Apuntes · Matemáticas Aplicadas a las CCSS IIES · Selectividad

Matrices y sus aplicaciones

Las matrices son tablas ordenadas de números que permiten almacenar y operar con información estructurada: ventas por regiones, flujos de población o conexiones de un grafo. En Matemáticas Aplicadas a las CCSS II constituyen la herramienta algebraica con la que se modelizan sistemas de ecuaciones lineales y situaciones socioeconómicas, y son contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU.

5seccionesca. 24min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0111 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales mediante la representación matricial de datos y relaciones.CE4 · Utilizar el pensamiento computacional: organizar datos en tablas, descomponer el problema en partes y emplear herramientas tecnológicas para operar con matrices.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, aplicando las matrices a la economía, la demografía y la teoría de grafos.

Operadores:calculaoperaresuelveinterpretajustificarazonatraducerelacionarepresenta

nivel básico

El cálculo matricial es propio de la materia de modalidad Matemáticas Aplicadas a las CCSS II; en las materias comunes no se exige operar con matrices, solo leer e interpretar tablas de doble entrada.

nivel avanzado

En la modalidad se domina la operatoria completa (suma, escalar y producto), el cálculo de la inversa por Gauss-Jordan, la resolución de ecuaciones matriciales A·X=B y la modelización con matrices de adyacencia y de transición.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Matrices y sus aplicaciones

Concepto de matriz, dimensión y tipos de matrices#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido algebraico y Sentido numérico

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas; es la forma natural de organizar información cuantitativa que depende de dos criterios a la vez, como las ventas de varios productos en distintas regiones o los desplazamientos entre zonas de un territorio. Una matriz con « m » filas y « n » columnas se dice de dimensión (u orden) « m × n », y cada uno de sus números recibe el nombre de elemento o entrada; el elemento situado en la fila « i » y la columna « j » se denota por a_{ij}, de modo que el primer subíndice indica siempre la fila y el segundo la columna.

Atendiendo a su dimensión y a la disposición de sus elementos, distinguimos varios tipos de matrices que conviene reconocer de un vistazo. Una matriz fila tiene una sola fila (dimensión 1 × n) y una matriz columna una sola columna (m × 1); una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas (n × n), y solo en ella tiene sentido hablar de diagonal principal (los elementos a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}). La matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a cero y se comporta como el cero en la suma de matrices.

Dentro de las matrices cuadradas se definen varios casos relevantes. Una matriz diagonal tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal; la matriz identidad I_n es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal valen todos 1, y desempeña en el producto el mismo papel que el número uno en la multiplicación de números. Una matriz es triangular superior cuando son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal (y triangular inferior en el caso simétrico): estas formas escalonadas aparecerán de modo natural al resolver sistemas por el método de Gauss.

Dos matrices son iguales únicamente cuando tienen la misma dimensión y coinciden, una a una, en todos sus elementos. Esta definición, aparentemente trivial, es decisiva: implica que la dimensión es un dato inseparable de la matriz y que, por ejemplo, una matriz 2 × 3 nunca puede ser igual a una 3 × 2 aunque contengan los mismos números. La figura principal (Fig. 1) muestra una matriz genérica con la posición del elemento a_{ij} resaltada, y la Fig. 2 ilustra cómo una tabla de doble entrada de un contexto social se traduce directamente en una matriz.

Anatomía de una matriz m × n

Una tabla de doble entrada es una matriz

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Matriz genérica de dimensión m × n

El elemento a_{ij} ocupa la fila i y la columna j; la dimensión es el par (filas, columnas).

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz identidad de orden 3

Matriz diagonal con unos en la diagonal principal; es el elemento neutro del producto de matrices.

Ejemplo resuelto

Lectura e identificación de una matriz

Dada la matriz A = [[3, 0, -1], [5, 2, 4]], indica su dimensión, el valor del elemento a_{13} y el de a_{21}, y razona si A puede ser una matriz cuadrada.

