Apuntes · Matemáticas Aplicadas a las CCSS IIES · Selectividad

Inferencia estadística

La inferencia estadística cierra el bloque de estadística y probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II: a partir de una muestra representativa se extraen conclusiones sobre toda una población que no podemos observar entera. En este tema aprenderás a seleccionar muestras (muestreo aleatorio simple), a usar la distribución muestral de la media y de la proporción —apoyada en el teorema central del límite—, a estimar parámetros puntualmente y, sobre todo, a construir e interpretar intervalos de confianza para la media y para la proporción, así como a calcular el error de estimación y el tamaño muestral necesario. Es un contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU, donde aparece casi siempre como un problema de intervalo de confianza con su interpretación.

5seccionesca. 28min de lectura3competenciasNivelBásico 2 · Estándar 2 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·101010 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando técnicas de inferencia estadística: estimar la media o la proporción de una población a partir de una muestra y construir el intervalo de confianza correspondiente.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar las condiciones de aplicación (muestra aleatoria, tamaño suficiente), el nivel de confianza usado y la coherencia del intervalo obtenido.CE7 · Comunicar de forma clara y precisa, interpretando los resultados de un estudio estadístico y su fiabilidad: explicar qué significa un nivel de confianza del 95 %, qué es el error de estimación y cómo afecta el tamaño de la muestra a la precisión.

Operadores:explicacalculaestimainterpretajustificarazonaconstruyedeterminacomentarelacionaanalizacomprueba

nivel básico

En las materias comunes no se desarrolla la inferencia; conviene tener dominada como repaso la distribución normal y la tipificación Z = (X − μ)/σ, que son la base de todo este tema.

nivel avanzado

Como materia de modalidad (Matemáticas Aplicadas a las CCSS II), debes resolver íntegramente un problema de inferencia: distribución muestral de la media o de la proporción, estimación puntual, construcción del intervalo de confianza para un nivel dado, cálculo del error de estimación y determinación del tamaño muestral, todo con su interpretación en el contexto.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Inferencia estadística

El muestreo: tipos, representatividad y muestreo aleatorio simple#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — el muestreo: necesidad, tipos de muestreo (en especial el muestreo aleatorio simple) y selección de muestras representativas

La inferencia estadística nace de una necesidad práctica: en las ciencias sociales casi nunca podemos observar a toda la población (todos los votantes, todos los hogares, todos los consumidores), por su tamaño, su coste o su imposibilidad material. La solución es estudiar solo una parte —la muestra— y, a partir de ella, sacar conclusiones sobre el todo. Conviene distinguir desde el principio dos conceptos paralelos: un «parámetro» es una medida de la población (la media μ, la proporción p), que es un valor fijo pero desconocido; y un «estadístico» es la medida análoga calculada en la muestra (la media muestral x̄, la proporción muestral p̂), que sí conocemos y que usaremos para estimar el parámetro (Fig. 1).

De la población a la inferencia: muestra, estadístico y parámetro

Para que las conclusiones sean fiables, la muestra debe ser «representativa»: reflejar la composición de la población en aquello que se estudia. Una muestra mal elegida introduce «sesgos» —errores sistemáticos que distorsionan el resultado— como el sesgo de selección (encuestar solo a quien pasa por una calle céntrica), el de no respuesta (solo contestan los más motivados) o el de la muestra autoseleccionada (encuestas voluntarias por internet). Por grande que sea, una muestra sesgada no se puede corregir aumentando su tamaño: un mal procedimiento de selección invalida toda la inferencia posterior.

Existen varios tipos de muestreo aleatorio (probabilístico), en los que cada individuo tiene una probabilidad conocida de ser elegido. El más importante en este curso es el «muestreo aleatorio simple» (m. a. s.): todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y, además, cada posible muestra del mismo tamaño es igualmente probable. Otros tipos que conviene reconocer son el muestreo sistemático (se elige uno de cada k), el estratificado (se divide la población en estratos homogéneos —por sexo, edad, comunidad— y se muestrea proporcionalmente en cada uno) y el por conglomerados (se eligen grupos completos, como aulas o barrios). Frente a ellos están los muestreos no probabilísticos (por cuotas, de conveniencia), que no garantizan la representatividad estadística.

