Apuntes · Dibujo Técnico IIES · Selectividad

Transformaciones geométricas

Las transformaciones geométricas son operaciones que asocian a cada figura del plano otra figura relacionada según una ley fija; en 2.º de Bachillerato los saberes básicos se centran en las transformaciones proyectivas —la homología y la afinidad—, las únicas que nombra el RD 243/2022 para Dibujo Técnico II. Este tema, encuadrado en el Bloque A (Fundamentos geométricos) del currículo de Dibujo Técnico II, es el nexo que enlaza la geometría plana con la proyección espacial y prepara el trazado de cónicas y de secciones en los sistemas de representación. La inversión (como herramienta para tangencias) y la equivalencia de áreas y cuadratura se tratan aquí como contenido complementario de repaso o ampliación —no son saberes básicos LOMLOE de la materia y pueden no entrar en la PAU según la comunidad—. En Selectividad/PAU se evalúa la resolución gráfica rigurosa de figuras homólogas y afines valorando proporcionalidad, claridad y limpieza.

5seccionesca. 27min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0111 / 10

Perfil de examen

CE2 · Resolver gráficamente operaciones, relaciones, construcciones y transformaciones a partir de los fundamentos geométricos, mediante razonamientos inductivos, deductivos y lógicos, aplicándolos a los sistemas de representación.2.1 · Construir figuras planas aplicando transformaciones geométricas (homología y afinidad) y valorar su utilidad en los sistemas de representación.CE1/CE5 · Identificar y recrear construcciones geométricas en piezas y referentes técnicos, incluyendo su resolución con aplicaciones CAD.

Operadores:analizaexplicademuestraconstruyecalculajustificainterpretarazonarelacionatraza

nivel básico

Como materia de modalidad, el listón es alto: el saber básico es dominar el trazado correcto de figuras homólogas y afines con justificación geométrica de cada paso. La inversión de rectas y circunferencias (herramienta para tangencias) y la cuadratura de un polígono se trabajan como ampliación/repaso, no como saber básico LOMLOE, y pueden no entrar en la PAU según la comunidad.

nivel avanzado

La profundización consiste en encadenar transformaciones (afinidad para trazar la elipse, inversión aplicada a tangencias como ampliación) y en justificar las propiedades proyectivas que las sustentan, conectándolas con los sistemas de representación del Bloque B (Geometría proyectiva).

Profundidad

Schrift

Inhalt · 5 secciones

Transformaciones geométricas

Fundamentos: del movimiento a la transformación proyectiva#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque A (Fundamentos geométricos) · Transformaciones geométricas: homología y afinidad · 2.º curso

Una transformación geométrica es una correspondencia que asocia a cada punto del plano un único punto imagen siguiendo una ley fija; estudiar una transformación es identificar sus elementos invariantes (puntos, rectas o razones que no cambian) y la regla que liga cada figura con su homóloga. El currículo de 2.º de Bachillerato organiza estas correspondencias en una jerarquía que va de las que conservan más propiedades a las que conservan menos, y es esa pérdida progresiva de invariantes la que da a cada transformación su utilidad específica en el dibujo técnico.

En el primer escalón están las transformaciones isométricas, que conservan las distancias y, por tanto, la forma y el tamaño: la traslación (definida por un vector), el giro (definido por un centro y un ángulo) y la simetría (axial respecto de una recta o central respecto de un punto). Estas correspondencias son movimientos del plano y se consolidaron en 1.º; en 2.º se tratan como repaso, pues son la base intuitiva de la idea de transformación.

En el segundo escalón aparece la homotecia, una transformación isogonal que conserva los ángulos y la forma pero no el tamaño: a partir de un centro y una razón k, cada punto A se transforma en A' alineado con el centro de modo que la razón de distancias es constante. La homotecia introduce ya la proporcionalidad como herramienta y es el puente conceptual hacia las transformaciones proyectivas, pues comparte con ellas la idea de proyectar desde un centro. (repaso de 1.º, reactivado en 2.º).

