Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Keuzeonderwerpen (SE)

Keuzeonderwerpen zijn verdiepings- of verbredingsonderwerpen die de school kiest en die uitsluitend in het schoolexamen (SE) getoetst worden — ze horen NIET tot de centraal-examenstof van wiskunde B. Welke onderwerpen aan bod komen, verschilt per school en staat in het PTA. Dit hoofdstuk legt uit hoe keuzeonderwerpen in het examen passen en behandelt ter illustratie twee klassieke voorbeelden — complexe getallen en kegelsneden — nadrukkelijk als verdieping buiten het centraal examen.

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·161616 / 16

Examenprofiel

Verdieping — buiten het centraal examen: keuzeonderwerpen worden alleen in het schoolexamen (SE) getoetstBegrijpen hoe keuzeonderwerpen in het examenprogramma en het PTA passenVoorbeeld ter illustratie: basisbegrippen van complexe getallenVoorbeeld ter illustratie: kegelsneden (ellips, parabool, hyperbool)

Operatoren:leg uitbeschrijfberekenbepaalgeef

basisniveau

Keuzeonderwerpen behoren tot het schoolexamen en niet tot het centraal examen; de precieze inhoud staat per school in het PTA.

verhoogd niveau

De hier getoonde voorbeelden (complexe getallen, kegelsneden) zijn verdieping buiten het CE; welke keuzeonderwerpen jouw school toetst, kan hiervan afwijken.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Keuzeonderwerpen (SE)

Keuzeonderwerpen: plaats in het schoolexamen#

Basisexamenblad-wiskunde-b-domein-G

Het examenprogramma wiskunde B is verdeeld in domeinen die grotendeels centraal geëxamineerd worden (de domeinen A tot en met E, die je in de vorige onderwerpen hebt gezien), plus een ruimte voor keuzeonderwerpen die alleen in het schoolexamen aan bod komen. Belangrijk om te weten: de keuzeonderwerpen behoren NIET tot de centraal-examenstof. Ze zijn bedoeld als verdieping of verbreding en de school bepaalt binnen de kaders van het programma welke onderwerpen worden aangeboden en getoetst. Dit hoofdstuk is daarom van andere aard dan de voorgaande: het gaat over stof die per school verschilt en die je niet op het centraal examen tegenkomt.

Omdat de school de keuzeonderwerpen vaststelt, staat in het Programma van Toetsing en Afsluiting (PTA) van jouw school precies welke onderwerpen tot het schoolexamen behoren en hoe ze worden getoetst. Dat kan een verdiepend wiskundig onderwerp zijn (zoals complexe getallen, kegelsneden, differentiaalvergelijkingen of bewijstechnieken), een toepassing (zoals wiskunde in de natuurwetenschappen of de economie), of een onderzoeksopdracht. Raadpleeg daarom altijd het PTA van je eigen school om te weten wat voor jou de keuzeonderwerpen zijn; algemene revisienotities kunnen die schoolspecifieke keuze niet vervangen.

Het eindcijfer voor wiskunde B is het gemiddelde van het cijfer voor het centraal examen (CE) en het cijfer voor het schoolexamen (SE), die elk ongeveer even zwaar meetellen. De keuzeonderwerpen dragen dus via het SE-cijfer bij aan je eindcijfer, ook al zitten ze niet in het CE. Ze zijn daarmee geen vrijblijvende extra's maar echte examenstof — alleen op een andere plek getoetst dan de centrale domeinen. Neem ze daarom serieus; ze kunnen een merkbaar deel van je SE-cijfer bepalen.

In dit hoofdstuk behandelen we ter illustratie twee klassieke keuzeonderwerpen — complexe getallen en kegelsneden — nadrukkelijk als voorbeeld van wat verdieping buiten het CE kan zijn. Ze zijn hier opgenomen om te laten zien hoe zulke onderwerpen aansluiten op de rest van wiskunde B (complexe getallen bouwen voort op vectoren en goniometrie; kegelsneden op de analytische meetkunde), en niet omdat ze noodzakelijk op jouw school worden getoetst. Beschouw ze als een kennismaking, en gebruik het PTA en je docent als leidraad voor de keuzeonderwerpen die voor jou gelden.

