijvoorbeeld zijde

a

tegenover

A

via

\dfrac{a}{\sin 50°} = \dfrac{7}{\sin 70°}

Een belangrijk aandachtspunt is wanneer je de sinusregel kíest en wanneer niet. De sinusregel werkt alleen als je een zijde mét haar overstaande hoek kent — een „compleet paar” zijde-hoek. Heb je dat niet (bijvoorbeeld twee zijden met de ingesloten hoek ertussen, of alle drie de zijden), dan schiet de sinusregel tekort en heb je de cosinusregel nodig. Daarnaast kan de sinusregel bij het berekenen van een hoek soms twee mogelijke uitkomsten geven (een scherpe en een stompe hoek met dezelfde sinus); let dan op de context van de driehoek om de juiste te kiezen. Bij het berekenen van een zijde speelt dit niet.

De sinusregel is dus je gereedschap voor driehoeken waarin een zijde en de tegenoverliggende hoek samen bekend zijn. Hij volgt uit de goniometrische verhoudingen door in een willekeurige driehoek een hoogtelijn te trekken — die de driehoek in twee rechthoekige driehoeken splitst — en in beide de sinus van een hoek met diezelfde hoogte uit te drukken. Zo verbindt de sinusregel de rechthoekige goniometrie met de algemene driehoeksmeting. Samen met de cosinusregel uit de volgende paragraaf kun je hiermee elke driehoek volledig oplossen, mits je genoeg gegevens hebt.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

sinusregel

In elke driehoek is de verhouding van een zijde tot de sinus van de tegenoverliggende hoek voor alle zijden gelijk.

Uitgewerkt voorbeeld

Een zijde berekenen met de sinusregel

In een driehoek is $A = 50°$ , $B = 60°$ en $c = 7$ . Bereken de zijde $a$ (tegenover $A$ ).

Stap 1 — Bepaal de derde hoek
De hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Zo vind je hoek C, die tegenover de bekende zijde c ligt.
$C = 180° - 50° - 60° = 70°$
Stap 2 — Zet de juiste verhoudingen gelijk
Koppel de gezochte zijde a aan haar hoek A, en de bekende zijde c aan haar hoek C.
$\frac{a}{\sin 50°} = \frac{7}{\sin 70°}$
Stap 3 — Los a op
Vermenigvuldig kruislings en reken met de rekenmachine (in graden) uit; rond af op twee decimalen.
$a = \frac{7\sin 50°}{\sin 70°} = \frac{7\cdot 0{,}766}{0{,}940} \approx 5{,}71$

Resultaat: Resultaat: de zijde $a \approx 5{,}71$ . Door zijde $a$ aan hoek $A$ en zijde $c$ aan hoek $C$ te koppelen, geeft de sinusregel direct de ontbrekende zijde.

Veelgemaakte fouten

Een zijde aan de verkeerde hoek koppelen (niet de overstaande), zodat de verhoudingen niet kloppen.
De sinusregel toepassen terwijl je geen compleet zijde-hoekpaar kent; dan is de cosinusregel nodig.
Bij het berekenen van een hoek de mogelijke stompe-hoekoplossing over het hoofd zien.

Actieve herhaling

In een driehoek is $A = 50°$ , $B = 60°$ en de zijde $c$ (tegenover $C$ ) is 7. Bereken de zijde $a$ (tegenover $A$ ), afgerond op twee decimalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De cosinusregel#

Standaardexamenblad-nl

Driehoek voor de cosinusregel

Afb. 5Met de ingesloten hoek A = 70° en de twee insluitende zijden b = 7 (AC) en c = 5 (AB) bereken je de overstaande zijde a met a² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 70°.

De cosinusregel is de tweede uitbreiding van Pythagoras naar willekeurige driehoeken, en hij springt in waar de sinusregel het laat afweten. Hij luidt

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

, waarbij

a

de zijde tegenover hoek

A

is en

b

c

de twee zijden die hoek

A

insluiten. Je herkent er de stelling van Pythagoras in: als hoek

A = 90°

, dan is

\cos A = 0

en valt de hele laatste term weg, zodat

a^2 = b^2 + c^2

. De term

-2bc\cos A

is dus precies de correctie die nodig is wanneer de ingesloten hoek niet recht is. De cosinusregel is daarmee een veralgemening van Pythagoras voor elke hoek.

Je gebruikt de cosinusregel in twee situaties waarin de sinusregel niet werkt. De eerste: je kent twee zijden en de ingesloten hoek (de hoek tússen die twee zijden) en zoekt de derde zijde; dan vul je rechtstreeks in

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

en trek je de wortel. De tweede: je kent alle drie de zijden en zoekt een hoek; dan herschrijf je de regel tot

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

en gebruik je

\cos^{-1}

. In beide gevallen is het kenmerkend dat de overstaande zijde en de ingesloten hoek tegenover elkaar in de formule staan — de hoek hoort altijd bij de zijde die er recht tegenover ligt.