El núcleo del tema en 2.º son las transformaciones proyectivas —la homología y la afinidad— y la inversión. A diferencia de los movimientos, la homología no conserva ni distancias ni ángulos: solo conserva la alineación de los puntos y la incidencia (lo que está sobre una recta sigue estándolo), además de la razón doble. Precisamente porque deforma de manera controlada, la homología modela lo que ocurre al proyectar una figura sobre un plano inclinado, y por eso es el nexo entre la geometría plana y la proyección espacial de los sistemas de representación, como anuncia la Fig. 1.

Jerarquía de las transformaciones por invariantes conservados

Conviene fijar el vocabulario común: dos puntos son homólogos cuando se corresponden por la transformación; un elemento es doble o invariante cuando coincide con su imagen (el eje de una simetría, el centro de un giro, el eje de una homología). Dominar esta terminología es imprescindible porque los enunciados de Selectividad piden 'hallar el homólogo de…', 'determinar el eje de…' o 'aplicar la transformación a…', y un error de nomenclatura suele arrastrar todo el trazado.

k=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Razón de homotecia

En una homotecia de centro O, cada punto A y su imagen A' están alineados con O y la razón de sus distancias al centro es constante e igual a k (con signo: positiva si A' está al mismo lado, negativa si está en el opuesto).

Ejemplo resuelto

Imagen de un triángulo por homotecia

Dado el centro de homotecia O y un triángulo ABC con OA = 4 cm, OB = 5 cm y OC = 6 cm medidos sobre las rectas OA, OB y OC, halla las distancias del centro a los vértices del triángulo homólogo A'B'C' si la razón de homotecia es k = 3/2. Indica cómo se traza A'.

Establecer la ley
En una homotecia de centro O cada vértice transformado está alineado con O y su vértice original, y la razón de distancias al centro es constante e igual a k.
Calcular OA'
Aplicamos k = 3/2 a OA = 4 cm.
Calcular OB' y OC'
Mismo procedimiento con OB = 5 y OC = 6.
Trazar gráficamente A'
Se prolonga la recta OA y, con la escala adecuada, se lleva 6 cm desde O sobre ella; A' queda al mismo lado que A por ser k positiva. Se repite para B' y C' y se unen los tres puntos.

Resultado: A'B'C' es semejante a ABC con razón 3/2: OA' = 6 cm, OB' = 7,5 cm y OC' = 9 cm. El triángulo imagen tiene los lados un 50 % mayores y los mismos ángulos.

Errores frecuentes

Confundir 'conservar la forma' (homotecia, semejanza) con 'conservar el tamaño' (isometrías): la homotecia cambia el tamaño aunque mantenga la proporción.
Tratar la homología como si conservara ángulos o distancias; solo conserva alineación, incidencia y razón doble, por lo que las figuras homólogas tienen formas distintas.

Repaso activo

Clasifica razonadamente las siguientes transformaciones según las propiedades que conservan e indica sus elementos definitorios: (a) una traslación de vector dado; (b) un giro de 60°; (c) una homotecia de razón 3/2; (d) una homología con centro y eje propios. Para cada una, señala qué invariantes desaparecen respecto de la anterior.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La homología: elementos, propiedades y construcción#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque A (Fundamentos geométricos) · Transformaciones geométricas: homología y afinidad · 2.º curso · Homología

La homología es una correspondencia proyectiva entre dos figuras del mismo plano que cumple dos condiciones simultáneas: las rectas que unen cada par de puntos homólogos pasan todas por un punto fijo llamado centro de homología (V), y las parejas de rectas homólogas se cortan siempre sobre una recta fija llamada eje de homología (e). El esquema de la Fig. 2 reúne estos elementos junto con un par de figuras homólogas.

Elementos de la homología: centro, eje, rayos y rectas límite

Los elementos dobles de la homología son, por tanto, el centro V (es su propio homólogo, pues toda recta que pasa por él se transforma en sí misma) y todos los puntos del eje e (cada punto del eje coincide con su homólogo). De ahí una propiedad operativa fundamental: si una recta corta al eje en un punto T, su recta homóloga pasa también por T, porque T es doble. Esta es la herramienta básica para hallar la homóloga de cualquier recta.