De eerlijkheid over de status van deze stof is belangrijk: alles in dit hoofdstuk is schoolexamenverdieping, geen centraal-examenstof. Waar de voorgaande onderwerpen de vaste, landelijk vastgelegde eindtermen van het CE dekten, biedt dit hoofdstuk een venster op de vrijere, schoolgebonden keuzeonderwerpen. Laat je bij het leren voor het CE dus niet afleiden door de precieze inhoud van deze voorbeelden, maar gebruik ze als verrijking en als illustratie van hoe de wiskunde B verder reikt dan de centrale stof. Voor het SE volg je de concrete afspraken van je eigen school.

\text{eindcijfer}=\tfrac{1}{2}\bigl(\text{CE-cijfer}+\text{SE-cijfer}\bigr)

Weging van CE en SE

Het CE en het SE tellen ongeveer even zwaar; de keuzeonderwerpen dragen via het SE-cijfer bij.

Veelgemaakte fouten

Denken dat keuzeonderwerpen tot de centraal-examenstof horen; dat is niet zo — ze zitten alleen in het SE.
Aannemen dat elke school dezelfde keuzeonderwerpen toetst; de keuze verschilt per school en staat in het PTA.
De keuzeonderwerpen als vrijblijvend beschouwen; via het SE-cijfer tellen ze mee in het eindcijfer.
Algemene revisienotities gebruiken in plaats van de schoolspecifieke afspraken uit het PTA.

Actieve herhaling

Zoek in het PTA van je school op welke keuzeonderwerpen bij wiskunde B tot je schoolexamen behoren en hoe ze worden getoetst. Vergelijk ze met de centrale domeinen A tot en met E.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Voorbeeld: complexe getallen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-G

Complexe getallen zijn een klassiek keuzeonderwerp (verdieping buiten het CE) dat de reële getallen uitbreidt. De uitbreiding lost een oud probleem op: de vergelijking

x^{2}=-1

heeft geen reële oplossing, want een kwadraat is nooit negatief. Men voert daarom de imaginaire eenheid

i

in met de eigenschap

i^{2}=-1

. Een complex getal heeft dan de vorm

z=a+bi

, met

a

het reële deel en

b

het imaginaire deel (beide reëel). In Afb. 1 staat het complexe getal

z=3+2i

als het punt

(3,2)

in het complexe vlak, waarin de horizontale as de reële en de verticale as de imaginaire as is.

Het complexe getal z = 3 + 2i in het complexe vlak

Afb. 1Afb. 1 — z = 3 + 2i als punt (3; 2) in het complexe vlak. Modulus |z| = √13, argument arg(z) = arctan(⅔) ≈ 33,7°.

Het complexe vlak (Argand-diagram) laat complexe getallen zien als punten of vectoren:

z=a+bi

hoort bij het punt

(a,b)

. Deze meetkundige voorstelling verbindt complexe getallen met de vectoren uit domein E. De modulus (absolute waarde)

|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

is de afstand van

z

tot de oorsprong — precies de lengte van de bijbehorende vector. Voor

z=3+2i

|z|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

. Het argument

\arg(z)

is de hoek die de vector met de positieve reële as maakt, hier

\arg(z)=\arctan\tfrac{2}{3}\approx 33{,}7^{\circ}

. Modulus en argument samen leggen

z

vast, net als lengte en richting een vector.

Rekenen met complexe getallen gaat als met gewone getallen, met de extra regel

i^{2}=-1

. Optellen doe je per deel:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

, precies als bij vectoren. Vermenigvuldigen doe je met de haakjesregel, waarna je

i^{2}

door

-1

vervangt:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i

. Zo is

(2+i)(1+3i)=2+6i+i+3i^{2}=2+7i-3=-1+7i

. De geconjugeerde

\bar{z}=a-bi

(het spiegelbeeld in de reële as) gebruik je om te delen: je vermenigvuldigt teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer om die reëel te maken.

De verbinding met de goniometrie is bijzonder mooi: elk complex getal kun je in de vorm

z=|z|\bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr)

schrijven, met

\varphi=\arg(z)

(de poolvorm). Bij vermenigvuldigen van twee complexe getallen vermenigvuldig je dan de moduli en tel je de argumenten op — een draaiing én schaling in het complexe vlak. Dit leidt tot de stelling van De Moivre

\bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)

, waarmee je machten en wortels van complexe getallen berekent. Zo brengen complexe getallen de goniometrie (domein D) en de vectoren (domein E) op een verrassende manier samen.

