Apuntes · Dibujo Técnico IIES · Selectividad

Tangencias y potencia

La potencia de un punto respecto a una circunferencia es el hilo conductor que unifica los lugares geométricos —el arco capaz, el eje radical, el centro radical— y la resolución racional de las tangencias en Dibujo Técnico II. Pertenece al Bloque 1 (Geometría métrica · B.1.2) del currículo LOMLOE y es uno de los contenidos más exigidos en la prueba gráfica de Selectividad, donde se valora tanto el razonamiento como la precisión del trazado, a mano y con herramientas digitales.

5 secciones~26 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 07/2026

T·0222 / 10

Perfil de examen

CE2. Resolver gráficamente operaciones, relaciones, construcciones y transformaciones aplicando los fundamentos de la geometría métrica mediante razonamientos inductivos, deductivos y lógicos.Criterio 5.2.3 (2.º). Resolver tangencias aplicando los conceptos de potencia e inversión, valorando la precisión del trazado gráfico y digital.CE5 · Criterio 5.5.1 (2.º). Representar objetos y construcciones mediante aplicaciones CAD, valorando las posibilidades del dibujo asistido por ordenador.

Operadores:analizaexplicademuestracalculajustificaconstruyerazonarelacionalocaliza

nivel básico

Como repaso exigible, debes manejar las tangencias básicas (a recta y a circunferencia) y reconocer la potencia como longitud al cuadrado de la tangente desde un punto exterior.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, se espera el dominio pleno de la potencia con signo, el eje radical y el centro radical, y su aplicación al método de potencia e inversión para resolver tangencias y verificarlas en CAD.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Tangencias y potencia

Lugares geométricos y arco capaz#

BásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas · Lugares geométricos

Caso particular: arco capaz de 90° (semicircunferencia de Thales)

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una misma condición y, recíprocamente, todo punto que la cumple pertenece al lugar. Esta doble pertenencia es la herramienta esencial de toda construcción de tangencias: cada dato del problema se traduce en un lugar geométrico, y la solución aparece donde dos lugares se cortan. Por eso conviene tener perfectamente interiorizados los lugares básicos: la mediatriz de un segmento (puntos que equidistan de dos puntos), la bisectriz de un ángulo (puntos que equidistan de dos rectas), las paralelas a una recta a una distancia dada y la circunferencia (puntos que equidistan de un centro). El centro de toda circunferencia tangente a otra línea se busca siempre como intersección de dos de estos lugares.

El arco capaz de un segmento «AB» bajo un ángulo «α» es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales el segmento «AB» se ve bajo ese ángulo «α» constante; geométricamente es un arco de circunferencia que pasa por «A» y por «B» (Fig. 1). Su fundamento es el teorema del ángulo inscrito: todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales, y cada uno vale la mitad del ángulo central correspondiente. En consecuencia, el ángulo central que abarca la cuerda «AB» mide «2·α», y de ahí se deduce el radio del arco mediante la relación de la cuerda con el seno.

Arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo α

La construcción del arco capaz es directa: se traza la mediatriz de «AB» (donde estará el centro «O»), se levanta en un extremo —por ejemplo en «A»— una semirrecta que forme con «AB» un ángulo igual a «α» (esta semirrecta es tangente al arco en «A»), y se traza por «A» la perpendicular a esa tangente; el punto en que esa perpendicular corta a la mediatriz es el centro «O». Con centro en «O» y radio «OA» se dibuja el arco que pasa por «A» y «B»: cualquier punto de él «ve» el segmento bajo el ángulo «α». Existe un arco simétrico al otro lado de «AB», de modo que el lugar completo son dos arcos.

El caso particular más célebre es el del ángulo recto: el arco capaz de un segmento bajo «90°» es la semicircunferencia que tiene a ese segmento como diámetro. Es el teorema de Thales, y de él derivan construcciones cotidianas en tangencias, como el trazado de la recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior (el punto de tangencia se ve desde el extremo del radio bajo «90°», luego está en la circunferencia de diámetro el segmento que une el punto exterior con el centro). Reconocer el arco capaz convierte muchos problemas de ángulos y tangencias en simples intersecciones de lugares.

\widehat{APB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

Teorema del ángulo inscrito

El ángulo inscrito APB que abarca la cuerda AB es la mitad del ángulo central AOB que abarca el mismo arco. De aquí, el ángulo central del arco capaz es 2 alpha.

