Apuntes · Matemáticas Aplicadas a las CCSS IIES · Selectividad

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Este tema cierra el «sentido estocástico» del curso enseñando a calcular probabilidades cuando la información llega por etapas: experimentos compuestos representados con diagramas de árbol, sucesos cuya probabilidad cambia al saber que otro ha ocurrido (probabilidad condicionada), la independencia, y la pareja de resultados que vertebra todo el bloque, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Aprenderás a organizar la información en tablas de contingencia y árboles, a calcular probabilidades «a priori» y «a posteriori» y a interpretarlas en contextos sociales (diagnósticos, encuestas, control de calidad). Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU, donde el problema de Bayes —«probabilidad de la causa»— es prácticamente fijo.

5seccionesca. 28min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0888 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: traducir un enunciado real a un árbol o tabla de contingencia y calcular la probabilidad pedida.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar que las probabilidades obtenidas son coherentes (entre 0 y 1, que las ramas de cada nudo suman 1) e interpretarlas en el contexto.CE5 · Reconocer y emplear conexiones entre los distintos elementos matemáticos, relacionando el recuento y la regla de Laplace, la probabilidad condicionada y la estadística de tablas de doble entrada.

Operadores:calculamodelizatraducerepresentaorganizainterpretarazonajustificarelacionadistinguecomprueba

nivel básico

En las materias comunes la probabilidad se trabaja a nivel de regla de Laplace y casos sencillos; aquí basta dominar como repaso el cálculo de probabilidades de sucesos simples y la idea de unión, intersección y suceso contrario.

nivel avanzado

Como materia de modalidad (Matemáticas Aplicadas a las CCSS II) debes resolver íntegramente experimentos compuestos con árboles y tablas, manejar con soltura la probabilidad condicionada y la independencia, y aplicar correctamente el teorema de la probabilidad total y el de Bayes, interpretando las probabilidades a posteriori en su contexto.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Experimentos compuestos: recuento, regla de Laplace y diagramas de árbol#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — cálculo de probabilidades en experimentos simples y compuestos: regla de Laplace, técnicas de recuento y diagramas de árbol

La probabilidad mide la verosimilitud de un suceso dentro de un experimento aleatorio, aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza pero cuyo conjunto de resultados posibles —el «espacio muestral» E— sí conocemos. Un «suceso» es cualquier subconjunto de E. Cuando todos los resultados elementales son equiprobables se aplica la regla de Laplace: la probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables a A y el número de casos posibles. De este punto de partida (repaso de 1.º) arranca todo el tema, que se ocupa de lo que ocurre cuando un experimento se realiza en varias etapas.

Un «experimento compuesto» es el que se obtiene al encadenar dos o más experimentos simples: lanzar una moneda y luego un dado, extraer dos cartas sucesivas de una baraja, elegir una urna y después una bola de ella. Para contar los resultados de un experimento compuesto se usan las técnicas de recuento básicas, en particular el principio de multiplicación: si la primera etapa puede dar lugar a m resultados y la segunda a n, el experimento compuesto tiene m·n resultados. Distinguir si una extracción es «con reemplazamiento» (se devuelve lo extraído) o «sin reemplazamiento» (no se devuelve) es decisivo, porque cambia las probabilidades de la segunda etapa.

El instrumento estrella para organizar un experimento compuesto es el «diagrama de árbol» (Fig. 1). Cada etapa del experimento se representa con un nivel de ramas que parten de un nudo; sobre cada rama se escribe la probabilidad de ese resultado, y un «camino» del árbol —una sucesión de ramas desde la raíz hasta una hoja— describe un resultado compuesto completo. El árbol obliga a no olvidar ninguna posibilidad y a colocar cada dato en su sitio.

Diagrama de árbol de un experimento compuesto en dos etapas

El árbol se rige por dos reglas que conviene memorizar. La «regla del producto» (probabilidad a lo largo de un camino): la probabilidad de un resultado compuesto es el producto de las probabilidades de las ramas que recorre su camino. La «regla de la suma» (probabilidad de un suceso que se cumple por varios caminos): si un suceso puede producirse por distintos caminos del árbol, su probabilidad es la suma de las probabilidades de esos caminos. Como comprobación, las ramas que salen de un mismo nudo deben sumar siempre 1, y las probabilidades de todas las hojas también suman 1.