Complexe getallen zijn een verdieping die laat zien hoe wiskundige begrippen zich uitbreiden en samenkomen — maar nogmaals: dit is schoolexamenstof buiten het centraal examen, en of je het leert hangt van je school af. De hier getoonde basisbewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, geconjugeerde, modulus, argument, poolvorm) zijn de gebruikelijke inhoud van dit keuzeonderwerp. Ze bouwen voort op wat je al kent: het complexe vlak is een coördinatenvlak, de modulus is een vectorlengte, en de poolvorm gebruikt sinus en cosinus. Beschouw dit als een kennismaking met een rijker getalsysteem, en raadpleeg je docent voor de precieze eisen die je school stelt.

i^{2}=-1,\qquad z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Complex getal en modulus

De imaginaire eenheid $i$ voldoet aan $i^{2}=-1$ ; de modulus is de afstand tot de oorsprong in het complexe vlak.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Vermenigvuldigen

Werk de haakjes uit en vervang $i^{2}$ door $-1$ .

z=|z|\bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr),\qquad \varphi=\arg(z)

Poolvorm

Modulus maal een goniometrische richtingsfactor; bij vermenigvuldigen tel je de argumenten op (De Moivre).

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met complexe getallen

Gegeven $z=2+i$ en $w=1+3i$ . Bereken $z\cdot w$ en $|z|$ , en geef de geconjugeerde $\bar{z}$ .

Vermenigvuldigen
Werk de haakjes uit en gebruik $i^{2}=-1$ .
$z\cdot w=(2+i)(1+3i)=2+6i+i+3i^{2}=2+7i-3=-1+7i$
Modulus
Gebruik $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ met $a=2$ , $b=1$ .
$|z|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
Geconjugeerde
Keer het teken van het imaginaire deel om.
$\bar{z}=2-i$

Resultaat: $z\cdot w=-1+7i$ , $|z|=\sqrt{5}$ en $\bar{z}=2-i$ .

Veelgemaakte fouten

$i^{2}$ als $1$ of $i$ behandelen in plaats van $-1$ .
De modulus verwarren met het reële deel; de modulus is $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .
Bij het delen vergeten met de geconjugeerde van de noemer te vermenigvuldigen.
Vergeten dat dit schoolexamenstof is en het als centraal-examenstof leren.

Actieve herhaling

Gegeven $z=1+2i$ en $w=3-i$ . Bereken $z+w$ , $z\cdot w$ en $|w|$ , en geef $\bar{w}$ . Plaats $z$ en $w$ in het complexe vlak. (Alleen relevant als complexe getallen tot jouw schoolexamen behoren.)

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Voorbeeld: kegelsneden#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-G

De ellips x²/9 + y²/4 = 1

Afb. 2Afb. 1 — De ellips x²/9 + y²/4 = 1 met halve assen a = 3 en b = 2; toppen op (±3; 0) en (0; ±2). Bij a = b zou het een cirkel zijn.

Kegelsneden zijn een tweede klassiek keuzeonderwerp (verdieping buiten het CE) dat voortbouwt op de analytische meetkunde. Ze ontstaan als doorsneden van een kegel met een vlak: afhankelijk van de hoek krijg je een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Analytisch beschrijf je ze met tweedegraadsvergelijkingen in

x

y

. De cirkel ken je al (

x^{2}+y^{2}=r^{2}

); de andere drie zijn de natuurlijke uitbreidingen. In Afb. 1 staat een ellips met vergelijking

\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1

, een „uitgerekte cirkel” met halve assen

3

(horizontaal) en

2

(verticaal).

De ellips

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

is de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten (de brandpunten) constant is. De getallen

a

b

zijn de halve assen: de ellips snijdt de

x

-as bij

\pm a

en de

y

-as bij

\pm b

. Voor

\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1

a=3

b=2

, dus de toppen liggen op

(\pm 3,0)

(0,\pm 2)

. Als

a=b

wordt de ellips een cirkel — de cirkel is dus een bijzonder geval van de ellips. Deze definitie via brandpunten (twee afstanden met constante som) sluit aan op de meetkundige plaatsen uit domein E.