Para definir por completo una homología bastan tres datos independientes; las combinaciones habituales en Selectividad son: el centro V, el eje e y un par de puntos homólogos (A, A'); o bien el centro, el eje y la razón de homología; o el centro, el eje y una de las dos rectas límite. Con esos datos se puede transformar cualquier figura punto a punto. Para hallar el homólogo B' de un punto B se traza la recta AB, se prolonga hasta cortar el eje en T (punto doble), se une T con A' y, finalmente, B' es la intersección de esa recta T-A' con el rayo VB que parte del centro.

Las rectas límite son dos rectas paralelas al eje de gran valor operativo. La recta límite RL es el lugar de los puntos del plano de la figura cuyos homólogos se van al infinito (puntos impropios); la recta límite R'L' es el lugar de los homólogos de los puntos del infinito de la figura original. Ambas son paralelas al eje y equidistan de él y del centro de manera simétrica: la distancia del centro a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra. Conocer las rectas límite permite predecir qué partes de una figura se transformarán en elementos impropios —por ejemplo, por qué una circunferencia puede transformarse en una parábola o una hipérbola según corte o no a la recta límite.

La razón de homología es la razón doble constante (V, A, A', M) en que M es la intersección de la recta VAA' con el eje; equivale a una medida de cuánto 'estira' la transformación a lo largo de cada rayo que parte del centro. Cuando esta razón es la misma para todos los rayos, la homología queda determinada y, junto con el centro y el eje, permite situar cualquier homólogo midiendo sobre el rayo correspondiente. La homología es involutiva (homología de involución) cuando aplicarla dos veces devuelve la figura de partida, caso en el que centro, eje y razón guardan una relación particular.

(V,\,A,\,A',\,M)=\text{cte}

Razón de homología

La homología conserva la razón doble del centro V, un punto A, su homólogo A' y el punto M en que la recta VAA' corta al eje; esa razón doble es constante para toda la transformación.

d(V,\,RL)=d(e,\,R'L')

Simetría de las rectas límite

La distancia del centro V a la recta límite RL es igual a la distancia del eje e a la otra recta límite R'L'; ambas son paralelas al eje.

Ejemplo resuelto

Homólogo de un punto con razón de homología

Una homología tiene centro V y eje e. Sobre un rayo que parte de V se encuentra el punto A con VA = 6 cm. Si la razón de homología sobre ese rayo es k = 3/2, ¿a qué distancia del centro está el homólogo A'? Explica cómo se traza otro homólogo B' una vez fijado el par (A, A').

Interpretar la razón
La razón de homología fija, sobre cada rayo que parte de V, el cociente entre la distancia del homólogo y la del original al centro.
Calcular VA'
Despejamos VA' con k = 3/2 y VA = 6 cm.
Situar A'
Sobre el mismo rayo VA se lleva 9 cm desde V; queda definido el par de puntos homólogos (A, A').
Transformar B
Para otro punto B se traza la recta AB, se prolonga hasta cortar el eje en T (punto doble); la homóloga pasa por T y por A'. B' es el corte de la recta TA' con el rayo VB.

Resultado: VA' = 9 cm. Con el par (A, A') y los puntos dobles del eje queda determinada la homología, y cualquier B' se obtiene como intersección del rayo VB con la recta que une T (corte de AB con el eje) y A'.

Errores frecuentes

Olvidar que los puntos del eje son dobles: para hallar la homóloga de una recta hay que apoyarse en su corte con el eje, no en construcciones arbitrarias.
Confundir el centro con el eje o trazar los rayos sin hacerlos pasar todos por el mismo centro V, lo que rompe la condición proyectiva y produce una figura incorrecta.

