B 3 - Geometrie und Trigonometrie — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck#

BasisB-3.1

Die Trigonometrie übersetzt zwischen Längen und Winkeln - genau das, was Vermessung, Bau- und Maschinentechnik ständig brauchen: Aus einer messbaren Strecke und einem messbaren Winkel eine unzugängliche Höhe oder Entfernung berechnen. Den Einstieg bildet das rechtwinklige Dreieck mit seinen drei Grundverhältnissen.

Bezogen auf einen spitzen Winkel

\alpha

gelten

\sin\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

,

\cos\alpha=\tfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

und

\tan\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

(). Die Eselsbrücke „GAGA-Hühner-AH" hält die Zuordnung fest; entscheidend ist, vom richtigen Bezugswinkel aus zu benennen, welche Kathete gegenüber- und welche anliegt.

Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan

Abb. 1Ankathete

b

, Gegenkathete

a

, Hypotenuse

c

:

\sin\alpha=\tfrac{a}{c}

,

\cos\alpha=\tfrac{b}{c}

,

\tan\alpha=\tfrac{a}{b}

- in jeder Vermessungsaufgabe das passende Verhältnis wählen.

Der Satz des Pythagoras

a^{2}+b^{2}=c^{2}

verbindet die drei Seiten ganz ohne Winkel. Ist eine Seite gesucht und sind zwei bekannt, ist er oft der schnellste Weg - die trigonometrischen Verhältnisse kommen erst ins Spiel, sobald ein Winkel beteiligt ist.

Welches Verhältnis man wählt, richtet sich nach den bekannten und gesuchten Größen: Sind Hypotenuse und Gegenkathete im Spiel, nimmt man Sinus; bei An- und Gegenkathete den Tangens. Eine saubere Skizze mit benannten Seiten verhindert das häufigste Missgeschick - das Vertauschen von Sinus und Kosinus.

Die Steigung verbindet diese Begriffe mit dem Alltag: Eine Steigung in Prozent ist

s\,\% =\tan\alpha\cdot 100

. Wichtig ist, dass Prozent und Grad nicht dasselbe sind - eine

20\,\%

-Steigung entspricht nur

\alpha\approx 11{,}3^{\circ}

, eine

100\,\%

-Steigung gerade

45^{\circ}

.

Vor jeder Rechnung ist der Winkelmodus des Rechners zu prüfen (DEG für Grad, RAD für Bogenmass). Ein im falschen Modus berechneter Sinus liefert eine völlig falsche, oft auf den ersten Blick plausible Zahl - ein klassischer, leicht vermeidbarer Punkteverlust in der Matura.

\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\quad \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\quad \tan\alpha=\dfrac{a}{b}

Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen Dreieck)

Musterbeispiel

Steigung in Prozent

Eine Strasse steigt auf $200\,\mathrm{m}$ horizontaler Distanz um $24\,\mathrm{m}$ an. Bestimme Steigung in Prozent und Neigungswinkel.

Steigung
$s=\tfrac{24}{200}=0{,}12=12\,\%$ .
Winkel
$\alpha=\arctan(0{,}12)\approx 6{,}84^{\circ}$ .

Ergebnis: Steigung $12\,\%$ , Neigungswinkel $\approx 6{,}8^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Mach immer zuerst eine Skizze und benenne Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse.
Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan
Abb.Ankathete $b$ , Gegenkathete $a$ , Hypotenuse $c$ : $\sin\alpha=\tfrac{a}{c}$ , $\cos\alpha=\tfrac{b}{c}$ , $\tan\alpha=\tfrac{a}{b}$ - in jeder Vermessungsaufgabe das passende Verhältnis wählen.
2
Wähle das passende Verhältnis - Sinus, Kosinus oder Tangens - je nachdem, welche Seiten und Winkel bekannt sind.
3
Kontrolliere am Schluss den Modus deines Rechners (DEG oder RAD).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

In einem rechtwinkligen Dreieck (Winkel

\gamma=90^{\circ}

) sind

a=5{,}0\,\mathrm{cm}

und Winkel

\alpha=37^{\circ}

gegeben. Berechne die Hypotenuse

c

. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Sinus und Kosinus werden vertauscht, weil die Skizze fehlt.
Der Taschenrechner steht im falschen Winkelmodus.
Steigung in Prozent wird mit Sinus statt Tangens berechnet.