Conviene tener presentes las propiedades elementales que se usan sin cesar: la probabilidad de cualquier suceso está entre 0 y 1; la del suceso seguro es 1 y la del imposible 0; la del suceso contrario es P(Ā) = 1 − P(A), regla utilísima para los enunciados del tipo «al menos uno»; y la probabilidad de la unión de dos sucesos es P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), que se reduce a la suma cuando A y B son incompatibles. Estas reglas, junto con el árbol, bastan para resolver cualquier experimento compuesto del curso.

P(A) = \dfrac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}}

Regla de Laplace (resultados equiprobables)

Solo es válida cuando todos los resultados elementales del espacio muestral son igualmente probables.

P(\text{camino}) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_k

Regla del producto (a lo largo de un camino del árbol)

La probabilidad de un resultado compuesto es el producto de las probabilidades de las ramas que recorre desde la raíz hasta la hoja.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Unión y suceso contrario

La probabilidad de la unión descuenta la intersección contada dos veces; la del contrario es muy útil en los enunciados «al menos uno».

Ejemplo resuelto

Extracción de dos bolas con y sin reemplazamiento

Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Se extraen dos bolas, una tras otra. Calcula la probabilidad de que ambas sean rojas (a) si la extracción es con reemplazamiento; (b) si es sin reemplazamiento.

Primera extracción
Hay 5 bolas, 3 de ellas rojas, luego la probabilidad de roja en la primera extracción es 3/5 en ambos casos.
Segunda extracción CON reemplazamiento
Al devolver la primera bola, la urna vuelve a tener 5 bolas y 3 rojas, así que la segunda extracción es independiente de la primera.
Probabilidad del camino (con reemplazamiento)
Por la regla del producto, multiplicamos las dos ramas del camino rojo-rojo.
Segunda extracción SIN reemplazamiento
Si la primera fue roja y no se devuelve, quedan 4 bolas con 2 rojas, luego la probabilidad de roja cambia.
Probabilidad del camino (sin reemplazamiento)
De nuevo por la regla del producto, multiplicando las dos ramas del camino rojo-rojo.

Resultado: (a) Con reemplazamiento, P(ambas rojas) = 9/25 = 0,36. (b) Sin reemplazamiento, P(ambas rojas) = 3/10 = 0,30. El reemplazamiento aumenta la probabilidad porque mantiene más bolas rojas disponibles en la segunda etapa.

Errores frecuentes

Tratar una extracción «sin reemplazamiento» como si fuera «con reemplazamiento», olvidando que tras la primera extracción cambian tanto el número de casos favorables como el de casos posibles en la segunda etapa.
Sumar las probabilidades de las ramas de un mismo camino (cuando hay que multiplicarlas) o multiplicar las de caminos distintos (cuando hay que sumarlas): el producto va a lo largo de un camino y la suma entre caminos.

Repaso activo

Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen dos bolas, una tras otra y SIN reemplazamiento. Dibuja el diagrama de árbol con las probabilidades de cada rama y calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — probabilidad condicionada e independencia de sucesos; interpretación en contextos de las ciencias sociales

Probabilidad condicionada en un diagrama de Venn: condicionar a B restringe el espacio

La probabilidad condicionada responde a una pregunta natural: ¿cómo cambia la probabilidad de un suceso cuando sabemos que otro ya ha ocurrido? La «probabilidad de A condicionada a B», que se escribe P(A|B) y se lee «probabilidad de A dado B», es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B ha sucedido. Conocer información reduce el espacio muestral: ya no consideramos todo E, sino solo la parte en que B se ha cumplido, y dentro de ella miramos qué proporción corresponde también a A.

Su definición formal es el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionante: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), válida siempre que P(B) ≠ 0. La interpretación geométrica con un diagrama de Venn es transparente (Fig. 1): condicionar a B equivale a quedarse solo con el «mundo B» y preguntar qué fracción de ese mundo está también en A. Esta fórmula es la pieza central del tema y conviene saber despejarla en sus tres formas.

