B 6 - Integralrechnung und Anwendungen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Stammfunktion und unbestimmtes Integral#

StandardB-6.1

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung: Statt aus dem Bestand die Änderungsrate zu gewinnen, rekonstruiert man aus einer Rate den Bestand. Den Anfang macht die Stammfunktion - eine Funktion

F

heißt Stammfunktion von

f

, wenn

F'(x)=f(x)

gilt; man hat das Ableiten also „rückwärts" auszuführen.

Eine Funktion hat nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur durch eine additive Konstante unterscheiden:

\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C

. Anschaulich ist das eine Schar deckungsgleicher, vertikal verschobener Kurven, die an jeder Stelle dieselbe Steigung haben () - die Konstante geht beim Ableiten ja verloren.

Schar der Stammfunktionen (+C)

Abb. 1Alle Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich nur durch die Konstante

C

- sie bilden eine Schar deckungsgleicher, vertikal verschobener Kurven mit gleicher Steigung an jeder Stelle.

Genau deshalb ist die Integrationskonstante

+C

beim unbestimmten Integral unverzichtbar; sie zu vergessen, ist der häufigste Fehler. Erst eine Zusatzbedingung (ein bekannter Funktionswert) legt

C

und damit eine bestimmte Stammfunktion fest.

Die Integration ist linear:

\int (a\,f+b\,g)\,\mathrm{d}x=a\int f\,\mathrm{d}x+b\int g\,\mathrm{d}x

. Das erlaubt, eine Summe gliedweise zu integrieren und konstante Faktoren vorzuziehen - jeder Term wird einzeln behandelt.

Die wichtigste Regel ist die umgekehrte Potenzregel

\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

für

n\neq -1

: Man erhöht den Exponenten um eins und teilt durch den neuen Exponenten. Der Ausschluss

n=-1

ist wesentlich, weil dort durch null geteilt würde.

Diesen Sonderfall deckt

\int \tfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C

ab; ebenso braucht man

\int \mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kx}+C

. Die sicherste Kontrolle jeder Integration ist die Probe: Leitet man die gefundene Stammfunktion ab, muss wieder der Integrand herauskommen.

\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq -1),\quad \int \mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kx}+C

Wichtige Stammfunktionen

Musterbeispiel

Polynom integrieren

$\int (4x^{3}-6x+\tfrac{2}{x})\,\mathrm{d}x$ .

Terme einzeln
$\int 4x^{3}\,\mathrm{d}x=x^{4}$ , $\int -6x\,\mathrm{d}x=-3x^{2}$ , $\int \tfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x=2\ln|x|$ .
Zusammenfügen
$F(x)=x^{4}-3x^{2}+2\ln|x|+C$ .

Ergebnis: $x^{4}-3x^{2}+2\ln|x|+C$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Stammfunktion ist die "Umkehrung" der Ableitung - F' = f.
2
Vergiss nie die Integrationskonstante $+C$ beim unbestimmten Integral.
3
Prüfe stets durch Differenzieren.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme eine Stammfunktion zu

f(x)=2x^{3}-5x+1

. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Integrationskonstante $C$ vergessen.
Falsche Anwendung der Potenzregel bei $n=-1$ .
Konstanten beim Integrieren als unabhängig vom Argument behandelt.

Aktive Wiederholung

Bestimme $\int (3x^{2}-2x+5\mathrm{e}^{x})\,\mathrm{d}x$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Bestimmtes Integral und Fläche#

StandardB-6.2

Das bestimmte Integral

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

ist eine Zahl - die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse über dem Intervall

[a;b]

(, ). Es verbindet die anschauliche Flächenidee mit der Stammfunktion.

Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

Abb. 2Bei nicht-negativer Funktion entspricht das Integral der Fläche.

Fläche zwischen f(x)=-0,25x²+x+2 und x-Achse

Abb. 3Bestimmtes Integral entspricht der Fläche unter dem Graph zwischen den Nullstellen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt diese Verbindung her:

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

mit einer beliebigen Stammfunktion

F

. Man integriert also, indem man eine Stammfunktion an den Grenzen auswertet und die Werte subtrahiert - die Integrationskonstante fällt dabei weg.