R = \dfrac{\overline{AB}}{2\,\sin\alpha}

Radio del arco capaz

La cuerda AB y el ángulo inscrito alpha determinan el radio R: la cuerda vale 2R sen(alpha), de donde se despeja R.

Ejemplo resuelto

Radio del arco capaz

Se da un segmento «AB» de 60 mm. Calcula el radio del arco capaz desde el cual «AB» se ve bajo un ángulo de 30° y describe brevemente la construcción.

Identificar el ángulo central
El ángulo inscrito es α = 30°; por el teorema del ángulo inscrito, el ángulo central que abarca «AB» mide 2·α = 60°.
Aplicar la relación cuerda–radio
La cuerda «AB» vale 2R·sen(α). Despejamos el radio sustituyendo AB = 60 mm y α = 30°.
Calcular
Como sen 30° = 0,5, el denominador vale 2·0,5 = 1, de modo que R = 60 / 1 = 60 mm.

Resultado: El radio del arco capaz es R = 60 mm. Su centro está en la mediatriz de «AB», a 60 mm de cada extremo.

Errores frecuentes

Confundir el ángulo inscrito con el central: olvidar que el arco capaz se construye con ángulo central «2·α» y no «α», lo que produce un radio erróneo.
Dibujar la semirrecta del ángulo «α» como cuerda en lugar de como tangente al arco en el extremo, con lo que la perpendicular trazada no localiza el centro correcto.

Repaso activo

Dado un segmento «AB» de 60 mm, construye el arco capaz desde el cual «AB» se ve bajo un ángulo de 45°. Determina gráficamente el radio del arco, indica todas las líneas auxiliares y comprueba el resultado situando un punto cualquiera del arco y midiendo el ángulo.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Potencia de un punto respecto a una circunferencia#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas · Potencia de un punto

La potencia de un punto «P» respecto a una circunferencia de centro «O» y radio «r» es el número que se obtiene al restar el cuadrado del radio del cuadrado de la distancia del punto al centro: «pot(P) = d² − r²», siendo «d = OP». Es una magnitud con signo que mide la situación del punto respecto a la circunferencia y que tiene una notable interpretación geométrica: el producto de las distancias de «P» a los dos puntos en que cualquier recta secante trazada por «P» corta a la circunferencia es constante e igual a la potencia (Fig. 3). Esta constancia es lo que convierte a la potencia en un instrumento de cálculo y construcción tan poderoso.

Potencia de un punto exterior: tangente PT y secante PAB

El signo de la potencia codifica la posición del punto. Si «P» es exterior a la circunferencia, «d > r» y la potencia es positiva; si «P» está sobre la circunferencia, «d = r» y la potencia es nula; si «P» es interior, «d < r» y la potencia es negativa (Fig. 4). La gráfica de la potencia en función de la distancia es una parábola «pot(d) = d² − r²» cuya raíz se sitúa justamente en «d = r», es decir, sobre la propia circunferencia. En el centro, «d = 0», la potencia vale «−r²», el valor más negativo posible.

Signo de la potencia: la parábola p = d² − r²

Para un punto exterior, la potencia tiene una lectura geométrica directa e imprescindible en las tangencias: coincide con el cuadrado de la longitud del segmento de tangente trazado desde «P» a la circunferencia. En efecto, si «PT» es tangente con «T» el punto de contacto, el triángulo «OPT» es rectángulo en «T» (el radio es perpendicular a la tangente), de modo que por el teorema de Pitágoras «PT² = OP² − OT² = d² − r² = pot(P)». Así, la longitud de la tangente es «PT = √(d² − r²)»: la potencia se «ve» como un cuadrado de lado la tangente.

La relación con la recta secante completa el cuadro. Si una secante por «P» corta la circunferencia en «A» y «B», entonces «PA · PB = pot(P)» (con el convenio de signos: producto positivo para punto exterior, negativo para interior). Cuando la secante se convierte en tangente, los puntos «A» y «B» se funden en el de contacto «T» y el producto «PA · PB» degenera en «PT²», lo que reencuentra el resultado anterior. Esta es la clave operativa: medir o construir longitudes de tangentes a partir de productos de segmentos sobre una recta, y al revés, lo que abre la resolución de tangencias por potencia.

\operatorname{pot}(P) = d^2 - r^2 \quad (d=\overline{OP})

Definición de potencia

La potencia de P es la diferencia entre el cuadrado de la distancia al centro y el cuadrado del radio. Es positiva si P es exterior, nula si está sobre la circunferencia y negativa si es interior.