Despejando de la definición se obtiene la «regla del producto» o «probabilidad de la intersección», fundamental para los árboles: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A). Es exactamente lo que se hace al multiplicar las probabilidades a lo largo de un camino: la rama de la primera etapa es una probabilidad ordinaria y la de la segunda etapa es una probabilidad condicionada a lo ya ocurrido. Por eso el diagrama de árbol y la probabilidad condicionada son dos caras de la misma idea.

Dos sucesos son «independientes» cuando la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro, es decir, cuando P(A|B) = P(A) (y equivalentemente P(B|A) = P(B)). En ese caso la regla del producto se simplifica a P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Esta igualdad es la prueba operativa de independencia que se usa en los exámenes: dos sucesos son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades. La extracción con reemplazamiento da sucesos independientes; la extracción sin reemplazamiento, dependientes.

Es crucial no confundir «independientes» con «incompatibles» (o «mutuamente excluyentes»). Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, esto es, P(A ∩ B) = 0; son independientes cuando saber uno no informa del otro, P(A ∩ B) = P(A)·P(B). De hecho, dos sucesos de probabilidad no nula que sean incompatibles NUNCA son independientes: si no pueden darse juntos, saber que ha ocurrido uno descarta por completo el otro, lo que es la máxima dependencia. En contextos sociales, la independencia se interpreta como ausencia de relación entre dos características (por ejemplo, que el sexo y la preferencia por un producto no estén asociados).

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B) \neq 0

Definición de probabilidad condicionada

Probabilidad de A sabiendo que B ha ocurrido: se restringe el espacio muestral al suceso B.

P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A)

Regla del producto (probabilidad de la intersección)

Es la fórmula que justifica multiplicar las ramas de un diagrama de árbol: la segunda rama es una probabilidad condicionada.

A,\,B \text{ independientes} \iff P(A \cap B) = P(A)\,P(B) \iff P(A \mid B) = P(A)

Independencia de sucesos

Saber que ha ocurrido uno no modifica la probabilidad del otro; no debe confundirse con la incompatibilidad P(A ∩ B) = 0.

Ejemplo resuelto

Probabilidad condicionada e independencia a partir de datos

En una empresa, el 60 % de los empleados usa el transporte público (T) y el 25 % vive en el centro (C). Se sabe que el 20 % de los empleados vive en el centro Y usa el transporte público. Calcula P(T|C) y estudia si los sucesos T y C son independientes.

Datos en forma de probabilidades
P(T) = 0,60; P(C) = 0,25; P(T ∩ C) = 0,20.
Calcular P(T|C)
Aplicamos la definición de probabilidad condicionada, dividiendo la intersección entre la probabilidad del suceso condicionante.
Comparar con P(T)
P(T|C) = 0,80 es distinto de P(T) = 0,60: saber que una persona vive en el centro AUMENTA la probabilidad de que use el transporte público.
Test de independencia
Comprobamos si la intersección coincide con el producto de probabilidades.

Resultado: P(T|C) = 0,8. Como P(T ∩ C) = 0,20 ≠ 0,15 = P(T)·P(C) (equivalentemente, P(T|C) = 0,8 ≠ 0,6 = P(T)), los sucesos T y C NO son independientes: vivir en el centro está asociado a usar más el transporte público.

Errores frecuentes

Confundir P(A|B) con P(B|A): no son iguales en general (es el llamado «error de la fiscal»); el suceso que va detrás de la barra es el que se da por conocido y figura en el denominador.
Tomar como sinónimos «independientes» e «incompatibles»: incompatibles significa P(A ∩ B) = 0, mientras que independientes significa P(A ∩ B) = P(A)·P(B); con probabilidades no nulas, ambas cosas no pueden darse a la vez.

Repaso activo

En un grupo de 200 personas, 120 leen prensa digital (D), 90 leen prensa en papel (P) y 50 leen ambas. Elegida una persona al azar, calcula P(D|P) y P(P|D), e indica razonadamente si los sucesos «leer prensa digital» y «leer prensa en papel» son independientes.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Tablas de contingencia y organización de la información#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — uso de tablas de contingencia y diagramas de árbol para organizar la información de un experimento compuesto

Tabla de contingencia: casillas conjuntas, márgenes y total

Cuando un experimento cruza dos características de una población (por ejemplo, sexo y opción de bachillerato, o resultado de una prueba y estado real de un paciente), la forma más cómoda de ordenar la información es la «tabla de contingencia» o tabla de doble entrada (Fig. 1). En sus filas se colocan las categorías de una variable y en sus columnas las de la otra; cada casilla interior recoge la frecuencia (o probabilidad) de la combinación correspondiente, y los márgenes —la fila y la columna de totales— recogen las frecuencias de cada categoría por separado.