Bei einer nicht-negativen Funktion ist der Integralwert genau der Flächeninhalt. „Orientiert" heißt aber: Flächen unter der x-Achse zählen negativ. Wechselt

f

im Intervall das Vorzeichen, können sich Teilflächen gegenseitig auslöschen.

Für den echten Flächeninhalt bei Vorzeichenwechsel muss man daher zuerst die Nullstellen bestimmen, über die Teilintervalle einzeln integrieren und die Beträge summieren. Eine Fläche ist nie negativ - ein negativer „Flächenwert" ist ein sicheres Zeichen, diesen Schritt übersprungen zu haben.

Die Fläche zwischen zwei Kurven ist

\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x

mit

f

oben und

g

unten; die Grenzen

a,b

sind die Schnittstellen, die man zuvor aus

f(x)=g(x)

berechnet. Werden diese Schnittstellen nicht bestimmt, sind die Integrationsgrenzen falsch.

In Anwendungen trägt das Integral Bedeutung und Einheit: In der Technik ist es Arbeit, Weg oder Volumen, in der Wirtschaft Gesamtnutzen oder Konsumentenrente. Eng verwandt ist der Funktionsmittelwert

\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

, der im nächsten Abschnitt vertieft wird.

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Bestimmtes Integral einer linearen Funktion

Berechne $\int_{1}^{4}(2x+3)\,\mathrm{d}x$ .

Stammfunktion
$F(x)=x^{2}+3x$ .
Auswerten
$F(4)-F(1)=(16+12)-(1+3)=28-4=24$ .

Ergebnis: Wert des Integrals: $24$ .

Musterbeispiel

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph $f(x)=-x^{2}+4$ mit der x-Achse einschliesst.

Nullstellen
$-x^{2}+4=0 \Rightarrow x=\pm 2$ .
Integration
$\int_{-2}^{2}(-x^{2}+4)\,\mathrm{d}x=\left[-\tfrac{x^{3}}{3}+4x\right]_{-2}^{2}$ .
Auswerten
$F(2)=-\tfrac{8}{3}+8=\tfrac{16}{3}$ , $F(-2)=\tfrac{8}{3}-8=-\tfrac{16}{3}$ , Differenz $\tfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ .

Ergebnis: Fläche $\tfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das bestimmte Integral berechnet die orientierte Fläche unter dem Graph.
Bestimmtes Integral als orientierte Fläche
Abb.Bei nicht-negativer Funktion entspricht das Integral der Fläche.
2
Bei Vorzeichenwechseln muss man die Flächen getrennt nehmen, sonst gibt es Auslöschungen.
3
Für Flächen zwischen zwei Kurven immer obere minus untere Funktion integrieren.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme den Inhalt der Fläche, die durch die Graphen von

f(x)=x^{2}-1

und

g(x)=3-x^{2}

eingeschlossen wird. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Fläche wird negativ angegeben.
Schnittpunkte zweier Kurven nicht berechnet, dadurch falsche Grenzen.
Integrationsgrenzen vertauscht.

Aktive Wiederholung

Berechne die Fläche zwischen $f(x)=x^{2}$ und $g(x)=x+2$ .

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Integral als Aufsummierung in Anwendungen#

VertiefungB-6.3

Die zentrale Anwendungsidee der Integralrechnung lautet: Eine Rate (Änderung pro Zeiteinheit) aufsummiert über die Zeit ergibt die Gesamtmenge. Das Integral

\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t

ist die Fläche unter der Ratenkurve und damit der über das Intervall angesammelte Gesamtwert ().

Integral einer Rate als Gesamtmenge

Abb. 4Bei einer Förderrate

q(t)=20+5t

ist die geförderte Gesamtmenge

Q=\int_{0}^{4}q(t)\,\mathrm{d}t

die Fläche unter der Ratenkurve.

Der erste und wichtigste Schritt jeder solchen Aufgabe ist die Unterscheidung: Ist eine Änderungsrate gegeben (dann integrieren) oder ein Bestand (dann ableiten, falls die Rate gefragt ist)? Wörter wie „pro Stunde", „Zufluss", „Geschwindigkeit" signalisieren eine Rate.

In der Mechanik ist das die Kette Beschleunigung - Geschwindigkeit - Weg:

v=\int a(t)\,\mathrm{d}t

und

s=\int v(t)\,\mathrm{d}t

. Integrieren führt jeweils eine Stufe „nach oben", Ableiten eine Stufe „nach unten".