Aktive Wiederholung

Ein Dach hat eine Neigung von $32^{\circ}$ und eine Höhe (vertikal) von $4{,}5\,\mathrm{m}$ . Wie lang ist eine Dachschräge?

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck#

StandardB-3.2

Nicht jedes Dreieck hat einen rechten Winkel - in Vermessung und Navigation sind die meisten schiefwinklig. Für sie gibt es zwei Verallgemeinerungen, die jede Seiten-Winkel-Konstellation lösbar machen: den Sinussatz und den Kosinussatz. Grundlage ist die feste Zuordnung jeder Seite zu ihrem gegenüberliegenden Winkel ().

Allgemeines Dreieck mit Seiten und Winkeln

Abb. 2Im allgemeinen Dreieck liegt jeder Seite der gleichnamige Winkel gegenüber -

a

gegenüber

\alpha

usw. Diese Zuordnung ist der Schlüssel zu Sinus- und Kosinussatz.

Der Sinussatz

\tfrac{a}{\sin\alpha}=\tfrac{b}{\sin\beta}=\tfrac{c}{\sin\gamma}

verbindet jede Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel. Er ist das Werkzeug, wenn ein Seiten-Winkel-Paar vollständig bekannt ist - also bei den Konfigurationen WSW (Winkel-Seite-Winkel) und SSW (Seite-Seite-Winkel).

Der Kosinussatz

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

verallgemeinert den Satz des Pythagoras: Für

\gamma=90^{\circ}

wird

\cos\gamma=0

und es bleibt

c^{2}=a^{2}+b^{2}

. Er greift, wenn der Sinussatz nicht direkt ansetzbar ist - bei SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel) und SSS (drei Seiten).

Die Strategie ist damit ein kurzer Entscheidungsbaum: Erst die gegebene Konfiguration bestimmen, dann das passende Werkzeug wählen - Sinussatz bei WSW/SSW, Kosinussatz bei SWS/SSS. Oft kombiniert man beide: Kosinussatz für die erste fehlende Seite, dann Sinussatz für die Winkel.

Beim Sinussatz lauert der zweideutige Fall (SSW): Zur berechneten

\sin\beta

passen ein spitzer und ein stumpfer Winkel. Man muss prüfen, welcher ein gültiges Dreieck mit Winkelsumme

180^{\circ}

liefert - manchmal sind beide möglich, manchmal nur einer.

Die Dreiecksfläche fügt sich nahtlos an:

A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

braucht nur zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel und ist in Vermessungsaufgaben - Grundstücksfläche, Almwiese - der Standardabschluss. So decken die drei Formeln gemeinsam praktisch jede Dreiecksaufgabe ab.

\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R

Sinussatz für beliebige Dreiecke

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

Kosinussatz

A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

Dreiecksfläche mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel

Musterbeispiel

Höhenmessung mit zwei Standorten

Von Standort A wird ein Funkmast unter $\varepsilon_{1}=23{,}4^{\circ}$ anvisiert, $30\,\mathrm{m}$ weiter (auf der gleichen Geraden zum Mastfuss) unter $\varepsilon_{2}=18{,}0^{\circ}$ . Wie hoch ist der Mast?

Variablen
Mastfussabstand von B: $x$ ; Mast hat Höhe $h$ ; aus B: $\tan 18^{\circ}=\tfrac{h}{x}$ , aus A: $\tan 23{,}4^{\circ}=\tfrac{h}{x-30}$ .
Gleichungssystem
$h=x\cdot \tan 18^{\circ}$ und $h=(x-30)\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ .
Gleichsetzen
$x\cdot \tan 18^{\circ}=(x-30)\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ .
Auflösen
$x(\tan 23{,}4^{\circ}-\tan 18^{\circ})=30\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ , $x=\tfrac{30\cdot 0{,}4325}{0{,}4325-0{,}3249}\approx 120{,}6\,\mathrm{m}$ .
Höhe
$h\approx 120{,}6\cdot 0{,}3249\approx 39{,}2\,\mathrm{m}$ .

Ergebnis: Der Mast ist etwa $39\,\mathrm{m}$ hoch.

Musterbeispiel

Dreiecksfläche mit Sinusformel

Berechne die Fläche eines Dreiecks mit $a=8{,}5\,\mathrm{m}$ , $b=12{,}0\,\mathrm{m}$ , eingeschlossener Winkel $\gamma=72^{\circ}$ .