Repaso activo

Dado el centro V, el eje e (horizontal) y un par de puntos homólogos A y A', construye el homólogo del triángulo ABC. Halla primero B' y C' apoyándote en los puntos dobles del eje y en los rayos que parten de V, y comprueba que las rectas homólogas se cortan sobre el eje.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

La afinidad y su aplicación: la elipse#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Dibujo Técnico II · Bloque A (Fundamentos geométricos) · Transformaciones geométricas: homología y afinidad · 2.º curso · Afinidad

La afinidad es un caso particular de la homología en el que el centro se ha ido al infinito: es una homología de centro impropio. Como el centro está en el infinito, los rayos que unen puntos homólogos ya no convergen en un punto propio, sino que son todos paralelos entre sí; esa dirección común se llama dirección de afinidad. El eje sigue siendo propio y se denomina eje de afinidad. La Fig. 3 muestra cómo cada punto y su afín se alinean según la dirección de afinidad y cómo las rectas homólogas se cortan sobre el eje.

Los elementos y propiedades de la afinidad heredan los de la homología con la simplificación del centro impropio: el eje es doble (sus puntos coinciden con sus afines) y se conserva la alineación, la incidencia y, además, la razón simple de tres puntos alineados (que sí es invariante porque el centro está en el infinito). La afinidad conserva el paralelismo: dos rectas paralelas tienen afines paralelas. La razón de afinidad es la razón constante entre los segmentos que un punto y su afín determinan respecto del eje, medidos según la dirección de afinidad.

La afinidad ortogonal es el caso más usado: la dirección de afinidad es perpendicular al eje. Una propiedad clave en este caso es que la afinidad conserva las áreas multiplicadas por la razón de afinidad: si k es la razón, el área de la figura afín es k veces el área de la original. Esta propiedad explica la relación entre una circunferencia y la elipse que de ella se obtiene por afinidad.

La aplicación estrella de la afinidad es el trazado de la elipse a partir de una circunferencia. Se parte de la circunferencia principal (de diámetro el eje mayor 2a) y se establece una afinidad ortogonal de eje el eje mayor y razón k = b/a, siendo b el semieje menor. Cada punto de la circunferencia se proyecta sobre el eje mayor y se lleva su afín reduciendo la ordenada en la proporción b/a; el lugar de los puntos afines es la elipse. Equivalentemente, se usan las dos circunferencias concéntricas (la principal de radio a y la secundaria de radio b): un radio cualquiera corta a ambas, y la elipse pasa por el punto de abscisa la del corte con la circunferencia mayor y de ordenada la del corte con la menor.

Esta construcción por afinidad conecta directamente con los sistemas de representación: cuando una circunferencia situada en un plano se proyecta o se abate sobre otro plano, su imagen es una elipse, y la afinidad es la herramienta que relaciona ambas. Por eso el trazado de la elipse por afinidad es un puente entre los fundamentos geométricos del Bloque A y la representación de circunferencias en perspectiva o en secciones del Bloque B (Geometría proyectiva).

k=\dfrac{b}{a}

Razón de la afinidad circunferencia → elipse

La afinidad ortogonal de eje el eje mayor que transforma la circunferencia principal (radio a) en la elipse tiene razón k = b/a, el cociente entre el semieje menor y el mayor.

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

Ecuación de la elipse

Lugar de los puntos cuyas coordenadas, con origen en el centro y ejes los de la elipse, satisfacen esta relación; se obtiene afinando la circunferencia x² + y² = a² con factor b/a en la ordenada.

A_{\text{afín}}=k\cdot A_{\text{original}}

Áreas en la afinidad

El área de la figura afín es la de la original multiplicada por la razón de afinidad k; así, el área de la elipse (π a b) es b/a veces la del círculo principal (π a²).

Ejemplo resuelto

Un punto de la elipse por afinidad

Se construye una elipse por afinidad a partir de una circunferencia principal de radio a = 5 cm; la razón de la afinidad ortogonal de eje el eje mayor es k = b/a con b = 3 cm. Un radio de la circunferencia forma 30° con el eje mayor. Halla las coordenadas del punto de la circunferencia y las de su afín sobre la elipse, y comprueba que el punto pertenece a la elipse.

