WS 3 - Verteilungen und schliessende Statistik — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz#

StandardWS-3.1

Eine Zufallsvariable

X

übersetzt den Zufall in Zahlen: Sie ordnet jedem Ergebnis

\omega

eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu - etwa die gewürfelte Augenzahl, die Anzahl der Treffer in einer Serie oder den Gewinn bei einem Spiel. Erst diese Übersetzung erlaubt es, mit dem Zufall zu rechnen wie mit gewöhnlichen Zahlen: zu mitteln, zu vergleichen und die Streuung zu messen. Man unterscheidet diskrete Zufallsvariablen mit abzählbar vielen Werten von stetigen, die jeden Wert eines ganzen Intervalls annehmen können.

Der Erwartungswert

E(X)=\sum_{i} x_{i}\cdot P(X=x_{i})

ist der „langfristige Durchschnitt": Mittelt man die Ergebnisse sehr vieler Wiederholungen, pendelt sich ihr Schnitt auf

E(X)

ein (Gesetz der großen Zahlen). Anschaulich ist er der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert - der Schwerpunkt der Verteilung, in dem ein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeiten genau balancieren würde. Für den fairen Würfel etwa ist

E(X)=\tfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5

; dass dieser Wert selbst nie gewürfelt werden kann, zeigt, dass der Erwartungswert keine Prognose für den Einzelfall, sondern eine Durchschnittsaussage ist.

Wie stark die einzelnen Werte um

E(X)=\mu

schwanken, misst die Varianz

V(X)=E((X-\mu)^{2})

als mittlere quadratische Abweichung. Man quadriert die Abweichungen, damit sich positive und negative nicht gegenseitig aufheben und große Ausreißer stärker zu Buche schlagen. Zum Rechnen ist der Verschiebungssatz

V(X)=E(X^{2})-\mu^{2}

bequemer: erst den Erwartungswert der Quadrate, dann das Quadrat des Erwartungswerts abziehen. Beim Würfel ergibt sich

V(X)=\tfrac{91}{6}-3{,}5^{2}\approx 2{,}92

.

Weil die Varianz in quadrierten Einheiten anfällt, zieht man am Ende die Wurzel und erhält die Standardabweichung

\sigma=\sqrt{V(X)}

. Sie trägt dieselbe Einheit wie

X

selbst und ist deshalb direkt interpretierbar als typische Abweichung vom Mittel - beim Würfel

\sigma\approx 1{,}71

. Genau deshalb darf man Varianz und Standardabweichung nie verwechseln: Die eine ist das Quadrat der anderen.

Die Rechenvorschrift hängt vom Typ der Zufallsvariablen ab: Bei diskreten Zufallsvariablen wird über alle Werte summiert, bei stetigen tritt an die Stelle der Summe das Integral über die Dichtefunktion. Das Grundprinzip bleibt dasselbe - jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit zu gewichten -, nur das Werkzeug wechselt von der Summe zum Integral.

Verschiebt oder skaliert man eine Zufallsvariable linear, so gelten

E(aX+b)=aE(X)+b

und

V(aX+b)=a^{2}V(X)

. Der Erwartungswert macht also jede lineare Umrechnung mit (etwa von Celsius in Fahrenheit), die Varianz dagegen reagiert nur auf den Streckfaktor

a

, und zwar mit dessen Quadrat - eine reine Verschiebung um

b

ändert die Streuung nicht. Erwartungswert und Standardabweichung sind das Kennzahlenpaar, das jede Verteilung zuerst charakterisiert („wo liegt das Zentrum?" und „wie breit streut es?") - genau in der kompakten Form

E(X)=n\cdot p

,

V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)

kehren sie gleich bei der Binomialverteilung wieder.