\overline{PA}\cdot\overline{PB} = \operatorname{pot}(P)

Producto de la secante

Para cualquier recta secante por P que corta la circunferencia en A y B, el producto de las distancias PA y PB es constante e igual a la potencia.

\overline{PT} = \sqrt{\,d^2 - r^2\,}

Longitud de la tangente (P exterior)

La longitud del segmento de tangente desde un punto exterior es la raíz cuadrada de la potencia, por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OPT.

Ejemplo resuelto

Potencia, tangente y secante

Un punto «P» dista «OP» = 65 mm del centro «O» de una circunferencia de radio «r» = 25 mm. Calcula la potencia de «P», la longitud de la tangente «PT» y, sabiendo que una secante por «P» corta la circunferencia en «A» y «B» con «PA» = 45 mm, halla «PB».

Calcular la potencia
Aplicamos la definición con d = 65 mm y r = 25 mm: pot(P) = 65² − 25² = 4225 − 625 = 3600 mm². Es positiva, luego «P» es exterior.
Longitud de la tangente
La tangente es la raíz cuadrada de la potencia: PT = √3600 = 60 mm.
Hallar PB con la secante
Por la propiedad de la secante, PA·PB = pot(P) = 3600. Despejamos: PB = 3600 / 45 = 80 mm.

Resultado: La potencia de «P» es 3600 mm²; la tangente mide 60 mm y la segunda intersección de la secante está a PB = 80 mm de «P».

Errores frecuentes

Olvidar el signo: tomar la potencia siempre como positiva e intentar calcular una raíz cuadrada de un número negativo cuando el punto es interior (en ese caso no hay tangente real).
Confundir «d²−r²» con «(d−r)²»: la potencia es la diferencia de los cuadrados, no el cuadrado de la diferencia, error que falsea por completo la longitud de la tangente.

Repaso activo

Un punto «P» dista 65 mm del centro «O» de una circunferencia de radio 25 mm. Calcula la potencia de «P», determina la longitud del segmento de tangente desde «P» y, si una secante por «P» corta la circunferencia en «A» y «B» de modo que «PA» = 36 mm, halla «PB».

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Eje radical y centro radical#

EstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas · Eje radical y centro radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas (Fig. 5). Igualando las dos potencias, los términos cuadráticos se cancelan y queda una ecuación de primer grado: el eje radical es siempre una recta, y además es perpendicular a la recta que une los dos centros (la línea de centros). Esta perpendicularidad es una propiedad clave para el trazado y para la comprobación de los ejercicios. Desde cualquier punto del eje radical exterior a las dos circunferencias, las tangentes a una y otra tienen exactamente la misma longitud.

Eje radical de dos circunferencias secantes

Su posición depende de la situación relativa de las circunferencias. Si las dos circunferencias se cortan, el eje radical es la recta que pasa por los dos puntos de intersección (la cuerda común prolongada). Si son tangentes, el eje radical es la tangente común en el punto de contacto. Y si son exteriores o interiores sin cortarse, el eje radical existe igualmente como recta perpendicular a la línea de centros, pero no toca a ninguna de las dos circunferencias; entonces se construye con el método de la circunferencia auxiliar: se dibuja una tercera circunferencia que corte a las dos dadas, se obtienen los dos ejes radicales parciales (las dos cuerdas comunes), y su intersección es un punto del eje buscado, por el que se traza la perpendicular a la línea de centros.

El centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene la misma potencia respecto a las tres (Fig. 6). Se obtiene como intersección de los ejes radicales que se forman tomando las circunferencias dos a dos: los tres ejes radicales (1-2, 1-3 y 2-3) concurren en un único punto, lo que ofrece además una comprobación gráfica inmediata —si los tres no se cortan en el mismo punto, hay un error de trazado—. Basta construir dos de los tres ejes para localizarlo.

Centro radical de tres circunferencias

El centro radical tiene una utilidad capital en las tangencias y en los problemas de Apolonio. Si su potencia respecto a las tres circunferencias es positiva (punto exterior a las tres), la raíz cuadrada de esa potencia es la longitud común de las tangentes a las tres, es decir, el radio de una circunferencia centrada en el centro radical y tangente a las tres dadas (la circunferencia radical u ortogonal a las tres). Desde el centro radical se trazan, pues, con un mismo radio, las tangentes a las tres circunferencias, lo que resuelve de un golpe configuraciones que de otro modo serían laboriosas.