El muestreo aleatorio simple es la base teórica de toda la inferencia de este tema porque garantiza dos propiedades que necesitaremos: la independencia entre las observaciones y que cada dato proceda de la misma distribución que la población. Solo bajo el m. a. s. (o aproximaciones razonables a él) tienen validez las fórmulas de los intervalos de confianza que estudiaremos. En la práctica se obtiene asignando un número a cada individuo y eligiendo al azar mediante una tabla de números aleatorios o un generador informático.

Frente al muestreo se sitúa el «censo», que es el estudio de toda la población sin excepción. El censo da el valor exacto del parámetro, sin error de muestreo, pero suele ser inviable. El muestreo, en cambio, introduce un «error de muestreo» (la diferencia entre el estadístico y el parámetro debida al azar de la selección), que sí podemos acotar y controlar matemáticamente —ese control cuantitativo del error es, precisamente, lo que distingue a la inferencia estadística de una mera encuesta informal.

\text{Parámetro (población): } \mu,\; p \qquad \text{Estadístico (muestra): } \bar{x},\; \hat{p}

Parámetro frente a estadístico

El parámetro es la medida fija y desconocida de la población; el estadístico es la medida análoga calculada en la muestra, que sirve para estimar el parámetro.

\hat{p} = \dfrac{\text{n.\!º de individuos con la característica}}{n}

Proporción muestral

La proporción muestral p̂ es la frecuencia relativa de la característica estudiada en la muestra de tamaño n.

Ejemplo resuelto

Selección de una muestra y reconocimiento del sesgo

Una cadena de supermercados con 8 000 empleados quiere estimar el grado de satisfacción laboral. Propón un procedimiento de muestreo aleatorio simple para elegir 200 empleados y explica por qué entregar el cuestionario solo en la cafetería un martes a mediodía produciría una muestra sesgada.

Construir el marco muestral
Se elabora una lista numerada del 1 al 8 000 con todos los empleados (el «marco muestral»). Cada empleado queda identificado por un número, condición imprescindible para un muestreo aleatorio.
Seleccionar al azar
Mediante un generador de números aleatorios (o una tabla de números aleatorios) se eligen 200 números distintos entre 1 y 8 000; los empleados con esos números forman la muestra. Así todos tienen la misma probabilidad 200/8000 = 1/40 de ser seleccionados.
Detectar el sesgo del procedimiento alternativo
Encuestar solo en la cafetería un martes a mediodía excluye sistemáticamente a quienes no van a la cafetería, a quienes ese día libran o trabajan en turno de tarde/noche y a quienes comen fuera. No todos los empleados pueden ser elegidos, luego la muestra no es aleatoria.
Nombrar el sesgo
Es un sesgo de selección (la muestra autoexcluye a subgrupos enteros); aumentar el número de encuestados en la cafetería no lo corrige, porque el procedimiento sigue dejando fuera a parte de la población.

Resultado: El muestreo aleatorio simple asigna a cada empleado probabilidad 1/40 y produce una muestra representativa; el procedimiento de la cafetería genera un sesgo de selección que invalida la inferencia, por muchos cuestionarios que se recojan.

Errores frecuentes

Creer que aumentar el tamaño de una muestra mal seleccionada corrige el sesgo: una muestra grande pero sesgada sigue dando conclusiones erróneas; lo decisivo es el procedimiento aleatorio de selección, no solo el número de individuos.
Confundir parámetro y estadístico, usando μ y x̄ (o p y p̂) como si fueran lo mismo: μ y p son valores fijos y desconocidos de la población, mientras que x̄ y p̂ varían de una muestra a otra y son lo que realmente calculamos.