Contar filas y columnas
La matriz tiene 2 filas y 3 columnas, luego su dimensión es 2 × 3.
Localizar a₁₃
Fila 1, columna 3: es el tercer elemento de la primera fila.
Localizar a₂₁
Fila 2, columna 1: es el primer elemento de la segunda fila.
Decidir si es cuadrada
Una matriz es cuadrada solo si tiene el mismo número de filas que de columnas. Aquí 2 ≠ 3, por tanto A no es cuadrada.

Resultado: Dimensión 2 × 3; a_{13} = -1; a_{21} = 5; A no es cuadrada porque 2 filas ≠ 3 columnas.

Errores frecuentes

Confundir el orden de los subíndices y leer a_{ij} como « columna i, fila j »: el primer subíndice es SIEMPRE la fila y el segundo la columna.
Escribir la dimensión al revés (poner « n × m » cuando hay m filas y n columnas) y, a partir de ahí, intentar operaciones imposibles entre matrices.

Repaso activo

En un instituto se recoge en una tabla el número de alumnos matriculados en tres modalidades (Ciencias, Humanidades, CCSS) durante dos cursos (1.º y 2.º). Escribe la matriz 2 × 3 asociada, indica su dimensión, di qué representa el elemento a_{23} y nombra qué tipo de matriz se obtendría si solo consideráramos un único curso.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Operaciones con matrices: suma, producto por escalar y producto matricial#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido algebraico

Condición de dimensiones para el producto A·B

El álgebra de matrices comienza con dos operaciones sencillas que se realizan elemento a elemento. La suma de matrices solo está definida entre matrices de la misma dimensión: la matriz suma A + B tiene en cada posición la suma de los elementos correspondientes, (a_{ij} + b_{ij}). El producto de una matriz por un número real « k » (producto por un escalar) multiplica por « k » todos los elementos de la matriz. Ambas operaciones heredan las buenas propiedades de la suma de números: la suma es conmutativa y asociativa, tiene como elemento neutro la matriz nula y cada matriz tiene su opuesta.

El producto de matrices es la operación verdaderamente característica y la que da potencia modelizadora al cálculo matricial, pero exige una condición de dimensiones estricta: para multiplicar A · B el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Si A es de dimensión m × n y B es de dimensión n × p, el producto A · B existe y tiene dimensión m × p (la condición es « n = n », y las dimensiones « exteriores » m y p son las del resultado). La Fig. 1 esquematiza esta regla de encaje de dimensiones, que conviene comprobar SIEMPRE antes de multiplicar.

El elemento que ocupa la fila « i » y la columna « j » del producto A · B se obtiene combinando la fila « i » de A con la columna « j » de B: se multiplican término a término y se suman los productos. Esta « fila por columna » es el corazón del cálculo y la razón de que la condición de dimensiones sea necesaria, pues solo si la fila de A y la columna de B tienen la misma longitud se pueden emparejar todos sus términos. La matriz identidad actúa como elemento neutro del producto: A · I = I · A = A siempre que las dimensiones lo permitan.

La propiedad más importante —y la fuente de la mayoría de errores— es que el producto de matrices NO es conmutativo: en general A · B ≠ B · A, e incluso puede existir uno de los dos productos y no el otro, o tener dimensiones distintas. Sí se cumplen la propiedad asociativa (A · B) · C = A · (B · C) y la distributiva respecto de la suma A · (B + C) = A · B + A · C. Por su origen histórico, este cálculo se atribuye a Arthur Cayley y James J. Sylvester, que en el siglo XIX desarrollaron la teoría de matrices precisamente para tratar transformaciones y sistemas lineales.

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (k \cdot A)_{ij} = k \, a_{ij}

Suma y producto por un escalar

Ambas operaciones actúan elemento a elemento; la suma exige misma dimensión.

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Elemento (i, j) del producto A·B

Fila i de A combinada con la columna j de B; requiere columnas de A = filas de B.