In der Wirtschaft summiert das Integral Grenzgrößen auf: Aus den Grenzkosten

k'(x)

werden die Gesamtkosten

K=\int k'(x)\,\mathrm{d}x

, und Konsumenten- bzw. Produzentenrente sind Flächen im Preis-Mengen-Diagramm. In den Naturwissenschaften liefert das Integral der Konzentration die Substanzmenge.

Bei exponentiellen Raten ergibt sich oft ein Grenzwert: Ein Zufluss

q(t)=10\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}

summiert sich über lange Zeit nur zu einer endlichen Gesamtmenge, weil die Rate immer kleiner wird - das ist der mathematische Kern von „Sättigung".

Liegen nur Messwerte statt einer Formel vor oder fehlt eine elementare Stammfunktion, nähert man das Integral numerisch (Trapez- oder Simpson-Regel, siehe nächster Abschnitt). In jedem Fall gilt: Das Ergebnis trägt die Einheit

f\cdot t

(z. B.

\mathrm{L/h}\cdot \mathrm{h}=\mathrm{L}

) und ist in Worten zu deuten.

Q=\int_{a}^{b}q(t)\,\mathrm{d}t

Gesamtmenge aus Rate

Musterbeispiel

Wassermenge aus Förderrate

Förderrate $q(t)=20+5t$ in $\mathrm{L/h}$ , für $0\leq t\leq 4$ .

Integral
$Q=\int_{0}^{4}(20+5t)\,\mathrm{d}t=\left[20t+\tfrac{5t^{2}}{2}\right]_{0}^{4}$ .
Auswerten
$Q=(80+40)-0=120\,\mathrm{L}$ .

Ergebnis: In 4 Stunden werden $120\,\mathrm{L}$ gefördert.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Integriere immer eine Rate, um den Gesamtwert zu bekommen.
2
Bei exponentiellen Raten ergibt sich oft ein Grenzwert.
3
Antworten immer mit Einheit und kurzer Bedeutung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Wasserzuflussrate eines Behälters wird durch

q(t)=10\mathrm{e}^{-0{,}5t}

(

t

in Stunden,

q

in

\mathrm{L/h}

) beschrieben. Berechne die in den ersten 6 Stunden insgesamt zugeflossene Wassermenge. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Integration über den falschen Zeitraum.
Anfangsbedingungen werden ignoriert ( $C$ nicht bestimmt).
Einheit am Ende falsch.

Aktive Wiederholung

Eine Pumpe fördert Wasser mit Rate $q(t)=20+5t$ ( $t$ in Stunden, $q$ in $\mathrm{L/h}$ ). Wie viel Wasser flossen in den ersten 4 Stunden?

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Mittelwert einer Funktion und Durchschnittsbestand#

StandardB-6.2B-6.3

Oft interessiert nicht der Verlauf einer Größe, sondern ihr Durchschnitt über eine ganze Periode - der mittlere Lagerbestand eines Monats, die durchschnittliche Leistung einer Anlage, die mittlere Geschwindigkeit einer Fahrt. Weil die Größe stetig variiert, lässt sich dieser Durchschnitt nicht durch einfaches Mitteln einzelner Werte bilden, sondern verlangt das Integral.

Der Funktionsmittelwert einer stetigen Funktion auf

[a;b]

ist

\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

- das Integral (die Gesamtfläche) geteilt durch die Intervalllänge. Die Division durch

(b-a)

ist der entscheidende, leicht vergessene Schritt; ohne ihn erhält man nur den Integralwert, nicht den Mittelwert.

Geometrisch ist

\bar f

die Höhe eines Rechtecks über

[a;b]

, das denselben Flächeninhalt besitzt wie die Fläche unter

f

(). Man „glättet" die Kurve also zu einer waagrechten Linie gleicher Fläche - das ist die anschauliche Bedeutung des Durchschnitts.

Mittelwert einer Funktion

Abb. 5Der Funktionsmittelwert

\bar f

ist die Höhe des Rechtecks über

[a;b]

, das dieselbe Fläche besitzt wie die Fläche unter

f

- hier

\bar v=24\,\mathrm{m/s}

.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung präzisiert das: Es gibt mindestens eine Stelle

\xi\in[a;b]

, an der die Funktion ihren eigenen Mittelwert tatsächlich annimmt,

f(\xi)=\bar f

. Die stetige Funktion erreicht ihren Durchschnitt also irgendwo wirklich.