Repaso activo

Un ayuntamiento quiere conocer la opinión de sus 40 000 habitantes sobre un nuevo carril bici. Describe cómo seleccionarías una muestra de 500 personas mediante muestreo aleatorio simple, explica por qué no sería representativa una encuesta voluntaria publicada en la web municipal e indica qué sesgo aparecería en ese caso.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Distribución muestral de la media y de la proporción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — distribución muestral de la media y de la proporción; teorema central del límite a nivel aplicado

La idea central que hace posible la inferencia es que un estadístico, como la media muestral x̄, es en realidad una variable aleatoria: cada muestra distinta produce un valor distinto, de modo que x̄ tiene su propia distribución de probabilidad, llamada «distribución muestral de la media». Comprender esta distribución es lo que nos permitirá medir cuán lejos puede estar x̄ del verdadero μ y, con ello, construir intervalos de confianza. Lo mismo ocurre con la proporción muestral p̂.

El resultado clave es el «teorema central del límite» (TCL): si se extraen muestras aleatorias de tamaño n de una población con media μ y desviación típica σ, entonces, para n suficientemente grande (en la práctica n ≥ 30), la media muestral x̄ se distribuye aproximadamente según una normal centrada en la verdadera media μ y con desviación típica σ/√n. Lo notable es que esto ocurre sea cual sea la forma de la población de partida; si la población ya es normal, x̄ es exactamente normal para cualquier n (Fig. 1).

A la desviación típica de la distribución muestral de la media, σ/√n, se la llama «error típico» (o error estándar) de la media. Su interpretación es fundamental: mide cuánto varía x̄ de una muestra a otra. Como n aparece en el denominador bajo una raíz, al aumentar el tamaño de la muestra el error típico disminuye, pero solo en proporción a √n: para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar el tamaño de la muestra. Esta «ley de los grandes números en acción» explica por qué las muestras grandes dan estimaciones más precisas.

Para la proporción ocurre algo análogo. Si en una población una fracción p posee cierta característica y se extrae una muestra grande de tamaño n, la proporción muestral p̂ se distribuye aproximadamente según una normal centrada en p y con error típico √(p·(1−p)/n). En la práctica, como p es desconocido, se sustituye por p̂ al estimar. Esta aproximación normal de la proporción procede de aplicar el TCL a la distribución binomial (cada individuo «tiene o no tiene» la característica) y exige que tanto n·p como n·(1−p) sean razonablemente grandes.

El gran valor del TCL para la inferencia es doble: por un lado, nos dice que la distribución muestral está centrada en el parámetro que queremos estimar (la media muestral «acierta en promedio»); por otro, nos da su dispersión exacta (el error típico), que es lo que permite traducir un nivel de confianza en un margen numérico concreto. Sin el TCL no podríamos afirmar que x̄ sigue una normal, y todo el cálculo de intervalos de confianza del tema quedaría sin fundamento.

\bar{X} \sim N\!\left(\mu,\; \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \quad (n \ge 30 \text{ o población normal})

Distribución muestral de la media (TCL)

Por el teorema central del límite, la media muestral sigue aproximadamente una normal centrada en μ con error típico σ/√n.

\hat{P} \sim N\!\left(p,\; \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}\,\right)

Distribución muestral de la proporción

Para n grande, la proporción muestral sigue aproximadamente una normal centrada en p con error típico √(p(1−p)/n).

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Error típico de la media

Desviación típica de la distribución muestral de la media; disminuye al aumentar n, pero solo en proporción a √n.

Ejemplo resuelto

Distribución y error típico de la media muestral

El tiempo que los usuarios de una biblioteca pasan en ella tiene media μ = 95 minutos y desviación típica σ = 24 minutos. Se toman muestras aleatorias de 36 usuarios. Indica la distribución de la media muestral x̄, su error típico, y calcula la probabilidad de que x̄ supere los 100 minutos.