Las casillas interiores corresponden a intersecciones de sucesos: la casilla de la fila «A» y la columna «B» es el número de elementos que cumplen A y B a la vez, es decir, A ∩ B. Los totales de los márgenes son las frecuencias de los sucesos simples (todos los A, todos los B), y la casilla del gran total es el tamaño de la población. Esta correspondencia entre tabla y sucesos es la que permite leer cualquier probabilidad directamente de la tabla.

Dividiendo cada frecuencia por el total de la población se obtiene la «tabla de probabilidades». A partir de ella, las probabilidades simples se leen en los márgenes —las llamadas «probabilidades marginales»—, las probabilidades de intersección en las casillas interiores —«probabilidades conjuntas»— y las probabilidades condicionadas se obtienen dividiendo la casilla conjunta por el total de su fila o de su columna, según cuál sea el suceso condicionante. La tabla pone así al alcance de la mano todos los tipos de probabilidad del tema.

La tabla de contingencia y el diagrama de árbol son dos representaciones equivalentes de la misma información, y conviene saber pasar de una a otra. El árbol resalta las probabilidades condicionadas (en sus ramas de segundo nivel) y es ideal cuando el enunciado da directamente esas condicionadas; la tabla resalta las frecuencias conjuntas y es ideal cuando el enunciado da recuentos o porcentajes sobre el total. Ante un problema, elegir la representación que mejor encaje con los datos del enunciado ahorra mucho trabajo.

Las tablas de contingencia conectan de forma natural la probabilidad con la estadística de dos variables que se estudia en el bloque estocástico: las mismas tablas de doble entrada sirven para describir la relación entre dos características de una muestra y para calcular probabilidades sobre ella. Esta conexión entre recuento, probabilidad condicionada y estadística es justamente la competencia CE5, que pide reconocer y emplear los vínculos entre los distintos elementos matemáticos del curso.

P(A) = \dfrac{\text{total de la fila/columna } A}{N} \quad (\text{marginal})

Probabilidad marginal

Se lee en los totales de los márgenes de la tabla: la frecuencia de la categoría dividida por el tamaño de la población N.

P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{N} \quad (\text{conjunta})

Probabilidad conjunta

Se lee en la casilla interior correspondiente: el número de elementos que cumplen A y B dividido por el total.

P(A \mid B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)} \quad (\text{condicionada})

Probabilidad condicionada desde la tabla

Se obtiene dividiendo la casilla conjunta por el total de la fila o columna del suceso condicionante B, no por el total general.

Ejemplo resuelto

Lectura de probabilidades en una tabla de contingencia

En una encuesta a 400 personas se cruza el sexo con la posesión de carné de conducir. Hay 220 mujeres, de las cuales 150 tienen carné; entre los 180 hombres, 140 tienen carné. Construye la tabla de contingencia y calcula: (a) la probabilidad de tener carné; (b) P(carné | mujer); (c) si tener carné es independiente del sexo.

Completar la tabla
Mujeres con carné 150 y sin carné 70 (220 − 150); hombres con carné 140 y sin carné 40 (180 − 140). Total con carné 150 + 140 = 290; sin carné 70 + 40 = 110; total 400.
(a) Probabilidad marginal de tener carné
Es el total de la columna «con carné» dividido por la población.
(b) Probabilidad condicionada P(carné | mujer)
Dividimos las mujeres con carné entre el total de mujeres (total de la fila), no entre 400.
(c) Test de independencia
Comparamos P(carné | mujer) con P(carné). Como 0,682 ≠ 0,725, saber que es mujer cambia la probabilidad de tener carné.

Resultado: (a) P(carné) = 290/400 = 0,725. (b) P(carné | mujer) = 150/220 ≈ 0,682. (c) Como 0,682 ≠ 0,725, tener carné y el sexo NO son independientes: entre las mujeres la proporción de carnés es algo menor que en el conjunto.