\operatorname{pot}_1(P) = \operatorname{pot}_2(P)

Condición del eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el conjunto de puntos con igual potencia respecto a ambas; al desarrollar e igualar, se obtiene una recta perpendicular a la línea de centros.

\operatorname{pot}_1(R) = \operatorname{pot}_2(R) = \operatorname{pot}_3(R)

Centro radical

El centro radical R es el único punto con igual potencia respecto a las tres circunferencias; es la intersección de los tres ejes radicales tomados dos a dos.

Ejemplo resuelto

Eje radical de dos circunferencias por coordenadas

Dos circunferencias tienen centros «O₁»(0, 0) y «O₂»(6, 0) y radio 5 cada una (unidades en cm). Determina la ecuación del eje radical, comprueba que es perpendicular a la línea de centros y halla los puntos de corte con las circunferencias.

Escribir las dos potencias
Para un punto (x, y): pot₁ = x² + y² − 25 y pot₂ = (x−6)² + y² − 25.
Igualar y simplificar
Al igualar pot₁ = pot₂ se cancelan x², y² y −25; queda 0 = −12x + 36, de donde x = 3. Es una recta vertical: como la línea de centros es el eje X (horizontal), el eje radical x = 3 es perpendicular a ella.
Cortes con las circunferencias
Sustituyendo x = 3 en la primera: 9 + y² = 25, luego y² = 16 e y = ±4. Las circunferencias se cortan en (3, 4) y (3, −4): el eje radical es justamente la cuerda común.

Resultado: El eje radical es la recta x = 3, perpendicular a la línea de centros y que pasa por los puntos de intersección (3, 4) y (3, −4).

Errores frecuentes

Dibujar el eje radical inclinado: olvidar que debe ser perpendicular a la línea de centros, un error que se detecta de inmediato comprobando ese ángulo recto.
Para circunferencias que no se cortan, intentar trazar el eje «a ojo» sin la circunferencia auxiliar, o creer que pasa por el punto medio de los centros (solo lo hace si los radios son iguales).

Repaso activo

Dadas tres circunferencias de radios distintos cuyos centros forman un triángulo, traza los ejes radicales de los tres pares, localiza el centro radical y comprueba que los tres ejes concurren. Si el centro radical resulta exterior a las tres, dibuja la circunferencia tangente a las tres centrada en él.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Resolución de tangencias por potencia#

ProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas · Tangencias mediante potencia

El método de la potencia resuelve, de forma sistemática, las tangencias en las que intervienen rectas y circunferencias con puntos dados, sin necesidad de tanteos. La idea rectora es traducir el enunciado al concepto de potencia respecto a la circunferencia incógnita: un punto conocido del que se sabe a la vez una distancia sobre una secante y una distancia de tangente permite plantear «PA·PB = PT²» y despejar la magnitud que falta, que después se lleva con el compás sobre el dibujo. Es, en esencia, convertir un problema de tangencia en un cálculo de media geométrica.

El problema tipo es: «trazar las circunferencias que pasan por dos puntos dados «P» y «Q» y son tangentes a una recta «r»» (Fig. 7). El procedimiento es el siguiente. Se prolonga la cuerda «PQ» hasta que corte a la recta «r» en un punto «M». Cualquier circunferencia buscada tiene a «M» como punto exterior, y respecto a ella la potencia de «M» se puede calcular de dos modos: por la secante, «pot(M) = MP·MQ», y por la tangente, «pot(M) = MT²», siendo «T» el punto de tangencia sobre «r». Igualando, «MT² = MP·MQ», de donde «MT = √(MP·MQ)»: la longitud «MT» es la media geométrica de «MP» y «MQ».

Circunferencias que pasan por P y Q y son tangentes a la recta r

El valor «MT» se obtiene gráficamente sin números mediante la construcción de la media geométrica (media proporcional): se levanta la semicircunferencia de diámetro «MP + MQ» —o, equivalentemente, se aplica el teorema de la altura o del cateto— y se traslada la longitud resultante «MT» sobre la recta «r» a partir de «M», a uno y otro lado, obteniéndose dos posibles puntos de tangencia «T₁» y «T₂». Cada uno da una solución: hay, en general, dos circunferencias que cumplen las condiciones. Esta doble solución es característica y debe representarse.