Aplicar el teorema central del límite
Como n = 36 ≥ 30, por el TCL la media muestral sigue aproximadamente una normal centrada en μ = 95 con error típico σ/√n.
Calcular el error típico
El error típico es σ/√n = 24/6 = 4 minutos. Por tanto x̄ ~ N(95, 4).
Tipificar el valor 100
Tipificamos x̄ = 100 con la N(95, 4): z = (100 − 95)/4 = 1,25.
Buscar la probabilidad en la tabla N(0,1)
P(x̄ > 100) = P(Z > 1,25) = 1 − P(Z ≤ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.

Resultado: La media muestral sigue x̄ ~ N(95, 4), con error típico 4 minutos; la probabilidad de que supere los 100 minutos es aproximadamente 0,1056 (un 10,56 %).

Errores frecuentes

Confundir la desviación típica de la población σ con el error típico de la media σ/√n: la primera mide la dispersión de los individuos; el segundo, mucho menor, mide la dispersión de las medias muestrales.
Creer que duplicar el tamaño de la muestra reduce el error típico a la mitad: como n aparece bajo una raíz, para reducir el error a la mitad hay que multiplicar n por cuatro (la mejora va con √n, no con n).

Repaso activo

El gasto mensual en transporte de los habitantes de una ciudad tiene desviación típica σ = 30 € (la distribución no es normal). Se toman muestras aleatorias de tamaño n = 100. Indica, justificando con el teorema central del límite, qué distribución sigue la media muestral x̄ y calcula su error típico. ¿Qué tamaño de muestra haría falta para reducir ese error típico a la mitad?

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Estimación puntual de parámetros poblacionales#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — estimación puntual de parámetros poblacionales (media y proporción) a partir de los estadísticos muestrales

Estimación puntual frente a estimación por intervalo

Estimar un parámetro de la población significa dar un valor aproximado de él a partir de los datos de la muestra. La forma más sencilla es la «estimación puntual»: se ofrece un único número como mejor aproximación del parámetro desconocido. El estadístico muestral que usamos para ello recibe el nombre de «estimador», y el valor concreto que toma en una muestra dada es la «estimación».

El estimador puntual natural de la media poblacional μ es la media muestral x̄, y el de la proporción poblacional p es la proporción muestral p̂. Es decir, si en una muestra obtenemos una media de 18,3, esa será nuestra estimación puntual de μ; si el 42 % de los encuestados está a favor de algo, p̂ = 0,42 es la estimación puntual de p. Estos estimadores se eligen porque son «insesgados»: en promedio (sobre todas las muestras posibles) coinciden con el verdadero parámetro, propiedad que el TCL del apartado anterior ya nos garantizaba al decir que la distribución muestral está centrada en el parámetro.

La gran limitación de la estimación puntual es que no informa de su propia precisión: dar «μ ≈ 18,3» no dice si el valor real está muy cerca o puede estar bastante lejos. Como x̄ varía de una muestra a otra, es prácticamente seguro que la estimación puntual no acierte el valor exacto de μ; lo que falta es una medida de cuánto puede equivocarse. Por eso la estimación puntual es solo el primer paso: el segundo, y el verdaderamente útil, será acompañarla de un margen de error mediante un intervalo de confianza (Fig. 1).

Conviene también recordar cómo se estima la dispersión. La desviación típica poblacional σ, cuando es desconocida, se estima a partir de la muestra; en este curso, sin embargo, los problemas de intervalo de confianza para la media suelen dar σ como dato (caso «σ conocida»), precisamente para poder usar la distribución normal sin complicaciones. En la estimación de la proporción, el error típico √(p(1−p)/n) se calcula sustituyendo p por su estimación puntual p̂, ya que p es justamente lo desconocido.