In Anwendungen liefert

\bar f

den gesuchten Durchschnittsbestand mit Einheit: Bei einer Geschwindigkeit

v(t)=12t-t^{2}

über

[0;12]

ist die mittlere Geschwindigkeit

\bar v=24\,\mathrm{m/s}

- bei dieser konstanten Geschwindigkeit wäre derselbe Weg in derselben Zeit zurückgelegt worden.

Wichtig ist die Abgrenzung: Der Funktionsmittelwert (kontinuierlich, über das Integral) ist nicht das arithmetische Mittel einiger Funktionswerte und auch nicht der Mittelwert

\tfrac{f(a)+f(b)}{2}

der Randwerte. Das arithmetische Mittel diskreter Messwerte gehört zur beschreibenden Statistik (B 7).

\bar f=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

Mittelwert einer Funktion

Musterbeispiel

Mittlere Geschwindigkeit aus v(t)

Ein Fahrzeug bewegt sich mit $v(t)=12t-t^{2}$ ( $t$ in s, $v$ in m/s) für $0\leq t\leq 12$ . Bestimme die mittlere Geschwindigkeit.

Schritt 1 - Integral der Geschwindigkeit
Der zurückgelegte Weg ist $\int_{0}^{12}(12t-t^{2})\,\mathrm{d}t=\left[6t^{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{12}=864-576=288\,\mathrm{m}$ .
Schritt 2 - Durch Intervalllänge teilen
Mittlere Geschwindigkeit $\bar v=\tfrac{1}{12-0}\cdot 288=24\,\mathrm{m/s}$ .
Schritt 3 - Interpretieren
Bei konstanter Fahrt mit $24\,\mathrm{m/s}$ wäre derselbe Weg von $288\,\mathrm{m}$ in derselben Zeit zurückgelegt worden.

Ergebnis: Mittlere Geschwindigkeit $\bar v=24\,\mathrm{m/s}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die momentane Leistung einer Anlage beträgt

P(t)=8+2t

(

t

in Stunden,

P

in kW) für

0\leq t\leq 5

. Berechne die durchschnittliche Leistung in diesem Zeitraum. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Division durch $(b-a)$ vergessen - dann wird der reine Integralwert statt des Mittelwerts angegeben.
Arithmetisches Mittel zweier Randwerte $\tfrac{f(a)+f(b)}{2}$ statt des Integralmittelwerts verwendet.
Einheit des Mittelwerts falsch: $\bar f$ trägt die Einheit von $f$ , nicht von $f\cdot x$ .

Aktive Wiederholung

Der Lagerbestand eines Betriebs verläuft im Monat näherungsweise nach $B(t)=400-30t+t^{2}$ ( $t$ in Tagen, $0\leq t\leq 30$ ). Berechne den durchschnittlichen Lagerbestand und interpretiere das Ergebnis.

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Numerische Integration: Trapezregel#

StandardB-6.2B-6.3

Nicht jede Funktion lässt sich elementar integrieren, und oft liegen Daten nur als Messtabelle vor - etwa stündliche Durchflusswerte eines Baches. Dann wird das Integral numerisch genähert; die Trapezregel ist das einfachste und in der SRDP gebräuchlichste Verfahren.

Die Idee: Man ersetzt die unbekannte Kurve zwischen den Messpunkten durch Geradenstücke und nähert die Fläche durch die darunterliegenden Trapeze (). Bei konstanter Schrittweite

h=\tfrac{b-a}{n}

zerlegt man

[a;b]

in

n

gleich breite Streifen.

Trapezregel: Streckenzug statt Kurve

Abb. 6Die Trapezregel ersetzt die Fläche unter der Kurve durch Trapeze unter dem Streckenzug der Messpunkte; Randwerte zählen einfach, innere Werte doppelt.

Die Trapezformel lautet

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \tfrac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+\dots+2y_{n-1}+y_{n}\big)

. Die Gewichtung hat einen anschaulichen Grund: Die beiden Randwerte gehören zu nur einem Trapez (Faktor

1

), jeder innere Wert zu zweien (Faktor

2

). Innere Werte zu vergessen oder Randwerte fälschlich zu verdoppeln, ist der typische Fehler.