Localizado el punto de tangencia «T», el centro de la circunferencia solución se halla como intersección de dos lugares geométricos: la perpendicular a la recta «r» trazada por «T» (porque el radio en el punto de contacto es perpendicular a la tangente) y la mediatriz del segmento «PQ» (porque el centro equidista de los dos puntos por los que pasa). El radio es la distancia del centro a «T» (o a «P», o a «Q», que deben coincidir, lo que sirve de comprobación). El mismo esquema —reducir a potencia y media geométrica— se adapta a las demás tangencias por potencia, como las circunferencias tangentes a otra circunferencia que pasan por puntos dados.

\overline{MT}^2 = \overline{MP}\cdot\overline{MQ}

Potencia de M (secante = tangente)

El punto M, intersección de la cuerda PQ con la recta r, tiene la misma potencia medida por la secante MP por MQ y por la tangente MT al cuadrado.

\overline{MT} = \sqrt{\,\overline{MP}\cdot\overline{MQ}\,}

Media geométrica

La distancia del punto auxiliar M al punto de tangencia T es la media geométrica (media proporcional) de MP y MQ; se construye gráficamente y se lleva a ambos lados de M sobre r.

Ejemplo resuelto

Cálculo del punto de tangencia por potencia

En el problema de las circunferencias que pasan por «P» y «Q» y son tangentes a una recta «r», la prolongación de «PQ» corta a «r» en «M». Medidos sobre la cuerda, resulta «MP» = 16 mm y «MQ» = 36 mm. Calcula la distancia «MT» a la que están los puntos de tangencia sobre «r».

Plantear la igualdad de potencias
La potencia de «M» respecto a la circunferencia solución vale lo mismo medida por la secante o por la tangente: MT² = MP·MQ.
Sustituir los datos
Con MP = 16 mm y MQ = 36 mm: MT² = 16 · 36 = 576 mm².
Extraer la raíz y duplicar la solución
MT = √576 = 24 mm. Se lleva esta longitud a ambos lados de «M» sobre «r», obteniendo T₁ y T₂, esto es, dos circunferencias solución.

Resultado: Los puntos de tangencia están a 24 mm de «M» sobre la recta «r», uno a cada lado; existen, por tanto, dos circunferencias solución.

Errores frecuentes

Dar una sola solución cuando hay dos: olvidar llevar la media geométrica «MT» a ambos lados de «M» sobre la recta «r».
Buscar el centro solo con la perpendicular por «T» sin cruzarla con la mediatriz de «PQ», o usar «MP+MQ» en vez de «MP·MQ» para la longitud de la tangente.

Repaso activo

Se dan dos puntos «P» y «Q» y una recta «r» que no pasa por ninguno de ellos. Traza las circunferencias que pasan por «P» y «Q» y son tangentes a «r». Indica el punto auxiliar «M», la construcción de la media geométrica y las dos soluciones con sus puntos de tangencia.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Resolución de tangencias por inversión#

ProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque 1 (Geometría métrica) · B.1.2 Construcciones geométricas · Tangencias mediante inversión

Transformación de figuras por inversión

La inversión es una transformación geométrica que asocia a cada punto «P» (distinto del centro) otro punto «P'» situado en la misma semirrecta desde el centro «O», de modo que el producto de sus distancias al centro es constante: «OP·OP' = k», donde «k» es la potencia o razón de inversión y «O» el centro de inversión (Fig. 8). Si «k > 0», punto e imagen están del mismo lado de «O»; los puntos a distancia «√k» quedan fijos y forman la circunferencia de autoinversión (de radio «√k»). La inversión es involutiva: aplicada dos veces devuelve cada punto a su origen, lo que permite ir y volver entre la figura original y su transformada.

Inversión de un punto: OP · OP' = k y circunferencia de autoinversión

Lo que hace tan útil a la inversión en tangencias es cómo transforma rectas y circunferencias. Una recta que pasa por el centro de inversión se transforma en sí misma; una recta que no pasa por «O» se transforma en una circunferencia que sí pasa por «O», y recíprocamente; y una circunferencia que no pasa por «O» se transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por «O». La propiedad decisiva es que la inversión conserva las tangencias: si dos figuras son tangentes, sus inversas también lo son. Por eso un problema de tangencia complicado puede convertirse, eligiendo bien el centro de inversión, en otro mucho más sencillo —a menudo con rectas en lugar de circunferencias—.

