Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Bereken de gravitatiekracht tussen twee massa's van elk $1{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{kg}$ die op $2{,}0\ \text{m}$ afstand staan. Gebruik $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

1. 01Stap 1 — Noteer de gegevens in SI-eenheden

   Schrijf de twee massa's, de afstand en de gravitatieconstante op.

   $$m_1 = m_2 = 1{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{kg}, \quad r = 2{,}0\ \text{m}, \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$$
2. 02Stap 2 — Vul in de formule in

   Zet de waarden in F = G·m₁·m₂/r²; let op het kwadraat in de noemer.

   $$F = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}0 \cdot 10^{3})^2}{(2{,}0)^2}$$
3. 03Stap 3 — Reken uit en rond af

   Werk teller en noemer uit: (1,0·10³)² = 1,0·10⁶ en (2,0)² = 4,0.

   $$F = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{6}}{4{,}0} \approx 1{,}7 \cdot 10^{-5}\ \text{N}$$

Resultaat: Resultaat: de gravitatiekracht is ongeveer $1{,}7 \cdot 10^{-5}\ \text{N}$ — een minuscule kracht, ondanks de massa's van 1000 kg elk. Dat laat zien hoe zwak gravitatie is: pas bij massa's zo groot als planeten wordt de kracht merkbaar.

Een satelliet beweegt in een eenparige cirkelbaan om de aarde (massa $M$). (a) Leg uit dat de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht levert. (b) Beredeneer dat een satelliet in een viermaal zo grote baan de helft van de baansnelheid heeft.

1. 01Stap 1 — (a) Welke kracht wijst naar het middelpunt?

   De aarde trekt de satelliet langs de verbindingslijn naar zich toe. Die gravitatiekracht wijst precies naar het middelpunt van de baan en is dus de middelpuntzoekende kracht; er is geen andere kracht nodig.

   $$F_{\text{grav}} = F_{\text{mpz}}$$
2. 02Stap 2 — (b) Stel de krachten aan elkaar gelijk

   Vul de twee formules in en vereenvoudig; de satellietmassa m en één r vallen weg.

   $$\dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \dfrac{m \cdot v^2}{r} \ \Rightarrow\ v^2 = \dfrac{G \cdot M}{r}$$
3. 03Stap 3 — Lees het verband af

   Uit v = √(G·M/r) volgt v ~ 1/√r. Bij r → 4r wordt v dus √4 = 2 keer zo klein, wat klopt met de grafiekpunten (1; 8) en (4; 4).

   $$r \to 4r \ \Rightarrow\ v \to \dfrac{v}{\sqrt{4}} = \dfrac{v}{2}$$

Resultaat: Resultaat: de gravitatie is de middelpuntzoekende kracht, en omdat $v = \sqrt{G \cdot M / r}$ geldt $v \sim 1/\sqrt{r}$. Een viermaal zo grote baan geeft dus een half zo grote baansnelheid — precies wat de grafiek laat zien.

(a) Bereken hoe ver één lichtjaar in meter is. (b) Bereken hoe lang zonlicht erover doet om de aarde te bereiken; de zon staat op $1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. Gebruik $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. 01Stap 1 — (a) Reken één jaar om naar seconden

   Een jaar telt 365 dagen van 24 uur van 3600 seconden.

   $$t = 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 3{,}15 \cdot 10^{7}\ \text{s}$$
2. 02Stap 2 — Bereken de afstand met s = c·t

   Vermenigvuldig de lichtsnelheid met die tijd.

   $$s = 3{,}00 \cdot 10^{8} \cdot 3{,}15 \cdot 10^{7} \approx 9{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{m}$$
3. 03Stap 3 — (b) Bereken de looptijd van zonlicht

   Nu is de afstand gegeven en zoek je de tijd: draai de formule om naar t = s/c.

   $$t = \dfrac{s}{c} = \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3{,}00 \cdot 10^{8}} = 5{,}0 \cdot 10^{2}\ \text{s} \approx 8{,}3\ \text{min}$$

Resultaat: Resultaat: één lichtjaar is ongeveer $9{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{m}$, en zonlicht doet er $5{,}0 \cdot 10^{2}\ \text{s}$ (ruim 8 minuten) over om de aarde te bereiken. Je ziet de zon dus altijd zoals ze 8,3 minuten geleden was.

Een spectraallijn heeft een rustgolflengte van $656\ \text{nm}$, maar wordt bij een ver sterrenstelsel waargenomen bij $672\ \text{nm}$. Bereken de roodverschuiving $z$ en leg uit wat je hieruit over de beweging van het stelsel besluit.

1. 01Stap 1 — Bepaal de verschuiving Δλ

   Trek de rustgolflengte af van de waargenomen golflengte.

   $$\Delta \lambda = \lambda_{\text{waar}} - \lambda_{\text{rust}} = 672 - 656 = 16\ \text{nm}$$
2. 02Stap 2 — Deel door de rustgolflengte

   De roodverschuiving is de relatieve verschuiving; deel door de rústgolflengte, niet door de waargenomen.

   $$z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{\text{rust}}} = \dfrac{16}{656} \approx 0{,}024$$
3. 03Stap 3 — Interpreteer het resultaat

   De golflengte is toegenomen (verschoven naar rood), wat hoort bij een bron die zich van ons verwijdert.

   $$\lambda_{\text{waar}} > \lambda_{\text{rust}} \ \Rightarrow\ \text{stelsel beweegt van ons af}$$

Resultaat: Resultaat: de roodverschuiving is $z \approx 0{,}024$. Omdat de waargenomen golflengte groter is dan de rustgolflengte, is de lijn naar het rode uiteinde verschoven en beweegt het sterrenstelsel zich van ons af — precies wat je bij een uitdijend heelal verwacht.