E(X)=\sum_{i} x_{i}\cdot P(X=x_{i})

Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen

V(X)=E((X-\mu)^{2})=E(X^{2})-\mu^{2}

Varianz

Musterbeispiel

Erwartungswert eines Spiels

Du wirfst einen Würfel. Bei einer 6 gewinnst du $5$ Euro, sonst zahlst du $1$ Euro. Erwarteter Gewinn?

Werte und Wahrscheinlichkeiten
$X=5$ mit $P=\tfrac{1}{6}$ , $X=-1$ mit $P=\tfrac{5}{6}$ .
Erwartungswert
$E(X)=5\cdot\tfrac{1}{6}-1\cdot\tfrac{5}{6}=0$ .

Ergebnis: Erwartungswert $0$ Euro - das Spiel ist langfristig fair.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Erwartungswert ist das, was im Durchschnitt pro Versuch herauskommt.
2
Varianz und Standardabweichung sagen dir, wie stark einzelne Werte streuen.
3
Bei einer Linearkombination verändert sich der Erwartungswert linear, die Varianz quadratisch.

Typische Fehler

Erwartungswert mit häufigstem Wert (Modalwert) verwechselt.
Varianz mit Standardabweichung verwechselt.
Lineartransformation der Varianz ohne Quadrat.

Aktive Wiederholung

Berechne Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen "Augenzahl beim Wurf eines fairen Würfels".

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Erwartungswert (IQS)

Binomialverteilung#

StandardWS-3.2

Die Binomialverteilung

X\sim B(n,p)

ist das Arbeitspferd unter den Verteilungen: Sie zählt die Anzahl der Erfolge in

n

unabhängigen, gleichartigen Versuchen, von denen jeder nur zwei Ausgänge kennt - Erfolg oder Misserfolg. Ein einzelner solcher Ja/Nein-Versuch heißt Bernoulli-Versuch, die ganze Serie eine Bernoulli-Kette. Typische Fragen lauten: Wie viele von

20

Befragten haben ein Produkt gekauft? Wie viele defekte Stücke sind unter

50

?

Damit das Modell trägt, müssen vier Bedingungen erfüllt sein: eine feste Anzahl

n

von Versuchen, in jedem genau zwei mögliche Ausgänge, eine über alle Versuche konstante Erfolgswahrscheinlichkeit

p

und die Unabhängigkeit der Versuche voneinander. Prüfe diese Voraussetzungen in der Matura immer ausdrücklich, denn sie entscheiden, ob die Binomialformel überhaupt angewendet werden darf.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}

und setzt sich aus drei Bausteinen zusammen:

p^{k}

für die

k

Erfolge,

(1-p)^{n-k}

für die übrigen Misserfolge und der Binomialkoeffizient

\binom{n}{k}

, der zählt, auf wie viele Reihenfolgen sich die

k

Erfolge auf die

n

Versuche verteilen. Wirft man eine faire Münze zehnmal, ist

P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}5)^{10}=120\cdot\tfrac{1}{1024}\approx 0{,}117

.

Trägt man die Wahrscheinlichkeiten als Balken über

k

auf, entsteht eine charakteristische Form (): Sie ist symmetrisch für

p=0{,}5

und für

p\neq 0{,}5

schief, und ihr höchster Balken liegt stets in der Nähe des Erwartungswerts. Für

B(10;\,0{,}4)

liegt das Maximum bei

k=4

- genau bei

E(X)=n\cdot p=4

.

Binomialverteilung B(10; 0,4)

Abb. 1Wahrscheinlichkeiten

P(X=k)

für

k=0,\dots,10

.

Die Kennzahlen folgen kompakt aus dem Modell:

E(X)=n\cdot p

(von

n

Versuchen ist im Schnitt der Anteil

p

erfolgreich),

V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)

und die Standardabweichung

\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

. Für

B(10;\,0{,}4)

etwa erhält man

E(X)=4

,

V(X)=2{,}4

und

\sigma\approx 1{,}55

. Verwechsle dabei nie Erwartungswert und Varianz - der Erwartungswert ist linear in

p

, die Varianz quadratisch über

p(1-p)

.