Formel
$A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
Einsetzen
$A=\tfrac{1}{2}\cdot 8{,}5\cdot 12\cdot \sin 72^{\circ}\approx 51\cdot 0{,}9511\approx 48{,}5$ .

Ergebnis: Fläche ca. $48{,}5\,\mathrm{m}^{2}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sortiere zuerst, welche Konfiguration vorliegt - SSW, WSW, SWS oder SSS.
2
Bei SSW oder WSW nutze den Sinussatz, bei SWS oder SSS den Kosinussatz.
3
Prüfe auf Eindeutigkeit, besonders bei SSW.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Auf einer Almwiese werden drei Vermessungspunkte

A

,

B

und

C

markiert. Bekannt sind

AB=180\,\mathrm{m}

, Winkel bei

A=58^{\circ}

, Winkel bei

B=74^{\circ}

. Berechne die Strecke

AC

. (HTL/HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Falscher Winkel - es muss immer der gegenüberliegende sein.
Kosinussatz mit falschem Winkel oder falscher Seite eingesetzt.
Zweideutiger Fall des Sinussatzes übersehen.

Aktive Wiederholung

In einem Dreieck $ABC$ sind $a=14$ , $b=11$ und $\gamma=58^{\circ}$ gegeben. Berechne $c$ und den Winkel $\alpha$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

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Flächen- und Volumsberechnung#

StandardB-3.3

Flächen- und Volumsberechnung ist die rechnerische Grundlage jeder Material-, Füll- und Verpackungsfrage: Wie viel Liter fasst ein Tank, wie viel Blech braucht ein Behälter, wie schwer ist ein Werkstück? Der ganze Themenbereich besteht darin, die richtige Standardformel zu wählen und die Einheiten konsistent zu führen.

Die ebenen Standardflächen sind Rechteck

A=a\cdot b

, Dreieck

A=\tfrac{1}{2}g\,h

, Kreis

A=\pi r^{2}

und Trapez

A=\tfrac{a+c}{2}\cdot h

. Aus ihnen setzt sich praktisch jede ebene Figur zusammen.

Bei den Körpern gilt dieselbe Logik: Volumen von Quader

V=a\,b\,c

, Zylinder

V=\pi r^{2}h

, Kegel

V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

und Kugel

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}

. Anschaulich ist das Zylindervolumen die Grundfläche

\pi r^{2}

mal Höhe

h

(), der Kegel fasst genau ein Drittel des umschreibenden Zylinders.

Zylindrischer Tank (Schrägbild)

Abb. 3Volumen eines Zylinders

V=\pi r^{2}h

: die kreisförmige Grundfläche

\pi r^{2}

wird um die Höhe

h

nach oben gezogen.

Für den Materialbedarf zählt die Oberfläche: Zylinder

O=2\pi r(r+h)

, Kegel

O=\pi r(r+s)

mit der Mantellinie

s

, Kugel

O=4\pi r^{2}

. Hier ist mitzudenken, welche Deckflächen tatsächlich vorhanden sind - ein oben offener Behälter hat keinen Deckel.

Zusammengesetzte Körper - etwa ein Silo aus Zylinder und Kegeldach - werden systematisch in Standardteile zerlegt, einzeln berechnet und die Teilvolumina addiert. Dieses Zerlegen ist die zentrale Technik der Teil-2-Aufgaben und sollte mit einer Skizze begleitet werden.

Die häufigsten Fehler sind handwerklich: Radius und Durchmesser verwechseln (

r=\tfrac{d}{2}

), beim Einsetzen cm und m mischen, oder den Faktor

\tfrac{1}{3}

beim Kegel bzw.

\tfrac{2}{3}

bei der Halbkugel vergessen. Die Schlussumrechnung

1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}

rundet die typische Tankaufgabe ab.

V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}h,\quad V_{\text{Kegel}}=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

Zylinder und Kegel

V_{\text{Kugel}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3},\quad O_{\text{Kugel}}=4\pi r^{2}

Kugel

Musterbeispiel

Volumen eines zylindrischen Tanks

Tank mit Durchmesser $1{,}8\,\mathrm{m}$ und Höhe $4{,}5\,\mathrm{m}$ .

Radius
$r=0{,}9\,\mathrm{m}$ .
Volumen
$V=\pi\cdot 0{,}9^{2}\cdot 4{,}5\approx 11{,}45\,\mathrm{m}^{3}$ .
In Liter
$1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}$ , also $\approx 11\,450\,\mathrm{L}$ .