In de figuur zie je hoe dit werkt: een driehoek met de ingesloten hoek

A = 70°

en de twee zijden

b = 7

(zijde

AC

) en

c = 5

(zijde

AB

) die deze hoek insluiten. De gezochte zijde

a

ligt tegenover hoek

A

. Invullen geeft

a^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos 70°

. Reken eerst de losse delen uit, tel ze met de juiste tekens op, en trek dan pas de wortel — een veelgemaakte fout is om te vroeg te worteltrekken of de term

-2bc\cos A

verkeerd te tekenen. Het minteken hoort er standaard bij, maar bij een stompe hoek is

\cos A

negatief, zodat de term juist optelt en de overstaande zijde groter wordt.

De keuze tussen sinus- en cosinusregel is een kwestie van kijken naar wat je gegeven hebt. Heb je een zijde met haar overstaande hoek (een compleet paar), kies dan de sinusregel. Heb je twee zijden met de ingesloten hoek, of alle drie de zijden, kies dan de cosinusregel. Een handige vuistregel: de cosinusregel is er voor de gevallen waarin de overstaande hoek van een zijde níét gegeven is, maar de hoek wel tussen twee bekende zijden zit. Door eerst de gegevens te inventariseren — welke zijden, welke hoeken, en hoe liggen ze ten opzichte van elkaar — kies je vrijwel automatisch de juiste regel.

Samen vormen Pythagoras, de goniometrische verhoudingen en de sinus- en cosinusregel een compleet gereedschap om elke driehoek door te rekenen. Pythagoras en soscastoa dekken de rechthoekige driehoek; de sinus- en cosinusregel dekken de willekeurige. Met genoeg gegevens — minstens drie, waaronder ten minste één zijde — kun je elke ontbrekende zijde of hoek vinden. Dit driehoeksrekenen vormt de basis voor de meetkunde met coördinaten in het volgende onderwerp, waar je deze regels combineert met de vergelijkingen van lijnen en cirkels.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

cosinusregel

De derde zijde uit twee zijden en de ingesloten hoek; bij A = 90° valt de cosinusterm weg en blijft Pythagoras over.

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

hoek uit drie zijden

Herschrijf de cosinusregel om een hoek te bepalen wanneer alle drie de zijden bekend zijn; pas daarna cos⁻¹ toe.

Uitgewerkt voorbeeld

Een zijde berekenen met de cosinusregel

In een driehoek zijn $b = 7$ , $c = 5$ en de ingesloten hoek $A = 70°$ . Bereken de zijde $a$ tegenover $A$ .

Stap 1 — Vul de cosinusregel in
Zet de twee insluitende zijden en de ingesloten hoek in de formule a² = b² + c² − 2bc·cos A.
$a^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos 70°$
Stap 2 — Reken de losse delen uit
Bereken eerst de kwadraten en de cosinusterm apart (cos 70° ≈ 0,342) voordat je optelt.
$a^2 = 49 + 25 - 70\cdot 0{,}342 = 74 - 23{,}94 = 50{,}06$
Stap 3 — Trek de wortel
Pas nu, met a² volledig berekend, trek je de wortel en rond je af op twee decimalen.
$a = \sqrt{50{,}06} \approx 7{,}08$

Resultaat: Resultaat: de zijde $a \approx 7{,}08$ . De cosinusregel gebruikt de twee insluitende zijden en de ingesloten hoek; pas op het allerlaatst trek je de wortel uit de volledig berekende $a^2$ .

Veelgemaakte fouten

De hoek niet aan de juiste (overstaande) zijde koppelen, zodat de verkeerde zijden in $-2bc\cos A$ terechtkomen.
Te vroeg worteltrekken: bereken eerst $a^2$ volledig en trek dan pas de wortel.
Het minteken of het teken van $\cos A$ bij een stompe hoek verkeerd verwerken.

Actieve herhaling

In een driehoek zijn de zijden $b = 7$ en $c = 5$ gegeven met de ingesloten hoek $A = 70°$ . Bereken de zijde $a$ (tegenover $A$ ), afgerond op twee decimalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Afstanden en hoeken: Pythagoras, sinus- en cosinusregel

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Afstanden en hoeken: Pythagoras, sinus- en cosinusregel

Kernpunten

Een afstand berekenen met de afstandsformule

Kernpunten

Zijden berekenen met sinus en cosinus

Kernpunten

Een zijde berekenen met de sinusregel

Kernpunten

Een zijde berekenen met de cosinusregel

Bronnen

Afstanden en hoeken: Pythagoras, sinus- en cosinusregel

Kernpunten

Een afstand berekenen met de afstandsformule

Kernpunten

Zijden berekenen met sinus en cosinus

Kernpunten

Een zijde berekenen met de sinusregel

Kernpunten

Een zijde berekenen met de cosinusregel

Bronnen