Punto de la circunferencia
Con radio a = 5 y ángulo 30°, sus coordenadas son a·cos30° y a·sen30°.
Razón de afinidad
La afinidad ortogonal de eje el eje mayor reduce la ordenada en el factor k.
Punto afín (elipse)
Se conserva la abscisa y se multiplica la ordenada por k.
Comprobación
Sustituimos en la ecuación de la elipse con a = 5 y b = 3.

Resultado: El punto de la circunferencia es (4,330; 2,5) cm y su afín sobre la elipse es (4,330; 1,5) cm; la comprobación da exactamente 1, luego el punto pertenece a la elipse.

Errores frecuentes

Tomar la afinidad como una simple proyección 'aplastada' sin respetar la dirección de afinidad: cada punto debe desplazarse según esa dirección concreta hasta su afín.
Confundir la circunferencia principal (radio a, semieje mayor) con la secundaria (radio b, semieje menor) al trazar la elipse, intercambiando las coordenadas y deformando la curva.

Repaso activo

Traza una elipse de semieje mayor a = 50 mm y semieje menor b = 30 mm por el método de la afinidad. Dibuja la circunferencia principal de radio a, establece la afinidad ortogonal de eje el eje mayor y razón b/a, y obtén al menos ocho puntos de la elipse antes de unirlos a mano alzada con plantilla de curvas.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La inversión: La figuras inversas y aplicación a tangencias#

VertiefungAmpliación · No es saber básico LOMLOE del RD 243/2022 (Dibujo Técnico II solo nombra homología y afinidad) · Inversión como herramienta para tangencias · puede no entrar en la PAU según comunidad

Inversión de una recta que no pasa por el centro

Nota de currículo: la inversión NO es un saber básico LOMLOE de Dibujo Técnico II —el RD 243/2022 solo nombra la homología y la afinidad—; se incluye aquí como ampliación y herramienta para resolver tangencias, y puede no entrar en la PAU según la comunidad. La inversión es una transformación que asocia a cada punto P (distinto del centro) un punto P' sobre la misma semirrecta que parte del centro O, de modo que el producto de sus distancias al centro es constante e igual a la potencia o razón de inversión: OP · OP' = k. El centro O se llama centro de inversión y k es la potencia de inversión. La Fig. 4 ilustra cómo un punto cercano al centro tiene su inverso lejano y viceversa.

El signo de la potencia distingue dos casos. Si k es positiva, P y P' están al mismo lado del centro (sobre la misma semirrecta); existe entonces una circunferencia de puntos dobles, la circunferencia de autoinversión, de radio √k, cuyos puntos son sus propios inversos. Si k es negativa, P y P' están en lados opuestos del centro. La inversión es una transformación involutiva: aplicada dos veces sobre un punto lo devuelve a su posición, pues si OP·OP' = k, también OP'·OP = k.

Las figuras inversas siguen reglas precisas que conviene memorizar. Una recta que pasa por el centro de inversión es doble (se transforma en sí misma). Una recta que no pasa por el centro se transforma en una circunferencia que pasa por el centro. Recíprocamente, una circunferencia que pasa por el centro se transforma en una recta que no pasa por él. Y una circunferencia que no pasa por el centro se transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por él; ambas circunferencias son homotéticas respecto del centro de inversión.

Los puntos dobles y la dirección facilitan el trazado: para invertir una figura basta invertir puntos suficientes de ella aplicando OP·OP' = k sobre cada radio que parte del centro, lo que gráficamente se resuelve con la circunferencia de autoinversión y construcciones de potencia (segmentos tangentes, terceras proporcionales). Como la inversión conserva los ángulos entre curvas (es una transformación conforme), las tangencias se preservan: dos circunferencias tangentes se transforman en figuras también tangentes.

La utilidad central de la inversión en Dibujo Técnico II es la resolución de problemas de tangencias. Eligiendo el centro de inversión en un punto adecuado del enunciado (a menudo un punto de tangencia o el centro de una de las circunferencias dadas), se transforman las circunferencias y rectas del problema en otras más sencillas —típicamente rectas— donde el trazado de la solución es inmediato; después se invierte de nuevo la solución para devolverla al problema original. Así, una transformación se convierte en un método de resolución; por eso, aun no siendo saber básico LOMLOE, la inversión se mantiene como ampliación útil junto a las transformaciones del currículo.