En resumen, la estimación puntual responde a «¿cuál es mi mejor número?» con x̄ o p̂, pero deja abierta la pregunta «¿cómo de fiable es?». La inferencia rigurosa exige cuantificar esa fiabilidad, y eso obliga a pasar de un punto a un intervalo. La estimación puntual y la estimación por intervalo no se oponen: la segunda se construye centrándose en la primera y añadiéndole un margen de error a ambos lados.

\hat{\mu} = \bar{x} \qquad \hat{p} = \dfrac{k}{n}

Estimadores puntuales

La media muestral estima la media poblacional μ; la proporción muestral (k éxitos entre n) estima la proporción poblacional p.

Ejemplo resuelto

Estimación puntual de una media y una proporción

En una encuesta a 400 estudiantes universitarios, 144 afirman tener una beca y el número medio de horas semanales de estudio declaradas es de 23,5. Calcula la estimación puntual de la proporción de becarios y de la media de horas de estudio de toda la población estudiantil, e indica por qué estas cifras necesitan un margen de error.

Estimar la proporción
La estimación puntual de p es la proporción muestral p̂ = 144/400 = 0,36 (un 36 % de becarios).
Estimar la media
La estimación puntual de μ es la media muestral x̄ = 23,5 horas semanales.
Reconocer la limitación
Ambos valores son solo aproximaciones: otra muestra de 400 estudiantes daría cifras algo distintas. La estimación puntual no informa de cuánto pueden alejarse del verdadero p y μ.
Anticipar el intervalo
Para conocer la fiabilidad habrá que añadir un margen de error a cada estimación y construir un intervalo de confianza, lo que se hace en el siguiente apartado.

Resultado: Estimaciones puntuales: p̂ = 0,36 (36 % de becarios) y x̄ = 23,5 horas; son las mejores aproximaciones puntuales, pero requieren un intervalo de confianza para expresar su precisión.

Errores frecuentes

Presentar una estimación puntual como si fuera el valor exacto y seguro del parámetro («la media es 18,3»), olvidando que x̄ es solo una aproximación que casi nunca coincide con el verdadero μ.
Al estimar una proporción, calcular el error típico con un valor de p elegido arbitrariamente en lugar de usar la propia estimación p̂ obtenida de la muestra (o el valor 0,5 del caso más desfavorable cuando no hay estimación previa).

Repaso activo

En una muestra aleatoria de 250 clientes de un banco, 95 declaran usar la aplicación móvil al menos una vez al día y la antigüedad media de su cuenta es de 7,2 años. Da la estimación puntual de la proporción de clientes que usan a diario la app y la estimación puntual de la antigüedad media de las cuentas, y explica por qué estos valores no permiten, por sí solos, saber cuánto se alejan de los verdaderos parámetros.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Intervalos de confianza para la media y para la proporción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — intervalos de confianza para la media de una población (σ conocida) y para una proporción, con un nivel de confianza dado; valor crítico z_{α/2}

Un «intervalo de confianza» es un intervalo de valores, calculado a partir de la muestra, que contiene al verdadero parámetro con una probabilidad prefijada llamada «nivel de confianza» (habitualmente 90 %, 95 % o 99 %). Su estructura es siempre la misma: se centra en la estimación puntual (x̄ o p̂) y se extiende un «margen de error» E a cada lado. Por eso se escribe como (estimación − E, estimación + E), y construirlo se reduce a calcular ese margen E (Fig. 1).

El margen de error combina tres ingredientes: el error típico del estadístico (σ/√n para la media, √(p̂(1−p̂)/n) para la proporción) y un «valor crítico» z_{α/2} que depende del nivel de confianza elegido. Si el nivel de confianza es 1 − α, entonces α se reparte entre las dos colas de la normal, y z_{α/2} es el valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad α/2. Los valores críticos más usados conviene tenerlos memorizados: z = 1,645 para el 90 %, z = 1,96 para el 95 % y z = 2,575 para el 99 %.