Die Genauigkeit steigt mit der Zahl der Stützstellen: Je kleiner

h

, desto besser schmiegt sich der Streckenzug an die Kurve. Bei einem linearen Verlauf ist die Trapezregel sogar exakt, weil dann Streckenzug und Kurve übereinstimmen.

Die Abweichung hat ein systematisches Vorzeichen, das man begründen können muss: Bei einer konvexen (linksgekrümmten) Funktion liegen die Sehnen oberhalb der Kurve, die Trapezregel überschätzt den wahren Wert; bei einer konkaven Funktion unterschätzt sie ihn. So lässt sich der Näherungswert ohne Rechnung qualitativ einordnen.

In der Matura wird die Trapezsumme meist aus einer Wertetabelle aufgestellt - mit korrekter Schrittweite und Gewichtung - und das Ergebnis im Kontext gedeutet (etwa als geflossenes Volumen in

\mathrm{m}^{3}

); häufig ist zusätzlich zu argumentieren, ob über- oder unterschätzt wird.

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \dfrac{h}{2}\left(y_{0}+2\sum_{i=1}^{n-1}y_{i}+y_{n}\right)

Trapezregel

Musterbeispiel

Trapezregel aus Messtabelle

Nähere $\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x$ aus $y_{0}=2$ , $y_{1}=3{,}5$ , $y_{2}=5$ , $y_{3}=5{,}5$ , $y_{4}=4$ ( $h=1$ ).

Schritt 1 - Schrittweite
Gleichabständige Stützstellen mit $h=\tfrac{4-0}{4}=1$ .
Schritt 2 - Trapezsumme
$T=\tfrac{1}{2}\big(y_{0}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})+y_{4}\big)=\tfrac{1}{2}\big(2+2(3{,}5+5+5{,}5)+4\big)$ .
Schritt 3 - Auswerten
$=\tfrac{1}{2}\big(2+2\cdot 14+4\big)=\tfrac{1}{2}\cdot 34=17$ .

Ergebnis: Näherung $\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\approx 17$ Flächeneinheiten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Durchflussrate eines Baches wurde stündlich gemessen: t = 0, 1, 2, 3 (h) mit q = 12, 18, 22, 20 (in

\mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}

). Schätze das in 3 Stunden geflossene Volumen mit der Trapezregel. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Innere Stützwerte nicht verdoppelt oder Randwerte fälschlich verdoppelt.
Falsche Schrittweite $h$ bei ungleichmäßigen Stützstellen verwendet.
Faktor $\tfrac{h}{2}$ vergessen.

Aktive Wiederholung

Aus einer Messung liegt $f$ an den Stellen x = 0, 1, 2, 3, 4 mit den Werten y = 2,0; 3,5; 5,0; 5,5; 4,0 vor. Berechne $\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x$ näherungsweise mit der Trapezregel.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

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Rotationsvolumen und ökonomische Renten#

VertiefungB-6.3

Dieser Abschnitt bündelt zwei cluster-typische Anwendungen des Integrals: das Rotationsvolumen (technisch, HTL) und die ökonomischen Renten (kaufmännisch, HAK/HUM). Beide setzen das bestimmte Integral als Werkzeug ein, das man je nach Schwerpunkt sicher beherrschen sollte.

Rotiert der Graph von

f

um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper mit Volumen

V=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,\mathrm{d}x

. Anschaulich besteht der Körper aus dünnen Kreisscheiben mit Radius

f(x)

und Fläche

\pi\,f(x)^{2}

, die entlang der Achse aufsummiert werden - daher das Quadrat und der Faktor

\pi

.

Rechnerisch ist entscheidend,

\big(f(x)\big)^{2}

vor dem Integrieren vollständig auszumultiplizieren und den Faktor

\pi

außen vor zu lassen. Den Integranden nicht zu quadrieren oder

\pi

zu vergessen, sind die beiden klassischen Fehler bei Volumenaufgaben.