\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=k

Definición de la inversión

Punto O = centro de inversión, k = potencia de inversión. El inverso P' de P está sobre la semirrecta OP de modo que el producto de las distancias al centro es la constante k.

r_{\text{auto}}=\sqrt{k}

Radio de la circunferencia de autoinversión

Cuando la potencia k es positiva, los puntos a distancia √k del centro son dobles; forman la circunferencia de autoinversión, los únicos puntos invariantes propios.

Ejemplo resuelto

Inverso de un punto y de una recta

En una inversión de centro O y potencia positiva k = 12 cm², halla el inverso del punto P situado a OP = 3 cm de O. Después, invierte la recta r perpendicular a OP que pasa por el pie M situado a OM = 4 cm de O: identifica la figura resultante y da su radio.

Aplicar la definición
El inverso P' cumple OP·OP' = k, con P' sobre la semirrecta OP (k > 0).
Calcular OP'
Sustituimos k = 12 y OP = 3.
Inverso del pie M
El pie de la recta r está en OM = 4; su inverso M' está sobre OM.
Identificar la figura inversa
La recta r no pasa por O, luego su inversa es una circunferencia que pasa por O. Su diámetro es el segmento OM', de extremos O y M'.

Resultado: El inverso de P está a 4 cm de O. La recta r se transforma en una circunferencia que pasa por O, de diámetro OM' = 3 cm y radio 1,5 cm, con centro en el punto medio de OM'.

Errores frecuentes

Olvidar que la inversa de una recta que NO pasa por el centro es una circunferencia que SÍ pasa por el centro (no otra recta): el error invierte el carácter de la figura.
Tomar la potencia de inversión como una distancia en lugar de como un producto de distancias: OP·OP' = k tiene unidades de área, no de longitud, y de ahí que el radio de autoinversión sea √k.

Repaso activo

Dada una circunferencia de centro O e inversión de potencia k = 36, halla el inverso de un punto P situado a 4 cm de O sobre una semirrecta. A continuación, invierte la recta r perpendicular a OP a 4 cm de O: identifica qué figura resulta y determina su elemento característico (centro y radio).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Equivalencia entre polígonos y cuadratura#

StandardRepaso/ampliación · No figura en los saberes básicos del RD 243/2022 (Dibujo Técnico II) · Equivalencia de áreas y cuadratura de polígonos · puede no entrar en la PAU según comunidad

Secuencia de cuadratura: polígono → triángulo → cuadrado equivalente

Dos figuras planas son equivalentes cuando tienen la misma área, aunque su forma sea distinta. Nota de currículo: la equivalencia de áreas y la cuadratura NO figuran en los saberes básicos del RD 243/2022 de Dibujo Técnico II; se incluyen aquí como contenido de repaso/ampliación (sin bloque oficial), y pueden no entrar en la PAU según la comunidad. Se resuelven gráficamente aplicando proporcionalidad: el objetivo es transformar un polígono dado en otro de área idéntica y forma más sencilla, normalmente un triángulo y, finalmente, un cuadrado. La figura resume la secuencia polígono → triángulo equivalente → cuadrado equivalente.

La transformación de un polígono en triángulo equivalente se basa en una propiedad elemental: dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen la misma área, porque las paralelas conservan la altura. Para reducir un vértice, se traza por él la paralela a la diagonal que une sus dos vértices contiguos; el punto donde esa paralela corta a la prolongación de un lado sustituye al vértice eliminado sin cambiar el área. Repitiendo el proceso, un polígono de n lados se reduce a un triángulo equivalente, paso a paso, restando un lado cada vez.

El siguiente paso es la cuadratura: construir un cuadrado de área igual a la de una figura dada. Para un rectángulo de lados a y b, el lado del cuadrado equivalente es la media geométrica de a y b, es decir, √(a·b). Gráficamente, la media geométrica se obtiene por el teorema de la altura: sobre un segmento de longitud a + b se traza la semicircunferencia que lo tiene por diámetro, y la altura levantada en el punto que separa a de b corta a la semicircunferencia a una distancia igual a √(a·b) del diámetro.