Ergebnis: Tankvolumen ca. $11\,400\,\mathrm{L}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Skizziere den Körper und zerlege ihn in Standardteile.
2
Prüfe, ob Radius oder Durchmesser angegeben ist - das ist eine klassische Fehlerquelle.
3
Achte am Schluss auf die richtige Einheit, besonders bei Liter und Kubikmeter.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (

r=2{,}0\,\mathrm{m}

,

h=8{,}0\,\mathrm{m}

) mit einem Kegeldach (

h_{K}=2{,}5\,\mathrm{m}

). Berechne das Gesamtvolumen. (HTL)

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Typische Fehler

Verwechslung Radius/Durchmesser bei Kreis und Zylinder.
Halbe Kugel hat $V=\tfrac{2}{3}\pi r^{3}$ - der Faktor wird oft falsch.
Oberfläche eines Zylinders ohne Deckel oder Boden vergessen.

Aktive Wiederholung

Ein zylindrischer Wassertank hat Durchmesser $2{,}4\,\mathrm{m}$ und Höhe $3{,}2\,\mathrm{m}$ . Bestimme das Volumen in $\mathrm{L}$ .

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Vektoren in der Ebene und im Raum#

StandardB-3.4

Ein Vektor bündelt Richtung und Betrag in einem Objekt - genau das, was Kräfte, Geschwindigkeiten und Verschiebungen auszeichnet. Anders als eine bloße Zahl trägt er „wohin" und „wie stark" zugleich. In der Ebene hat er zwei, im Raum drei Komponenten, üblich in Spaltenschreibweise.

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise und haben eine klare geometrische Bedeutung: Die Summe zweier Vektoren ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms () - so addiert man zwei Kräfte zur resultierenden Kraft. Die Skalarmultiplikation streckt oder staucht einen Vektor, ohne seine Richtung zu ändern (bei negativem Faktor kehrt sie sich um).

Vektoraddition (Parallelogrammregel)

Abb. 4Kräfte- und Geschwindigkeitsvektoren addieren sich komponentenweise; der Summenvektor

\vec a+\vec b

ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms.

Der Betrag

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

ist die Länge des Vektors - der Satz des Pythagoras, auf drei Komponenten erweitert. Er liefert etwa den Betrag einer Geschwindigkeit aus ihren Komponenten.

Das Skalarprodukt

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

ergibt eine Zahl, keinen Vektor, und ist über

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

mit dem Zwischenwinkel verbunden. Daraus folgt das wichtigste Kriterium: Das Skalarprodukt ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal aufeinander stehen.

Den Zwischenwinkel erhält man durch Umstellen zu

\cos\varphi=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Im Raum lassen sich so auch Lagebeziehungen prüfen - etwa, ob eine Gerade eine Ebene schneidet (), parallel zu ihr liegt oder in ihr enthalten ist.

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Abb. 5Schnittpunkt, parallel oder Gerade in der Ebene.

In HTL-Clustern sind Vektoren allgegenwärtig - Kräfte, Geschwindigkeiten, Drehmomente; in HAK/HUM treten sie seltener auf, gehören aber zur Grundkompetenz. Eine häufige Fehlerquelle ist, das Skalarprodukt mit einer komponentenweisen Multiplikation zu verwechseln - das Ergebnis ist eine einzige Zahl, die Summe der Produkte.

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

Betrag eines Vektors

\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

Skalarprodukt

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Winkelformel

Musterbeispiel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Berechne den Winkel zwischen $\vec{a}=(2,\,1,\,2)$ und $\vec{b}=(1,\,2,\,-2)$ .

Skalarprodukt
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot(-2)=0$ .
Folgerung
Skalarprodukt Null und keiner Nullvektor -> orthogonal.