Auf der ökonomischen Seite stehen die Renten im Preis-Mengen-Diagramm. Zuerst bestimmt man aus Angebot = Nachfrage das Marktgleichgewicht

(x_0\,|\,p_0)

. Die Konsumentenrente

KR=\int_{0}^{x_0}p_N(x)\,\mathrm{d}x-p_0\,x_0

ist die Fläche zwischen Nachfragekurve und Preislinie () - der Vorteil der Käufer, die mehr zu zahlen bereit gewesen wären.

Konsumentenrente im Marktgleichgewicht

Abb. 7Schnittpunkt von Nachfrage und Angebot ist das Gleichgewicht

(x_{0}\,|\,p_{0})

; die Fläche zwischen Nachfragekurve und Preislinie

p_{0}

ist die Konsumentenrente.

Spiegelbildlich ist die Produzentenrente

PR=p_0\,x_0-\int_{0}^{x_0}p_A(x)\,\mathrm{d}x

die Fläche zwischen Preislinie und Angebotskurve - der Vorteil der Anbieter, die billiger verkauft hätten. Konsumenten- und Produzentenrente nicht zu verwechseln, gelingt über ihre Lage relativ zum Marktpreis.

Beide Renten messen den ökonomischen Vorteil gegenüber der individuellen Zahlungsbereitschaft bzw. dem Angebotspreis und ergeben zusammen die gesamte Wohlfahrt. In der Matura ist neben der Rechnung stets die Interpretation als Fläche im Diagramm gefragt - und vorab die Bestimmung von

x_0

und

p_0

.

V=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,\mathrm{d}x

Rotationsvolumen um die x-Achse

KR=\int_{0}^{x_{0}}p_{N}(x)\,\mathrm{d}x-p_{0}\,x_{0}

Konsumentenrente

Musterbeispiel

Rotationsvolumen eines Paraboloids

Der Graph von $f(x)=\sqrt{x}$ rotiert für $0\leq x\leq 4$ um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

Schritt 1 - Integranden quadrieren
$\big(f(x)\big)^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x$ .
Schritt 2 - Integral aufstellen
$V=\pi\int_{0}^{4}x\,\mathrm{d}x=\pi\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}$ .
Schritt 3 - Auswerten
$V=\pi\cdot \tfrac{16}{2}=8\pi\approx 25{,}13$ Volumeneinheiten.

Ergebnis: Volumen $V=8\pi\approx 25{,}13$ VE.

Musterbeispiel

Konsumentenrente im Marktgleichgewicht

Nachfrage $p_{N}(x)=20-0{,}5x$ , Angebot $p_{A}(x)=2+0{,}3x$ . Bestimme Konsumentenrente.

Schritt 1 - Gleichgewicht
Angebot = Nachfrage: $20-0{,}5x=2+0{,}3x\Rightarrow 18=0{,}8x\Rightarrow x_{0}=22{,}5$ , $p_{0}=20-0{,}5\cdot 22{,}5=8{,}75$ .
Schritt 2 - Integral der Nachfrage
$\int_{0}^{22{,}5}(20-0{,}5x)\,\mathrm{d}x=\left[20x-0{,}25x^{2}\right]_{0}^{22{,}5}=450-126{,}5625=323{,}4375$ .
Schritt 3 - Rente berechnen
$KR=323{,}4375-p_{0}\cdot x_{0}=323{,}4375-8{,}75\cdot 22{,}5=323{,}4375-196{,}875=126{,}5625$ .

Ergebnis: Konsumentenrente $KR\approx 126{,}56$ Geldeinheiten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Der Querschnitt eines Bauteils wird durch

f(x)=0{,}5x+1

(

0\leq x\leq 4

, Angaben in cm) beschrieben und rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Beim Rotationsvolumen $f(x)$ statt $\big(f(x)\big)^{2}$ integriert oder den Faktor $\pi$ vergessen.
Konsumenten- und Produzentenrente verwechselt (Lage relativ zum Marktpreis falsch).
Gleichgewichtsmenge $x_{0}$ und Gleichgewichtspreis $p_{0}$ nicht zuvor aus Angebot = Nachfrage bestimmt.

Aktive Wiederholung

Die Nachfragefunktion lautet $p_{N}(x)=20-0{,}5x$ , die Angebotsfunktion $p_{A}(x)=2+0{,}3x$ . Berechne Gleichgewichtsmenge und -preis sowie die Konsumentenrente.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)