Para la «media» de una población con σ conocida (el caso estándar del curso), el intervalo de confianza es x̄ ± z_{α/2}·(σ/√n). El procedimiento práctico es: identificar x̄, σ y n en el enunciado; buscar z_{α/2} según el nivel de confianza; calcular el margen de error E = z_{α/2}·σ/√n; y escribir el intervalo (x̄ − E, x̄ + E). El uso de la normal está justificado porque, por el TCL, x̄ se distribuye normalmente (apartado 2).

Para una «proporción», el intervalo de confianza es p̂ ± z_{α/2}·√(p̂(1−p̂)/n), donde p̂ es la proporción muestral. El esquema de cálculo es idéntico al de la media, cambiando solo la fórmula del error típico. Conviene recordar que el resultado es una proporción (entre 0 y 1) que a menudo se expresa también en porcentaje, y que la aproximación normal exige una muestra grande (n·p̂ y n·(1−p̂) suficientemente grandes).

La interpretación correcta de un intervalo de confianza es delicada y muy valorada en la PAU. Decir que «tenemos un 95 % de confianza» significa que el método usado produce intervalos que contienen al verdadero parámetro en el 95 % de las muestras posibles; no significa que haya un 95 % de probabilidad de que μ esté en ESE intervalo concreto, porque μ es un valor fijo (está o no está dentro). La frase honesta es: «con un nivel de confianza del 95 %, el parámetro está comprendido entre … y …». Además, el intervalo de confianza y el margen de error tienen un compromiso: a mayor confianza, mayor z_{α/2} y por tanto intervalo más ancho (menos preciso) con la misma muestra.

\text{IC}(\mu) = \left(\bar{x} - z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\; \bar{x} + z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Intervalo de confianza para la media (σ conocida)

El intervalo se centra en la media muestral y se extiende el margen de error z_{α/2}·σ/√n a cada lado.

\text{IC}(p) = \left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},\;\; \hat{p} + z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\,\right)

Intervalo de confianza para la proporción

Mismo esquema que para la media, con el error típico de la proporción √(p̂(1−p̂)/n) y la proporción muestral p̂ en el centro.

\text{90\%}: z_{\alpha/2}=1{,}645 \quad \text{95\%}: z_{\alpha/2}=1{,}96 \quad \text{99\%}: z_{\alpha/2}=2{,}575

Valores críticos habituales

Valor de la N(0,1) que deja α/2 en cada cola, según el nivel de confianza 1 − α.

Ejemplo resuelto

Intervalo de confianza para una media (σ conocida)

Una universidad mide la puntuación media en una prueba de acceso. En una muestra aleatoria de 64 aspirantes la media obtenida es x̄ = 520 puntos, y se sabe que la desviación típica poblacional es σ = 12 puntos. Construye el intervalo de confianza al 95 % para la puntuación media de todos los aspirantes e interpreta el resultado.

Identificar los datos
Media muestral x̄ = 520; desviación típica poblacional σ = 12; tamaño de la muestra n = 64; nivel de confianza 95 %.
Elegir el valor crítico
Para un nivel de confianza del 95 % el valor crítico es z_{α/2} = 1,96.
Calcular el error típico
El error típico de la media es σ/√n = 12/√64 = 12/8 = 1,5 puntos.
Calcular el margen de error
E = z_{α/2}·σ/√n = 1,96 · 1,5 = 2,94 puntos.
Escribir el intervalo
IC = (520 − 2,94, 520 + 2,94) = (517,06, 522,94).

Resultado: Con un nivel de confianza del 95 %, la puntuación media de todos los aspirantes está comprendida entre 517,06 y 522,94 puntos; el margen de error es de ±2,94 puntos.

Ejemplo resuelto

Intervalo de confianza para una proporción

En una encuesta a una muestra aleatoria de 400 personas, 160 declaran que utilizan el transporte público a diario. Construye un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de la población que usa a diario el transporte público e interpreta el resultado.