Bei den häufigen „mindestens"- und „höchstens"-Aufgaben braucht man kumulierte Wahrscheinlichkeiten; die CAS-Funktion

\texttt{binomCdf}

liefert

P(X\le k)

direkt. Oft spart der Komplementäransatz Rechenarbeit, etwa

P(X\ge 1)=1-P(X=0)

. Achtung beim Modellieren: Ziehen ohne Zurücklegen verletzt die Unabhängigkeit und ist nicht binomial; und für großes

n

lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern - die Brücke zur nächsten Sektion.

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Binomialverteilung X\sim B(n,p)

E(X)=n\cdot p,\quad V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Zehnmal Münze werfen - Anzahl der Köpfe

Eine faire Münze wird zehnmal geworfen. Wahrscheinlichkeit für genau $7$ Köpfe?

Modell
$X\sim B(10; 0{,}5)$ .
Wahrscheinlichkeit
$P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}5)^{10}=120\cdot \tfrac{1}{1024}\approx 0{,}117$ .

Ergebnis: $P(X=7)\approx 0{,}117$ oder $11{,}7\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Binomialverteilung passt, wenn du unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit hast.
Binomialverteilung B(10; 0,4)
Abb.Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ für $k=0,\dots,10$ .
2
Erwartungswert ist $n\cdot p$ , Varianz ist $n\cdot p\cdot q$ .
3
Bei "mindestens"-Aufgaben spart der Komplementaransatz viel Rechenarbeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Online-Befragung zeigt, dass

35\%

der Befragten ein bestimmtes Produkt bereits gekauft haben. Aus einer Stichprobe von

20

Personen werden die Käufer gezählt. Modelliere die Anzahl der Käufer als Zufallsvariable und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau

8

Käufer in der Stichprobe sind.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Erwartungswert und Varianz vertauscht.
Wiederholungen ohne Unabhängigkeit (z.B. Ziehen ohne Zurücklegen) als binomial behandelt.
Kumulierte und punktweise Wahrscheinlichkeit verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine produziert mit $4\%$ Ausschuss. Berechne die Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe von $50$ Stück höchstens $3$ defekte Stücke zu finden.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Binomialverteilung (IQS)

Normalverteilung und 68-95-99,7-Regel#

StandardWS-3.4

Normalverteilung \mathcal{N}(0, 1) - Standardnormalverteilung

Abb. 3Dichtefunktion der Standardnormalverteilung mit Mittelwert

0

und Standardabweichung

1

; Wendepunkte bei

z=\pm 1

.

Viele in der Natur gemessene Größen - Körpergrößen, Messfehler, Füllmengen einer Abfüllanlage - häufen sich um einen Mittelwert und werden nach beiden Seiten hin seltener. Solche Größen modelliert man mit der Normalverteilung

\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})

, deren Dichte die berühmte Glockenkurve bildet (). Sie ist symmetrisch um den Mittelwert

\mu

und besitzt ihre Wendepunkte genau bei

\mu\pm\sigma

.

Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel

Abb. 2Anteil der Daten innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.

Zwei Parameter steuern die Kurve: Der Mittelwert

\mu

legt die Lage fest (er verschiebt die Glocke nach links oder rechts), die Standardabweichung

\sigma

legt die Breite fest (großes

\sigma

macht sie flach und breit, kleines

\sigma

hoch und schmal). Die Gesamtfläche unter der Kurve ist immer

1

, denn sie steht für die Gesamtwahrscheinlichkeit. Der Abstand der Wendepunkte vom Zentrum gibt

\sigma

damit eine anschauliche geometrische Bedeutung.