A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (A\cdot B)_{m \times p}, \qquad A \cdot B \neq B \cdot A

Condición de dimensiones y no conmutatividad

Las dimensiones interiores deben coincidir (n); el resultado es m × p y, en general, el producto no conmuta.

Producto fila por columna

Ejemplo resuelto

Producto de dos matrices 2 × 2

Sean A = [[2, 1], [0, 3]] y B = [[1, 4], [2, 1]]. Comprueba que el producto A·B está definido y calcúlalo.

Verificar dimensiones
A es 2 × 2 y B es 2 × 2; columnas de A (2) = filas de B (2), luego A·B existe y será 2 × 2.
Elemento (1,1) y (1,2)
Fila 1 de A por cada columna de B.
Elemento (2,1) y (2,2)
Fila 2 de A por cada columna de B.
Escribir la matriz producto
Se colocan los cuatro elementos en su posición.

Resultado: A·B = [[4, 9], [6, 3]], una matriz de dimensión 2 × 2.

Errores frecuentes

Intentar multiplicar dos matrices sin verificar que el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, obteniendo un producto inexistente.
Suponer que A·B = B·A y simplificar como si las matrices fueran números, cuando el producto matricial no es conmutativo.

Repaso activo

Dadas A = [[1, 2], [0, 3]] y B = [[2, -1], [1, 4]], calcula 2A + B, el producto A·B y el producto B·A, y comprueba con tus resultados que A·B ≠ B·A.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Matriz traspuesta, identidad e inversa (método de Gauss-Jordan)#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido algebraico y Sentido numérico

Gauss-Jordan: evolución de la matriz ampliada

La matriz traspuesta de A, que se denota A^t, se obtiene intercambiando filas por columnas: la fila « i » de A pasa a ser la columna « i » de A^t, de modo que si A es m × n, su traspuesta A^t es n × m. La trasposición es una operación muy útil para reorganizar la información y cumple propiedades sencillas, como (A^t)^t = A y (A + B)^t = A^t + B^t. Reconocer la traspuesta de una matriz dada es una destreza básica que aparece con frecuencia en los enunciados.

Para una matriz cuadrada A, la matriz inversa A^{-1} es aquella —cuando existe— que multiplicada por A en cualquier orden devuelve la identidad: A · A^{-1} = A^{-1} · A = I. La inversa desempeña en el cálculo matricial el papel que el inverso 1/a tiene para los números, pero con dos diferencias cruciales: solo las matrices cuadradas pueden tener inversa y NO todas la tienen. Una matriz que posee inversa se llama regular o invertible, y una que no la posee se llama singular.

El método de Gauss-Jordan es el procedimiento estándar para calcular la inversa por su transparencia. Se parte de la matriz ampliada (A | I), es decir, se escribe A junto a la identidad del mismo orden; mediante operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la parte izquierda hasta convertirla en la identidad. Las mismas operaciones, aplicadas en bloque a la parte derecha, transforman la identidad inicial en la inversa: al final se llega a (I | A^{-1}). La Fig. 1 muestra esta evolución de la matriz ampliada.

Si en el proceso de escalonamiento aparece una fila de ceros en la parte izquierda, el método se detiene porque la matriz NO tiene inversa: es singular. En el caso 2 × 2 existe además una comprobación rápida basada en el determinante (det A = ad − bc): la matriz es invertible si y solo si ese número es distinto de cero, y entonces la inversa se obtiene con una fórmula directa que conviene conocer como atajo y como verificación del resultado obtenido por Gauss-Jordan.

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

Definición de matriz inversa

La inversa devuelve la identidad en cualquier orden; solo existe para matrices cuadradas regulares.

(A \mid I) \;\xrightarrow{\text{operaciones por filas}}\; (I \mid A^{-1})

Método de Gauss-Jordan

Se reduce la parte izquierda a la identidad; lo que aparece a la derecha es la inversa.

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \; ad-bc \neq 0

Inversa de una matriz 2 × 2

Atajo válido solo si el determinante ad − bc es distinto de cero; útil para comprobar el resultado.