Calcular la proporción muestral
p̂ = 160/400 = 0,40 (un 40 %).
Elegir el valor crítico
Para el 95 % de confianza, z_{α/2} = 1,96.
Calcular el error típico
Error típico = √(p̂(1−p̂)/n) = √(0,40·0,60/400) = √0,0006 = 0,024495.
Calcular el margen de error
E = 1,96 · 0,024495 ≈ 0,048.
Escribir el intervalo
IC = (0,40 − 0,048, 0,40 + 0,048) = (0,352, 0,448).

Resultado: Con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de la población que usa a diario el transporte público está entre 0,352 y 0,448 (entre el 35,2 % y el 44,8 %).

Errores frecuentes

Equivocar el valor crítico: usar z = 1,96 cuando se pide el 99 % (que requiere 2,575) o el 90 % (que requiere 1,645); conviene tener memorizada la correspondencia nivel de confianza ↔ z_{α/2}.
Interpretar mal el nivel de confianza diciendo que «hay un 95 % de probabilidad de que el parámetro esté en este intervalo»: el parámetro es fijo; lo que tiene esa confianza es el método de construcción del intervalo a largo plazo.

Repaso activo

Una empresa de mensajería mide el tiempo de entrega en una muestra aleatoria de 49 paquetes y obtiene una media de 38 horas. Por experiencia previa se sabe que la desviación típica poblacional es σ = 7 horas. Construye el intervalo de confianza para el tiempo medio de entrega de todos los paquetes con un nivel de confianza del 95 % e interpreta el resultado.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Error de estimación, nivel de confianza y tamaño muestral#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · Sentido estocástico — determinación del tamaño muestral y del error máximo admisible; interpretación de los resultados en el contexto de las ciencias sociales

El «error de estimación» (o error máximo admisible) es justamente el margen E que hemos sumado y restado para construir el intervalo de confianza: E = z_{α/2}·σ/√n para la media y E = z_{α/2}·√(p̂(1−p̂)/n) para la proporción. Mide la máxima diferencia que, con el nivel de confianza fijado, esperamos entre la estimación puntual y el verdadero parámetro. Es, por tanto, la mitad de la amplitud total del intervalo: a menor E, intervalo más estrecho y estimación más precisa.

Tres factores determinan el error de estimación, y entender cómo influye cada uno es clave para interpretar y diseñar un estudio. Primero, el «nivel de confianza»: al exigir más confianza aumenta z_{α/2} y, con todo lo demás igual, crece E (más seguridad cuesta menos precisión). Segundo, la «dispersión» (σ o p̂(1−p̂)): poblaciones más heterogéneas dan errores mayores. Tercero, y el único que controlamos al diseñar, el «tamaño de la muestra» n: como aparece bajo una raíz en el denominador, aumentar n reduce E, pero con rendimientos decrecientes —reducir E a la mitad exige cuadruplicar n (Fig. 1).

El problema inverso, muy frecuente en la PAU, es «determinar el tamaño muestral»: dado el error máximo E que queremos no superar y el nivel de confianza, ¿cuántos individuos necesitamos? Se despeja n de la fórmula del error. Para la media, partiendo de E = z_{α/2}·σ/√n se obtiene n = (z_{α/2}·σ / E)². El resultado casi nunca es entero; como un tamaño menor no garantizaría la precisión exigida, SIEMPRE se redondea hacia arriba (al entero inmediatamente superior).

Para el tamaño muestral en la estimación de una «proporción» se despeja igual: n = z_{α/2}²·p̂(1−p̂) / E². Cuando no se dispone de una estimación previa p̂, se usa el «caso más desfavorable» p̂ = 0,5, porque el producto p̂(1−p̂) alcanza su máximo (0,25) precisamente en p̂ = 0,5; tomar ese valor garantiza que el tamaño calculado bastará sea cual sea la verdadera proporción. También aquí el resultado se redondea hacia arriba.