Errores frecuentes

Al calcular una probabilidad condicionada desde la tabla, dividir por el total general de la población en lugar de por el total de la fila o columna del suceso condicionante.
Confundir la probabilidad conjunta P(A ∩ B) (una casilla interior dividida por el total) con la condicionada P(A|B) (esa misma casilla dividida solo por el total de la columna B).

Repaso activo

En un instituto de 500 alumnos se sabe que 280 son chicas y que 150 alumnos cursan la modalidad de Ciencias; además, 70 chicas cursan Ciencias. Construye la tabla de contingencia completa (sexo × modalidad, con Ciencias / No Ciencias) y calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar curse Ciencias sabiendo que es chico.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

El teorema de la probabilidad total#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — teorema de la probabilidad total para el cálculo de la probabilidad de un suceso a partir de un sistema completo de sucesos

Sistema completo de sucesos y caminos que conducen al efecto B

Muchos problemas presentan un suceso que puede producirse en varias circunstancias distintas y excluyentes: una pieza defectuosa puede provenir de la máquina 1, de la 2 o de la 3; un cliente puede llegar por la mañana, la tarde o la noche. El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de ese suceso «efecto» sumando lo que aporta cada circunstancia «causa», y es el paso previo imprescindible para el teorema de Bayes.

Su ingrediente es el «sistema completo de sucesos» (o partición del espacio muestral): una colección de sucesos A₁, A₂, …, Aₙ que son incompatibles dos a dos (no pueden ocurrir a la vez) y cuya unión es todo el espacio muestral (alguno de ellos ocurre siempre). En otras palabras, las causas posibles reparten el espacio sin solaparse y sin dejar huecos (Fig. 1). El ejemplo más simple es un suceso y su contrario, {A, Ā}, que ya forman un sistema completo.

El teorema afirma que la probabilidad de un suceso B se obtiene sumando, para cada causa Aᵢ, la probabilidad de esa causa por la probabilidad de B condicionada a ella: P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + P(A₂)·P(B|A₂) + … + Pₙ·P(B|Aₙ). En el diagrama de árbol esto tiene una lectura inmediata: es la suma de las probabilidades de todos los caminos que terminan en B; cada sumando es el producto de las dos ramas de un camino. La probabilidad total no es más que la regla de la suma aplicada a todas las maneras de llegar a B.

El esquema de aplicación es muy regular. Primero se identifican las causas (el sistema completo Aᵢ) y se anotan sus probabilidades «a priori» P(Aᵢ), que casi siempre suman 1. Después se anotan las probabilidades condicionadas P(B|Aᵢ), que son las verosimilitudes del efecto bajo cada causa. Finalmente se aplica la fórmula. Organizar todo en un árbol de dos niveles (causas en el primero, efecto/no efecto en el segundo) evita errores y deja el problema listo para Bayes.

En contextos sociales y económicos este teorema modela situaciones como: la proporción total de piezas defectuosas producidas por varias fábricas, el porcentaje global de aprobados sumando varios grupos, o la probabilidad de que un votante elegido al azar apoye una medida combinando varios segmentos de población. La clave conceptual, y un error frecuente, es asegurarse de que las causas forman realmente un sistema completo: si se solapan o si falta alguna, la suma no da la probabilidad correcta.

A_1, A_2, \ldots, A_n \;\text{sistema completo} \iff A_i \cap A_j = \varnothing \;(i\neq j),\;\; \bigcup_{i} A_i = E

Sistema completo de sucesos (partición)

Las causas son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio muestral: reparten E sin solaparse ni dejar huecos.

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B \mid A_i)

Teorema de la probabilidad total

La probabilidad del efecto B es la suma, sobre todas las causas, de la probabilidad de la causa por la del efecto condicionado a ella: la suma de todos los caminos del árbol que acaban en B.

Ejemplo resuelto

Probabilidad total: piezas defectuosas de tres máquinas

Una empresa fabrica una pieza en tres máquinas. La máquina I produce el 40 % de las piezas, la II el 35 % y la III el 25 %. El porcentaje de piezas defectuosas es del 3 % en la I, del 5 % en la II y del 2 % en la III. Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar de la producción total sea defectuosa.