Ergebnis: $\vec{a}\perp \vec{b}$ , also $\varphi=90^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stelle Vektoren als Pfeile vor - Länge entspricht dem Betrag.
Vektoraddition (Parallelogrammregel)
Abb.Kräfte- und Geschwindigkeitsvektoren addieren sich komponentenweise; der Summenvektor $\vec a+\vec b$ ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms.
2
Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren über den Winkel und liefert eine Zahl.
3
Prüfe Orthogonalität durch Skalarprodukt gleich Null.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme den Betrag des Vektors

\vec{v}=(4,\,-3,\,12)

und entscheide, ob er normal auf

\vec{w}=(3,\,4,\,0)

steht. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Skalarprodukt wird komponentenweise mit anderer Operation verwechselt.
Orthogonalität wird nicht über Skalarprodukt geprüft.
Vorzeichenfehler bei Vektorsubtraktion.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $\vec{a}=(3,\,2,\,-1)$ und $\vec{b}=(1,\,-2,\,4)$ . Berechne $|\vec{a}|$ , $\vec{a}\cdot\vec{b}$ und den Winkel zwischen den Vektoren.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Bogenmass, Kreisbogen und Kreissektor#

StandardB-3.1B-3.3

Das Bogenmass ist die „natürliche" Maßeinheit für Winkel: Es misst einen Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius und ist deshalb dimensionslos. Anschaulich gibt es an, wie viele Radien der Bogen lang ist; ein voller Kreis entspricht

2\pi

, also

360^{\circ}\,\hat{=}\,2\pi

und

180^{\circ}\,\hat{=}\,\pi

.

Die Umrechnung folgt direkt aus dieser Festlegung:

\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{grad}}\cdot \tfrac{\pi}{180}

und umgekehrt

\varphi_{\text{grad}}=\varphi_{\text{rad}}\cdot \tfrac{180}{\pi}

. So wird etwa

120^{\circ}

zu

\tfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}094

.

Bogenlänge und Sektorfläche sind im Bogenmass besonders einfach: Die Bogenlänge ist

b=r\cdot \varphi

, die Sektorfläche

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

(). Beide Formeln entstehen aus dem Anteil

\tfrac{\varphi}{2\pi}

des Vollkreises - der Sektor ist genau dieser Bruchteil von Umfang bzw. Kreisfläche.

Kreissektor mit Radius und Mittelpunktswinkel

Abb. 6Ein Kreissektor mit Radius

r

und Mittelpunktswinkel

\varphi

(im Bogenmass): Bogenlänge

b=r\varphi

, Sektorfläche

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

.

Mit Gradzahlen schreibt man dieselben Größen als

b=\tfrac{\varphi^{\circ}}{360}\cdot 2\pi r

und

A=\tfrac{\varphi^{\circ}}{360}\cdot \pi r^{2}

. Diese Form macht den Anteilsgedanken explizit, ist aber rechnerisch umständlicher als die schlanken Bogenmaß-Formeln.

Genau hier liegt die zentrale Fehlerquelle: Die kurzen Formeln

b=r\varphi

und

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

gelten nur, wenn

\varphi

im Bogenmass eingesetzt wird. Wer versehentlich die Gradzahl einsetzt, erhält um den Faktor

\tfrac{180}{\pi}

falsche Werte.

Wie schon bei der Trigonometrie muss der Rechnermodus zur Aufgabe passen (DEG oder RAD). In der Matura verlangen die Operatoren „umrechnen" (zwischen den Maßen wechseln) und „berechnen" (Bogen und Fläche bestimmen) eine bewusste Kontrolle dieser Einstellung.

b=r\,\varphi,\quad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi\quad(\varphi\;\text{im Bogenmass})

Kreisbogen und Kreissektor

Musterbeispiel

Bogenlänge und Sektorfläche

Kreissektor mit $r=6\,\mathrm{cm}$ und $\varphi=120^{\circ}$ . Berechne $b$ und $A$ .

Schritt 1 - In Bogenmass
$\varphi=120^{\circ}\cdot \tfrac{\pi}{180}=\tfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$ .
Schritt 2 - Bogenlänge
$b=r\,\varphi=6\cdot \tfrac{2\pi}{3}=4\pi\approx 12{,}57\,\mathrm{cm}$ .
Schritt 3 - Sektorfläche
$A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot \tfrac{2\pi}{3}=12\pi\approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Ergebnis: Bogenlänge $b\approx 12{,}57\,\mathrm{cm}$ , Sektorfläche $A\approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Rechne den Winkel

135^{\circ}

ins Bogenmass um. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Grad statt Bogenmass in $b=r\varphi$ und $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi$ eingesetzt.
Rechner im falschen Winkelmodus (DEG/RAD) belassen.
Sektorfläche mit der Bogenlängenformel verwechselt.