Eine schnelle Daumenregel ist die 68-95-99,7-Regel: Innerhalb

\mu\pm\sigma

liegen etwa

68\%

der Werte, innerhalb

\mu\pm 2\sigma

rund

95\%

und innerhalb

\mu\pm 3\sigma

etwa

99{,}7\%

. Füllt eine Anlage Saft normalverteilt mit

\mu=1{,}00

L und

\sigma=0{,}02

L ab, so ist das Intervall

[0{,}96;\,1{,}04]

gerade

\mu\pm 2\sigma

- also liegen rund

95\%

der Flaschen in diesem Bereich, ganz ohne Tabelle.

Für beliebige Grenzen führt man die Größe auf die Standardnormalverteilung zurück. Die Standardisierung

Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,\,1)

misst, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittel entfernt ist; entscheidend ist, dass im Nenner

\sigma

und nicht die Varianz

\sigma^{2}

steht. Aus Tabelle oder CAS liest man dann die Verteilungsfunktion

\Phi(z)=P(Z\le z)

ab.

Ein Intervall berechnet man als Differenz

P(a\le X\le b)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})

, wobei die Symmetrie

\Phi(-z)=1-\Phi(z)

negative

z

-Werte erledigt. Für die Körpergröße erwachsener Frauen mit

\mu=166

cm und

\sigma=6{,}5

cm etwa ergibt der Bereich

160

bis

172

cm die

z

-Werte

\pm 0{,}92

und damit

P=2\Phi(0{,}92)-1\approx 0{,}64

, also rund

64\%

.

Schließlich dient die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung: Ist

n

groß genug - als Faustregel

n\cdot p\cdot(1-p)\ge 9

-, so gilt

B(n,p)\approx\mathcal{N}(n p,\;n p(1-p))

, weil sich das Balkendiagramm der Binomialverteilung immer mehr der Glockenkurve angleicht. Prüfe die Faustregel jedoch immer, bevor du näherst; für kleines

n\cdot p\cdot(1-p)

ist die Approximation zu ungenau.

Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}

Standardisierung

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Anteil im $2\sigma$ -Bereich

Wie viele Flaschen liegen zwischen $\mu-2\sigma$ und $\mu+2\sigma$ ?

68-95-99,7-Regel
Innerhalb $\mu\pm 2\sigma$ liegen ca. $95\%$ der Werte.

Ergebnis: Rund $95\%$ der Saftflaschen haben Inhalt zwischen $0{,}96$ L und $1{,}04$ L.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Normalverteilung ist die klassische Glockenkurve.
Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel
Abb.Anteil der Daten innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.
2
Mit der 68-95-99,7-Regel hast du eine schnelle Daumenregel für typische Anteile.
3
Bei beliebigen Werten standardisierst du und liest Tabellen- oder CAS-Wahrscheinlichkeit ab.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Körpergröße erwachsener Frauen in Österreich wird mit

\mu=166

cm und

\sigma=6{,}5

cm normalverteilt modelliert. Bestimme den Anteil der Frauen mit Körpergröße zwischen

160

cm und

172

cm.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Standardisierung mit Varianz statt Standardabweichung im Nenner.
$z$ -Werte nicht symmetrisch behandelt.
Näherung ohne Prüfung der Faustregel angewandt.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine füllt Saft in Flaschen, normalverteilt mit $\mu=1{,}00$ L und $\sigma=0{,}02$ L. Anteil Flaschen mit Inhalt zwischen $0{,}96$ und $1{,}04$ L?

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Normalverteilung (IQS)

Konfidenzintervalle und Hypothesentests#

VertiefungWS-3.5

Die schließende Statistik dreht den Spieß um: Aus einer Stichprobe will man auf die unbekannte Grundgesamtheit schließen. Dafür gibt es zwei Werkzeuge - das Konfidenzintervall schätzt einen Bereich, in dem der wahre Wert plausibel liegt, der Hypothesentest entscheidet zwischen zwei konkurrierenden Behauptungen. Beide beruhen darauf, dass eine aus der Stichprobe berechnete Schätzgröße selbst zufällig schwankt und diese Schwankung quantifizierbar ist.