Como un triángulo de base c y altura h tiene área c·h/2, equivale a un rectángulo de lados c y h/2 (o de base c/2 y altura h); así, la cuadratura de un triángulo se reduce a la de ese rectángulo equivalente. Encadenando los métodos —polígono a triángulo, triángulo a rectángulo y rectángulo a cuadrado— cualquier polígono se puede cuadrar con regla y compás, que es el problema clásico de la cuadratura de figuras rectilíneas (resoluble, a diferencia de la cuadratura del círculo).

La equivalencia se apoya por completo en la proporcionalidad y en los lugares geométricos del trazado, por lo que es un buen repaso para reforzar el rigor en los razonamientos y la limpieza en la ejecución. Cada paso debe quedar justificado por la propiedad geométrica que lo permite (igualdad de áreas por igual base y altura, media geométrica por el teorema de la altura), y el dibujo final debe presentar con claridad las construcciones auxiliares, que se conservan finas pero visibles.

\ell=\sqrt{a\cdot b}

Lado del cuadrado equivalente a un rectángulo

El cuadrado equivalente a un rectángulo de lados a y b tiene de lado la media geométrica de a y b, pues su área debe ser ℓ² = a·b.

h=\sqrt{a\cdot b}

Teorema de la altura (media geométrica)

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media geométrica de las dos proyecciones a y b de los catetos sobre ella; este teorema permite construir gráficamente √(a·b).

A_{\triangle}=\dfrac{c\cdot h}{2}

Área del triángulo

Base por altura partido por dos; un triángulo de base c y altura h equivale a un rectángulo de lados c y h/2, lo que enlaza la triangulación con la cuadratura.

Ejemplo resuelto

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Halla, razonando el método gráfico, el lado del cuadrado equivalente a un rectángulo de lados a = 8 cm y b = 2 cm. Indica cómo se obtendría ese lado con regla y compás.

Igualar áreas
El cuadrado equivalente debe tener la misma área que el rectángulo: ℓ² = a·b.
Calcular el área
Área del rectángulo con a = 8 y b = 2.
Hallar el lado
El lado es la raíz cuadrada del área, es decir, la media geométrica de a y b.
Construcción gráfica
Se alinean a y b (longitud total 10 cm) y se traza la semicircunferencia de ese diámetro; la perpendicular levantada en el punto que separa a de b corta a la semicircunferencia a 4 cm del diámetro, que es el lado √(a·b).

Resultado: El lado del cuadrado equivalente es ℓ = √16 = 4 cm; gráficamente se obtiene como la media geométrica de 8 y 2 por el teorema de la altura.

Errores frecuentes

Trazar la paralela a un lado en lugar de a la diagonal entre los vértices contiguos al que se reduce: solo la paralela a esa diagonal conserva el área.
Calcular el lado del cuadrado equivalente como la media aritmética (a+b)/2 en lugar de la media geométrica √(a·b), lo que cambia el área.

Repaso activo

Dado un pentágono irregular, transfórmalo en un triángulo equivalente reduciendo sus vértices uno a uno con paralelas a las diagonales adecuadas. A continuación, cuadra el triángulo obtenido: redúcelo a un rectángulo equivalente y construye con el teorema de la altura el cuadrado de su misma área.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Transformaciones geométricas

Puntos clave

Imagen de un triángulo por homotecia

Puntos clave

Homólogo de un punto con razón de homología

Puntos clave

Un punto de la elipse por afinidad

Puntos clave

Inverso de un punto y de una recta

Puntos clave

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Fuentes

Transformaciones geométricas

Puntos clave

Imagen de un triángulo por homotecia

Puntos clave

Homólogo de un punto con razón de homología

Puntos clave

Un punto de la elipse por afinidad

Puntos clave

Inverso de un punto y de una recta

Puntos clave

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Fuentes