Identificar las causas (sistema completo)
Las causas son la máquina de origen: A1 = máquina I, A2 = máquina II, A3 = máquina III, con P(A1) = 0,40, P(A2) = 0,35, P(A3) = 0,25 (suman 1).
Anotar las verosimilitudes del defecto
El efecto es D = «pieza defectuosa», con probabilidades condicionadas a cada máquina.
Aplicar la probabilidad total
Sumamos, para cada máquina, la probabilidad de la máquina por la del defecto bajo esa máquina.
Calcular cada sumando
0,40·0,03 = 0,012; 0,35·0,05 = 0,0175; 0,25·0,02 = 0,005.
Comprobar la coherencia
El resultado 0,0345 está entre 0 y 1 y es próximo a las tasas individuales (entre 2 % y 5 %), como cabía esperar.

Resultado: La probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa es P(D) = 0,0345, es decir, un 3,45 % de la producción total.

Errores frecuentes

Usar como «causas» sucesos que no forman un sistema completo (porque se solapan o no cubren todo el espacio), de modo que la suma de probabilidades no reconstruye correctamente P(B).
Olvidar multiplicar cada probabilidad condicionada P(B|Aᵢ) por la probabilidad de su causa P(Aᵢ) y limitarse a sumar las condicionadas, lo que da un valor sin sentido (a menudo mayor que 1).

Repaso activo

Una fábrica recibe tornillos de tres proveedores: el 50 % del proveedor I, el 30 % del II y el 20 % del III. La proporción de tornillos defectuosos es del 2 % en el I, del 4 % en el II y del 5 % en el III. Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar del almacén sea defectuoso.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

El teorema de Bayes y las probabilidades a posteriori#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — teorema de Bayes y cálculo de probabilidades a posteriori (probabilidades de las causas)

Teorema de Bayes: del efecto a la causa más probable

El teorema de la probabilidad total recorre el árbol «hacia adelante»: de las causas al efecto. El teorema de Bayes hace el recorrido inverso, «hacia atrás»: una vez observado el efecto, pregunta por la probabilidad de cada posible causa. Por eso a las probabilidades que calcula Bayes se las llama «probabilidades de las causas» o «probabilidades a posteriori»: revisan la creencia inicial a la luz de lo observado. Es, con diferencia, el resultado más característico del bloque y aparece de forma casi sistemática en la Selectividad.

Partiendo de un sistema completo de causas A₁, …, Aₙ con sus probabilidades «a priori» P(Aᵢ) y de las verosimilitudes P(B|Aᵢ) del efecto bajo cada causa, el teorema de Bayes calcula la probabilidad «a posteriori» de una causa concreta Aₖ una vez que se sabe que B ha ocurrido: P(Aₖ|B) = P(Aₖ)·P(B|Aₖ) / P(B), donde el denominador P(B) es precisamente la probabilidad total del apartado anterior. El numerador es la probabilidad del camino que pasa por la causa Aₖ y llega a B; el denominador es la suma de todos los caminos que llegan a B (Fig. 1).

La lectura sobre el diagrama de árbol es lo que hace a Bayes manejable y conviene fijarla: la probabilidad a posteriori de una causa, dado el efecto, es la fracción que representa «su camino» dentro de «todos los caminos que producen el efecto». De ahí la regla mnemotécnica para los exámenes: P(causa | efecto) = (camino de esa causa hasta el efecto) ÷ (suma de todos los caminos hasta el efecto). Calcular bien la probabilidad total es, por tanto, la mitad del trabajo de Bayes.

Es esencial distinguir entre la probabilidad «a priori» P(Aₖ) —lo que sabíamos de la causa antes de observar nada— y la «a posteriori» P(Aₖ|B) —lo que sabemos después de observar el efecto—. Bayes muestra cómo la información actualiza nuestra creencia: la causa que mejor «explica» el efecto observado ve aumentada su probabilidad, y las demás la ven disminuida, manteniéndose la suma igual a 1 sobre todas las causas. No hay que confundir nunca P(B|Aₖ) (verosimilitud, dato del problema) con P(Aₖ|B) (lo que se pide), pues invertir el condicionamiento es el error clásico.