Das Konfidenzintervall für einen Anteil lautet

\hat p\pm z\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}

: Man nimmt den Stichprobenanteil

\hat p

als Punktschätzung und legt nach beiden Seiten eine Fehlerspanne von

z

Standardfehlern darüber. Für

95\%

-Konfidenz ist

z=1{,}96

. Antworten etwa

172

von

400

Befragten mit Ja, so ist

\hat p=0{,}43

, der Standardfehler

\sqrt{\tfrac{0{,}43\cdot 0{,}57}{400}}\approx 0{,}0247

und das Intervall

0{,}43\pm 1{,}96\cdot 0{,}0247\approx[0{,}381;\,0{,}479]

- mit etwa

95\%

Sicherheit liegt der wahre Anteil in diesem Bereich.

Ist statt eines Anteils ein Mittelwert gesucht und

\sigma

bekannt, lautet das Intervall

\bar x\pm z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. In beiden Fällen wird das Intervall breiter, je höher die geforderte Sicherheit ist (

z=1{,}645

für

90\%

,

1{,}96

für

95\%

,

2{,}58

für

99\%

), und schmäler, je größer der Stichprobenumfang

n

ist - mehr Daten erkaufen mehr Genauigkeit.

Der Hypothesentest folgt einem festen Ablauf: Man stellt Nullhypothese

H_{0}

und Alternativhypothese

H_{1}

auf, berechnet eine standardisierte Prüfgröße - beim Mittelwert

z=\dfrac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}

- und vergleicht sie mit dem Ablehnungsbereich. Liegt die Prüfgröße darin, wird

H_{0}

verworfen, sonst beibehalten; am Ende steht stets eine sprachliche Interpretation im Sachkontext.

Die Entscheidung kann auf zwei Arten falsch sein. Der Fehler 1. Art bedeutet,

H_{0}

abzulehnen, obwohl sie wahr ist; seine Wahrscheinlichkeit ist das vorab gewählte Signifikanzniveau

\alpha

(etwa

0{,}05

). Der Fehler 2. Art bedeutet,

H_{0}

beizubehalten, obwohl in Wahrheit

H_{1}

gilt; seine Wahrscheinlichkeit heißt

\beta

. Beide Risiken hängen gegenläufig zusammen: Senkt man

\alpha

, steigt bei gleichem

n

tendenziell

\beta

- sie sind keine Rechenfehler, sondern strukturelle Entscheidungsrisiken.

Achte auf die typischen Stolpersteine: das

z

zum geforderten Konfidenzniveau wählen (und das einseitige

z_{0{,}95}=1{,}645

nicht mit dem zweiseitigen

1{,}96

verwechseln),

H_{0}

und

H_{1}

nicht vertauschen und die Prüfgröße stets standardisieren. Halte den Stichprobenumfang außerdem groß genug (

n\ge 30

), damit die Normalnäherung trägt - womit dieser Abschnitt direkt auf der Stichprobenverteilung des Mittelwerts aufbaut.

\hat{p}\pm z\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Konfidenzintervall für einen Anteil

z=\dfrac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}

Prüfgröße beim Mittelwerttest

Musterbeispiel

Konfidenzintervall für einen Anteil

Aus $400$ Befragten antworten $172$ mit Ja. $95\%$ -Konfidenzintervall.

Stichprobenanteil
$\hat p=\tfrac{172}{400}=0{,}43$ .
Standardfehler
$SE=\sqrt{\tfrac{0{,}43\cdot 0{,}57}{400}}\approx 0{,}0247$ .
Intervall
$0{,}43\pm 1{,}96\cdot 0{,}0247\approx 0{,}43\pm 0{,}049$ .

Ergebnis: Konfidenzintervall $[0{,}381;\,0{,}479]$ ; der tatsächliche Anteil liegt mit $95\%$ Sicherheit in diesem Bereich.