La última competencia del tema es comunicar e interpretar correctamente estos resultados en el contexto de las ciencias sociales. Cuando un sondeo dice «el 40 % apoya la medida, con un margen de error de ±3 puntos y un nivel de confianza del 95 %», hay que saber leer que el verdadero apoyo poblacional se estima entre el 37 % y el 43 %, con la fiabilidad del 95 % ya comentada. Saber distinguir el error de muestreo (cuantificable) de otros errores no muestrales (sesgos de la encuesta, preguntas mal formuladas) forma parte de una lectura crítica y honesta de la estadística, que es lo que la PAU espera que el alumnado demuestre.

E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad\Longrightarrow\qquad n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}

Tamaño muestral para la media

Se despeja n de la fórmula del error de estimación de la media; el resultado se redondea siempre al entero superior.

n = \dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\;\hat{p}\,(1-\hat{p})}{E^{2}} \qquad (\hat{p}=0{,}5 \text{ en el caso más desfavorable})

Tamaño muestral para la proporción

Se despeja n de la fórmula del error de la proporción; si no hay estimación previa se toma p̂ = 0,5, que maximiza p̂(1−p̂) = 0,25.

Ejemplo resuelto

Cálculo del tamaño muestral para una proporción

Un instituto demoscópico quiere estimar la proporción de votantes favorables a una propuesta con un error máximo de 3 puntos porcentuales (E = 0,03) y un nivel de confianza del 95 %. Como no dispone de ninguna estimación previa, usa el caso más desfavorable. Calcula el tamaño mínimo de la muestra.

Identificar los datos
Error máximo E = 0,03; nivel de confianza 95 %, luego z_{α/2} = 1,96; sin estimación previa, se toma p̂ = 0,5 (caso más desfavorable).
Escribir la fórmula del tamaño
Se despeja n de E = z_{α/2}·√(p̂(1−p̂)/n).
Sustituir los valores
n = (1,96² · 0,5 · 0,5) / 0,03² = (3,8416 · 0,25) / 0,0009.
Operar
n = 0,9604 / 0,0009 = 1067,1…
Redondear al alza
Como un tamaño menor no garantizaría el error exigido, se redondea al entero inmediatamente superior: n = 1068.

Resultado: Se necesitan al menos 1068 personas en la muestra para estimar la proporción con un error máximo de 0,03 y un 95 % de confianza.

Errores frecuentes

Redondear el tamaño muestral hacia abajo o al entero más próximo: como n menor no garantiza el error exigido, debe redondearse SIEMPRE al entero inmediatamente superior (por ejemplo, n = 1067,1 obliga a tomar n = 1068).
Olvidar elevar al cuadrado al despejar n, o no usar p̂ = 0,5 como caso más desfavorable cuando el enunciado no da ninguna estimación previa de la proporción, lo que lleva a tamaños muestrales insuficientes.

Repaso activo

Se desea estimar la media del gasto diario en alimentación de los hogares de una ciudad con un error máximo de 0,5 € y un nivel de confianza del 99 %. Se sabe por estudios anteriores que la desviación típica poblacional es σ = 4 €. Calcula el tamaño mínimo de la muestra necesaria, redondeando adecuadamente.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Inferencia estadística

Puntos clave

Selección de una muestra y reconocimiento del sesgo

Puntos clave

Distribución y error típico de la media muestral

Puntos clave

Estimación puntual de una media y una proporción

Puntos clave

Intervalo de confianza para una media (σ conocida)

Intervalo de confianza para una proporción

Puntos clave

Cálculo del tamaño muestral para una proporción

Fuentes

Inferencia estadística

Puntos clave

Selección de una muestra y reconocimiento del sesgo

Puntos clave

Distribución y error típico de la media muestral

Puntos clave

Estimación puntual de una media y una proporción

Puntos clave

Intervalo de confianza para una media (σ conocida)

Intervalo de confianza para una proporción

Puntos clave

Cálculo del tamaño muestral para una proporción

Fuentes