La estrategia general es elegir como centro de inversión un punto notable del problema —típicamente un punto de tangencia común o un punto por el que deban pasar las soluciones— de manera que las circunferencias o rectas que pasan por él se conviertan en rectas (más fáciles de manejar). Se transforman los datos, se resuelve el problema simplificado (ahora una tangencia a rectas, casi inmediata), y finalmente se aplica de nuevo la inversión a la solución obtenida para devolverla a la figura original. Es el mismo principio que en muchos problemas de Apolonio: reducir el número de circunferencias mediante una transformación que preserva las tangencias.

Para operar con la inversión se necesita construir la imagen de un punto: dada la razón «k», el inverso «P'» de «P» cumple «OP' = k / OP», lo que se obtiene gráficamente como un cuarto proporcional o, cuando «P» es exterior a la circunferencia de autoinversión, mediante la tangente y el pie de la perpendicular (relación de potencia). Conviene recordar que dos puntos inversos «P» y «P'» tienen la misma potencia que cualquier punto de la circunferencia de autoinversión, lo que enlaza directamente este apartado con la potencia: la inversión es, de hecho, la potencia «puesta en movimiento» como transformación, y ambas herramientas se complementan en la resolución racional de las tangencias.

\overline{OP}\cdot\overline{OP'} = k

Definición de inversión

El inverso P' está en la semirrecta OP y cumple que el producto de distancias al centro es la razón de inversión k.

\overline{OP'} = \dfrac{k}{\overline{OP}}

Distancia del inverso

Despejando, la distancia del inverso al centro es la razón k dividida entre la distancia del punto original; se construye como un cuarto proporcional.

r_{\text{auto}} = \sqrt{k}

Radio de la circunferencia de autoinversión

Los puntos dobles (que coinciden con su inverso) están a distancia raíz de k del centro y forman la circunferencia de autoinversión, de radio raíz de k (cuando k es positiva).

Ejemplo resuelto

Inverso de dos puntos respecto a una inversión dada

Se establece una inversión de centro «O» y razón «k» = 1600 mm² (positiva). Halla el inverso de un punto «P» a «OP» = 25 mm de «O» y el de un punto «Q» a «OQ» = 80 mm de «O». Indica la posición de cada inverso respecto a la circunferencia de autoinversión.

Radio de autoinversión
La circunferencia de autoinversión tiene radio √k = √1600 = 40 mm. Los puntos a 40 mm de «O» son dobles.
Inverso de P
OP' = k / OP = 1600 / 25 = 64 mm, en la misma semirrecta que «P». Como «P» (25 mm) está dentro de la autoinversión, su inverso (64 mm) queda fuera.
Inverso de Q
OQ' = k / OQ = 1600 / 80 = 20 mm, en la misma semirrecta que «Q». «Q» (80 mm) está fuera de la autoinversión y su inverso (20 mm) queda dentro: la inversión intercambia interior y exterior.

Resultado: P' está a 64 mm de «O» (fuera de la autoinversión) y Q' a 20 mm (dentro); cada inverso queda en la misma semirrecta que su punto, y la inversión intercambia el interior y el exterior de la circunferencia de radio 40 mm.

Errores frecuentes

Situar el inverso «P'» fuera de la semirrecta «OP» o calcularlo como «k − OP» en vez de «k / OP», olvidando que la relación es un producto constante.
Creer que toda circunferencia se transforma en recta: solo se convierten en recta las circunferencias (o rectas) que pasan por el centro de inversión; las que no pasan por «O» dan otra circunferencia.

Repaso activo

Define una inversión de centro «O» y razón «k» = 1600 mm² (circunferencia de autoinversión de radio 40 mm). Halla el inverso de un punto «P» situado a 25 mm de «O» y el de un punto «Q» a 80 mm de «O». Indica de qué lado de «O» queda cada inverso y comprueba que «Q» queda dentro de la circunferencia de autoinversión y su inverso fuera, o viceversa.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Tangencias y potencia

5 secciones~26 min de lectura3 competenciasNivel Básico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 07/2026

Tangencias y potencia

Puntos clave

Radio del arco capaz

Puntos clave

Potencia, tangente y secante

Puntos clave

Eje radical de dos circunferencias por coordenadas

Puntos clave

Cálculo del punto de tangencia por potencia

Puntos clave

Inverso de dos puntos respecto a una inversión dada

Fuentes

Tangencias y potencia

Puntos clave

Radio del arco capaz

Puntos clave

Potencia, tangente y secante

Puntos clave

Eje radical de dos circunferencias por coordenadas

Puntos clave

Cálculo del punto de tangencia por potencia

Puntos clave

Inverso de dos puntos respecto a una inversión dada

Fuentes