Musterbeispiel

Einseitiger Hypothesentest für einen Anteil

Ein Zulieferer behauptet, höchstens $5\%$ der Bauteile seien defekt. In einer Stichprobe von $n=200$ Bauteilen sind $16$ defekt. Prüfe die Behauptung auf dem Signifikanzniveau $\alpha=0{,}05$ .

Hypothesen
Behauptung als $H_{0}:\;p\le 0{,}05$ gegen $H_{1}:\;p>0{,}05$ (einseitig, rechts). Getestet wird mit $p_{0}=0{,}05$ .
Stichprobenanteil
$\hat p=\tfrac{16}{200}=0{,}08$ .
Prüfgröße
Standardisieren unter $H_{0}$ : $z=\dfrac{\hat p-p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1-p_{0})/n}}=\dfrac{0{,}08-0{,}05}{\sqrt{0{,}05\cdot 0{,}95/200}}=\dfrac{0{,}03}{0{,}0154}\approx 1{,}95$ .
Entscheidung
Kritischer Wert einseitig: $z_{0{,}95}=1{,}645$ . Wegen $1{,}95>1{,}645$ liegt $z$ im Ablehnungsbereich.

Ergebnis: $H_{0}$ wird auf dem Niveau $\alpha=0{,}05$ abgelehnt: Die Daten sprechen gegen die Behauptung " $\le 5\%$ defekt"; der beobachtete Anteil von $8\%$ ist signifikant zu hoch. (Bei $\alpha=0{,}01$ mit $z_{0{,}99}=2{,}33$ könnte $H_{0}$ dagegen nicht abgelehnt werden.)

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Ein Konfidenzintervall gibt dir einen Bereich, in dem der wahre Wert wahrscheinlich liegt.
2
Bei einem Hypothesentest formulierst du Nullhypothese und Alternative und entscheidest anhand einer Prüfgröße.
3
Fehler erster und zweiter Art sind keine Rechenfehler, sondern strukturelle Entscheidungsrisiken.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

In einer Stichprobe von

250

Personen geben

65

an, ein Elektroauto kaufen zu wollen. Bestimme ein

95\%

-Konfidenzintervall für den Anteil in der Grundgesamtheit und interpretiere das Ergebnis.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$z$ -Wert für falsches Konfidenzniveau verwendet.
Nullhypothese mit Alternative vertauscht.
Prüfgröße nicht standardisiert.

Aktive Wiederholung

Bei einer Befragung von $400$ Personen sagen $172$ "Ja". Berechne ein $95\%$ -Konfidenzintervall für den Anteil.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Konfidenzintervalle und Tests (IQS)

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung#

StandardWS-3.1

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur abzählbar viele Werte an; ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem dieser Werte

x_{i}

eine Wahrscheinlichkeit

P(X=x_{i})

zu. Die vollständige Liste aller Wert-Wahrscheinlichkeit-Paare - meist als Verteilungstabelle geschrieben - ist die diskrete Verteilung selbst und enthält die gesamte Information über das Zufallsexperiment.

Eine solche Tabelle ist nur dann eine gültige Verteilung, wenn jede Einzelwahrscheinlichkeit zwischen

0

und

1

liegt und ihre Summe genau

\sum_{i}P(X=x_{i})=1

ergibt - denn irgendeiner der Werte muss eintreten. Genau diese Normierungsbedingung ist der erste Prüfschritt: Ergibt die Spaltensumme nicht

1

, ist die Verteilung ungültig oder unvollständig.

Stellt man die Wahrscheinlichkeiten als Balken über den Werten dar, entsteht ein Stabdiagramm, dessen Balkenhöhen sich zu

1

aufaddieren (). Auch die Binomialverteilung ist eine solche diskrete Verteilung; die abgebildete symmetrische Verteilung

B(6;\,0{,}5)

etwa hat ihren Schwerpunkt - den Erwartungswert

E(X)=n\cdot p=3

- genau in der Mitte.