De parabool

y=ax^{2}

(of algemener een tweedegraadskromme) ken je al als grafiek van een kwadratische functie; als kegelsnede is het de verzameling punten op gelijke afstand van een vast punt (brandpunt) en een vaste lijn (richtlijn). De hyperbool

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

(let op het minteken) heeft twee takken en twee schuine asymptoten; het is de verzameling punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee brandpunten constant is. Elk van deze kegelsneden heeft dus een meetkundige brandpuntsdefinitie én een algebraïsche vergelijking, precies zoals de meetkundige plaatsen uit domein E.

Met kegelsneden reken je op dezelfde manier als met cirkels en lijnen in de analytische meetkunde: je bepaalt snijpunten door te substitueren, je onderzoekt raaklijnen, en je leest kenmerken (toppen, assen, asymptoten) uit de vergelijking af. De ellipsvergelijking

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

ontstaat bovendien door een cirkel te „vermenigvuldigen” (rekken) in één richting — een transformatie uit domein B. Zo verbinden kegelsneden meerdere onderdelen van wiskunde B: de analytische meetkunde (vergelijkingen, snijpunten), de transformaties (rekken) en de meetkundige plaatsen (brandpuntsdefinities).

Ook kegelsneden zijn schoolexamenverdieping buiten het centraal examen, en of je ze behandelt hangt van je school af. De hier getoonde inhoud — de vergelijkingen en kenmerken van de ellips, parabool en hyperbool — is een gebruikelijke invulling van dit keuzeonderwerp. Ze illustreren hoe de analytische meetkunde zich uitbreidt van cirkels en lijnen naar een rijkere familie van krommen, elk met een elegante brandpuntsdefinitie. Beschouw dit, net als de complexe getallen, als een venster op verdere wiskunde, en volg voor de precieze eisen het PTA en de aanwijzingen van je docent.

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (\text{ellips}),\qquad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (\text{hyperbool})

Ellips en hyperbool

De ellips heeft een plus (gesloten kromme), de hyperbool een min (twee takken met asymptoten).

\text{ellips: som van afstanden tot twee brandpunten constant}

Brandpuntsdefinitie

Elke kegelsnede heeft een meetkundige brandpuntsdefinitie, zoals de meetkundige plaatsen in domein E.

Uitgewerkt voorbeeld

Kenmerken van een ellips aflezen

Gegeven de ellips $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$ . Bepaal de halve assen en de toppen, en bereken de snijpunten met de lijn $y=x$ .

Halve assen en toppen
Uit $a^{2}=25$ en $b^{2}=16$ volgen $a=5$ en $b=4$ .
$\text{toppen: } (\pm 5;\,0)\ \text{en}\ (0;\,\pm 4)$
Substitueren
Vul $y=x$ in de ellipsvergelijking in.
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1\;\Rightarrow\; x^{2}\Bigl(\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{16}\Bigr)=1$
Oplossen
Bereken $\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{16+25}{400}=\tfrac{41}{400}$ , dus $x^{2}=\tfrac{400}{41}$ .
$x=\pm\sqrt{\tfrac{400}{41}}=\pm\frac{20}{\sqrt{41}}\approx\pm 3{,}12$

Resultaat: Halve assen $a=5$ , $b=4$ ; toppen $(\pm 5;0)$ en $(0;\pm 4)$ ; snijpunten met $y=x$ bij $x=\pm\tfrac{20}{\sqrt{41}}\approx\pm 3{,}12$ (dus $\bigl(\pm 3{,}12;\,\pm 3{,}12\bigr)$ ).

Veelgemaakte fouten

De ellips ( $+$ ) en de hyperbool ( $-$ ) verwarren aan de hand van het teken in de vergelijking.
De halve assen verwarren met $a^{2}$ en $b^{2}$ (bij $\tfrac{x^{2}}{9}$ is de halve as $3$ , niet $9$ ).
Vergeten dat de cirkel het bijzondere geval $a=b$ van de ellips is.
Deze verdiepingsstof als centraal-examenstof leren; kegelsneden horen tot het schoolexamen.

Actieve herhaling

Gegeven de ellips $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ . Bepaal de halve assen en de toppen, en bereken de snijpunten met de $x$ -as en met de lijn $x=2$ . (Alleen relevant als kegelsneden tot jouw schoolexamen behoren.)