Las aplicaciones del teorema de Bayes en las ciencias sociales son numerosas y muy ilustrativas: pruebas diagnósticas (dado un test positivo, ¿cuál es la probabilidad de estar realmente enfermo?, donde la baja prevalencia de la enfermedad produce resultados sorprendentemente bajos), control de calidad (dada una pieza defectuosa, ¿de qué fábrica procede con más probabilidad?), o encuestas y publicidad. El teorema lleva el nombre del reverendo Thomas Bayes (siglo XVIII), cuyo trabajo fue publicado póstumamente, y debe su forma y difusión a Pierre-Simon Laplace, que lo desarrolló de forma independiente; esta nota histórica es contexto y no contenido evaluable en sí mismo.

P(A_k \mid B) = \dfrac{P(A_k)\,P(B \mid A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B \mid A_i)}

Teorema de Bayes

La probabilidad a posteriori de la causa Aₖ, dado el efecto B, es el camino que pasa por Aₖ y llega a B dividido por la suma de todos los caminos que llegan a B (la probabilidad total).

\underbrace{P(A_k)}_{\text{a priori}} \;\xrightarrow{\;\text{se observa } B\;}\; \underbrace{P(A_k \mid B)}_{\text{a posteriori}}

Actualización a priori → a posteriori

Observar el efecto B revisa la probabilidad de cada causa; la suma de todas las probabilidades a posteriori sobre las causas sigue siendo 1.

Ejemplo resuelto

Bayes en un test diagnóstico (probabilidad de la causa)

Una enfermedad afecta al 1 % de cierta población. Se dispone de un test que da positivo en el 95 % de las personas enfermas (sensibilidad) y que da positivo, por error, en el 4 % de las personas sanas (falsos positivos). Una persona elegida al azar da positivo en el test. Calcula la probabilidad de que esté realmente enferma e interpreta el resultado.

Definir causas y efecto
Causas (sistema completo): E = «enferma», S = «sana», con P(E) = 0,01 y P(S) = 0,99. Efecto: «+» = test positivo.
Anotar las verosimilitudes
El test es positivo en el 95 % de los enfermos y en el 4 % de los sanos.
Probabilidad total de dar positivo
Sumamos los dos caminos que llevan a un positivo: el de los enfermos y el de los sanos.
Aplicar Bayes
La probabilidad de estar enferma dado el positivo es el camino de los enfermos dividido por la probabilidad total.
Interpretar
Pese a un test bastante fiable, un positivo solo implica un 19,4 % de probabilidad real de enfermedad, porque la enfermedad es muy poco frecuente (baja prevalencia) y los falsos positivos, aplicados al 99 % de población sana, son numerosos.

Resultado: P(enferma | test positivo) ≈ 0,1935, es decir, alrededor del 19,4 %. La baja prevalencia (1 %) hace que la mayoría de los positivos sean falsos positivos, un resultado contraintuitivo que ilustra la potencia del teorema de Bayes.

Errores frecuentes

Invertir el condicionamiento y dar como respuesta la verosimilitud P(B|Aₖ) (dato del enunciado) cuando se pide la probabilidad a posteriori P(Aₖ|B): son cantidades distintas y el orden detrás de la barra importa.
Equivocar el denominador usando solo P(Aₖ) o solo una parte de los caminos en lugar de la probabilidad total P(B) (la suma de TODOS los caminos que llegan al efecto).

Repaso activo

Retomando la fábrica de tres proveedores (50 % del I, 30 % del II y 20 % del III, con tasas de defecto del 2 %, 4 % y 5 % respectivamente), se extrae un tornillo del almacén y resulta defectuoso. Calcula la probabilidad de que proceda del proveedor III e interpreta el resultado.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Puntos clave

Extracción de dos bolas con y sin reemplazamiento

Puntos clave

Probabilidad condicionada e independencia a partir de datos

Puntos clave

Lectura de probabilidades en una tabla de contingencia

Puntos clave

Probabilidad total: piezas defectuosas de tres máquinas

Puntos clave

Bayes en un test diagnóstico (probabilidad de la causa)

Fuentes

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

Puntos clave

Extracción de dos bolas con y sin reemplazamiento

Puntos clave

Probabilidad condicionada e independencia a partir de datos

Puntos clave

Lectura de probabilidades en una tabla de contingencia

Puntos clave

Probabilidad total: piezas defectuosas de tres máquinas

Puntos clave

Bayes en un test diagnóstico (probabilidad de la causa)

Fuentes