Diskrete Verteilung am Beispiel B(6; 0,5)

Abb. 4Wahrscheinlichkeiten

P(X=k)

für

k=0,\dots,6

; die Balken ergeben in Summe

1

, der Erwartungswert

E(X)=3

liegt symmetrisch im Zentrum.

Aus der Tabelle berechnet man den Erwartungswert als gewichtete Summe

E(X)=\sum_{i} x_{i}\cdot P(X=x_{i})

, also den langfristigen Durchschnittswert über viele Wiederholungen. Zahlt ein Spiel mit Wahrscheinlichkeit

0{,}2

einen Gewinn von

5

Euro und sonst nichts, so ist

E(X)=5\cdot 0{,}2+0\cdot 0{,}8=1

Euro - ein Spieleinsatz über

1

Euro wäre langfristig also ein Verlustgeschäft.

Neben dem Zentrum interessiert die Streuung: Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert und steht damit für das Risiko. Zwei Glücksspiele mit demselben Erwartungswert können sehr unterschiedlich riskant sein - das eine zahlt verlässlich kleine Beträge, das andere selten viel und meist nichts. Verteilungstabellen sind deshalb die Grundlage jeder Erwartungswert- und Risikobetrachtung, von Glücksspielen bis zu Versicherungsprämien.

Der Erwartungswert ist nicht der wahrscheinlichste Wert (Modalwert) und muss selbst gar kein möglicher Wert sein. Häufige Fehler sind daher, eine Verteilung mit Summe ungleich

1

zu akzeptieren oder in der Summe Wert und Wahrscheinlichkeit zu vertauschen. Während man bei diskreten Verteilungen summiert, geht man bei stetigen Größen zum Integral über die Dichtefunktion über - die Normalverteilung ist das wichtigste Beispiel dafür.

E(X)=\sum_{i} x_{i}\cdot P(X=x_{i}),\qquad \sum_{i}P(X=x_{i})=1

Erwartungswert einer diskreten Verteilung

Musterbeispiel

Erwartungswert eines Spiels

Ein Spiel zahlt mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ den Betrag $5$ Euro, sonst $0$ Euro. Bestimme den Erwartungswert.

Werte und Wahrscheinlichkeiten
$x_{1}=5$ mit $P=0{,}2$ ; $x_{2}=0$ mit $P=0{,}8$ .
Erwartungswert
$E(X)=5\cdot 0{,}2+0\cdot 0{,}8$ .
Ergebnis
$E(X)=1$ .

Ergebnis: Der erwartete Gewinn beträgt $1$ Euro pro Spiel.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine diskrete Verteilung ordnet jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zu, deren Summe eins ergibt.
2
Der Erwartungswert gewichtet jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
3
Er beschreibt den langfristigen Durchschnitt bei vielen Wiederholungen.

Typische Fehler

Summe der Wahrscheinlichkeiten ungleich eins akzeptiert.
Erwartungswert mit dem wahrscheinlichsten Wert verwechselt.
Wert und Wahrscheinlichkeit in der Summe vertauscht.

Aktive Wiederholung

Ein Spiel zahlt bei Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ einen Gewinn von $5$ Euro und sonst nichts. Bestimme den Erwartungswert des Gewinns.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Verteilungen AHS (IQS)

Stichprobe und Schätzung#

VertiefungWS-3.5

Eine Grundgesamtheit lässt sich selten vollständig erheben - man befragt nicht alle Wähler, prüft nicht jede Schraube. Stattdessen zieht man eine Stichprobe, also eine Teilmenge, und schließt von ihr auf das Ganze. Eine aus der Stichprobe berechnete Größe, die einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit schätzt, heißt Schätzer.

Der Stichprobenmittelwert

\bar x

schätzt den unbekannten Erwartungswert

\mu

der Grundgesamtheit. Entscheidend ist die Einsicht, dass jede neue Stichprobe ein etwas anderes

\bar x

liefert:

\bar x

ist damit selbst eine Zufallsvariable mit einer eigenen Verteilung, der Stichprobenverteilung. Im Mittel trifft sie den Zielwert (

E(\bar x)=\mu

), schwankt aber um ihn herum.