Ejemplo resuelto

Inversa de una matriz 2 × 2 por Gauss-Jordan

Calcula la inversa de A = [[2, 1], [1, 1]] por el método de Gauss-Jordan y comprueba el resultado.

Plantear la matriz ampliada
Se escribe A junto a la identidad de orden 2.
Hacer un 1 en la posición (1,1)
Intercambiamos las dos filas para tener un 1 arriba (F1 ↔ F2).
Anular el elemento (2,1)
Restamos 2 veces la fila 1 a la fila 2: F2 → F2 − 2·F1.
Hacer un 1 en la posición (2,2)
Multiplicamos la fila 2 por −1: F2 → −F2.
Anular el elemento (1,2)
Restamos la fila 2 a la fila 1: F1 → F1 − F2. La izquierda es ya la identidad.
Comprobar
La parte derecha es la inversa. Verificamos el producto.

Resultado: A^{-1} = [[1, -1], [-1, 2]], y la comprobación A·A^{-1} = I_2 confirma el resultado.

Errores frecuentes

Mezclar las operaciones por filas con operaciones por columnas: en Gauss-Jordan SOLO se permiten operaciones elementales por filas, aplicadas a la vez a las dos mitades de la matriz ampliada.
Olvidar comprobar el resultado: tras hallar A^{-1} conviene multiplicar A·A^{-1} y exigir que dé la identidad; un signo o una división mal hechos se detectan así de inmediato.

Repaso activo

Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz A = [[1, 2], [1, 3]] y comprueba tu resultado verificando que A·A^{-1} = I_2.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Ecuaciones matriciales y resolución de sistemas con matrices#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido algebraico

Un sistema lineal escrito como A·X = B

Una ecuación matricial es una igualdad en la que la incógnita es una matriz X, por ejemplo A · X = B. La estrategia para despejar X imita la del álgebra ordinaria, pero con una precaución capital: en lugar de « dividir » (operación que no existe entre matrices) se multiplica por la matriz inversa, y como el producto no es conmutativo hay que respetar el lado por el que se multiplica. Si A es regular, multiplicando por A^{-1} POR LA IZQUIERDA en ambos miembros de A · X = B se obtiene A^{-1} · A · X = A^{-1} · B, es decir I · X = A^{-1} · B, y por tanto X = A^{-1} · B.

El lado por el que se multiplica importa porque cambia el resultado. En la ecuación X · A = B la incógnita queda a la izquierda de A, de modo que ahora hay que multiplicar por A^{-1} POR LA DERECHA: X · A · A^{-1} = B · A^{-1}, lo que da X = B · A^{-1}. Confundir A^{-1} · B con B · A^{-1} es el error típico de este apartado, y conviene tener siempre presente de qué lado está la incógnita respecto de la matriz que se quiere « eliminar ».

Esta misma idea conecta las matrices con los sistemas de ecuaciones lineales, que es su aplicación más importante en la materia. Todo sistema lineal puede escribirse en forma matricial A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz columna de incógnitas y B la matriz columna de términos independientes. La Fig. 1 muestra cómo un sistema 2 × 2 se reescribe en esta forma compacta, que revela su estructura algebraica de un solo vistazo.

Cuando la matriz de coeficientes A es cuadrada y regular (tiene inversa), el sistema tiene solución única y se obtiene directamente como X = A^{-1} · B. Este método matricial es elegante y sistemático, aunque exige calcular la inversa; en la práctica de la Selectividad convive con el método de Gauss (eliminación) y la regla de Cramer, y la elección entre uno y otro depende del enunciado y del tamaño del sistema. La ventaja del enfoque matricial es que, una vez calculada A^{-1}, resolver el sistema para distintos términos independientes B es inmediato.

A \cdot X = B \;\Rightarrow\; X = A^{-1} \cdot B \qquad (A \text{ regular})

Despeje en A·X = B (inversa por la izquierda)

Se multiplica por A^{-1} por la izquierda en ambos miembros; el orden A^{-1}·B es obligatorio.