Aktive Wiederholung

Ein Kreissektor hat den Radius $r=6\,\mathrm{cm}$ und den Mittelpunktswinkel $\varphi=120^{\circ}$ . Berechne Bogenlänge und Sektorfläche.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Steigung, Gefälle und geometrische Modellierung#

StandardB-3.1B-3.4

Steigung und Gefälle sind die alltäglichste Anwendung des rechtwinkligen Dreiecks - bei Straßen, Rampen, Förderbändern und Dächern. Das Steigungsdreieck () macht die drei beteiligten Größen sichtbar: die horizontale Strecke

\Delta s

, den Höhenunterschied

\Delta h

und den Steigungswinkel

\alpha

.

Steigungsdreieck

Abb. 7Das Steigungsdreieck verbindet horizontale Strecke

\Delta s

, Höhenunterschied

\Delta h

und Steigungswinkel

\alpha

:

\tan\alpha=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}

.

Die Steigung in Prozent ist das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke:

p_{\%}=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}\cdot 100

. Eine

6\,\%

-Rampe gewinnt also auf

100\,\mathrm{m}

waagrechter Strecke

6\,\mathrm{m}

an Höhe.

Der Steigungswinkel hängt über

\tan\alpha=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}=\tfrac{p_{\%}}{100}

mit der Prozentsteigung zusammen. Aus der Prozentangabe erhält man den Winkel mit

\alpha=\arctan\!\big(\tfrac{p_{\%}}{100}\big)

und umgekehrt.

Entscheidend ist die Einsicht, dass Prozent und Grad nicht linear zusammenhängen:

100\,\%

Steigung bedeuten

45^{\circ}

, nicht

90^{\circ}

, und

12\,\%

sind nur knapp

7^{\circ}

. Eine Prozentsteigung darf deshalb niemals direkt als Gradzahl gelesen werden - der häufigste Fehler dieses Themas.

Bei längeren Anstiegen ist zu unterscheiden, welche Strecke gemeint ist: Die tatsächlich zurückgelegte schräge Strecke ist die Hypotenuse

\sqrt{\Delta s^{2}+\Delta h^{2}}

, nicht die horizontale Projektion

\Delta s

. Bei kleinen Steigungen sind beide fast gleich, bei steilen klaffen sie deutlich auseinander.

Solche Fragen leiten zur geometrischen Modellierung im Raum über, in der Pythagoras, Trigonometrie und Vektoren zusammenwirken - etwa bei Dächern, Böschungen oder Seilbahntrassen. In der Matura verlangen die Operatoren „berechnen" und „interpretieren", den Winkel zu bestimmen und das Ergebnis im Sachkontext zu deuten.

\tan\alpha=\dfrac{\Delta h}{\Delta s}=\dfrac{p_{\%}}{100}

Steigungswinkel aus Prozentsteigung

Musterbeispiel

Steigungswinkel und Höhengewinn

Steigung $12\,\%$ , horizontale Strecke $2\,000\,\mathrm{m}$ . Bestimme Winkel und Höhengewinn.

Schritt 1 - Steigungswinkel
$\tan\alpha=0{,}12 \Rightarrow \alpha=\arctan(0{,}12)\approx 6{,}84^{\circ}$ .
Schritt 2 - Höhengewinn
$\Delta h=0{,}12\cdot 2\,000=240\,\mathrm{m}$ .
Schritt 3 - Deuten
Auf $2\,000\,\mathrm{m}$ horizontaler Strecke werden rund $240\,\mathrm{m}$ Höhe gewonnen, der Anstiegswinkel beträgt knapp $7^{\circ}$ .

Ergebnis: Steigungswinkel $\approx 6{,}84^{\circ}$ , Höhengewinn $240\,\mathrm{m}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Rampe überwindet auf

5\,\mathrm{m}

horizontaler Strecke einen Höhenunterschied von

0{,}3\,\mathrm{m}

. Berechne die Prozentsteigung und den Steigungswinkel. (HTL)

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Typische Fehler

Prozentsteigung direkt als Gradzahl interpretiert ( $12\,\%\neq 12^{\circ}$ ).
Horizontale Projektion mit der schrägen Streckenlänge gleichgesetzt.
Rechner im falschen Winkelmodus, dadurch falscher Steigungswinkel.

Aktive Wiederholung

Eine Bergstrasse hat eine Steigung von $12\,\%$ . Berechne den Steigungswinkel und den Höhengewinn auf $2\,000\,\mathrm{m}$ horizontaler Strecke.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)