Wie stark

\bar x

schwankt, misst der Standardfehler des Mittelwerts

SE(\bar x)=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Er ist kleiner als die Streuung

\sigma

der Einzelwerte, weil sich beim Mitteln zufällige Ausschläge teilweise herausmitteln. Für

\sigma=20

und Stichprobenumfang

n=100

etwa ist

SE=\dfrac{20}{\sqrt{100}}=2

- die geschätzten Mittelwerte streuen also nur noch mit

2

statt mit

20

.

Der entscheidende Hebel ist der Stichprobenumfang, doch sein Gewinn nimmt nur wurzelförmig zu: Weil

\sqrt{n}

im Nenner steht, muss man

n

vervierfachen, um den Fehler zu halbieren. Von

n=100

auf

n=400

sinkt der Standardfehler im Beispiel von

2

auf

1

. Größere Stichproben liefern also präzisere Schätzungen, aber mit deutlich abnehmendem Grenznutzen.

Genauigkeit ist nicht alles - die Auswahl muss repräsentativ sein. Nur eine echte Zufallsauswahl rechtfertigt den Rückschluss auf die Grundgesamtheit; eine systematisch verzerrte Stichprobe (etwa eine reine Online-Befragung) bleibt falsch, gleichgültig wie groß sie ist. Verzerrung lässt sich durch Umfang nicht heilen, sondern nur durch korrekte Auswahl vermeiden.

Der Standardfehler ist das Bindeglied zur schließenden Statistik: Er steckt direkt im Konfidenzintervall für den Mittelwert

\bar x\pm z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Zudem sorgt der zentrale Grenzwertsatz dafür, dass die Stichprobenverteilung von

\bar x

für hinreichend großes

n

annähernd normalverteilt ist - selbst wenn die Einzelwerte es nicht sind. Damit schließt sich der Kreis zwischen Stichprobe, Normalverteilung und Konfidenzintervall.

SE(\bar x)=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Standardfehler des Stichprobenmittelwerts

Musterbeispiel

Standardfehler berechnen

Bei $\sigma=20$ und Stichprobenumfang $n=100$ : bestimme den Standardfehler des Mittelwerts.

Formel
$SE=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Einsetzen
$SE=\dfrac{20}{\sqrt{100}}=\dfrac{20}{10}$ .
Ergebnis
$SE=2$ .

Ergebnis: Der Standardfehler des Mittelwerts beträgt $2$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Aus einer Stichprobe schliesst du auf die gesamte Grundgesamtheit.
2
Der Standardfehler des Mittelwerts ist die Standardabweichung geteilt durch die Wurzel des Umfangs.
3
Größere Stichproben verkleinern den Fehler, aber nur wurzelförmig.

Typische Fehler

Stichprobenmittelwert mit dem wahren Erwartungswert gleichgesetzt.
Standardfehler ohne die Wurzel des Umfangs berechnet.
Nicht-repräsentative Auswahl als gültig angenommen.

Aktive Wiederholung

Eine Stichprobe vom Umfang $100$ stammt aus einer Grundgesamtheit mit $\sigma=20$ . Bestimme den Standardfehler des Mittelwerts.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Schliessende Statistik AHS (IQS)

WS 3 - Verteilungen und schliessende Statistik

Kernpunkte

Erwartungswert eines Spiels

Kernpunkte

Zehnmal Münze werfen - Anzahl der Köpfe

Kernpunkte

Anteil im 2σ2\sigma2σ-Bereich

Kernpunkte

Konfidenzintervall für einen Anteil

Einseitiger Hypothesentest für einen Anteil

Kernpunkte

Erwartungswert eines Spiels

Kernpunkte

Standardfehler berechnen

Quellen

Anteil im $2\sigma$ -Bereich