X \cdot A = B \;\Rightarrow\; X = B \cdot A^{-1} \qquad (A \text{ regular})

Despeje en X·A = B (inversa por la derecha)

Ahora se multiplica por A^{-1} por la derecha; el resultado B·A^{-1} es distinto de A^{-1}·B.

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}

Forma matricial de un sistema lineal

Coeficientes en A, incógnitas en X y términos independientes en B: A·X = B.

Ejemplo resuelto

Resolución de un sistema mediante la matriz inversa

Resuelve el sistema { 2x + y = 3 ; x + y = 2 } escribiéndolo en forma matricial A·X = B y aplicando X = A^{-1}·B, con A = [[2, 1], [1, 1]].

Escribir el sistema en forma matricial
Coeficientes en A, incógnitas en X, términos independientes en B.
Tomar la inversa de A
Del apartado anterior se sabe que A = [[2,1],[1,1]] tiene inversa A^{-1} = [[1,-1],[-1,2]] (det A = 1 ≠ 0).
Multiplicar X = A⁻¹·B
Producto de la inversa por el vector de términos independientes.
Comprobar
Sustituimos x = 1, y = 1 en las ecuaciones: 2·1 + 1 = 3 ✓ y 1 + 1 = 2 ✓.

Resultado: La solución del sistema es x = 1, y = 1 (sistema compatible determinado).

Errores frecuentes

Multiplicar por la inversa por el lado equivocado y escribir X = B·A^{-1} cuando la ecuación era A·X = B (cuya solución es X = A^{-1}·B): el orden de los factores no es intercambiable.
Intentar resolver X = A^{-1}·B sin haber comprobado antes que A es regular; si A es singular el método no se aplica y el sistema puede no tener solución única.

Repaso activo

Resuelve la ecuación matricial A·X = B, siendo A = [[1, 2], [1, 3]] y B = [[5], [8]]. Para ello, halla primero A^{-1} y después efectúa el producto X = A^{-1}·B; comprueba la solución sustituyendo en A·X.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Matrices y grafos: modelización de situaciones sociales y económicas#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido algebraico

Grafo dirigido y su matriz de adyacencia

La capacidad de las matrices para representar relaciones entre elementos las convierte en una herramienta natural para modelizar grafos, es decir, conjuntos de puntos (vértices o nodos) unidos por conexiones (aristas). A un grafo de « n » vértices se le asocia su matriz de adyacencia, una matriz cuadrada n × n cuyo elemento de la fila « i » y columna « j » vale 1 si existe una conexión del vértice « i » al « j » y 0 si no la hay. En un grafo dirigido —donde las conexiones tienen sentido— la matriz no tiene por qué ser simétrica; en uno no dirigido sí lo es. La Fig. 1 muestra un grafo dirigido junto a su matriz de adyacencia.

Las matrices de adyacencia permiten modelizar redes muy diversas en ciencias sociales: rutas de transporte entre ciudades, relaciones de influencia en una red social, enlaces entre páginas web o flujos comerciales entre países. Una propiedad notable y útil es que las potencias de la matriz de adyacencia cuentan caminos: el elemento (i, j) de la matriz A^2 indica cuántos caminos de longitud 2 (es decir, con un vértice intermedio) llevan del vértice « i » al « j », y en general A^k cuenta los caminos de longitud « k ». Esta lectura combinatoria conecta el álgebra de matrices con problemas reales de conectividad.

Una segunda gran aplicación social es la de las matrices de transición, propias de los modelos de evolución por etapas como las cadenas de Markov. En una matriz de transición cada columna recoge las probabilidades (o proporciones) con que un estado pasa a los demás en una etapa, de modo que las columnas suman 1. Multiplicando la matriz de transición M por el vector de estado actual v se obtiene el estado en la etapa siguiente: v_{nuevo} = M · v. Repitiendo el producto se proyecta la evolución del sistema a lo largo del tiempo, lo que se usa para modelizar migraciones, cuotas de mercado o trasvases de votantes.