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Toetsing en aanpak van keuzeonderwerpen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-G

Keuzeonderwerpen worden in het schoolexamen op verschillende manieren getoetst, afhankelijk van de school en het onderwerp. Vaak is dat een schriftelijke toets met opgaven die lijken op de reguliere wiskunde-B-opgaven, maar soms ook een praktische opdracht, een onderzoek, een presentatie of een werkstuk. Het PTA beschrijft per keuzeonderwerp de toetsvorm, de weging binnen het SE en de leerstof. Weten hóé een keuzeonderwerp getoetst wordt, is net zo belangrijk als de inhoud beheersen: bij een onderzoeksopdracht tellen bijvoorbeeld ook de aanpak en de verslaglegging mee, niet alleen de wiskunde.

Omdat keuzeonderwerpen vaak verdieping of verbreding zijn, bouwen ze bijna altijd voort op de centrale domeinen. Complexe getallen leunen op vectoren en goniometrie; kegelsneden op de analytische meetkunde; differentiaalvergelijkingen (een ander mogelijk keuzeonderwerp) op de differentiaal- en integraalrekening. Een goede aanpak is daarom om eerst de onderliggende centrale stof stevig te beheersen; de verdieping wordt dan een logische uitbreiding in plaats van iets volledig nieuws. Zo profiteer je bij de keuzeonderwerpen van het werk dat je voor het CE al hebt gedaan.

Bij het leren van een keuzeonderwerp gelden dezelfde wiskundige vaardigheden als overal in wiskunde B (domein A): exact en algebraïsch werken, redeneren en bewijzen, en resultaten in de context interpreteren. Een keuzeonderwerp is geen aparte wereld met eigen regels, maar een nieuwe toepassing van dezelfde wiskunde. Ook hier reken je exact, controleer je je uitkomsten, en licht je je redenering helder toe. De algemene vaardigheden die je door het hele vak hebt geoefend, betalen zich dus ook bij de keuzeonderwerpen uit.

Een praktische studietip is om vroeg te weten welke keuzeonderwerpen jouw school toetst, zodat je er tijdig aandacht aan besteedt en niet in de knel komt vlak voor het schoolexamen. Vraag je docent naar goed oefenmateriaal dat specifiek bij het gekozen onderwerp past — algemene bronnen dekken de schoolspecifieke invulling zelden precies. En oefen, net als bij de centrale stof, met echte opgaven of opdrachten in de toetsvorm die je school gebruikt; dat maakt het verschil tussen de stof „begrijpen” en haar op een toets kunnen toepassen.

Tot slot, in het licht van eerlijkheid over de examenstof: de keuzeonderwerpen zijn een waardevol maar schoolgebonden onderdeel van wiskunde B, uitsluitend getoetst in het schoolexamen. Dit hoofdstuk gaf een algemeen kader en twee illustratieve voorbeelden, maar kan de concrete afspraken van je eigen school niet vervangen. Gebruik het PTA, je docent en schoolspecifiek materiaal als leidraad voor wat er precies van je verwacht wordt. Zo geef je de keuzeonderwerpen — die via het SE-cijfer meetellen in je eindcijfer — de aandacht die ze verdienen, zonder ze te verwarren met de centraal-examenstof van de domeinen A tot en met E.

\text{keuzeonderwerpen} \subset \text{schoolexamen (SE)},\qquad \text{keuzeonderwerpen} \not\subset \text{centraal examen (CE)}

Plaats van de keuzeonderwerpen

Keuzeonderwerpen horen bij het SE en niet bij het CE; hun inhoud staat per school in het PTA.

Veelgemaakte fouten

De toetsvorm van een keuzeonderwerp negeren (bij een onderzoeksopdracht tellen aanpak en verslag ook mee).
Een keuzeonderwerp als losstaand van de rest leren in plaats van als verdieping van de centrale stof.
Te laat beginnen met de keuzeonderwerpen, waardoor er vlak voor het SE tijdgebrek ontstaat.
Algemene revisiebronnen gebruiken in plaats van materiaal dat bij de schoolspecifieke keuze past.

Actieve herhaling

Maak een plan van aanpak voor de keuzeonderwerpen van jouw school: noteer per onderwerp de toetsvorm, de weging en de onderliggende centrale stof, en plan wanneer je eraan werkt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Keuzeonderwerpen (SE)

Kernpunten

Kernpunten

Rekenen met complexe getallen

Kernpunten

Kenmerken van een ellips aflezen

Kernpunten

Bronnen

Keuzeonderwerpen (SE)

Kernpunten

Kernpunten

Rekenen met complexe getallen

Kernpunten

Kenmerken van een ellips aflezen

Kernpunten

Bronnen