Estos modelos enlazan las matemáticas con la demografía y la economía: el modelo de Leslie describe el crecimiento de una población estructurada por edades, y las cadenas de Markov modelizan el reparto entre categorías que cambia con el tiempo. La traducción de un enunciado social a una matriz de transición —decidir qué representan filas y columnas y comprobar que las columnas suman 1— es una destreza central del apartado. Conviene recordar que estos modelos describen una evolución a largo plazo: iterando v, M·v, M^2·v, … muchos sistemas tienden a una distribución estable.

a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si hay conexión de } i \text{ a } j \\ 0 & \text{en caso contrario} \end{cases}

Matriz de adyacencia de un grafo

Codifica con unos y ceros las conexiones; en un grafo no dirigido la matriz es simétrica.

v_{1} = M \cdot v_{0}, \qquad v_{k} = M^{k} \cdot v_{0}

Evolución con una matriz de transición

M aplica una etapa de cambio al vector de estado; iterando se proyecta la evolución temporal.

\sum_{i} m_{ij} = 1 \quad \text{(cada columna suma 1)}

Condición de una matriz de transición

Las proporciones que salen de cada estado se reparten por completo: la suma de cada columna es la unidad.

Matriz de transición entre ciudad y campo

Ejemplo resuelto

Proyección de población con una matriz de transición

En una región, cada año el 10 % de la población urbana se traslada al campo (y el 90 % permanece en la ciudad), mientras que el 20 % de la población rural se traslada a la ciudad (y el 80 % permanece en el campo). Si hoy hay 6 millones de habitantes urbanos y 4 millones rurales, escribe la matriz de transición y calcula la distribución dentro de un año.

Construir la matriz de transición
Las columnas representan el estado de partida (ciudad, campo) y deben sumar 1. Columna ciudad: 0,90 permanece y 0,10 se va al campo; columna campo: 0,20 va a la ciudad y 0,80 permanece.
Escribir el vector de estado inicial
En millones de habitantes, ciudad arriba y campo abajo.
Calcular v₁ = M·v₀
Producto de la matriz por el vector, fila por columna.
Interpretar
Dentro de un año habrá 6,2 millones de habitantes en la ciudad y 3,8 millones en el campo; el total se conserva (10 millones), como debe ocurrir al sumar las columnas 1.

Resultado: M = [[0,90 ; 0,20], [0,10 ; 0,80]] y la distribución al cabo de un año es 6,2 millones urbanos y 3,8 millones rurales.

Errores frecuentes

Olvidar el sentido de las conexiones en un grafo dirigido y rellenar la matriz de adyacencia como si fuera simétrica, confundiendo el elemento (i, j) con el (j, i).
Plantear una matriz de transición cuyas columnas no suman 1 (o sumar por filas en lugar de por columnas), de modo que el modelo deja de tener sentido probabilístico.

Repaso activo

En una región, cada año el 15 % de la población urbana se traslada al campo y el resto permanece en la ciudad, mientras que el 5 % de la población rural se traslada a la ciudad y el resto permanece en el campo. Escribe la matriz de transición M (con las columnas sumando 1) y, partiendo de 8 millones de habitantes urbanos y 2 millones rurales, calcula la distribución al cabo de un año mediante M·v.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Matrices y sus aplicaciones

Puntos clave

Lectura e identificación de una matriz

Puntos clave

Producto de dos matrices 2 × 2

Puntos clave

Inversa de una matriz 2 × 2 por Gauss-Jordan

Puntos clave

Resolución de un sistema mediante la matriz inversa

Puntos clave

Proyección de población con una matriz de transición

Fuentes

Matrices y sus aplicaciones

Puntos clave

Lectura e identificación de una matriz

Puntos clave

Producto de dos matrices 2 × 2

Puntos clave

Inversa de una matriz 2 × 2 por Gauss-Jordan

Puntos clave

Resolución de un sistema mediante la matriz inversa

Puntos clave

Proyección de población con una matriz de transición

Fuentes